2025-2026学年湖北省黄冈市英山县长冲中学九年级上学期数学期末模拟试题

2025-2026年湖北省黄冈市英山县九年级上学期数学期末模拟试题 一．选择题（共10小题） 1．镂空砖雕是我国传统建筑装饰艺术的重要形式，以青砖或水泥为材料，通过透雕技法形成镂空图案，兼具实用性与文化内涵．下列镂空砖雕图案中是轴对称图形不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 3．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝55°，则∠2的大小为（　　） A．35° B．55° C．110° D．125° 4．已知点A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）均在反比例函数（m为常数）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞5 D．m＜5 5．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最值，下列说法正确的是（　　） A．最大值为1 B．最小值为﹣1 C．最大值为2 D．最小值为2 6．在下列方程中没有实数解的是（　　） A．x2+x+2＝0 B．x+y＝0 C． D． 7．若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 8．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四个点，则（　　） A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②△BOA≌△BOF；③BD+AG＝AB．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边BC、边CD向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．有下列结论：①当t＝7s时，BP＝CQ；②当0＜t＜5时，△BPQ的面积逐渐增大；③动点运动过程中，△BPQ的面积最大值为32cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 二．填空题（共8小题） 11．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，则m2﹣3m+4＝　 　 ． 12．将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝2．三角板ABC固定不动，将小三角板DBE绕点B顺时针在平面内旋转，当点C，E，D在同一条直线上时，线段CD的长为　 　 ． 13．请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：　 　 ． 14．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　 　 ． 15．已知在高度h0处以初速度v0竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式gt2表示，其中g为重力加速度，g≈10m/s2．若小明将一个小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为　 　 m． 16．已知抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1开口向下，那么m的取值范围是　 　 ． 17．如图，⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，若A（﹣3，﹣4），则点B的纵坐标是　 　 ． 18．若抛物线和两坐标轴的交点分别为（0，2），（m，0），（m+6，0），当时，总有y＞2，则m的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x＝3． 20．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）被分为4个等级：A等级90≤x≤100，B等级80≤x＜90，C等级70≤x＜80，D等级60≤x＜70．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有　 　 人，他们成绩的中位数落在　 　 等级； （2）B等级有　 　 人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为　 　 ； （3）若竞赛成绩x≥90为优秀，请估计全校2000名学生中成绩达到优秀的有多少人； （4）九年一班满分的学生为两名男生和两名女生，教务处从这四名满分同学中随机抽取两名学生向全校学生宣传宪法，请用列表或画树状图法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21．如图，已知AD＝CB，点E，F在线段BD上，且DE＝BF．请你从①∠D＝∠B；②AF＝CE中选择其中一个选项作为已知条件，使得△ADF≌△CBE． （1）你选的条件为　 　 （只填写一个序号）； （2）添加条件后，证明AF∥CE． 22．电影《疯狂动物城2》热映后，朱迪和尼克的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家12月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《疯狂动物城2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 23．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　 　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　 　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　 　 ，则不等式的解集为 　 　 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+3的图象与反比例函数为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，m）、B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数的图象上的点，连接OP、CP，已知△OCP的面积为3，求点P的坐标． 25．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由． 26．综合与探究 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，AC＝n，且m，n满足，|n﹣8|＝0，D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE，点F恰好落在边AB上． （1）求边AB的长； （2）如图1，若D为AC的中点．求证：∠BFE＝∠DEF； （3）如图2，若F为AB的中点． ①试猜想线段BE，AD与DE之间的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段BE的长． 2025-2026年湖北省黄冈市英山县九年级上学期数学期末模拟试题 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C C A A A D C 一．选择题（共10小题） 1．镂空砖雕是我国传统建筑装饰艺术的重要形式，以青砖或水泥为材料，通过透雕技法形成镂空图案，兼具实用性与文化内涵．下列镂空砖雕图案中是轴对称图形不是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【解答】解：A、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； C、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．汉语是中华民族智慧的结晶，成语又是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于随机事件的是（　　） A．旭日东升 B．画饼充饥 C．守株待兔 D．竹篮打水 【分析】根据事件发生的可能性大小判断 【解答】解：A、旭日东升，是必然事件，不符合题意； B、画饼充饥，是不可能事件，不符合题意； C、守株待兔，是随机事件，符合题意； D、竹篮打水，是不可能事件，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3．如图，直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，若∠1＝55°，则∠2的大小为（　　） A．35° B．55° C．110° D．125° 【分析】根据“两直线平行，同位角相等”即可解得∠2的大小． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1＝55°， ∴∠2＝55°， 故选：B． 【点评】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键． 4．已知点A（﹣4，y1）、B（﹣1，y2）均在反比例函数（m为常数）的图象上，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞5 D．m＜5 【分析】根据反比例函数的性质，比较点A和点B的纵坐标大小关系，通过解不等式得到m的取值范围． 【解答】解：由题意得，，， ∵y1＞y2， ∴， 解得m＞5， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 5．关于二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的最值，下列说法正确的是（　　） A．最大值为1 B．最小值为﹣1 C．最大值为2 D．最小值为2 【分析】二次函数的顶点式为y＝a（x﹣h）2+k，其最值由系数a的符号决定：当a＞0时，抛物线开口向上，函数有最小值k，当a＜0时，抛物线开口向下，函数有最大值k，本题中函数为y＝﹣（x﹣1）2+2，对应顶点式可知：a＝﹣1＜0，所以抛物线开口向下，顶点坐标为（1，2），因此函数有最大值，即可求出最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2中，a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当x＝1时，（x﹣1）2＝0，此时函数取得最大值2， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数顶点式的最值性质，熟练掌握二次函数顶点式中系数a的符号对开口方向和最值的影响是解题的关键． 6．在下列方程中没有实数解的是（　　） A．x2+x+2＝0 B．x+y＝0 C． D． 【分析】利用一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，分式方程的解，一元一次方程的解判断即可． 【解答】解：A．Δ＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，所以方程没有实数解，故符合题意； B．当x＝0，y＝0时，x+y＝0，故不符合题意； C．方程两边都乘x﹣3，得x2＝9，解得：x＝±3，经检验，x＝﹣3是原方程的解，故不符合题意； D．x，解得x，故不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，二元一次方程的解，分式方程的解，一元一次方程的解，熟练掌握这些方程的解法是关键． 7．若一个正方形的对角线长为4cm，则它的面积是（　　） A．8cm2 B．16cm2 C．32cm2 D．72cm2 【分析】利用公式“正方形面积等于对角线平方的一半”直接计算． 【解答】解：∵正方形对角线长为4cm，且面积， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查正方形的面积与对角线的关系，掌握其相关知识点是解题的关键． 8．已知抛物线y＝x2+bx+c的图象经过A（﹣2，0），B（4，0），C（﹣3，y1），D（3，y2）四个点，则（　　） A．y1＞0＞y2 B．y1＞y2＞0 C．y1＜0＜y2 D．0＜y1＜y2 【分析】由条件可知抛物线与x轴两个交点为A（﹣2，0），B（4，0），开口向上，据此判定即可． 【解答】解：由条件可知抛物线与x轴两个交点为A（﹣2，0），B（4，0），开口向上， ∴当﹣2＜x＜4时，y＜0， ∴y1＞0，y2＜0， ∴y1＞0＞y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠BOD＝45°；②△BOA≌△BOF；③BD+AG＝AB．其中正确的结论是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【分析】利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出∠BOA＝∠BOF可证明△BOA≌△BOF（ASA），进而可判断②；延长FO交AB于H，分别证明△AOH≌△AOG（ASA）和△BOD≌△BOH（ASA），利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【解答】解：①∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点O， ∴，， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ACB+∠ABC+∠BAC＝180°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°． ∴ ＝45°， ∴∠BOD＝∠ABO+∠BAO＝45°，故①正确； ②∵∠BOD+∠BOA＝180°，∠BOD＝45°， ∵∠BOA＝180°﹣∠BOD＝180°﹣45°＝135°． ∵OF⊥AD， ∴∠DOF＝90°， ∴∠BOF＝∠BOD+∠DOF＝45°+90°＝135°， ∴∠BOA＝∠BOF， 在△BOA和△BOF中， ∴△BOA≌△BOF（ASA），故②正确； 如图所示，延长FO交AB于H， ∴∠AOG＝∠AOH＝90°， 在△AOH和△AOG中， ， ∴△AOH≌△AOG（ASA）， ∴AG＝AH，OG＝OH， ∴∠BOH＝180°﹣∠BOD﹣∠DOF＝45°， ∴∠BOH＝∠BOD＝45°， 在△BOD和△BOH中， ， ∴△BOD≌△BOH（ASA）， ∴BD＝BH，OH＝OD， ∴AB＝AH+BH＝AG+BD，即BD+AG＝AB，故③正确； 综上所述，其中正确的结论是①②③． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 10．如图，矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝12cm．动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动：动点Q以相同的速度，从点B出发沿边BC、边CD向终点D运动．两点同时开始运动，规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．有下列结论：①当t＝7s时，BP＝CQ；②当0＜t＜5时，△BPQ的面积逐渐增大；③动点运动过程中，△BPQ的面积最大值为32cm2．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】当t＝7s时，求出BP和CQ的长即可判断①，求出0＜t＜5时，△BPQ的面积表达式即可判断②，分别求出点Q在BC和CD上时△BPQ的面积最大值即可判断③． 【解答】解：由题知， 当t＝7s时， BP＝16﹣2×7＝2（cm），CQ＝2×7﹣12＝2（cm）， 所以BP＝CQ． 故①正确； 当0＜t＜5时，点P在AB上，点Q在BC上， 则PB＝（16﹣2t）cm，BQ＝2tcm， 所以2t2+16t＝﹣2（t﹣4）2+32， 则当0＜t＜4时，△BPQ的面积随t的增大而增大， 当4＜t＜5时，△BPQ的面积随t的增大而减小， 故②错误； 当0＜t＜6时，， 则当t＝4时，△BPQ的面积最大值为32cm2． 当6≤t≤8时，12t+96， 则当t＝6时，△BPQ的面积最大值为24cm2， 所以△BPQ的面积最大值为32cm2． 故③正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值及矩形的性质，能根据题意得出△BPQ的面积与t的关系式是解题的关键． 二．填空题（共8小题） 11．已知m是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的根，则m2﹣3m+4＝　8　 ． 【分析】将x＝m代入原方程，可得出m2﹣3m＝4，再将其代入m2﹣3m+4中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2﹣3m﹣4＝0， ∴m2﹣3m＝4， ∴原式＝4+4＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 12．将一大一小两个三角板按照如图所示的方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝2．三角板ABC固定不动，将小三角板DBE绕点B顺时针在平面内旋转，当点C，E，D在同一条直线上时，线段CD的长为　或　 ． 【分析】根据∠B＝30°，BE＝AC＝2，结合含30°角的直角三角形的性质求出BC，DE，然后对D、E在BC下方时和D、E在BC上方时两种情况进行分类讨论，求出CD． 【解答】解：在直角三角形ABC中，∠ACB＝∠DEB＝90°，∠B＝30°，BE＝AC＝2， ∴AB＝4， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 如图1，当D、E在BC下方时： 根据旋转的性质可知∠BED＝90°，且点C，E，D在同一条直线上， 在Rt△BEC中，由勾股定理得：， 故； 如图2，当D、E在BC上方时： 同理可知，在Rt△BEC中，， 故． 综上所述，线段CD的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键． 13．请写出在每一个象限内y随x的增大而增大的反比例函数表达式：　（答案不唯一）　 ． 【分析】根据反比例函数的性质，当比例系数k＜0时，y随x的增大而增大，选取适当的k值即可． 【解答】解：由条件可知k＜0， 选取k＝﹣1，则， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 14．不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为　　 ． 【分析】直接利用概率公式解答即可． 【解答】解：∵不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 15．已知在高度h0处以初速度v0竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式gt2表示，其中g为重力加速度，g≈10m/s2．若小明将一个小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为　7　 m． 【分析】将h0＝2、v0＝10代入公式h＝﹣5t2+v0t+h0，得到二次函数，再利用顶点公式求最大值． 【解答】解：小球从距离地面2m的高处以10m/s的初速度竖直向上抛出，将h0＝2、v0＝10代入公式gt2，得： h＝﹣5t2+10t+2＝﹣5（t﹣1）2+7， ∵﹣5＜0， ∴当t＝1时，h取最大值，最大值为7， ∴该小球达到的离地面的最大高度为7m， 故答案为：7． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 16．已知抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1开口向下，那么m的取值范围是m＜1　 ． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m﹣1＜0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1的图象开口向下， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解题的基础． 17．如图，⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，若A（﹣3，﹣4），则点B的纵坐标是　﹣8　 ． 【分析】连接OA，作AC⊥y轴交y轴于点C，由A（﹣3，﹣4）和垂径定理，可得BC＝OC＝4，再由图可知点B在y轴的负半轴上，即可解答． 【解答】解：连接OA，作AC⊥y轴交y轴于点C，如图， ∵⊙A经过原点O（0，0），交y轴于点B，A（﹣3，﹣4），AC⊥y轴， ∴AC＝3，BC＝OC＝4， ∴OB＝BC+OC＝8， ∵点B在y轴的负半轴上， ∴点B的纵坐标是﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了垂径定理，坐标与图形性质，熟练掌握垂径定理是解题的关键 18．若抛物线和两坐标轴的交点分别为（0，2），（m，0），（m+6，0），当时，总有y＞2，则m的取值范围是 　m＜0　 ． 【分析】根据抛物线与x轴的交点求出抛物线的对称轴，然后求出y＝2时的另一个解，根据这个解与0的大小关系分类讨论，判断抛物线的开口方向，列出关于m的不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线过点（m，0），（m+6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝m+3， ∵抛物线过点（0，2）， ∴当y＝2时，另一个解为：x＝2m+6， ∵当时，总有y＞2， ∴m+2＞0， ∴m＞﹣4， ∴2m+6＞﹣2， 当2m+6＞0时，即m＞﹣3时，要使y＞2恒成立，需要抛物线开口向下， ∴m+2≤2m+6，m＜0， ∴m＜0， 当2m+6＝0时，（0，2）是抛物线的顶点，此时需要抛物线开口向上，但与抛物线与x轴有交点矛盾； 综上所述，m的取值范围是m＜0． 故答案为：m＜0． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，根据与x轴的交点判断抛物线的对称轴是本题解题的关键． 三．解答题（共8小题） 19．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣2x＝3． 【分析】（1）先算算术平方根，负整数指数幂，去绝对值，零指数幂，再算加减； （2）用因式分解解方程即可． 【解答】解：（1） ＝3+2﹣（π﹣3）+1 ＝5﹣π+3+1 ＝9﹣π； （2）∵x2﹣2x＝3， ∴x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查实数运算和解一元二次方程，解题的关键是掌握相关的运算法则和因式分解的方法． 20．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）被分为4个等级：A等级90≤x≤100，B等级80≤x＜90，C等级70≤x＜80，D等级60≤x＜70．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： （1）本次抽取的学生共有　50　 人，他们成绩的中位数落在B 等级； （2）B等级有　20　 人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为　10%　 ； （3）若竞赛成绩x≥90为优秀，请估计全校2000名学生中成绩达到优秀的有多少人； （4）九年一班满分的学生为两名男生和两名女生，教务处从这四名满分同学中随机抽取两名学生向全校学生宣传宪法，请用列表或画树状图法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【分析】（1）由题意知，本次抽取的学生共有50（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第25、26个数据的平均数，求解作答即可； （2）由（1）知B等级的人数；根据扇形统计图中D等级所占总人数的比例乘以100%，计算求解即可； （3）根据2000，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【解答】解：（1）由题意知，本次抽取的学生共有50（人）， ∴B等级人数为50×40%＝20（人），A等级人数为50﹣20﹣9﹣5＝16（人）， ∵成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：50，B； （2）由（1）知B等级的人数为20人； ∵D等级的人数为5人， ∴， ∴扇形统计图中D等级所的百分比为10%； 故答案为：20，10%； （3）∵2000640（人）， ∴估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数为640人， 答：全校2000名学生中成绩达到优秀的人数为640人； （4）由题意画树状图如下； 共有12种等可能的结果，其中抽到一名男生和一名女生的结果数为8， ∵ ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点评】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的百分比，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． 21．如图，已知AD＝CB，点E，F在线段BD上，且DE＝BF．请你从①∠D＝∠B；②AF＝CE中选择其中一个选项作为已知条件，使得△ADF≌△CBE． （1）你选的条件为　①或②　 （只填写一个序号）； （2）添加条件后，证明AF∥CE． 【分析】（1）两个条件都可以添加； （2）利用SAS或SSS证明三角形全等可得结论． 【解答】（1）解：利用SAS证明三角形全等可以添加①∠D＝∠B；利用SSS证明三角形全等可以添加②AF＝CE． 故答案为：①或②； （2）证明：若添加①∠D＝∠B． ∵DE＝BF， ∴DF＝BE， 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴AF∥CE； 若添加②AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， ， ∴△ADF≌△CBE（SSS）， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴AF∥CE． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质 22．电影《疯狂动物城2》热映后，朱迪和尼克的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家12月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． （1）求12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． （2）为庆祝《疯狂动物城2》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【分析】（1）设12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x，利用该网购平台商家12月6日销售玩偶的数量＝该网购平台商家12月4日销售玩偶的数量×（1+12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设每个玩偶降价y元，则每个玩偶的销售利润为（50﹣y﹣30）个，日销售量为（320+5y）个，利用日总利润＝每个玩偶的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝338， 解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去）． 答：12月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率为30%； （2）设每个玩偶降价y元，则每个玩偶的销售利润为（50﹣y﹣30）个，日销售量为（320+5y）个， 根据题意得：（50﹣y﹣30）（320+5y）＝5940， 整理得：y2+44y﹣92＝0， 解得：y1＝2，y2＝﹣46（不符合题意，舍去）． 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23．小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数的图象与性质．类比反比例函数的研究方法，过程如下： （1）列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ 　4　 ； x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 … y … 2 3 m 6 6 4 3 2 … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，如图画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）下列关于函数的说法，正确的有 　③④　 ． ①函数图象分别位于一、三象限；②当x＜0时，y随x的增大而减小； ③函数图象关于y轴对称；④函数值始终大于0； （3）已知直线y＝x+4与图象的交点坐标为 　（2，6）　 ，则不等式的解集为 x＜0或0＜x＜2　 ． 【分析】（1）m4，描点连线绘制函数图象即可； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误；③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确，即可求解； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）；②观察函数图象即可求解． 【解答】解：（1）m4， 描点连线绘制函数图象如下： 故答案为：4； （2）从函数图象看：①函数图象分别位于二、四象限，故①错误；②当x＜0时，y随x的增大而增大，故②错误； ③函数图象关于y轴对称，故③正确；④函数值始终大于0，故④正确， 故答案为：③④； （3）①绘制函数y＝x+4的图象，从图象看，交点坐标为（2，6）； ②从函数图象看，不等式的解集为x＜0或0＜x＜2， 故答案为：①（2，6）；②x＜0或0＜x＜2． 【点评】本题通过反比例函数的知识，考查学生的猜想探究能力，正确理解题意，作出函数图象是解题的关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+3的图象与反比例函数为常数，且k≠0）的图象交于A（﹣1，m）、B两点，与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式； （2）点P是反比例函数的图象上的点，连接OP、CP，已知△OCP的面积为3，求点P的坐标． 【分析】（1）将点A（﹣1，m）代入一次函数表达式，求出m＝6，再将A（﹣1，6）代入反比例函数表达式求出k的值； （2）利用一次函数的表达式求出点C的坐标，根据△OCP的面积为3，求出点P的横坐标，代入反比例函数求出点P的坐标． 【解答】解：（1）由条件可得m＝﹣3×（﹣1）+3＝6， ∴点A的坐标为（﹣1，6）， 将A（﹣1，6）代入反比例函数得： ， 解得，k＝﹣6， ∴． （2）由条件可得点C的坐标为（0，3），即OC＝3， ∵， ∴|xP|＝2，即xP＝2或xP＝﹣2， 在反比例函数中，当x＝2时，； 当x＝﹣2时，， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，3）． 【点评】本题考查反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识的解题关键． 25．如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标； （3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形？若存在，求出满足条件的点P，Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设，则G（t，﹣t+4），可得，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）根据题意，设，结合B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线交点坐标，利用中点坐标公式列方程组求解即可求P，Q点坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A，B（0，4），C（4，0）三点， ∴将B（0，4），C（4，0）代入y＝ax2+x+c得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为； （2）设直线BC的函数解析式为y＝kx+b， 将B（0，4），C（4，0）代入y＝kx+b得： ， 解得：， ∴直线BC的函数解析式为y＝﹣x+4， 过点E作EG∥y轴交BC于点G，如图所示： 设，则G（t，﹣t+4）， ∴， ∴， ∴当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）； （3）存在点P，使得四边形PQBC是平行四边形． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， 由题知，B（0，4），C（4，0）， 设， ①当PQ为平行四边形的对角线时， ， 解得： ∴，Q（1，）； ②当PB为平行四边形的对角线时， ， 解得：， ∴，Q（1，）； ③当PC为平行四边形的对角线时， ， 解得： ∴，Q（1，）， 综上所述：P点坐标为，Q（1，）或，Q（1，）或，Q（1，）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数、二次函数最值、平行四边形性质及中点坐标公式等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 26．综合与探究 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝m，AC＝n，且m，n满足，|n﹣8|＝0，D，E分别是边AC，BC上的动点，连接DE．将△DCE沿直线DE折叠得到△DFE，点F恰好落在边AB上． （1）求边AB的长； （2）如图1，若D为AC的中点．求证：∠BFE＝∠DEF； （3）如图2，若F为AB的中点． ①试猜想线段BE，AD与DE之间的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段BE的长． 【分析】（1）由二次根式和绝对值的非负性可求得m、n的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，DC＝DF，EF＝EC，∠DFE＝∠C＝90°，根据中点的性质结合等边对等角，得到∠DFA＝∠A，进而得到∠B＝∠BFE，得到BE＝EC，点E是BC的中点，再根据中位线的性质结合平行线的性质即可得证； （3）①过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H，连接DH，证明△BEF≌△AHF（AAS），得到EF＝FH，BE＝AH，证明△DEF≌△DHF（SAS），得到DE＝DH，在Rt△ADH中，根据勾股定理得到AH2+AD2＝DH2，然后等量代换即可得解；②过点F作FM⊥AC、FN⊥BC，利用F是AB中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【解答】（1）解：∵m，n满足，，|n﹣8|≥0， ∴m﹣6＝0，n﹣8＝0， ∴BC＝m＝6，AC＝n＝8， 在△ABC中，∠C＝90°， ∴； （2）证明：如图，连接CF交DE于点Q， ∵△DCE沿DE折叠得△DFE， ∴CD＝DF，CE＝FE，DE垂直平分CF， ∴DE⊥CF， ∵D为AC中点， ∴CD＝AD， ∴DF＝AD， ∴∠DAF＝∠DFA， ∵CD＝DF， ∴∠DCF＝∠DFC， ∵∠DAF+∠DFA+∠DCF+∠DFC＝180°， ∴2∠DFA+2∠DFC＝180°， ∴∠DFA+∠DFC＝90°即∠CFA＝90°， ∴CF⊥AB， ∵DE⊥CF， ∴DE∥AB， ∴∠BFE＝∠DEF； （3）解：①BE2+AD2＝DE2，理由如下： 如图，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H，连接DH， ∵∠C＝90°，即BC⊥AC， ∴BC∥HA， ∴∠BEF＝∠AHF，∠B＝∠FAH， ∵F为AB的中点． ∴BF＝AF， ∴△BEF≌△AHF（AAS）， ∴EF＝FH，BE＝AH， ∵∠DFE＝90°， ∴∠DFE＝∠DFH＝90°， 在△DEF和△DHF中， ， ∴△DEF≌△DHF（SAS）， ∴DE＝DH， 在Rt△ADH中，AH2+AD2＝DH2， ∴BE2+AD2＝DE2； ②如图所示，过点A作AH⊥AD交EF延长线于点H，过点F作FM⊥AC于M，过点F作FN⊥BC于N，连接CF， ∵F为AB中点，∠C＝90°， ∴CF＝AF＝BF＝5， ∵FN⊥BC，FM⊥AC， ∴∠FNB＝∠FMA＝∠FNC＝∠FMC＝90°， ∵∠A+∠AFM＝90°，∠B+∠A＝90°， ∴∠B＝∠AFM， ∵BF＝AF， ∴△BFN≌FAM（AAS）， ∴BN＝MF，AM＝FN， ∵∠FMA＝∠ACB＝90°， ∴MF∥BC， ∴∠NCF＝∠MFC， ∵CF＝CF，∠FNC＝∠FMC＝90°， ∴△FCN≌△CFM（AAS）， ∴MF＝CN，CM＝FN， ∴BN＝CN，CM＝AM， ∵BC＝6，AC＝8， ∴，BN＝CN＝MF＝3， 设DM＝x，则DF＝CD＝CM﹣DM＝4﹣x， 在Rt△FDM中，DF2＝DM2+FM2， 即（4﹣x）2＝x2+32， 16+x2﹣8x＝x2+9， 解得， ∴， ∴， 设CE＝y，则BE＝6﹣y， 由①知，BE2+AD2＝DE2， 又∵CE2+CD2＝DE2， ∴BE2+AD2＝CE2+CD2， 即， 解得， ∴． 【点评】本题主要考查了二次根式与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/26 16:22:59；用户：郭海松；邮箱：13597576921；学号：39987097 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $