1.1三角形内角和定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《1.1三角形内角和定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在中，若，则（    ）． A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形 2．如图，在中，是边上一点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，的顶点C在直线b上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一副直角三角板如图摆放，点E落在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．用一副分别含有角的直角三角板按如图的方式摆放中，图中A、F、C、E在一条直线上，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 6．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是 A．如图①所示，过点作 B．如图②所示，过点作 C．如图③所示，过点作、垂足为点 D．如图④所示，过边上点作， 7．如图，中，，．若、分别是的高和角平分线，且交点为O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知，，，则的度数为 ． 9．已知：如图，在中，，直线分别交、、的延长线于点、、，若，则 ． 10．如图，在中，点在上，，现将中的折过去，使顶点落在点处，为折痕，且交于点，若，则的大小为 ． 11．如图，，，，，则的度数等于 ． 12．如图，在四边形ABCD中，，在、上分别取一点M、N，使的周长最小，则 ． 13．定义：若三角形的两个内角和满足，则称这样的三角形为“奇异互余三角形”．在中，，，是射线上一点，若是“奇异互余三角形”，则 14．如图，在中，、分别平分、，、分别平分、，若，则 ． 三、解答题 15．如图，在中，是边上的高，平分，，，求和的度数． 16．如图，将四边形纸片沿折叠，点落在处，若，则的度数是多少？    17．如图，D是延长线上一点，E是上一点，与相交于点． (1)求的度数： (2)求的度数． 18．如图所示，在和中，，，． (1)求证：； (2)若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 19．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在上，，． (1)证明：． (2)如图2，分别作分别作与的平分线交于点F，若，求的度数； (3)如图3，点P，G分别在线段，上，连接，作的平分线交于点Q，若点H是线段上一点，连接，且．设，，，求，，之间的数量关系． 20．已知直线与相交于点O，点E，F分别在射线和上． (1)如图1，，平分，平分，求的度数； (2)如图2，平分，平分，的反向延长线交于点； ①若，则__________度（直接写出结果，不需说理）； ②若，求的度数（请写出完整的推理过程）． (3)如图3，点在的延长线上，的角平分线，的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于点P、Q，若的某一个内角是的2倍；请直接写出的度数． 参考答案 1．解：∵（已知）， 又∵（三角形内角和定理）， ∴（代入）， 即， ∴， ∴是直角三角形． 故选：D． 2．B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键；因此此题可根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故选B． 3．D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，根据平行线的性质求出，根据对顶角的性质得出，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，根据平行线的性质求出，根据角的和差关系求出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．结合三角形外角性质，根据平行线的判定定理与性质定理求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ， ， ， ， 故选：C． 6．C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．作出相应的平行线，把三角形的三个内角转化到同一条直线上，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：如图①所示，过点作， ，， ， 故图①能证明“三角形内角和是”， 故A选项不符合题意； 如图②所示，过点作， ，， ， 故图②能证明“三角形内角和是”， 故B选项不符合题意； 如图③所示，过点作、垂足为点， 只能证明， 故图③无法证明“三角形内角和是”， 故C选项符合题意； 如图④所示，过边上点作，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 故图④能证明“三角形内角和是”， 故D选项不符合题意． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，求出，，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．先根据全等三角形的对应角相等，得，再由三角形内角和定理即可解答． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 9．32 【分析】本题考查了三角形外角性质，以及三角形内角和定理，利用三角形外角性质求出，再结合三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：是的外角，， ． 在中，， ． 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查折叠的性质，分为在外和在内两种情况，利用角的和差求出的度数，然后根据折叠求出，然后根据角的和差解答即可． 【详解】解：当在外时，， 由折叠可得， ∴； 当在内时，， 由折叠可得， ∴； 综上所述的度数为或， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，先由三角形内角和定理可得，再由得到，最后根据三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出的位置是解题关键． 要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于 和的对称点，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作出A关于 和的对称点，连接，交于M，交于N，则即为的周长最小值． ∵， ∴， ∵由轴对称的性质可得： 且 ∴ ， 故答案为：． 13．或或 【分析】本题主要考查了“奇异互余三角形”的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质等知识，理解新定义“奇异互余三角形”是解题关键．根据“奇异互余三角形”的定义，分三种情况：当点P在延长线上，，则，当点P在延长线上，时，则，当点P在线段上时，，，分别求出结果即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 分三种情况讨论， 如图，当点P在延长线上，，则， 此时， 即， ∴①， ∵②， 由，可得， ∴； 如图，当点P在延长线上，时，则， 此时，即， ∴③， ∵④， ∴得， ∴； 如图，当点P在线段上时，，， ∴， ∴此时； 综上所述，的所有可能的度数为或或． 故答案为：或或． 14． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．根据三角形的内角和定理得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理解题即可． 【详解】解： ， ， 、分别平分、， ，， 又 、分别平分、， ，， ， ， 故答案为：． 15．， 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形高的定义，根据三角形内角和定理可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据三角形高的定义和三角形内角和定理可得的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵是边上的高， ∴． ∴． ∴． 16． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的定义，根据翻折变换的性质和平角的定义求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，    ∵四边形纸片沿折叠，点A落在处， ∴， ∵， ∴， 在中，． 答：的度数是． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． （1）根据三角形外角的性质可得，据此代值计算即可得到答案； （2）根据三角形外角的性质可得 ，据此代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，内错角相等两直线平行，直角三角形的两个锐角互余，角平分线的有关计算，平行公理推论的应用，两直线平行内错角相等，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形内外角之间的有关计算是解题的关键． （1）由三角形的内角和定理可得，利用已知条件，及等式的性质可得，根据内错角相等两直线平行即可得证； （2）由直角三角形的两个锐角互余及已知条件可得，由与的平分线交于点可得，过作，由平行公理推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由即可得出答案； （3）设，则，，由（1）可得，利用平行线的性质可得，，由三角形外角的性质可得，，由、可得，利用等式的性质消去即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：， 又，， ， ； （2）解：，， ， 与的平分线交于点， ，， ， 如图，过作， 由（1）可得：， ， ，， ； （3）解：如图，当在线段上， 设，则，， 由（1）可得：， ，， ， ， ，，，的平分线交于点Q， ，， 由、可得： ， ，，之间的数量关系为：． 20．(1) (2)①；② (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得的结果，再由角平分线的定义可推出的结果，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）①设，由三角形内角和定理可得，则由平角的定义可得，由角平分线的定义可推出，则，据此由三角形内角和定理可得答案；②同（2）①求解即可； （3）由角平分线的定义和三角形外角的性质可证明；根据角平分线的定义和三角形内角和定理可求出， 则可得到；再分和两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：①设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $