精品解析：河北省八校2026届高三上学期模拟考试数学试题

2026届高三年级上学期模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的定义域求出集合，根据交集的运算即可求出答案. 【详解】令，解得， 所以， 又， 所以. 故选：C. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即可得，即可得答案. 【详解】由题意知复数z满足， 故， 故，则的虚部为2， 故选：B 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据半角公式得，所求式子可化为，代入即可求出答案. 【详解】因为， 所以， ， 故选：A. 4. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用向量夹角公式求解. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，分别为轴，过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是弧的中点，所以，又， 则，，，， 所以，， 所以，即， 所以异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 5. 主动降噪耳机通过产生与噪声相位相反、振幅相同的声波实现降噪．若噪声声波曲线为，，则理想抗噪声波曲线为．现因系统处理延迟，实际抗噪声波曲线为则下列选项中，使合成声波曲线（合成声波曲线＝噪声声波曲线＋抗噪声波曲线）的振幅最接近的的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式、辅助角公式、同角的三角函数关系、二倍角公式化简计算即可. 【详解】已知噪声声波曲线为，实际抗噪声波曲线为， 所以合成声波曲线为： . 合成声波曲线的振幅为： . 因为，所以，，则. 令，所以，所以， 因为在上单调递减，，所以， 所以合成声波曲线的振幅最接近的的取值为. 故选：A. 6. 已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立直角坐标系，设点根据数量积得出，再根据重心得出，再应用两点间距离公式得出，最后平方化简得出的最大值即可求解. 【详解】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作与C的一条渐近线平行的直线，交C的左支于点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，表示出直线的方程与双曲线方程联立求出交点P的横坐标，同理表示直线的方程与双曲线方程联立也求出交点P的横坐标，由此可得的关系式，即可求得答案.. 【详解】由题意，不妨取双曲线的一条渐近线为，， 设，则直线的方程为， 与双曲线方程 联立得， 解得，即P点横坐标为， 又因为， 所以直线的方程为， 与联立解得，即P点横坐标也为， 所以，即，即， 所以， 故选：B 8. 已知函数，有4个不同的实数根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出的图象，可得，，，求得，令，，求导判断的单调性，得解. 【详解】作出的图象如图， 因为方程有4个不同的实数根，且， 所以，且， 则，， 所以，，，， 所以，， ，令，， 则， ，，， ，，， 所以，， 所以，即在上单调递减， ，即，故. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差是5 B. 这组数据的中位数是4.5 C. 这组数据的第80百分位数是5.5 D. 这组数据的方差是4.25 【答案】BD 【解析】 【分析】把数据从小到大排序，结合极差、中位数，百分位数，以及平均数和方差的计算公式，逐项计算求解，即可得到答案. 【详解】根据题意，把数据从小到大排序，可得，共有8个数， 对于A，这组样本数据的极差为，所以A错误 对于B，根据数据中位数的定义，可得样本数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由，所以样本数据的第80百分位数为数据的第7个数， 即第80百分位数为，所以C错误； 对于D，由平均数的计算公式，可得， 所以方差为： ，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过且斜率为的直线与交于点（在第一象限），过点作轴，为垂足，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 点共圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意可设直线为，与抛物线方程联立后根据根与系数的关系结合斜率公式可计算得到直线的斜率之和为，进而判断A选项；由可计算得到值，代入即可判断B选项；根据斜率公式列出直线的斜率，然后将值代入即可判断C选项；结合C选项可知与的外接圆有相同的圆心和半径，进而判断D选项. 【详解】依题意，，设过且斜率为的直线为，，则，， 由，得，所以， ； 对于A，因为直线的斜率分别为，， 所以 ，所以，故A正确； 对于B，由，得，即，即，即； 因为，所以，所以，，解得； 所以，又，所以，即，即，故B错误； 对于C，， 因为，所以 ，所以，故C正确； 对于D，在中，因为，所以的外接圆的圆心为斜边的中点，半径为的一半； 由C选项知，在中，，所以的外接圆的圆心也是斜边的中点，半径为的一半； 所以与的外接圆有相同的圆心和半径，即点共圆. 故选：ACD. 11. （多选）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由已知条件得出数列为等比数列，根据条件写出数列的通项公式即可得出选项A，由数列的通项公式把的通项公式写出来，然后利用放缩法分析得出选项B，利用放缩法、裂项相消法分析得出C选项，先分析时的情况，再利用放缩法，结合等比数列求和公式分析时的情况，最后得出选项D. 【详解】由得：数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以，故A选项正确； 由，则， 故B选项不正确； 由， 所以， 所以， 所以 ，故C选项正确； 当时，成立， 当时，， 所以 ， 综上所述：，故D选项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由已知可得，进而计算可求. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 所以，所以； 所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式各项的意义可求解. 【详解】因为的项可以由展开式中含的项与1的乘积构成， 又展开式中的项为； 因为的项可以由展开式中含的项与的乘积构成， 又的展开式中含的项为， 所以的展开式中的项为. 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 14. 已知，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】对已知条件进行变形，结合同构法构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值即可. 【详解】由，得，即. 取函数，，则. 因为，所以在上单调递增， 所以，即，所以. 记，，则. 令，则，解得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可求得的值. （2）先利用余弦定理求出的值，再利用余弦定理求出的值，然后利用勾股定理的逆定理求出，再求解. 【小问1详解】 中，， 由余弦定理得： ，即， 解得. 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理得：. 在中， ，由余弦定理得：. 即，得. 又，所以. 故. 16. 如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． （1）求三棱锥的外接球球心的位置． （2）线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）的中点 （2）存在，M为上靠近点的四等分点 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定定理证明，取的中点，结合和可得到，，，的距离相等，即得三棱锥的外接球球心； （2）建系后设点，分别求平面和的法向量，由两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为，，，平面ABCD， ，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以， 由题可得，，则，，又， 在中，由余弦定理可得， 由，可得，因为，平面，， 所以平面，又平面，所以， 取的中点，由和是直角三角形， 知到，，，四点的距离相等， 所以三棱锥的外接球球心为的中点. 【小问2详解】 由题可得，，两两垂直，故以为坐标原点， 分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，， ，，， 假设存在点M满足题意，设，，则， 设平面的一个法向量为， 则，故可取 设平面的法向量， 则，故可取. 因为二面角为直二面角，所以， 即，解得，所以M为上靠近点的四等分点. 故存在一点M，使得二面角为直二面角， 此时M为上靠近点的四等分点. 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若有2个极值点，且极大值为正数，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增，在上单调递减； 当 时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当 时，在，上单调递增，在上单调递减； （2）或 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据参数的值进行分类讨论，结合导数的符号与函数单调性的关系即可求得；（2）根据题意可知有两个不同的正根，结合（1）可判断或和函数的极大值，再根据极大值为正数即可进行求解. 【小问1详解】 依题意，，， 当时，， 由，得，所以在上单调递增； 由，得，所以在上单调递减； 当时，由，得，或， ①当，即时， 由，得或，所以在，上单调递增； 由，得，所以在上单调递减； ②当，即时，，所以在上单调递增； ③当，即时， 由，得或，所以在，上单调递增； 由，得，所以在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 因为有2个极值点，且极大值为正数，所以有两个不同的正根； 由（1）知，或； 当时，的极大值点是；令，则； 因为，所以， 所以的极大值为； 设，则，所以在上单调递增； 又，，即，所以，即，解得； 当时，的极大值点是，的极大值为； 因为，所以，因此符合题意； 综上，的取值范围是或. 18. 一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． （1）求第2次摸球时，摸到白球的概率； （2）求第n次摸球时，摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合分类与分步计数原理，即可求解. （2）设第次摸球时摸到红球为事件，则；当时，.设第次摸球时红球的数量为，则、，进而，即可求解. 【小问1详解】 根据题意，若第一次摸出红球，则第二次摸出白球的概率； 若第一次摸出白球，则第二次摸出白球的概率. 综上，第二次摸出白球的概率. 【小问2详解】 设第次摸球时，摸到红球为事件，则. 当时，， 第1次摸球时袋子中有5个球，之后每次摸球时袋子中都会比上次增加1个球， 所以第次摸球时袋子中有个球. 设第次摸球时红球的数量为，则，得， 所以. 同理可得， 所以， 所以. 综上，第次摸球时，摸到红球的概率为. 19. 定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆． 已知椭圆． （1）利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明） （2）已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧． （ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值． 参考公式：椭圆上一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）（ⅰ）存在；或或或. （ⅱ）由（ⅰ）知，， 直线 方程为， 根据题意知， 所以， 因为， 所以, 所以定值为. 【解析】 【分析】（1）结合椭圆标准方程求，再根据蒙日圆的定义求圆的方程； （2）（ⅰ）根据提示得到直线 的方程，联立椭圆的方程可得点 和点的坐标；求出直线方程，跟椭圆的方程联立可得点 和点的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，即根据对角线和 中点重合求解，最后验证直线和坐标轴垂直的特殊情况； （ⅱ）利用点到直线的距离公式求点 和点到直线 的距离，计算乘积，化简求值即可. 【小问1详解】 由椭圆 知，长半轴长与短半轴长 ， 由蒙日圆定义知，半径， 所以的蒙日圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）如图所示，设，，，，, 中点为， 中点为， 依题意，切线，切线，则， 所以直线 方程为， 联立，消去得， 则，即知， 所以 中点. 当都不为0时，设直线方程为 ， 代入椭圆方程得，整理得，则， 解得， 由点和点在点的同侧，则，， 由，得 中点. 若四边形为平行四边形，则满足对角线 和 互相平分， 即点和点坐标相同，故， 令，则，解得或 （舍去）， 所以，即， 由，联立，解得， 所以点坐标为或或或. 经验证当 或时，四边形不是平行四边形， 所以点存在，点坐标为或或或. （ⅰⅰ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三年级上学期模拟考试 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在试卷和答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 本试卷共19题，满分150分．考试用时120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 已知，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 如图，是圆O的直径，垂直于圆O所在的平面，，P是弧的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 主动降噪耳机通过产生与噪声相位相反、振幅相同的声波实现降噪．若噪声声波曲线为，，则理想抗噪声波曲线为．现因系统处理延迟，实际抗噪声波曲线为则下列选项中，使合成声波曲线（合成声波曲线＝噪声声波曲线＋抗噪声波曲线）的振幅最接近的的取值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（ ） A. 4 B. 3 C. D. 7. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过作与C的一条渐近线平行的直线，交C的左支于点P，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，有4个不同的实数根，，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知一组样本数据为7，1，3，4，5，1，5，6，则下列说法中正确的是（ ） A. 这组数据的极差是5 B. 这组数据的中位数是4.5 C. 这组数据的第80百分位数是5.5 D. 这组数据的方差是4.25 10. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过且斜率为的直线与交于点（在第一象限），过点作轴，为垂足，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 点共圆 11. （多选）已知数列满足，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，则______． 13. 的展开式中的系数为______． 14. 已知，，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角的对边分别为，，，． （1）求； （2）若为上一点，且，求． 16. 如图，多面体ABCDEF中，四边形CDEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，，，，，． （1）求三棱锥的外接球球心的位置． （2）线段CD上是否存在一点M，使得二面角为直二面角？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由． 17. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若有2个极值点，且极大值为正数，求的取值范围. 18. 一个不透明袋子中装有大小、材质均相同的3个白球和2个红球．有放回地进行摸球，每次摸1个球，若摸到白球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的白球；若摸到红球，再往袋子中放入1个大小、材质均相同的红球． （1）求第2次摸球时，摸到白球的概率； （2）求第n次摸球时，摸到红球的概率． 19. 定义：在一个椭圆中，椭圆的任意两条相互垂直的切线，其交点的轨迹在一个圆上，这个圆是以椭圆的中心为圆心，以椭圆的长半轴长与短半轴长的平方和的算术平方根为半径的圆，称为蒙日圆． 已知椭圆． （1）利用定义写出的蒙日圆的标准方程．（不需要证明） （2）已知点为圆上任意一点，过点作的两条切线，切点分别为,为坐标原点，直线交于两点，且点和点在点的同侧． （ⅰ）是否存在点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ⅱ）设点到直线的距离分别为，，求证：为定值． 参考公式：椭圆上一点处的切线方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $