6.1 平行四边形的性质及判定 寒假预习课时练 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.1平行四边形的性质及判定寒假预习课时练 一、单选题 1.在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,若AC=12,BD=14,则AO的长是() A.4 B.5 C.6 D.7 2.口ABCD的对角线相交于点O,AC=6,BD=12,AB=7,则△OCD的周长为() A.15 B.16 C.19 D.25 3.依据所标数据，下列一定为平行四边形的是() 100° 5 A 80° 110° 70° 110° 5 110° D 人70° U 4.如图，在平行四边形ABCD中，以A点为圆心，任意长为半径画弧，分别交AD、AB于M、N点，分别 以点M、N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP,交CD于点E,作DF⊥AE交 AE于点F,已知∠ADF=50°，则∠C的度数为() D B A.85° B.80° C.75 D.70 5.如图，《/，B=4,S0B=6 则点C到AB的距离为() 试卷第1页，共22页 D B -12 A.3 B.8 C.10 D.12 6.平行四边形的一边长为10，则它的对角线长可能是() A.8和12 B.4和24 C.8和16 D.6和8 7.如下图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=90°，OA=6,OB=3,则平行四边 形ABCD的面积是() D C 入 A.95 B.18V5 C.18 D.36 8.如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D=60°，连接AF,并延长交BE于点P,若 AP⊥BE,AB=3,BC=2,AF=1,则BE的长为() D o B C A.5 B.26 C.25 D.3 9.如图，在平行四边形ABCD中， BD⊥AD,AB=V2AD,E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若 AD=2,则PE+PB的最小值为() B C 试卷第2页，共23页 A.2V2 B.2V5 c.0 D.20 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A(0,6),与x轴的负半轴交于点B,且 ∠BAO=30°，M、N是该直线上的两个动点，且MN=2,连接OM、ON,则△MON周长的最小值为() x A,2+32 B.2+210 C.2+23 D.5+3 二、填空题 11.如图，在ABCD中，AC⊥BC,BC=5,AC=3,则CD的长为一· A D B (1,1),(2,2),(4,2) 12.已知以A,B,C,D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A,B,C的坐标分别为 则项点 D的坐标为一· 13.阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线， 已知：直线I及其外一点A. 求作：1的平行线，使它经过点A. 试卷第3页，共22页 A 小云的作法如下： ①在直线1上任取两点B,C: ②以A为圆心，以BC长为半径作弧：以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D: ③作直线AD. 直线AD即为所求， A B 老师说：“小云的作法正确。”请回答：小云的作图依据是一 14.如图，在口ABCD中，AB=4cm,AD=12cm,点P在边AD上以lcm/s的速度从点A向点D运动，点Q 在边BC上以3Cm/s的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 s时，线段PQ∥AB A 15.小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区 域的概率是 16.安图，在平行四边形ABCD中，BF过对角线的交点Q,若4侣-42C5,0E-子则四边形CD5r的 周长是一 试卷第4页，共23页 三、解答题 I7.如图，在ABCD中，E,F分别是AB,DC边上的中点，连接DE、BF、AF. 求证：四边形DEBF是平行四边形. D F E B I8.如图，在ABCD中，E,G,H,F分别是AB,BC,CD,DA上的点，且AE=CH,AF=CG.求证： EF=HG」 A E H G 19.如图，在口ABCD中，BC=10,AC=8,BD=14.△AOD的周长是多少？△ABC与△DBC的周长哪个长？ 长多少？ D B 20.画直线 ∥，并使直线与之间的距离为©m. 21.已知：如图，口ABCD的对角线AC、BD相交于点O、E、F在直线AC上，并且AE=CF.求证：四边形 BFDE是平行四边形. 试卷第5页，共22页 22.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E,F在对角线BD上且BE=DF.求证：AE=CF. B 23.如图，在平行四边形ABCD中，E,F是直线BD上的两点，DE=BF. (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若AD⊥BD,AB=10,BC=6,且EF-AF=4,求DE的长. 24.图1表示一条两岸彼此平行的河，直线、1表示河的两岸，且 ∥12 现要在这条河上建一座桥（桥与河岸 垂直)，“桥”用线段表示. A A。 E C D B 图1 图2 图3 L如图1，在河岸C、E两点建两座桥C”、EF,则CD和EF的大小为 D EF (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场A经过桥到河对岸B的路程最短？ 亮亮的方法是：作01交小于C,D两点，在CD处建桥能使从游乐场4经过桥到河对岸B的路程最短， 木木的方法是：作D1山交小于C,D两点，把线段CD平移至E,在BE处建桥能使从游乐场4经过桥到 河对岸B的路程最短. 试卷第6页，共23页 你认为谁的方法正确？并说明理由 (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短？画出示意图， 并用平移的原理说明理由 试卷第7页，共22页 6.1平行四边形的性质及判定寒假预习课时练 一、单选题 1．在中，对角线与相交于点，若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的对角线互相平分即可判断． 【详解】如图， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分， ∴， 又∵， ∴， 故选：C． 2．的对角线相交于点O，，，，则的周长为（    ） A．15 B．16 C．19 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分且对边相等求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点O，，，， ∴， ∴的周长， 故选：B． 3．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 4．如图，在平行四边形 ABCD 中，以 A 点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AD、AB于 M、N 点，分别以点 M、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 AP，交 CD 于点 E，作 DF⊥AE 交 AE 于点 F，已知∠ADF＝50°，则∠C 的度数为（    ） A．85° B．80° C．75° D．70° 【答案】B 【分析】利用作法得AE平分∠BAD，根据互余计算出∠DAF＝40°，所以∠BAD＝2∠DAF＝80°，所以根据平行四边形的性质得到∠C的度数． 【详解】解：由作法得AE平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°， ∴∠DAF＝90°﹣∠ADF＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BAD＝2∠DAF＝80°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠C＝∠BAD＝80°． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的作图、角平分线的相关计算、平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 5．如图，，，则点到的距离为（    ） A．3 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线间的距离处处相等求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴点到的距离为, 故选：A． 6．平行四边形的一边长为10，则它的对角线长可能是（　　） A．8和12 B．4和24 C．8和16 D．6和8 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质推出OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，求出每个选项中OA和OB的值，看看OA、OB、AD的值是否能组成三角形（即是否符合三角形的三边关系定理）即可． 【详解】解：如图： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， A、∵AC＝8，BD＝12， ∴OA＝4，OD＝6， ∵6＋4＝10， ∴此时不能组成三角形，故本选项错误； B、∵AC＝4，BD＝24， ∴OA＝2，OD＝12， ∵12−2＝10， ∴此时不能组成三角形，故本选项错误； C、∵AC＝8，BD＝16， ∴OA＝4，OD＝8， ∵8-4＜10＜8+4， ∴此时能组成三角形，故本选项正确； D、∵AC＝6，BD＝8， ∴OA＝3，OD＝4， ∵3+4＜10， ∴此时不能组成三角形，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理和平行四边形的性质的应用，关键是能判断OA、OB、AD的值是否符合三角形三边关系定理，题目比较好，难度适中． 7．如下图，平行四边形的对角线与相交于点O，，， ，则平行四边形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质.根据平行四边形对角线互相平分求出的长，再根据勾股定理求出的长，进一步即可求出答案 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积 故选：B 8．如图，已知四边形ABCD和四边形BCEF均为平行四边形，∠D＝60°，连接AF，并延长交BE于点P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，则BE的长为（　　） A．5 B．2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE，先证∠DHC=90º，再证四边形ADEF是平行四边形，最后利用勾股定理得出结果． 【详解】过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，连接BD，DE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3，∠ADC=60º， ∴CD=AB=3，∠DCH=∠ABC=∠ADC=60º， ∵DH⊥BC，   ∴∠DHC=90º，∴∠ADC+∠CDH=90°，∴∠CDH=30°， 在Rt△DCH中，CH=CD=，DH=， ∴， ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴AD=BC=EF，AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∴AF∥DE，AF=DE=1， ∵AF⊥BE， ∴DE⊥BE， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题． 9．如图，在平行四边形ABCD中，，，E是AB的中点，P是边AD上的一动点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得∠ADB＝90°，由勾股定理求出BD＝2，得到∠BAD＝∠ABD＝45°，延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E，则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，给出证明，再过点E作EF⊥B于点F，由勾股定理求出EF的长，再求得F＝BD＋D－BE＝3，最后利用勾股定理得出答案． 【详解】解：∵ ∴∠ADB＝90° ∵， ∴AB＝2 由勾股定理得 BD＝ ∴AD＝BD＝2 ∴∠BAD＝∠ABD＝45° ∵E是AB的中点， ∴BE＝AE＝AB＝ 延长BD至点，使得 D＝BD＝2，连接E， 则点P在E与AD的交点时，PE＋PB的值最小，如下图， 理由如下： ∵ ’ ，D＝BD＝2， ∴ AD垂直平分B ∴AD上任意一点P,总有PB＝P， 由“两点之间，线段最短”可知，点P在E与AD的交点处时， PE＋PB的值最小，最小值为E的长，此时过点E作EF⊥B于点F，如上图， 则∠EFB＝∠EF＝90°， ∵∠ABD＝45° ∴EF＝BF ∴EF2＋BF2＝BE2＝2EF2 ∴EF＝BF＝＝1 ∴F＝BD＋D－BE＝3 在Rt△EF中，由勾股定理得 E＝＝＝ 即的最小值为 故选：C 【点睛】本题考查了最短路径问题、勾股定理、等腰直角三角形等知识点，掌握最短路径的确定方法、灵活应用勾股定理是解题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线AB与y轴交于点A（0，6），与x轴的负半轴交于点B，且∠BAO＝30°， M、N是该直线上的两个动点，且MN＝2，连接OM、ON，则△MON周长的最小值为 （      ） A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋ 【答案】B 【详解】解：如图作点O关于直线AB的对称点O’，作且，连接O’C交AB于点D，连接ON，MO， ∴四边形MNOC为平行四边形， ∴，， ∴， 在中，，即， 当点M到点D的位置时，即当O’、M、C三点共线，取得最小值， ∵，， 设，则， ， 解得：， 即：，， ， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， 即：， ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查轴对称及平行线、平行四边形的性质，勾股定理解三角形，角的直角三角形性质，理解题意，作出相应图形是解题关键． 二、填空题 11．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，平行四边形的性质．根据题意先用勾股定理求，再用平行四边形对边相等的性质即可． 【详解】解： , 四边形是平行四边形 ． 故答案为：． 12．已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】分别在平面直角坐标系中确定出A、B、C的位置，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可确定D的位置． 【详解】解：由图可知，满足条件的点D坐标为 故答案为： 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 13．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题： 尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线． 已知：直线l及其外一点A． 求作：l的平行线，使它经过点A．    小云的作法如下： ①在直线l上任取两点B，C； ②以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D； ③作直线． 直线即为所求．    老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是 ． 【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】此题主要考查了复杂作图，正确把握平行四边形的性质与作法是解题关键．利用平行四边形的判定得出作出以A，B，C，D为顶点的平行四边形，进而得出答案即可． 【详解】解：以A为圆心，以长为半径作弧；以C为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点D； ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 14．如图，在中，，，点P在边上以的速度从点A向点D运动，点Q在边上以的速度从点C向点B运动，两个点同时出发，当点Q到达点B时停止运动，当运动时间为 时，线段． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定得出．根据平行四边形的性质，得出，，根据，得出四边形为平行四边形，证明，设运动时间为x秒，则，，得出，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设运动时间为x秒，则，， ∴， 解得：， 即当运动时间为3秒时，线段． 故答案为：3． 15．小明把如图所示的平行四边形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是 ．    【答案】 【分析】先根据平行四边形的性质求出平行四边形对角线所分的四个三角形面积相等，再求即可得出，阴影部分面积为平行四边形的四分之一． 【详解】解：如图：   平行四边形的对角线把平行四边形分成了四个面积相等的三角形， 根据平行四边形的性质即可得， ， 阴影部分面积即为四个三角形里的一个， 飞镖落在阴影区域的概率， 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的计算、平行四边形的性质和三角形面积，根据平行四边形性质得到是解答本题的关键． 16．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O，若，，，则四边形的周长是 ．    【答案】12 【分析】先根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理证出，再根据全等三角形的性质可得，从而求出，然后利用四边形的周长公式计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，且， ，，， ， 在和中，， ， ， ， 则四边形的周长 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键． 三、解答题 17．如图，在中，，分别是，边上的中点，连接、、． 求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】要证四边形是平行四边形，易证出，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证出． 【详解】证明：在平行四边形中，，， 又，， ，． 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法． 18．如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形的性质可得，再证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 19．如图，在中，．的周长是多少？与的周长哪个长？长多少？ 【答案】的周长是21，的周长比△ABC的周长长，长6． 【分析】根据四边形ABCD是平行四边形即可得到AD=BC=10，,，AB=CD，由此即可得到△AOD的周长=AD+DO+AO=10+7+4=21，△ABC的周长=AB+AC+BC，△DBC的周长=BD+CD+BC，从而可以求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC=10，,，AB=CD， ∴△AOD的周长=AD+DO+AO=10+7+4=21； ∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△DBC的周长=BD+CD+BC， ∴△DBC的周长-△ABC的周长=BD-AC=6， ∴△DBC的周长比△ABC的周长长，长6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质． 20．画直线，并使直线与之间的距离为． 【答案】图见解析． 【分析】根据直线，直线与之间的距离为即可解答． 【详解】解：如图， 直线即为所求，直线与之间的距离为． 【点睛】本题考查了作图—复杂作图、平行线之间的距离，解决本题的关键是掌握平行线之间的距离处处相等． 21．已知：如图，的对角线相交于点、、在直线AC上，并且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证； 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互相平分， ∴四边形是平行四边形． 22．如图，四边形是平行四边形，点，在对角线上且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，灵活运用平行四边形的判定与性质定理成为解题的关键． 如图：连接交于点，连接，．由平行四边形的性质可得、，易得，则四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可证明结论． 【详解】证明：如图：连接交于点，连接，． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 23．如图，在平行四边形中，，是直线上的两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是得到． （1）根据平行四边形的性质得到，，从而，则，易证，得到，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据勾股定理求出的长度，连接交于，求得，根据平行四边形的性质得到，设，根据勾股定理列方程即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ． ． 在和中， ， ． ，． ， 四边形是平行四边形； （2）解：，，， ， 连接交于， ， 四边形是平行四边形， ， ， 设， ， ， ， ， ， （负值舍去）， 的长为． 24．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          试卷第20页，共23页 试卷第21页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $