精品解析：黑龙江省大庆市景园中学2025-2026学年上学期 八年级期末试卷 数学

大庆市景园中学 2025-2026学年度第一学期 期末考试 八年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、考试时间120分钟 3、全卷共三道大题，26小题，总分120分 一、选择题 （共10小题，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（    ） A. ，， B. 和 C. 和 D. 和 4. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 5. a、b为实数，整式的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 6. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 11 D. 6 7. 若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是( ) A. y＝60－2x(0<x<60) B. y＝60－2x(0<x<30) C. y＝ (60－x)(0<x<60) D. y＝ (60－x)(0<x<30) 8. 若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 9. 如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A 16 B. 20 C. 36 D. 45 二、填空题（共8小题，共24分） 11. 在中，、、的对边分别是、、，满足，则是________三角形． 12. 如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是________． 13. 若 是完全平方公式，则m=________ 14. 如图，直线和被直线所截，下列条件能判断的是：；；； _________（填序号）． 15. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ___________ ． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 17. 如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为___________时，在某一时刻，由A，C，P三点构成的三角形与由B，P，Q三点构成的三角形全等． 18. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分面积是___________． 三、解答题 （共8小题，共66分） 19. 化简： （1）； （2） 20. 如图，点，在上，，，且． （1）与全等吗？请说明理由： （2）与平行吗？为什么？ 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 22. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 23. 如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 （1）求的长； （2）求的面积． 24. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究： [信息读取] （1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇； （2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________； [解决问题] （3）求动车的速度； （4）图中点M表示实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________； （5）当时，求出x值． 25. 已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 26. 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l的对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆市景园中学 2025-2026学年度第一学期 期末考试 八年级 数学试题 考生注意： 1、考生须将自己的姓名、准考证号填写到试卷和答题卡规定的位置 2、考试时间120分钟 3、全卷共三道大题，26小题，总分120分 一、选择题 （共10小题，共30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A原图是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图不是轴对称图形，故本选项符合题意； C.原图是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.原图是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：． 3. 球的体积是，球的半径为，则，在这个公式中，变量是（    ） A. ，， B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量，掌握概念是解题的关键．根据常量和变量的概念解答即可． 【详解】解：球的体积是，球的半径为，则， 其中变量，， 故选：C． 4. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形中的高线，根据三角形的高的定义，依次对选项中的图形进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A：线段是的高，选项不符合题意； 选项B：线段是的高，选项不符合题意； 选项C：线段是的高，选项不符合题意； 选项D：线段是的高，选项符合题意； 故选：D． 5. a、b为实数，整式的最小值是（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和偶次方的非负性，正确运用该完全平方公式是解答本题的关键．先分组，然后运用配方法得到，最后利用偶次方的非负性得到最小值． 【详解】解：， ∵，， ∴最小值是， 故选A． 6. 已知，则的值为（ ） A. 9 B. 7 C. 11 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和代数式求值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用完全平方公式，将已知条件平方后展开，得到关于所求表达式的方程，然后求解． 【详解】解：， ， 又， ， ． 故选：C． 7. 若等腰三角形的周长为60 cm，底边长为x cm，一腰长为y cm，则y关于x的函数解析式及自变量x的取值范围是( ) A. y＝60－2x(0<x<60) B. y＝60－2x(0<x<30) C. y＝ (60－x)(0<x<60) D. y＝ (60－x)(0<x<30) 【答案】D 【解析】 【详解】∵2y+x=60, ∴y＝ (60－x)(0<x<30). 故选D. 8. 若三角形的两边长分别为5和7，则第三边的中线长x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：延长至E，使， 如图所示，，， 设，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键． 9. 如图， 在中， ， 是的角平分线， 于点E，连接．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质定理，三角形面积公式，勾股定理等，解题的关键是作辅助线构造直角三角形． 过点D作于F，根据角平分线性质定理得，利用三角形面积法计算出，，再利用勾股定理计算出，进而计算出，根据即可求解． 【详解】解：如下图所示，过点D作于F， 平分，，， ， ， ， 即， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 设点E到的距离为h， 则，， ， ， 故选：C． 10. 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，图中阴影部分△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形PQMN的面积为（　　） A. 16 B. 20 C. 36 D. 45 【答案】B 【解析】 【分析】根据图2可得：当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4，当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5，进而可求得矩形PQMN的面积． 【详解】解：由图2可知： 当x＝4时，点R与点P重合，PN＝4， 当x＝9时，点R与点Q重合，PQ＝5， 所以矩形PQMN的面积为4×5＝20． 故选：B． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解决问题的关键是动点变化过程中根据函数图象得矩形的边长． 二、填空题（共8小题，共24分） 11. 在中，、、的对边分别是、、，满足，则是________三角形． 【答案】等腰直角 【解析】 【分析】根据非负数的性质求出，且，进而判断出的形状． 【详解】解：∵， ∴，且， ∴，且， ∴是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了等腰三角形的定义与非负数的性质． 12. 如图，长方体中，，一只蚂蚁从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将长方体沿着它的长、宽、高分别展开，利用勾股定理求出对应的最短路径，比较即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 如图所示，当沿着把长方体展开时， 则， ∴， ∴此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； ∵， ∴从点A点出发沿长方体表面爬行到点，爬行的最短距离是； 故答案为：13． 13. 若 是完全平方公式，则m=________ 【答案】±4 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式的结构特征，根据常数项确定的值，再根据中间项系数求，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是完全平方公式， 所以它可以写成， 比较系数，得， 所以， 故答案为：． 14. 如图，直线和被直线所截，下列条件能判断的是：；；； _________（填序号）． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有∶同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．分组讨论，判定出即可． 【详解】解：和是邻补角，不能判定； 和是同旁内角，不能判定； ，， ． ； 和是内错角，， 不能判定 ． 故答案为：． 15. 如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 ___________ ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同旁内角互补，角平分线的性质定理． 过点作于点，由可得，由两直线平行同旁内角互补可得，于是可得，则，由角平分线的性质定理可得，，进而可得，结合，可得，于是得解． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 和分别平分和，且，，， ，， ， 又， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解答的关键． 17. 如图，，．，点 P 在线段 上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线上由点B向点D方向运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为___________时，在某一时刻，由A，C，P三点构成的三角形与由B，P，Q三点构成的三角形全等． 【答案】1或 【解析】 【分析】考查了全等三角形的判定的应用，能求出符合的所有情况是解此题的关键．设点Q的运动速度是，有两种情况：①，，②，，列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵， ∴A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等，有两种情况： ①，， 则， 解得：， 则， 解得：； ②，， 则，， 解得：，， 故答案是：1或． 18. 如图，在中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是___________． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 三、解答题 （共8小题，共66分） 19. 化简： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知乘法公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式去括号，再合并同类项即可得到答案； （2）把原式变形为，再利用平方差公式和完全平方公式求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 如图，点，在上，，，且． （1）与全等吗？请说明理由： （2）与平行吗？为什么？ 【答案】（1）全等，理由见解析 （2）平行，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）先由得到，然后平行导角得到，再由，即可利用证明； （2）由，得到，即可证明平行． 【小问1详解】 解：与全等，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 21. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与，两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若海港受台风影响，且台风中心移动的速度为，台风影响海港持续的时间有多长？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，利用直角三角形的等面积法求高．找到台风影响海港的临界位置是解题关键． （1）用勾股定理的逆定理证是直角三角形，再用等面积法求到的距离，将该距离与进行比较，判断海港是否受影响． （2）以“台风中心到海港的距离等于”为临界状态，确定台风移动路径上的两个临界位置、，结合（1），用勾股定理算出临界位置到的距离，由对称性得，最后用“影响路段长度台风移动速度”得到持续时间． 【小问1详解】 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ，，，， 是直角三角形，， 由三角形面积相等可得：， 即， ， 以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域， 海港受台风影响． 【小问2详解】 解：如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 根据勾股定理，， ，， ， ， 台风中心移动的速度为， ， 台风影响海港持续的时间为． 答：． 22. 已知：四边形中，，，，，： （1）求的长； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）5 （2）36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练准确掌握两个定理的应用． （1）利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再分别求出两个直角三角形的面积，面积和即为四边形的面积． 【小问1详解】 解：在中， ，， ， 根据勾股定理得，． ∴的长为5． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ， 是直角三角形，且， ． ∴四边形的面积为36． 23. 如图，长方形中，，．将此长方形折叠使点与点 重合，折痕为 （1）求的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据折叠的性质找边之间的关系． (1)设，由折叠的性质可知，利用勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度； (2)根据矩形的性质和折叠的性质可知，利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【小问1详解】 解：设，由折叠的性质可知， 长方形中，，． ，， ， ， 解得：， ； 【小问2详解】 解：如下图所示， 四边形是矩形， ，， ，， 由折叠可知， ， ， 24. 一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为，两车之间的距离为，如图中的折线表示y与x之间的关系．根据图象进行以下探究： [信息读取] （1）甲，乙两地相距___________，两车出发后___________h相遇； （2）普通列车到达终点共需___________h，普通列车的速度是___________； [解决问题] （3）求动车的速度； （4）图中点M表示的实际意义是：当普通列车行驶___________h时，两车之间的距离为___________； （5）当时，求出x的值． 【答案】（1）1800，6；（2）18，100；（3）；（4）9，900；（5）或 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图像获取信息，解题的关键在于熟练掌握函数图像关键信息，路程与速度和时间的关系． （1）初始时刻，即为两地距离，相遇时两车距离为0，由图像得到相遇时刻； （2）最后到达的为普通列车，根据路程除以时间可得速度； （3）动车速度等于动车与普通列车速度和减普通列车的速度； （4）由函数图像可知，M表示的实际意义是动车到达乙地，也是当普通列车行驶时，两车之间的距离为． （5）当时， ，解得；或，解得（不合）；或，解得． 【详解】解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距，两车出发后相遇； 故答案为：1800，6； （2）由函数图像可知，普通列车到达， 则速度为（）， 故答案为：18；100；. （3）动车的速度为：（）； （4）∵（）， ∴（）， 故答案为：9，900． （5）如图， 当时， 两车相遇前， ， 解得； 两车相遇后， ， 解得，不合； 动车到达乙地后， ， 解得． 故或． 25. 已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1）度 （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 26. 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B 关于直线l对称点，连接与直线l交于点 C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，， 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ______，______ _______ 在中，， 即最小． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在 中，直线m是边 的垂直平分线，点P 是直线 m 上的动点． 若，，，则周长的最小值为 ． 【模型拓展】1．如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当 的周长取最小值时，的大小是为 度． 2．如图⑥，边长为的等边 中，是上的中线且，点 D在上，连接，在的右侧作等边连接，则 周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】模型解决：，，，模型应用：9；模型拓展1：100；2：， 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟知轴对称的性质是解题的关键． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：1：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 2：因为，所以当最小时，周长取得最小值，由此作出轴对称图形，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，， 模型应用：如图，设直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，，的周长， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展1：分别作点P关于、的对称点，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：100； 2：连接并延长，作点关于射线的对称点，连接，，连接交的延长线于点，连接，如下图： 和是等边三角形， ，，， ，即， ， ， ，是上的中线， 且平分， ， ，即点在射线上运动， 点和点关于射线对称， ，，， ， 是等边三角形， ， ∴和是两个全等的等边三角形， 同理可得， ， ， 又， 当最小时（此时点E与点N重合），的周长取得最小值， ∵的最小值为， ， 此时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $