1.5角平分线 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.5角平分线》自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（    ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 2．如图，于点，于点．若，则的度数为（   ） A．30° B．35° C．40° D．45° 3．如图，是中的角平分线，于点E，，，，则长是（ ） A． B． C． D． 4．如图，已知平分，点在上，于点，，点是射线上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 5．如图，，的平分线与的平分线相交于点，作于点，若，则点到与的距离之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，函数的图象分别与轴，轴交于点，，的平分线与轴交于点，则点的横坐标为（   ） A． B． C．5 D． 7．如图，的两个外角的平分线与相交于点P，于点N，于点M，且，下列结论：①；②点P在的平分线上；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 二、填空题 8．如图，中，，平分，交于点D，、，则 ． 9．如图，，，，若，则 ． 10．如图，的外角和的平分线相交于点F，连接．若，则 ． 11．如图，已知，的平分线交于点D，交于点E，如果，，则 ． 12．如图，在中，，的角平分线交于点，连接并延长交于点，于点，若，，则 ． 13．如图，在等腰三角形中，，是边上的中线，过点D作的角平分线交于点E，过点E作，垂足为点F，交于点G，若，，则 ． 14．如图，C为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下七个结论：①；②；③；④；⑤；⑥平分；⑦平分．恒成立的结论有 ．（选填序号） 三、解答题 15．如图，在中， (1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不写作法和证明） (2)若，求的面积． 16．如图，已知在中，，，平分，平分． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，连接，作，，，求的面积． 17．如图，在中，点、分别在、上，且，点O在上，连接 ． (1)给出下列选项：①平分；②平分；③．请你选用其中的两个选项作为补充条件，余下的选项作为结论，构造一个真命题，并给出证明；你补充的条件是_____，结论是_____．（填序号） (2)在（1）的条件下，若的周长为6，，求的周长． 18．如图，在四边形中，，，E是上的一点，过点E作，使得，延长至点G，使． (1)求证：． (2)求证：平分． 19．如图，已知是的角平分线，点是射线上一点，点、分别在射线、上，连接、． (1)如图，当时，则与的数量关系是______． (2)如图，点、在射线、上滑动，且，，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由． 20．如图1，已知在中，，点D在的内部，连接，且平分． (1)求证：； (2)如图2，过点D作交于点E，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作交分别于点F，点H，，求的长． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找点P的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴中转站P可选择的点共有四处． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查了角平分线的判定， 先根据角平分线的判定得平分，再根据角平分线的定义解答即可. 【详解】解：∵， ∴平分. ∵， ∴. 故选：B. 3．D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等，三角形的面积公式等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型．作于，如图，根据角平分线性质定理得到，再利用三角形面积公式和得到，然后解一次方程即可． 【详解】作于F，如图， ∵是中的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 4．A 【分析】本题考查垂线段的性质，角平分线的性质定理．由垂线段最短可知，当时，有最小值，再根据角平分线的性质定理即可求解． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值， 平分，， ， 的最小值为4， 故选A． 5．D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，平行线间的距离等等，掌握角平分线的性质是解题的关键．如图所示，过点P作于F，延长交于G，先证明，由角平分线的性质得到，，则，由此即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作于F，延长交于G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴点P到与的距离之和为， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，角平分线的性质，列一元一次方程解决几何问题，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 过点作，交于点，求出直线和坐标轴的坐标，利用角平分线的性质得出，设，则，利用等面积列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交于点， 当时，，即，， 当时，，解得，即，， 由勾股定理得，， ∵平分， ∴， 设，则， ∴， 即， 解得， 即， 故选：A． 7．B 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形内角和定理，过P作作于H，由角平分线的性质推出，由角平分线性质定理的逆定理推出点P在的平分线上，由角平分线定义和三角形外角的性质得到，由三角形内角和定理求出，由角平分线定义和平行线的性质推出，判定． 【详解】解：过P作于H， ∵两个外角的平分线与相交于点P，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①②④． 故选：B． 8． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质以及三角形面积等知识，由勾股定理得，再由角平分线的性质得，然后由面积法求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点D作于点M， ∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等，过点作于，由角平分线的性质得，又由平行线的性质得，进而得到，，再根据直角三角形的性质求出即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于，则， ∵， ∴平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．/25度 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理以及判定定理． 过F作于M，于N，于K，由角平分线的性质定理推出，，得到，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，求出． 【详解】解：过F作于M，于N，于K， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵于M，于N， ∴平分， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，由，，得到，由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，所以，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质、直角三角形的性质，过点作，，根据角平分线的性质可证，根据到角两边的距离相等的点在角平分线上，可证平分，根据，可知，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可以求出的长度． 【详解】解：如下图所示，过点作，， 平分， ， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 故答案为：. 13． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，连接，由等腰三角形的性质可得，，，证明，得出，再结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵在等腰三角形中，，是边上的中线，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．①②③⑤⑥ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、角平分线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．由等边三角形的性质可得，，，从而可根据得到，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由可得，结合、可得到，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到，结合可知为等边三角形，因此，结合平行线的判定可判断②的正误；④没有条件证出，得出④错误；⑤，⑤正确；即可得出结论． 根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出，根据角平分线的判定定理可判断⑥其正误；根据题意无法证明与全等，据此可判断⑦的正误． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，结论①正确． ， ， 又， ， ， 在和中，， ， ，结论③正确； 又， 为等边三角形， ， ，结论②正确． ， ， ， 结论⑤正确． 没有条件证出，④错误； 过点作于，于， ， ，， ， ， 平分， 故⑥正确，符合题意； ，，， 不能说明与全等， ， 故⑦错误，不符合题意 综上，可得正确的结论有4个：①②③⑤⑥． 故答案为：①②③⑤⑥． 15．(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图，熟知角平分线的性质及其尺规作图方法是解题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可； （2）过点D作于H，则，再根据列式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，过点D作于H， ∵平分，，， ∴， ∴ ． 16．(1) (2)2 【分析】本题主要考查角平分线的性质，三角形的面积公式的计算，掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可求出的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解的度数； （2）根据角平分线的性质，作于于，由此可得，再根据三角形的面积计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：过点D作，垂足为F，过点D作，垂足为H， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 的面积， 故的面积为2． 17．(1)①②，③． (2) 【分析】本题考查了角平分线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形的面积的应用，能求出是解此题的关键． （1）先选择条件与结论，再根据角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质证明即可； （2）先求出的周长，再求出的周长即可． 【详解】（1）方法一：条件是：①②，结论是：③． 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴ ， ∴， 同理， ∴； 故答案为：①②，③． 方法二：条件是：①③，结论是：②； 证明：∵， ∴ ， ∵平分； ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴平分， 故答案为：①③，② ； 方法三：条件是：②③，结论是：①． 证明：∵， ∴ ∵平分， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴平分； 故答案为：②③， ①（答案不唯一）. （2）∵的周长 ； ∴的周长． 18．(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质及角平分线的定义． （1）根据已知条件证明出，再用“”证明即可； （2）由（1）得出，，通过，得出，再用“”证明，得到，即平分． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． 19．(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理和全等三角形的性质和判定，掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． （1）根据得，再根据是的角平分线得，再证明即可得到与的数量关系； （2）过点P作于E，于F，由（1）得，再证明即可得到与的数量关系． 【详解】（1）解：与的数量关系是， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下， 过点P点作于E，于F，如图， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定（三线合一、等边对等角），全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质（斜边中线等于斜边的一半、勾股定理），三角形面积公式，掌握知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到一组角相等，结合等腰三角形和公共边，通过证明，从而得到，再根据等边对等角推出． （2）先由等腰三角形三线合一得到且，再结合直角三角形斜边中线性质得到，进而推出，最后结合角相等推出，从而得到． （3）先证明是等腰直角三角形，设；再利用勾股定理、三角形面积公式求出的长度；最后在中，根据勾股定理列方程求解x， 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴． （2）解：延长交于点M，连接，如图， ∵平分 ∴，且， ∵，M是中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点D作于点N，连接，如图， 设． ∵ ∴，， ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 设，则，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∵ ∴ 解得． 在中，， ∴． ∴， 在中， 由勾股定理，得 ，即， 展开得， 解得． ∴的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $