湖北崇阳县第二高级中学2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五）

崇阳二中2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.复数z=i(2+3),则z的虚部为() A.2 B.-3 C.2i D.3i 2.已知集合A=x1x>1,B={x2≥0}则AnB=() A.[0,2) B.(1,2] C.(1,2) D.(2,+0) 3.已知xy≠0，则x=2y是+y=4的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=() A.-12 B.-10 C.10 D.12 5.2sine-coso=2.0c(Z.). 则sin28=() A.-3 B.-若 c.若 D名 6.2025年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探1900》五部电影 上映，小李和另外3名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且4人中 恰有2人看同一部电影的不同排列方式共有() A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 7.已知双曲线c:器-若=1a>0,b>)的左，右焦点分别为5(-c,0),R(c,0),直线 y=kx与双曲线C在第一、三象限分别交于点A,B,O为坐标原点.若△AOF2为等边 三角形，则双曲线C的离心率为() A.2+2V3 B.2V3-1 C.4+2V3 D.V3+1 8.当x>1时，关于x的不等式(2x-1)ex-a(x-1)≤0仅有两个正整数解，则实数a的 取值范围是() A.[4e2,3e2）B.3e2,e ）c.且e3,e)D.Ge4,e) 数学试卷第1页（共4页） 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB,点P,Q分别为A1B,CC1的中点，则（) A.PQ LAB B.PQ1平面A1BC1C.PQ/平面ABC D.BQ//AC 10.函数f(x)=Acos(ωx+日)(A>0,ω>0,0<0<π)的部分图象如图所示，则下列结论 正确的是() A0=号 B.f(x)的最小正周期T=π 2π C.fx)在(-，-)上单调递增 D.fx)的对称轴为x=-π+km,k∈Z 11.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似等类似于周期函数性质的一类函数， 我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数f(x)= 1-x2,-1≤x≤1 2f(x-2),1<x≤5 是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有() -x2+4x+5,x<-1或x>5 A.函数f(x)的值域为(-oo,1] B.函数f(x)在(4，+∞)上单调递减 C.方程f(x)=1有5个不同的解 D.若方程f(x)-tf(x)+1=0有10个不同的解，则2<t< 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(x2-)°的展开式中，x3项的系数是 13.若向量a=(2,-1),五=(1，y),a1(a-,则= 14.在直角△ABC中，AC=3,BC=2,P为斜边AB上一点，将△BCP沿CP折叠到△B'CP, 使得二面角B-CP-A为，且AB=2,则胎 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A-3cos(B+C)=1. (1)求角A的大小： (2)若△ABC的面积S=5V3,b=5,求sinBsinC的值. 数学试卷第2页（共4页） 16.(15分)2024年3月，某校语文教师对学生提出3月读一本书的要求，每位学生都选 择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各100 人，整理得到2×2列联表如下 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 (1)依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国 演义》与性别有关？ (②)已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学 生中随机抽取3人，抽到的女生人数设为，求的分布列和数学期望. 参考公式：x2= n(ad-bc)2 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧 面PAD⊥底面ABCD,E是PD的中点 (1)求证：平面ACE⊥平面PCD: (2)求二面角E-AC-D的正弦值 数学试卷第3页（共4页） 18.17分)已知椭圆c:若+兰-1(a>b>0)的离心率为，A(1,写是c上的点 (1)求椭圆C的方程： (2)过T(1,0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D,E两点. (①求证：直线DE过定点： ()求△DTE面积的最大值 19.(17分)已知函数f(x)=xex-a(e2x-1),a∈R. (1)当a=0时，求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)若f(x)存在两个极值点m,n,且m<n. ()求实数a的取值范围： ()已知函数f(x)有三个零点，分别记为x1,x2,x3,证明：f(m+n)>f(x1+x2+x3): 数学试卷第4页（共4页）《崇阳二中2025-2026学年上学期高三数学周测卷（十五）》参考答案 题号 1 2 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 答案 A D AC ABC BCD-160V√103/2 5.【详解】因为2sin0-cos0=2,所以cos0=2sin0-2,代入sin20+cos20=1得sin20+ (2sin日-2)2=1，化简得5sin20-8sim9+3=0,解得sin9=8±v644=8,即sin0= 10 10 或sin9=1,因为6e(侵，m),所以sin0-是 所以sin20=2sin6cos0=2sim0(2sn0-2)=2×2×(2×号2)=-若放选：B, 6.【详解】若小李看《哪吒》，且4人中恰有两人看同一部电影，有两人看《哪吒》，则有 C好A好种方案，有一人看《哪吒》电影，则有CA匠种方案，即满足小李看《哪吒》，且4人 中恰有两人看同一部电影一共有CA+CA经=72种方案.故选：D 7.【详解】因为△A0P为正三角形，10P=c,所以A(,9), 3c2 因为点A(怎，)在双血线c:荒兰-1a>0,b>0)上，所以号-京=1，化简得b2c2 3a2c2=4a2b2,所以(c2-a2)c2-3a2c2=4a2(c2-a2),c4-8a2c2+4a4=0, 所以e4-8e2+4=0,所以e2-6=西=8±43=4士2W3, 2 2 因为e2>1,所以e2=4+23=(V3+1),所以e=V3+1.故选：D. 8.【详解】当x>1时不等式等价于：a≥2设f)-,x>1, 则f()-42业-器，所以当1<x<时，f冈<0，雨数f (x-1)2 单调递减，当x>时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 所以a>f两个正整数解2和3.则侣二千图·解得e三e< 故实数a的取值范围是5e3,e)故选：C 9.AC【详解】取AB的中点为D,连接PD,CD,如下图所示： 对于A,又因为点P,Q分别为A1B,CG的中点，所以PD/AA,且PD=AA1: 又AA1/CC,AA1=CC1,CQ=CC1,所以PDI/CQ,PD=CQ: 所以四边形PDCQ是平行四边形，因此PQ//CD,又因为CA=CB,所以CD⊥AB, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC,CDc平面ABC, 周测（十五）答案第1页（共7页） 所以AA1⊥CD,又AA1∩AB=A,AA1,ABC平面ABB1A1,所以CD⊥平面ABB1A1,因此PQ⊥ 平面ABB1A1;又ABC平面ABB1A1,因此PQ1AB,即A正确；对于B,假设PQ1平面A1BC1 成立，则PQ1A1C1,由选项A中分析可知PQ/CD,AC/A1C1,因此可得CD1AC,显 然不成立，因此假设不成立，所以PQ与平面A1BC不垂直，即B错误；对于C,由选项A 分析可知PQ/CD,CDC平面ABC,PQ￠平面ABC,所以PQ/∥平面ABC,即C正确； 对于D,取AA1的中点为E,连接QE,显然此时QE/AC,若BQ/AC成立，可知QE/BQ, 这与BQ∩QE=Q矛盾，因此BQ/AC不成立，即D错误.故选：AC 10.ABC【详解】对于A,由图可知A=2,且f(0)=2c0s0=-1,即cos9=- 又0<0<m,可得0=登，故A正确： 对于B:因为f(份)=2cos(w+）=2,所以号w+号=2 km,k EZ. 解得ω=-1+3k,kEz,又T<号<T,即<号<惡解得<ω<3，所以w=2, 所以fx)=2cos(2x+),所以f(x)的最小正周期T=至=，故B正确： 对于C:当xe(-,-),则2x+e(-，-2m, 因为y=c0sx在(，-2m)上单调递增，所以f()在(，-智)上单调递增，故C正确： 对于D:令2x+号=km,k Z,解得x=+受，kEZ 所以f()的对称轴为x=-+受，kEZ,故D错误， 11.BCD【详解】当-1≤x≤1时，f(x)=1-x2: 当1<x≤3时，-1<x-2≤1，则f(x)=2f(x-2)=2[1-(x-2)2]=-2(x-2)2+2: 当3<x≤5时，1<x-2≤3，则f(x)=2f(x-2)=2[-2(x-4)2+2]=-4(x-4)2+4: 当x<-1或x>5时，f(x)=-x2+4x+5, 作出函数f(x)的图象如下： 2345 yf(x) 周测（十五）答案第2页（共7页） 由图可知，函数f(x)的值域为(-o∞，4]，故A错误： 函数f(x)在(4，+o∞)上单调递减，故B正确： 由于函数y=f(x)与y=1有5个交点， 则方程f(x)=1有5个不同的解，故C正确： 对于D,令f(x)=n,nE(-o,4], 因为方程f(x)]2-tf(x)+1=0有10个不同的解， 所以方程n2-tn+1=0有两个不相等的实数根， 设g(n)=n2-tn+1,显然g(0)=1≠0， 则这两个根分别在(0,1)、(1,2)内， 礼阳子如。#2<8手酸D晚 14.三【详解】设∠BCP=6,则LACP=-6,过B作BE1CP,E为垂足， 过A作AD1CP,D为垂足.在Rt△BCE中有BE=2sin0,CE=2cos0, 在Rt△ACD中有AD=3cos0,CD=3sin0,则ED=|CD-CE引=|3sin0-2cos8L. 因为二面角B'-CP-A为所以<B'E,DA=T-哥 又B'A2=(B'E+ED+DA）=4sim2日+(3sin0-2cos8)2+9cos28+4sin0.3cos0. cos(m-)=13-9sim20=4,则sin20=1,9= 所以品 B 15.(1)A-号(2)号 【详解】(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,得2c0s2A+3cosA-2=0,......2分 即(2c0sA-1)(c0sA十2)=0，解得c0sA=或cosA=-2(舍去).5分 因为0<A<,所以A= 3 6分 周测（十五）答案第3页（共7页） (2)由S=2bc8inA=c=5V3,得bc=20,又b=5,知c=4.…8分 由余弦定理得a2=b2十c2-2bcco3A=25十16-20=21，故a=V21.10分 从而由正弦定理得sinBsinC--sinAin=8二m2A-号 a 13分 16.(1)有关(2)分布列见解析，E()=2 【详解】(1)零假设Ho学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别无关.1分 因为x2= n(ad-be)2 200×(30×40-60×70)2 =18.182>10.828, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 90×110×100×100 .4分 所以依据小概率值=0.001的独立性检验，可以认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》 与性别有关。。 6分 （2)由题可知，的所有可能取值为0,1,2,3， 选择《红楼梦》的学生是女生的概率为号，所以~B(（3,) …8分 所以Pg=0)=c()°()°=P(=1)=c3)()= P5=2)=c目（目'-多P(=)-c目°目=品 12分 所以的分布列为 0 2 3 1 2 4 8 P 27 9 9 27 所以E(⑤)=3×号2. .15分 17.(1)证明见解析 a9 【详解】(1)因为△PAD是正三角形，E是PD的中点，所以AE1PD,2分 因为侧面PAD⊥底面ABCD,AD L CD,侧面PADO底面ABCD=AD, 所以CD1侧面PAD,AEC平面PAD,所以AE⊥CD,...4分 又CD∩PD=D,且CD,PDC平面PCD,所以AE1平面PCD,6分 又因为AEC平面ACE,所以平面ACEI平面PCD. .7分 (2)如图以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A垂直于平面ABCD的 垂线为z轴建立空间直角坐标系， 不妨设正方形的边长为2，则A(0,00,C(2,20),E(0,, 周测（十五）答案第4页（共7页） 所以ac=(2,20),亚=(（0，) 易得，平面ACD的一个法向量=(0,0,1)， 9分 n2·AC=2x+2y=0 设平面ACE的法向量2=(x,y,z),则 西A=y+92=0 ,令x=1,则y=-1,z=V3, 2 则n2=(1,-1,V3), 11分 设二面角E-AC-D的大小为a,则川cosa= m2到 12 13分 则sina=V1-cos2a= 1-(- 所以二面角E一AC-D的正弦值为 515分 18.(0片+y2=1(②)()证明见解析； (i)3 【详解】(1)已知椭圆G兰+5=1Q>b>0)的离心率为号 A(1,)是c上的点 =3 则 + 12 ，解得a=2,b=1,c=V3, -=1 a2 a2-b2=c2 所以椭圆c的方程为号+y2=1: ………5分 (2)(1)显然当DE与y轴垂直时，TD,TE的倾斜角不互补， 设DE的方程为：x=my+n(m≠0)，设D(x1,y1),E(x2,y2), (x=my+n 联立 号+y2=1,消x得：0m2+40y2+2my+n2-4=0, 所以y1+y2=-2m m2+4?y1y2=2二4. 7分 则kD+krE=立 y1 y2 x,1+=my1+n-1my2+n-10, 所以2my1y2+(m-1)0y1+y2)=0, 代入得：2m(n2-4)-2mn(n-1)=2mn-8m=0, 所以n=4,即直线DE过定点(4,0)..10分 (所以y+为=2=品 12 周测（十五）答案第5页（共7页） 所以DB=Vm2+1·bM-y2l=Vm2+1.4m2卫， m2+4 …12分 又T到DE的距离为d=m' 3 .14分 所以S=子DEd=画 6 ≤ 当m2=28时取等号 m2+4 Vm2-12+ 16 4 m2-12 即△DTE面积的最大值为：17分 19.()y=x(2)(i)0<a<(i)证明见解析 【详解】(1)当a=0时，f(x)=xe*,则f'(x)=(x+1)ex,所以f'(0)=1, 又f(0)=0,故函数f(x)在点(0，f(0)处切线方程为y=x. .4分 (2)(i)因为f'(x)=e*(1+x-2ae*),ex>0恒成立，令(x)=1+x-2aex, 由题知f(x)存在两个极值点m,n, 等价于λ(x)=1+x-2ae*存在两个变号零点m,n. 5分 因为2(x)=1-2aex,则当a≤0时，'(x)>0,(x)单调递增，此时2(x)最多一个零点， 不合题意； 6分 当a>0时，令r(x)=0,得x=lna 当x∈(o,lna)时，r()>0,2(x)在区间(-∞，lna)上单调递增， 当xe（na,+∞)时，X(x)<0,(x)在区间(n去，+∞)上单调递减， 由题意得x)max=入(n)=ln品>0，解得0<a<2 .8分 当0<a<时，因为(-1)=-2ae1<0,1(0)=1-2a>0, 由零点存在性原理及函数的单调性知，当xE(（-o,ln岩)时，存在唯一mE(-1,ln),使 得λ(x)=0, 令H(x)=ex-ex(x>0),则H'(x)=ex-e,当x∈(0,1)时，H'(x)<0,当xE(1,+oo)时， H'(x)>0, 即H(x)=e-ex(x>0)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，+∞)上单调递增， 所以H(x)≥H(1)=0,即ex≥ex,当且仅当x=1时取等号， 则e≥e学所以当x>0时，e≥笑>2， 则当x>0时，)=1+x-2ae*<1+x-2ax2,所以(1+)<1+(1+a) 周测（十五）答案第6页（共7页） 2a(1+-2a<0. 由零点存在性原理及函数的单调性知，当x∈（血品，+o∞）时，存在唯一nE(血品，1+) 使得(x)=0, 综上所述，实数a的取值范围为0<a< .10分 (ii)由(2)知f(x)在区间(-oo,m)上单调递减，在区间(m,)上单调递增，在区间(n,+o∞) 上单调递减，且-1<m<0<n, 又f(0)=0,不妨设x1<x2<x3,显然x2=0, 又f(x1)=x1e1-a(e2-1)=0,且f(-x1)=-x1e-x1-a(e-2x1-1)= x1e1-a(e21-=0, e2x1 则-x1=X3,即x1+x3=0,所以x1+x2+3=0, 则要证f(m+n)>f(x1+x2+3)=f(0)=0,只需证f(m+n)>0.12分 国为0=11-2c*方在两个交号零点m,n所以牛贸名ac二， 得到2a=”= em 令p()=+,则p(om）=p(),又p'()=-点 所以p(x)-在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减。 且有-1<m<0<n, ，，，，，，，，，，，，，，，，14分 构造函数F(x)=p(x)-p(-x),xE(-1,0), 因为F'(x)=p'(x)+p'(-x)=x(ex-ex)>0,所以F(x)在(-1,0)上单调递增， 又F(0)=0,所以F(m)=p(m)-p(-m)<0,即p(m)<p(-m), 所以p(n)=p(m)<p(-m), 又因为-m>0,n>0,且0()=在(0，+m)上单调递减， 则n>-m>0>m,所以0<m+n<n, 又因为f(x)在(m,n)上单调递增，所以f(m+n)>f(0)=0, 故f(m+n)>f(x1+x2+x3)... .17分 周测（十五）答案第7页（共7页） 崇阳二中 2025-2026 学年上学期高三数学周测卷（十五） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数z = i(2 + 3i)，则z的虚部为( ) A ．2 B ．-3 C ．2i D ．3i 2．已知集合A = ，则A ∩ B = ( ) A ．[0,2) B ．(1,2] C ．(1,2) D ．(2, +∞) 3．已知xy ≠ 0，则“x = 2y”是”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设Sn 为等差数列{an }的前n项和，若3S3 = S2 + S4 ，a1 = 2，则a5 = ( ) A ．-12 B ．-10 C ．10 D ．12 5．若2sinθ - cosθ = 2, θ ∈ ,则sin2θ = ( ) A ．- B ．- C ． D ． 6．2025 年春节期间，有《封神》《哪吒》《神雕英雄传》《熊出没》《唐探 1900》五部电影上映，小李和另外 3 名同学去随机观看这五部电影，则小李看电影《哪吒》且 4 人中恰有 2 人看同一部电影的不同排列方式共有( ) A ．24 种 B ．36 种 C ．48 种 D ．72 种 7．已知双曲线Ca > 0, b > 0)的左，右焦点分别为F1 (-c, 0) ，F2 (c, 0)，直线y = kx与双曲线C在第一、三象限分别交于点 A ，B ，O 为坐标原点.若△ AOF2 为等边三角形，则双曲线C的离心率为( ) A ．2 + 2√3 B ． C ． D ． 8．当x > 1时，关于x的不等式(2x - 1)ex - a(x - 1) ≤ 0仅有两个正整数解，则实数a的取值范围是( ) A ．[4e, 3e2 ) B ． C ． e3, e4 ) D ． 数学试卷 第 1 页(共 4 页) 学科网（北京）股份有限公司 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9．直三棱柱ABC - A1 B1 C1 中，CA = CB，点P, Q分别为A1 B, CC1 的中点，则( ) A ．PQ ⊥ AB B ．PQ ⊥平面A1 BC1 C ．PQ//平面ABC D ．BQ//AC 10．函数f(x) = Acos(wx + θ)(A > 0, w > 0,0 < θ < π)的部分图象如图所示，则下列结论 正确的是( ) A ． B ．f(x)的最小正周期T = π C ．f 上单调递增 D ．f(x)的对称轴为x k ∈ Z 11．“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究. 函数f(x) = 是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有( ) A ．函数f(x)的值域为(-∞, 1] B ．函数f(x)在(4, +∞)上单调递减 C ．方程f(x) = 1有 5 个不同的解 D ．若方程[f(x)]2 - tf(x) + 1 = 0有 10 个不同的解，则2 < t 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12．在 的展开式中，x 3 项的系数是 ． 13．若向量 = (2, -1), = (1, y), ⊥ ()，则|| = . 14．在直角△ ABC中，AC = 3，BC = 2，P为斜边AB上一点，将△ BCP沿CP折叠到△ CP，使得二面角 - CP - A为，且A = 2，则 = ． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13 分)在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别是 a，b，c，已知cos2A - 3 cos(B + C) = 1． (1)求角 A 的大小； (2)若△ABC 的面积 S=5√3 ，b=5，求 sinBsinC 的值． 数学试卷 第 2 页(共 4 页) 学科网（北京）股份有限公司 16．(15 分)2024 年 3 月，某校语文教师对学生提出“3 月读一本书”的要求，每位学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查该校男、女生各 100人，整理得到2 × 2列联表如下． 《红楼梦》 《三国演义》 男生 30 70 女生 60 40 (1)依据小概率值α = 0.001的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关？ (2)已知学生选择哪本书是相互独立的，用频率代替概率，从该校选择《红楼梦》的学生中随机抽取 3 人，抽到的女生人数设为ξ,求ξ的分布列和数学期望． 参考公式：X ，其中n = a + b + c + d． 参考数据： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．(15 分)如图，在四棱锥P - ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD为正三角形，侧面PAD 丄底面ABCD ，E是PD的中点. (1)求证：平面ACE 丄平面PCD； (2)求二面角E - AC - D的正弦值. 数学试卷 第 3 页(共 4 页) 学科网（北京）股份有限公司 18．(17 分)已知椭圆C的离心率为是C上的点. (1)求椭圆C的方程； (2)过T(1,0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D ，E两点. (i)求证：直线DE过定点； (ii)求△ DTE面积的最大值. 19．(17 分)已知函数f(x) = xex - a(e2x - 1) ，a ∈ R． (1)当a = 0时，求曲线f(x)在点(0, f(0))处的切线方程； (2)若f(x)存在两个极值点m ，n，且m < n． (ⅰ)求实数a的取值范围； (ⅱ)已知函数f(x)有三个零点，分别记为x1，x2，x3，证明：f(m + n) > f(x1 + x2 + x3 )． 数学试卷 第 4 页(共 4 页) 学科网（北京）股份有限公司 $