6.2 三角形的中位线 寒假预习课时练 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.2三角形的中位线寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明是的中位线是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵在中，D，E分别是边的中点． ∴是的中位线， ∴． 故选C． 2．在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．24 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线性质求解即可． 【详解】解：∵在中，D、E分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形的中位线，熟知三角形的中位线性质是解答的关键． 3．如图，在中，点分别是的中点，过点作于点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理等知识点，连接可得是的中位线，进一步可推出据此即可求解； 【详解】解：如图，连接 ∵点分别是的中点， 是的中位线， ， ∴ 在中，由勾股定理得． 4．如图，点A、B为定点，定直线，点P是l上一动点，点M、N分别为PA、PB的中点，对于下列各值： ①线段MN与AB的比值； ②的面积； ③的周长； ④直线MN、AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中随着点P的移动而变化的是（    ） A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④ 【答案】C 【分析】求出AB长为定值，P到A B的距离为定值，再根据三角形的中位线即可判断①②④；根据运动得出PA + PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化，即可判断③⑤． 【详解】∵A、B为定点， ∴AB长为定值， ∵点M， N分别为PA，PB的中点， ∴MN =AB为定值，故①不正确； ∵点A，B为定点，定直线l// AB， ∴P到A B的距离为定值， ∴△PAB的面积为定值． 故②④不正确； 当P点移动时，PA + PB的长发生变化， ∴∆PAB的周长发生变化，故③正确； 当P点移动时，∠APB发生变化，故⑤正确； 故选： C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，能熟记三角形的中位线定理是解此题的关键，用了运动观点的思想． 5．如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线的实际应用，等式的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 利用三角形的中位线定理即可直接得出答案． 【详解】解：∵D，分别是，的中点， ， ， 故选：． 6．如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了中位线的性质，三角形边长关系，勾股定理，连接，取的中点，连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求得，根据三角形边长关系可得，即可解答，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接， 为的中点，的中点为， ，， ， ， 根据三角形边长关系可得， 的最大值为， 故选：A． 7．如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线和角平分线．熟练掌握三角形中位线的判定和性质，角平分线性质；等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 根据中点性质得到，，根据的中位线性质得到，，，得到，根据角平分线定义得到，得到，得到，即得． 【详解】解：，分别是，的中点， 为的中位线， ，，， ． 的平分线交于点， ， ， ， ． 故选：B． 8．如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D．41 【答案】A 【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：， ， ， ，，，分别是，，，的中点， ，，，， 四边形的周长， 故选：A 9．如图，，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出，的中点，的距离，若，则，两点间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据三角形的中位线性质得出，再代入求出答案即可． 【详解】连接， ∵分别是的中点， ∴， ∵， ∴， 即两点间的距离是， 故选：C．      【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，能根据三角形的中位线性质得出是解此题的关键，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】连接AC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠DAC，结合图形求出∠BAC＝90°，根据勾股定理求出AC，根据三角形中位线定理计算，得到答案． 【详解】解：连接AC， ∵DA＝DC，∠D＝100°， ∴∠DAC＝∠DCA＝40°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠DAC＝130°﹣40°＝90°， ∴AC＝， ∵点E，F分别是边AD，CD的中点， ∴EF＝AC＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 二、填空题 11．如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为 米． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据题意，得到是的中位线，即可得出结果． 【详解】解：∵D、E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴； 故答案为：6． 12．如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第个三角形的周长与第一个三角形的周长的关系．根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解即可． 【详解】解：∵的周长为16，连接三边中点构成第一个， ∴，，， ∴第1个三角形周长为， 同理：第2个三角形的周长为； 以此类推，第个三角形的周长为； 所以第个三角形的周长为， 故答案为：． 13．如图，中，，，，点为中点，点在上，的周长与四边形的周长相等时，的长为 ． 【答案】 【分析】中，勾股定理求出AC，由的周长与四边形的周长相等，推出AE=3.5，CE=0.5，过点D作DF⊥AC于F，得DF=BC=1.5，EF=1.5，即可求出DE． 【详解】解：中，，，， ∴AC=4， ∵点为中点， ∴AD=BD， ∵的周长与四边形的周长相等， ∴AD+DE+AE=BD+DE+BC+CE， ∴AE=BC+CE， ∵AE+BC+CE=4+3=7， ∴AE=3.5，CE=0.5， 过点D作DF⊥AC于F， ∴AF=CF=2，DF=BC=1.5， ∴EF=1.5， ∴DE=， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理，三角形中位线的性质，三角形中线性质，正确掌握三角形中线的性质求出CE是解题的关键． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 15．如图，在中，分别是的中点，P是上任意一点，的面积为S，那么面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，三角形的面积，解题的关键是利用中位线定理，证得是的一半，是的一半．作于，交于，根据三角形中位线定理得出，进而证得，然后利用三角形面积公式即可求得，即可求解． 【详解】解：如图，作于，交于， ∵、分别是、的中点， ， 的面积为S， 面积为， 故答案为：． 16．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据平行线的性质，得到是的中位线，再利用三角形内角和求得的度数，即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形，对角线与相交于点O， , E是边的中点， 是的中位线， ， ， 在中，, , 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，中位线的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和，得到是的中位线是解题的关键． 三、解答题 17．已知：在中，D，E，F分别是边的中点． 求证：四边形的周长等于． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的中位线定理，可得 ， ，即可求证． 【详解】解：如图， D，E，F分别是边的中点， 、 是 的中位线， ， ， 四边形的周长 ， 即四边形的周长等于． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线平行且等于第三边的一半是解题的关键． 18．若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 【答案】三角形的中位线等于第三边的一半 【分析】根据条件是的中位线，利用三角形的中位线定理即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是、中点， ∴． ∴理由是“三角形的中位线等于第三边的一半”． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，是一个基础题．掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解本题的关键． 19．如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出，再利用等腰三角形的三线合一即可得出结论； （2）利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质得出且，再根据中点的性质得出且，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是中点， ∴； （2）解：∵点、是、的中点， ∴且， ∵中，， ∴且， ∵点是的中点， ∴且， ∴四边形为平行四边形． 20．如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M,N分别是AB,AD的中点． （1）求证:四边形AMON是平行四边形； （2）若AC=6,BD=4,∠AOB=90°,求NO的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，根据三角形中位线的性质得到MO∥AD，NO∥AB，根据平行四边形的判定可证得结论； （2）由勾股定理求得AB，根据三角形中位线的性质得到进而可得结论． 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴AO＝OC，BO＝OD． ∵，分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到是解决问题的关键． 21．如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键． （1）由三角形中位线定理得，，再由，得，即可得出结论； （2）过点D作于H，由等边三角形的性质得，，则，再由含30°角的直角三角形的性质得，由勾股定理得，然后由，即可求解． 【详解】（1）证明：∵D、E分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， ， 四边形是平行四边形． （2）解：过点D作于H，如图所示： 是等边三角形，D为的中点 ，， ， ， ， ， ， ． 22．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见解析；③全等三角形对应边相等 【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可； （2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可． 【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等； “智慧”小组：∵D，E分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第三边的一半； （2）①如图， ②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接，并分别延长至点D，至点E，使， ，最后量出的距离就是的距离； ③在和中， ， ∴， ∴， ∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质． 23．已知：如图，是锐角三角形，分别以、为边向外侧作等边三角形和等边三角形，D、E、F分别是，，的中点，连结，．求证：． 【答案】证明见详解． 【分析】连接、，证明≌，可得 ，再通过三角形的中位线定理可证、分别是、的一半，从而可得． 【详解】证明：连接、， ∵、都是等边三角形， ∴ ，, ∴， 即， 在与中， ∵，，， ∴≌ ∴ ， ∵D、E、F分别是，，的中点 ∴ ， ， ∴． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，三角形的中位线定理，关键是证明 ． 24．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连结，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．请你完善以下证明过程： ∵是的中线， ∴_______ ______． ， ∴四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连结． 求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．        【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明； （2）延长到点F，使，连接，利用证明，得，，可说明四边形是平行四边形，得，即可证明结论； （3）延长到点F，使，连接，由（2）知，, ,则 取最小值时，最小，故时，最小，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ， ， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：； （2）证明：延长到点F，使，连接，    ∵是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是平行四边形； （3）解：延长到点F，使，连接， 由（2）知，, ， 则取最小值时，最小，故时，最小，如图，    ∵是的中线， ， 由勾股定理得， 利用等面积法得， 解得， 在中，由勾股定理得，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，倍长中线构造全等三角形及运用等面积法是解题的关键． 试卷第2页，共22页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2三角形的中位线寒假预习课时练 一、单选题 1．如图，在中，D，E分别是边的中点．若，则（   ）． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，D、E分别是、的中点，若，则的值（    ） A．3 B．6 C．9 D．24 3．如图，在中，点分别是的中点，过点作于点，连接，若，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．如图，点A、B为定点，定直线，点P是l上一动点，点M、N分别为PA、PB的中点，对于下列各值： ①线段MN与AB的比值； ②的面积； ③的周长； ④直线MN、AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中随着点P的移动而变化的是（    ） A．②③ B．②⑤ C．③⑤ D．①②④ 5．如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，D，E分别是，的中点，若，则B，C两点的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为上两点，，为上一动点（不与，重合），为的中点．若的半径为2，则的最大值为（    ） A．1 B． C．3 D．2 7．如图，在中，，，，分别是，的中点，的平分线交于点，则（    ） A．0.5 B．1 C．2 D．4 8．如图，是内一点，，，，，，，，分别是，，，的中点，则四边形的周长为（    ） A．20 B．24 C．36 D．41 9．如图，，两点被池塘隔开，小林在池塘外选定一点，然后测量出，的中点，的距离，若，则，两点间的距离为（    ）      A． B． C． D． 10．如图，在四边形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠A＝130°，∠D＝100°，AD＝CD．若点E，F分别是边AD，CD的中点，则EF的长是（    ） A．3 B．4 C．2 D． 二、填空题 11．如图，某公园有一块三角形空地米，沿放置一道栅栏把分成两个区域种植不同的花卉，D、E分别是的中点，则栅栏的长为 米． 12．如图，的周长为，连接三边中点构成第一个，再连接的各边中点构成第二个，依此类推，则第个三角形的周长为 ． 13．如图，中，，，，点为中点，点在上，的周长与四边形的周长相等时，的长为 ． 14．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝ 15．如图，在中，分别是的中点，P是上任意一点，的面积为S，那么面积为 ． 16．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，E是边的中点，连接．若，，则的度数为 ．    三、解答题 17．已知：在中，D，E，F分别是边的中点． 求证：四边形的周长等于． 18．若D，E分别是，的中点，则只需测量出的长，就可以求出池塘的宽．你知道为什么吗？ 19．如图，在中，对角线与相交于点，，点，，分别为的中点，连结． (1)求证：． (2)求证：四边形为平行四边形． 20．如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M,N分别是AB,AD的中点． （1）求证:四边形AMON是平行四边形； （2）若AC=6,BD=4,∠AOB=90°,求NO的长度． 21．如图1，在中，D、E分别为、的中点，延长至点F，使，连接和． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，当是等边三角形且边长是8，求四边形的面积． 22．阅读与思考 问题情境： 如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离． 可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪． 方法分析： “圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出的长和的度数；作；在射线上找一点D，使；测出的长度，就可得到A，B两点间的距离． “智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接，；分别取，的中点D，E，测出的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离． 说明：以上各点都在同一水平面内． （1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组通过测量的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ． 迁移应用： （2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求： ①在图1中画出可操作的方案图； ②简要说明你的操作步骤； ③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ． 23．已知：如图，是锐角三角形，分别以、为边向外侧作等边三角形和等边三角形，D、E、F分别是，，的中点，连结，．求证：． 24．（1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连结，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．请你完善以下证明过程： ∵是的中线， ∴_______ ______． ， ∴四边形是平行四边形． （2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连结． 求证：四边形是平行四边形． （3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．        试卷第2页，共22页 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $