1.1多边形的内角和与外角和寒假预习课时练-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.3多边形的内角和与外角和寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的内角和及内角，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据正多边形的内角和以及正多边形每个内角都相等，求解即可． 【详解】解：∵多边形为正五边形， ∴； 故选：B． 2．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺）的条件判断，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 根据平面图形镶嵌的条件判断即可，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案． 【详解】解：用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案， 只用上面正五边形，不能进行平面镶嵌． 故选：C． 3．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（　　） A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 【答案】D 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案． 【详解】解：∵正三角形的每个内角60°， 正方形的每个内角是90°， 正五边形的每个内角是108°， 正六边形的每个内角是120°， 正七边形的每个内角是 正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°， ∴能够组合是正三角形，正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 4．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A．1080° B．540° C．2700° D．2160° 【答案】A 【分析】根据多边形外角和及内角和可直接进行求解． 【详解】解：由一个n边形的每个外角都是45°，可得： ， ∴这个多边形的内角和为：， 故选A． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和及外角和是解题的关键． 5．下列正多边形中，能够铺满地面的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 【答案】B 【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案． 【详解】A. 正五边形的一个内角度数为180°﹣360°÷5＝108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意； B. 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．符合题意； C. 正八边形的一个内角度数为180°﹣360°÷8＝135°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意； D.正十二边形的一个内角度数为180°﹣360°÷12，不是360°的约数，不能镶嵌平面，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），计算正多边形的内角能否整除360°是解答此题的关键． 6．用两种边长相等的正多边形地砖无缝隙不重叠的铺设地面，能够选择的组合是（    ） A．正六边形，正八边形 B．正方形，正六边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 【答案】D 【分析】此题考查正多边形，镶嵌问题，几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断． 【详解】解：A、正六边形形的每个内角是，正八形的每个内角是，，不能铺满，该选项不符合题意； B、正方形的每个内角是，正六边形每个内角，，不能铺满，该选项不符合题意； C、正五边形每个内角，正六边形每个内角，，不能铺满，该选项不符合题意； D、正三角形的每个内角是，正方形每个内角，，能铺满，该选项符合题意； 故选：D． 7．如图，在四边形中，，，，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，四边形的内角和定理，掌握含30度角的直角三角形的性质是关键． 如图所示，延长交于点，可得，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，四边形的内角和定理，得到，再运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在四边形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C ． 8．如图，在三角形中，点是上一点，点是三角形内一点，连接、，过点作的平行线，若，，，，则的度数为（    ） A．124° B．125° C．126° D．127° 【答案】B 【分析】先利用平行线的性质求∠ACB，再利用四边形的内角和求解． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠ACB＝∠CAD＝53°， ∴∠BCF＝53°﹣26°＝27°， ∵四边形BCFE的内角和为360°， ∴∠BEF＝360°﹣27°﹣153°﹣55°＝125°． 故选：B． 【点睛】本题考查了四边形的内角和定理，平行线的性质是解题的关键． 9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 10．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点B，C，分别作的垂线，垂足为，利用多边形内角和定理及等边三角形的性质证明，，设，，则，利用在直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半，得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点B，C，分别作的垂线，垂足为， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理得：， ， ， ， ， ， ， 设，，则，， 在中，， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角的特征，多边形内角和，作出辅助线构造三角形全等时解得的关键． 二、填空题 11．正十边形的每个内角的度数是： ． 【答案】/114度 【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键． 先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可． 【详解】正十边形的内角和为：， 正十边形的每个内角的度数为： ， 故答案为：． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和．一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，任何多边形的外角和是360度，因而这个正多边形的内角和为度．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数． 【详解】解：根据题意，得 ， 解得：． 所以此多边形的边数为12． 故答案为：12． 13．多边形的一个外角与它不相邻的其余内角和为，则多边形边数为 ． 【答案】5或6 【分析】设多边形边数为，这个外角度数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设多边形边数为，这个外角度数为，则 由题意得： 解得： 又，∴ 解得： 又因为为正整数，所以或 故答案为5或6 【点睛】此题考查了多边形内角和以及外角的性质，涉及了不等式的求解，熟练掌握多边形内角和以及外角的性质和求解不等式是解题的关键． 14．如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 【答案】200 【分析】本题主要考查了多边形的外角，掌握公式即可求出． 利用多边形外角和等于360度即可求出答案． 【详解】解：因为小陈从点出发当他第一次回到出发点A时正好走了一个正多边形， ∵正多边形的外角和等于， （米）． 故答案为：200． 15．如图1，为度，如图2，为度，则 ．    【答案】0 【分析】将图1原六边形分成两个三角形和一个四边形可得到的值，将图2原六边形分成四个三角形可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：如图1，将原六边形分成两个三角形和一个四边形，   ，， 如图2，将原六边形分成四个三角形，   ，， ， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，此类问题通常连接多边形的顶点，将多边形分割成四边形和三角形，通过计算四边形和三角形的内角和，求得多边形的内角和． 16．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 【答案】67 【分析】先利用多边形的外角和求解，再利用多边形的内角和求解 再分两种情况讨论：以为腰或以为底，再结合三角形的三边关系，从而可得答案. 【详解】解： 多边形的外角和为 任意多边形的外角中最多只有个钝角， 多边形的内角中，锐角的最多的个数为个， 内角和为的多边形的边数为b， 当为等腰三角形的腰时，＜ 舍去， 当为等腰三角形的底边，则为腰，此时三角形成立， 故答案为： 【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，等腰三角形的定义，三角形的三边关系，熟练运用以上知识是解题的关键. 三、解答题 17．求十五边形的内角和的度数． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和，掌握边形内角和公式为是解题的关键．直接利用多边形内角和公式即可求解． 【详解】解：由题意得，十五边形的内角和的度数为． 18．如图，在四边形中，，． (1)当时，求的度数． (2)的平分线交于点E，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形的内角和是，可得，再由即可求出结果； （2）根据可得，，再利用平分，可求，最后根据三角形的内角和即可求出结果． 【详解】（1）解：，， ， ∵四边形的内角和是， ， 又， ， ． （2）解：平分， ， 又，，， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质、四边形和三角形的内角和及角平分线的定义，结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算是解决问题的关键． 19．一个多边形的内角和是它外角和的3倍，它是几边形？ 【答案】这个多边形是八边形 【分析】根据任意凸多边形的外角和都为，内角和都为（其中n为边数），再结合题意列出等式，求出n即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形，则依题意得： ， 解得， 故这个多边形是八边形． 【点睛】本题考查凸多边形的外角和与内角和，熟记任意凸多边形的外角和都为以及其内角和公式为（其中n为边数）是解答本题的关键． 20．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数． 【答案】列表法见解析，且n为整数 【分析】从一点和边上的其他点连接分成三角形的个数为点数减去2，也就是边数减2，由于三角形的内角和是180°，所以多边形内角和与它的边数关系为多边形内角和＝（边数﹣2）×180°，由此规律计算即可求解． 【详解】解： 图   例 … n边形 边   数n 3 4 5 … n 内角和m/度 180＝180×（3﹣2） 360＝180×（4﹣2） 540＝180×（5﹣2） … 180×（n﹣2） 故n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数为m＝180°（n﹣2），（n≥3且n为整数）． 【点睛】本题考查了函数的表达形式，函数的表达形式有列表法、图像法以及解析式法，熟练掌握多边形内角和的推导过程是解决本题的关键． 21．综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)正三角形和正方形能密铺，理由见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查了多边形内角和及平面图形的镶嵌，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360度． （1）根据多边形内角和求解即可； （2）根据多边形内角和求解即可； （3）根据题意，采用正方形和等边三角形进行密铺即可，利用围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案． 【详解】（1）解：正五边形的每个内角的度数为：， ∴， 故答案为：； （2）∵图5是五边形， ∴内角和为：， ∴； （3）正三角形和正方形能密铺，理由如下： 正三角形的每个内角是，正方形的每个内角是， ， 正三角形和正方形能密铺． 22．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 【答案】(1)；； (2)①③ (3)或 (4)； 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据正n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数的整数倍是即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； （4）根据正五边形每一个内角的度数即可求解． 【详解】（1）解：正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， 故答案为：；；． （2）解：由（1）可求， 正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：由题意，得， 其正整数解为或． （4）解：∵正五边形的内角为， ∴，． 23．请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： (1)如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且. 请证明：. (2)如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度． (3)如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度． (4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)， (4)所连接的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角. 【分析】（1）利用是正三角形，可得，，又因，所以，，所以； （2）同（1）利用三角形全等，可知在正方形中，，； （3）同（1），利用三角形全等可知在正五边形中，，． （4）根据（1）（2）（3）的答案，总结归纳出结论即可； 【详解】（1）证明：∵是正三角形， ∴，. 在和中，， ∴. ∴. 又∵， ∴. 又∵， ∴. （2）解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； （3）解：∵五边形是正五边形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：所连接的两条线段相等，所求的角恰好等于正边形的内角. 【点睛】本题以正多边形为背景，以正三角形为切入点，通过对问题的类比、改造、延伸和拓展来检测分析问题、解决问题的能力.启示我们学习数学要在“做数学”，而不是“背数学”. 24．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．    (1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式； (3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)105° (2)β-α=90° (3)BE∥DF，理由见解析 【分析】（1）利用四边形的内角和和平角的定义推导即可； （2）利用角平分线的定义，四边形的内角和以及三角形的内角和转化即可； （3）利用角平分线的定义以及平行线的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD的内角和为360°， ∴α+β=∠A+∠BCD=360°－（∠ABC+∠ADC）， ∵∠MBC和∠NDC是四边形ABCD的外角， ∴∠MBC=180°－∠ABC，∠NDC=180°－∠ADC， ∴∠MBC+∠NDC=180°－∠ABC+180°－∠ADC =360°－（∠ABC+∠ADC）， =α+β =105°； （2）解：β-α=90°（或α－β=-90°等均正确）． 理由：如图1，连接BD，    由（1）有，∠MBC+∠NDC=α+β， ∵BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC， ∴∠CBG= ∠MBC，∠CDG= ∠NDC， ∴∠CBG+∠CDG= ∠MBC+ ∠NDC= （∠MBC+∠NDC）= （α+β）， 在△BCD中，∠BDC+∠CBD=180°-∠BCD=180°-β， 在△BDG中，∠BGD＝45°，∠GBD+∠GDB+∠BGD=180°， ∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD=180°， ∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CBD）+∠BGD=180°， ∴（α+β）+180°-β+45°=180°， ∴β-α=90°． 故答案为β-α=90°（或α－β=－90°等均正确）； （3）解：BE∥DF． 理由：如图2，过点C作CP∥BE，    则∠EBC=∠BCP， ∴∠DCP=∠BCD－∠BCP=β－∠EBC， 由（1）知∠MBC+∠NDC=α+β， ∵α=β， ∴∠MBC+∠NDC=2β， 又∵BE、DF分别平分∠MBC和∠NDC， ∴∠EBC+∠FDC=（∠MBC+∠NDC）=β， ∴∠FDC=β－∠EBC， 又∵∠DCP=β－∠EBC， ∴∠FDC=∠DCP， ∴CP∥DF， 又CP∥BE， ∴BE∥DF． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质及其判定、平角的定义，四边形的内角和，三角形内角和，角平分线的定义，用整体代换的思想是解本题的关键，整体思想是初中阶段的一种重要思想，要多加强训练． 试卷第4页，共19页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3多边形的内角和与外角和寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，用一条足够长的矩形纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平、连线，就可以得到如图所示的正五边形，其中的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．只用下列正多边形地砖中的一种，不能镶嵌的是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形 3．在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（　　） A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 4．一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内角和是（ ） A．1080° B．540° C．2700° D．2160° 5．下列正多边形中，能够铺满地面的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十二边形 6．用两种边长相等的正多边形地砖无缝隙不重叠的铺设地面，能够选择的组合是（    ） A．正六边形，正八边形 B．正方形，正六边形 C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形 7．如图，在四边形中，，，，，则的长是（   ） A．2 B． C． D． 8．如图，在三角形中，点是上一点，点是三角形内一点，连接、，过点作的平行线，若，，，，则的度数为（    ） A．124° B．125° C．126° D．127° 9．若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 10．如图，中，，点是外一点，是等边三角形，过点分别作的垂线，垂足分别为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．正十边形的每个内角的度数是： ． 12．一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为 ． 13．多边形的一个外角与它不相邻的其余内角和为，则多边形边数为 ． 14．如图，某同学从A点出发前进10米，向右转，又向右转，这样下去，一共走了 米． 15．如图1，为度，如图2，为度，则 ．    16．多边形的内角中，锐角的最多的个数为a，内角和为的多边形的边数为b，如果以a、b为等腰三角形的两边，则这个三角形的周长为 ． 三、解答题 17．求十五边形的内角和的度数． 18．如图，在四边形中，，． (1)当时，求的度数． (2)的平分线交于点E，当时，求的度数． 19．一个多边形的内角和是它外角和的3倍，它是几边形？ 20．用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）关于边数n的函数． 图   例 … n边形 边   数n 3 4 5 … n 内角和m/度 180＝180×（3﹣2） 360＝180×（4﹣2） 540＝180×（5﹣2） … 180×（n﹣2） 21．综合实践 项目背景：平面镶嵌是用形状相同或者不同的平面封闭图形，覆盖平面区域，使图形间既无缝隙又不重叠地全部覆盖．一般来说，构成一个平面镶嵌图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状．例如我们铺设地板时经常使用正方形地砖． 实践发现：对于正边形．如果一个内角度数能被整除，那么这样的正边形可以进行平面镶嵌．图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组镶嵌图案．如图3．按照平面镶嵌的条件，正五边形就不能进行平面镶嵌．对于不规则的全等凸五边形，也可以进行平面镶嵌，图4就是利用不规则的凸五边形得到的一种镶嵌图案． 问题解决： (1)图3中的度数为__________； (2)图5是图4中的一个基本图形，其中，求的度数； (3)某中学图书馆准备用正多边形地砖铺设地面，已有正三角形地砖，现打算购买另外一种正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合镶嵌．请设计一种共顶点组合镶嵌方案，并说明理由． 22．【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个内角的度数 _______ _______ ______ 【探究发现】 (1)填写表中空格： (2)如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ．（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形． 【拓展应用】 (3)如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． (4)如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形，求图中与的度数． 23．请阅读，完成证明和填空． 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下： (1)如图1，正三角形中，在、边上分别取点、，使，连结、，发现，且. 请证明：. (2)如图2，正方形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度． (3)如图3，正五边形中，在、边上分别取点、，使，连结、，那么______，且______度． (4)在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论． 请大胆猜测，用一句话概括你的发现：________________________________． 24．如图，四边形ABCD，BE、DF分别平分四边形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β．    (1)如图1，若α+β＝105°，求∠MBC+∠NDC的度数； (2)如图1，若BE与DF相交于点G，∠BGD＝45°，请直接写出α，β所满足的数量关系式； (3)如图2，若α＝β，判断BE，DF的位置关系，并说明理由． 试卷第4页，共19页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $