精品解析：湖南省永州市零陵区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

2025年下期八年级期末考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共120分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子属于分式的是 （ ） A. B. C. D. 2. 多项式 的公因式是（ ） A. a B. C. D. 3. 中国科学院物理研究团队近期成功研制出单原子层铋、锡、铅等二维金属，其厚度仅为米（埃），约为头发丝直径的二十万分之一，这是国际上首次实现大面积稳定二维非层状金属的制备，开创了二维金属材料研究新领域．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式方程化为整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为假命题的是 （ ） A. 三角形的外角和等于 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D. 全等三角形的对应边上的高相等 7. 如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 9. 学校劳动基地有一块用篱笆围成的三角形菜地，其平面图如图所示，其中篱笆完好，其长度分别为，另一篱笆部分破损，仅剩篱笆可用，现要重新将这三角形菜地围好，则在破损的篱笆之间补接的新篱笆的长度可能为（ ） A. B. C. D. 10. 利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（ ） A. 21226 B. 12262 C. 26212 D. 62212 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 12. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 13. 已知长方形的长为，宽为，其面积为______． 14. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 15. 同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 16. 已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形______对． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）分解因式：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． （1）求证： ； （2）若，， 求的度数． 20. 如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 21. 年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 22. 如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． （1）试判断图中构成的的形状，请说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 23. 对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． （2）若 与 互为“相伴分式”，求x的值； （3）若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 24. 已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． （1）以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； （2）如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期八年级期末考试 数 学 注意事项： 1．本试卷共120分，考试时量120分钟． 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 3．考试结束后，只交答题卡． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子属于分式的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是关键． 分式的定义是分母中含有字母的式子，选项C的分母含有字母x，符合分式定义；其他选项的分母均为常数，不是分式． 【详解】解：分式需满足分母中含有字母， 选项A：，分母为数字，不是分式； 选项B：，分母为数字，不是分式； 选项C：，分母含有字母x，是分式； 选项D：，分母为常数，不是分式． 故选：C． 2. 多项式 的公因式是（ ） A. a B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可． 【详解】解：多项式的公因式是； 故选A． 3. 中国科学院物理研究团队近期成功研制出单原子层铋、锡、铅等二维金属，其厚度仅为米（埃），约为头发丝直径的二十万分之一，这是国际上首次实现大面积稳定二维非层状金属的制备，开创了二维金属材料研究新领域．请将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，的值等于原数中第一个非零数字所在的小数位数，确定与的值是解题的关键．根据科学记数法表示较小的数的方法即可求解． 【详解】解：． 故选：A． 4. 下列为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式：被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D、是最简二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 将分式方程化为整式方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，两边同乘分母的最简公分母，消去分母即可． 【详解】解： 两边同乘，得， 故选：D． 6. 下列命题为假命题的是 （ ） A. 三角形的外角和等于 B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 C. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 D. 全等三角形的对应边上的高相等 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，涉及三角形外角和，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质，根据知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、三角形的外角和为，原说法错误，是假命题，符合题意； B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，原说法正确，是真命题，不符合题意； C、角的平分线上的点到角的两边的距离相等，原说法正确，是真命题，不符合题意； D、全等三角形的对应边上的高相等，原说法正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 7. 如图，在中，，点D为斜边上的中点，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质，含30度角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先求出，然后求出，证明出是等边三角形，即可得到． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵点D为斜边上的中点， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴． 故选：B． 8. 公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾， 弦， 则小正方形的边长是 （ ） A. B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理—以弦图为背景的计算题． 先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形的面积，进而利用算术平方根求出边长． 【详解】解：勾， 弦， 股， 小正方形的面积：， 小正方形的边长为：， 故选：B． 9. 学校劳动基地有一块用篱笆围成的三角形菜地，其平面图如图所示，其中篱笆完好，其长度分别为，另一篱笆部分破损，仅剩篱笆可用，现要重新将这三角形菜地围好，则在破损的篱笆之间补接的新篱笆的长度可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，能够利用三角形三边关系确定第三边的取值范围是解答本题的关键．设在篱笆上接上新的篱笆长度为，由，求出的取值范围，即可解答． 【详解】解：设在篱笆上接上新的篱笆长度为， 根据题意得：，，， ，即， ， 在篱笆上接上新的篱笆的长度可以为． 故选：B． 10. 利用“因式分解”可以设计密码．我们约定将多项式因式分解得到的每个因式代入数值进行运算，取其绝对值，将得到的数组合，从中选出最大的数，即为密码．如 ，当x取3，y取4时，各因式的绝对值分别为， 组合可得到1725， 1257， 7125， 7251， 2517， 2571， 其中最大的数7251，即为密码．对于多项式．，当x取12，y取14时，其密码为（ ） A. 21226 B. 12262 C. 26212 D. 62212 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，先进行因式分解，再根据题干给定方法，进行求解即可． 【详解】解：∵， 当x取12，y取14时，，，， ∴三个数为12、2、26． 所有组合数字：12226、12262、21226、22612、26122、26212，其中最大数字为26212． ∴ 密码为26212， 故选C． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件事被开方数大于等于，据此求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 12. “等边对等角”的逆命题是________________________________． 【答案】等角对等边 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理，交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题． 【详解】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边； 故答案为：等角对等边． 13. 已知长方形的长为，宽为，其面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算、平方差公式的运算等，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据长方形的面积公式即可求解． 【详解】解：该长方形的面积为． 故答案为：． 14. 如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为______． 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 15. 同学们在物理实验中用蜡烛探究小孔成像的原理，发现小孔在某一位置时，．已知蜡烛火焰成的像的高度为，则蜡烛实际的火焰的高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的 判定和性质是解题的关键．利用可证，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵由图可知，和为对顶角， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 16. 已知，如图， 点为的平分线上的点， 连接； 如图，点为的平分线上的两点， 连接；如图，点为的平分线上的三点， 连接 依此规律，第个图形中总共有全等三角形______对． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对全等三角形的判定以及图形变化规律，关键是根据已知图形得出规律．由图可知，第个图形，共有1对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，第个图形，共有对全等三角形，依此规律，第个图形，共有对全等三角形． 【详解】解：图中，当有点D时，有1对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 图中，当有点时，有对全等三角形， 当有个点时，图中有对全等三角形， 故第个图中有点，全等三角形的对数为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法运算、综合提公因式和公式法因式分解等，熟练掌握二次根式的运算法则和因式分解的方法是解题的关键． （1）先将二次根式化成最简式再相减即可求解； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：（1）， ， ； （2）， ， ． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：原式= = =， 当时，原式==． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 19. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． （1）求证： ； （2）若，， 求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明角相等． （1）根据可得，再加上条件，．可利用定理证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【小问1详解】 解：， ，即． 在和中， ， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ，， ． 20. 如图，在中，，， 边的垂直平分线分别交，于点，，连接，， 求的度数及边的长． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟记等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质是解题的关键．先根据三角形的内角和定理和等腰三角形的等边对等角性质可以求出的度数，再根据垂直平分线定理得出，，然后求出外角，最后根据等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵的垂直平分线分别交，于点，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 年月日，永州队夺得“湘超”冠军，他们用拼搏诠释了“永冲锋”精神．为推动我市足球运动新的热潮，某文旅公司在“湘超”期间两次购进“永冲锋”吉祥物产品进行销售，第一次用元购进的吉祥物比第二次用元购进吉祥物的数量多个，且第二次购进的吉祥物的单价是第一次购进吉祥物的单价的倍，请问该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为多少元? 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，确定相等关系与不等关系列方程或不等式是解本题的关键．设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元，根据第一次购进的吉祥物比第二次购进吉祥物的数量多个的数量关系列分式方程，化简求解后并检验，最终得出第一次购进的单价． 【详解】解：设该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元，则第二次购进单价为元． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该文旅公司第一次购进“永冲锋”吉祥物的单价为元． 22. 如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． （1）试判断图中构成的的形状，请说明理由； （2）两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】（1） 是直角三角形． 理由如下：因为， 所以，所以是直角三角形； （2）方案一所铺设的管道总长较短，理由如下： 因为的， 所以（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： （千米）， 因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 对于两个分式，如果，那么我们称分式与分式互为“相伴分式”．结合以上信息，完成下列各题． （1）下列互为“相伴分式”的是______；（填序号） ① 与 ；②与 ． （2）若 与 互为“相伴分式”，求x的值； （3）若 与 互为“相伴分式”，且为正整数，求整数的值． 【答案】（1）② （2）或 （3）或或或． 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法、解一元一次方程、解分式方程，熟练掌握运算法则并理解题意是解此题的关键． （）根据“相伴分式”(两分式差的绝对值为)的定义，计算各选项中两个分式的差值，判断其绝对值是否等于，进而选出符合条件的选项； （）依据定义列出含的方程，合并同分母分式后去分母转化为整式方程，求解后验证分式有意义； （）根据“两分式差的绝对值为”分两种情况列方程，整理后结合为正整数、为整数的条件，分析方程中未知数的约数情况，求解并筛选出符合要求的值． 【小问1详解】 解：①  ∵； ∴①的两个分式不互为“相伴分式”． ②． ∵对于两个分式，如果，那么我们称分式互为“相伴分式”． ∴②的两个分式互为“相伴分式”． 故答案为：②； 【小问2详解】 解：∵与互为相伴分式， ∴或， 由，解得，经检验：是原方程的解， 由，解得，经检验：是原方程的解， ∴或 【小问3详解】 解：∵与互为相伴分式， ∴或， ①由，解得， 所以是的约数， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴或1或7， 当时，，； 当时，，； 当时，，； ∴当或或时，或或； 经检验：或或是原方程的解； ②由，解得， ∵为正整数，为整数， ∴， ∴， ∴，； 经检验：是原方程的解． 综上所述，或或或． 24. 已知，如图1，直线l是线段的垂直平分线，垂足为点D，是以点B为端点的射线． （1）以为一边，过点A作， 另一边与直线l交于点C，连接． ①如图2， 若， 则的长为______； ②如图3，当射线时，过点C作于点E，过点A作于点F．求证：； （2）如图4，在射线上取一点P，连接，作的平分线交直线l于点N， 作于点G， 连接． 请问 是否为定值?如果是，请求出定值并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）①2；②见解析 （2）是，定值为2，见解析 【解析】 【分析】（1）①证明是含30度的直角三角形，可得出结论；②证明是等边三角形，得，，证明，得，，得，得，得，即可； （2）由角平分线性质得，证明，得，证明，得，可得，得，即可得出答案． 【小问1详解】 解：（1）①∵直线l是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2； ②∵点C是线段垂直平分线上的点， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又， ∴，， ∴． ∴， ∴， 【小问2详解】 过点N作于点Q， ∵平分 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $