贵州安顺市2025-2026学年第一学期期末教学质量监测高二数学试题

保密★启用前 全市各普通高中2025一2026学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。 3.请在答题卡相应位置作答，在试卷上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 陈 确的 1.直线√3x+y一1=0的倾斜角为 A晋 R晋 C 2π 9 D. 2若F(2,0)为双曲线E:一y=1的右焦点，则E的渐近线方程为 Ay=士2x B.y=士3x C.y=±√5x D.y=3 2 3.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 封 A.b+c,b,b-c B.a+b,a-b,c C.a-b,b-c,c-a D.a+b,a+b+c,c 4.在等比数列{an}中，a3=3,a2=27,则a5= A.8 B.±8 C.9 D.土9 5.“a=-1”是“直线x十ay十1=0与直线x-ay-7=0垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC,AB=AC=CC1,E,F分别是A1B1,A1C1的中点， 则AE与BF所成角的余弦值是 线 A B零 c D 7.已知数列{an}的前n项和为Sn,a+1一a+1an=l,S1o=50,则首项a1的值可能为 A.2 B号 C.0 D.-1 8.已知椭圆C之+号=1(Q>b>0)的左右焦点分别为F,F2,过右焦点F,的直线与C交 于A,B两点，且AB=4AF2,BF·AB=0,则椭圆C的离心率为 A.2 c号 D 2 【高二数学◆第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.记Sn为等差数列{an}的前n项和，d为{an}的公差，S3=12,a3=6,则 A.d=2 B.ag=18 C.So=72 10.如图，平行六面体ABCD-A1B,C,D1的底面是菱形，CD=CC1=2,∠ABC=∠ABB1= ∠CBB1=60°.下列说法正确的是 A.BD1=BA十BC+BB1 B.BD1=24 C.BD1⊥AC D.三棱锥D1-B1AC的体积为？ 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F作直线l与抛物线C交于A,B两 点，O为坐标原点，则下列结论正确的是 A.力=2 B.OA⊥OB C若AF=2,则△4OB的面积是2 D.IAF|+2BF|的最小值为3+2W2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分」 12.已知圆C1:x2+y2+8x=0,圆C2:x2+y2-6y=0,则圆C1与圆C2的位置关系 是▲ 13.已知A(1,0,1),B(0,1,0),C(1,1,1),则点C到直线AB的距离是▲ 14.瑞典数学家科赫在1904年构造了能描述雪花形状的图案，就是数学中一朵美丽的雪花 “科赫雪花”.它的绘制规则如下：任意画一个正三角形P1,并把每一条边三等分，以三等分 后的每边的中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线P2.重复 上述两步，画出更小的三角形，一直重复，直到无穷，形成雪花曲线P3,P4,…,Pm… P P 设雪花曲线Pn的边长为an,边数为bn,周长为Cn,面积为Sn,若P1的边长a1=1,给出下 2W3 列结论：①a,=;②6：=768；国数列(C,}是等比数列；④S,<5,正确结论的序号 是▲ 【高二数学。第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知圆心为C的圆经过A(0,1),B(2,3)两点，且圆心C在直线x一y一1=0上， (1)求圆C的方程； (2)过点P(4,2)作圆C的切线l,求切线l的方程. 16.(本小题满分15分) 已知A(一1,0)，B(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是4. (1)求点M的轨迹C的方程. (2)过点N(1,1)能否作一条直线l与轨迹C交于P,Q两点，且N是线段PQ的中点？若 能，求出直线！的方程；若不能，说明理由. 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,△PAD是边长为2的等边三角形， 底面ABCD为直角梯形，其中BC/∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1. (1)设M是棱PA的中点，连接BM,证明：BM平面PCD. (2)求平面PCD与平面PBC所成角的正弦值. ‘A 【高二数学◆第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分) 已知数列{am}的前n项和为Sn,且2Sn=3an一1(n∈N"). (1)证明：数列{an}是等比数列. (2)令bn=(2n一1)an,求数列{bn}的前n项和Tm, (3)在第(2)间的条件下，若对任意的n∈N:,不等式T,≥·3十号恒成立，求实数的取 值范围. 弥 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在坐标轴上，经过A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过点A作直线与椭圆C交于另一点D,求△ABD的面积的最大值，并求出取到最大 值时D的坐标； (3)不经过点A作斜率为k的直线l与椭圆C交于P,Q两点，记直线AP与直线AQ的斜 封 1 率分别为1k2,且k1,k2成等差数列，证明：直线l过定点.。 线 【高二数学g第4页（共4页）】全市各普通高中2025一2026学年度第一学期期末教学质量监测 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正 确的、 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 C D B C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分： 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12相胶1以号 14.②③④ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分》 解：(1)（方法一）设圆C的方程为(x-a)2+(y一b)2=r2, (0-a)2+(1-b)2=r2,1 a=2, 依题意得(2-a)2+(3-b)2=r2,则b=1, a-b-1=0, r=2, 所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 6分 (方法二)由A(0,1),B(2,3),得线段AB的中点坐标为(1,2)， 直线AB的斜率kAB= 3-1 一1 2-0 因此线段AB的垂直平分线的方程为y一2=一(x一1)，即x十y一3=0， 由垂径定理知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所以圆心C的坐标是方程组 x十y-3=0, 的解， x-y-1=0 x=2 解方程组得 所以圆心C的坐标是(2,1)， y=1. 所以圆C的半径r=|AC引=√(2-0)+(1-1)=2， 所以圆C的方程为(x一2)十(y一1)2=4.… …6分 【高二数学·参考答案◆第1页（共5页）】 (2)当直线1的斜率不存在时，1的方程为x=4,显然符合题意. …8分 当直线1的斜率存在时，设1的方程为y一2=k(x一4)，即kx一y一4k+2=0, 由圆心C(2,1)到直线1的距离等于半径2，得一2-2，解得=一3 k+1 4 故直线1的方程为y一2=-(x-4).即3x+4y一20=0.…12分 3 综上所述，直线l的方程为x=4或3x十4y一20=0.…13分 16.(本小题满分15分) 解：(1)设点M(x,y), 则直线AM的斜率kw=十x≠一1)，直线BM的斜率a一产女1)，…2分 由题意知w·=4,即子‘之一4，化简整理得x-Y 4 =1,…6分 所以点M的轨迹C的方程为x- =1(x≠士1).…7分 (2)假设存在符合题设的直线l,设P(xy1),Q(x2,y2), 好-=1， 则 两式相减整理得二y=4.十 xIx2 y1+y2 又因为N(1,1)为线段PQ的中点，所以x1+x2=2,y1+y2=2, 所以直线1的斜率k=二y2=4 x1-x2 由点斜式方程可知，直线l的方程为y一1=4(x一1)，即y=4x一3.…11分 y=4x-3, 由 x2y2,消去y,整理得12x一24x十13=0，(*) 判别式△=(-24)2-4×12×13=-48<0， 所以方程()无解，故直线1与轨迹C无交点，因此假设不成立， 故不存在过点N(1,1)的直线1，使得1与C交于P,Q两点，且N是线段PQ的中点.… …15分 17.(本小题满分15分) (1)证明：在四棱锥P-ABCD中，取PD的中点N,连接MN, 由M为PA的中点，且AD=2,BC=1, MN/AD/BC.MN-7AD-1-BC, 【高二数学·参考答案◆第2页（共5页）】 则四边形BCNM为平行四边形，所以BMCN. 而CNC平面PCD,BM在平面PCD, 所以BM∥平面PCD.… …7分 (2)解：取AD的中点O,连接PO,OC.由△PAD为等边三角形，得PO⊥AD, 而平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,POC平面PAD, 则PO⊥平面ABCD, 由AO=BC=1,AO∥BC,得四边形ABCO是平行四边形， 于是OCAB,而AB⊥AD,则OC⊥AD,直线OC,OD,OP两两 垂直， 如图，以O为坐标原点，OC,OD,OP所在直线分别为x,y,之轴B 建立空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),D(0,1,0),C(1,0,0),B(1,-1,0),P(0,0,W3), BC=(0,1,0),Cp=(-1,0√3)，CD=(-1,1,0). 设平面PBC的法向量为m=(x1,y1,之1)， m·BC=0,y1=0, 则m0=0,1-x1+51=0 即 取1=1，得m=(3,0,1). 设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,2), n·Cp=0, -x2十√3x2=0, 即 取之2=1，得n=(5,W5,1).…12分 设平面PCD与平面PBC所成的角为0， |m·n42√/7 则cos0=lcos(m,m>川=mn2/7 7 …14分 所以sm0=o0-1-(29)- 7 故平面PCD与平面PBC所成角的正弦值为一。 ……15分 18.(本小题满分17分) (1)证明：当n=1时，2S1=3a1-1,解得a1=1. 当n≥2时，由2Sn=3an一1，可得2Su-1=3an-1一1， 两式相减，可得2S,一2S,-1=(3aw一1)一(3aw-1一1)，化简得am=3am-1, 所以数列{an}是一个首项为1，公比为3的等比数列.…4分 (2)解：由(1)知数列{a,n}的通项公式为a,=3”-1, 则bn=(2n-1)an=(2n-1)·3”-1,.。 …6分 【高二数学·参考答案◆第3页（共5页）】 所以Tm=1×3°+3×31+5×32+…+(2m-1)×3”-1,① ①×3得，3Tm=1×3+3×32+5×33+…+(2m-1)×3”,② ①-②得，-2T,=1×3°+2×3+2×32+…+2X3"-1-(2-1)×3”, -2T。=1+2(3+3+…+3-1)-(2m-10×3=1+2×31-3"-) 1-3 -(2n-1)×3", 化简得T=(n-1)X3”十1.…10分 (3)解：由(2)知T,=(m-1)×3”+1,代入不等式T≥k·3”+2, 1 整理得k≤1-1十2·3 1 …12分 1 令cn=n-1十 2·3”, 则-=(a+2）(a-1+2)-1 由于nEN,因此3≥9，所以≤分所以c1一，=1 1 37>0, 即{C}是递增数列，……15分 所以(cn)n=c=6 ……16分 若对任意的n∈N*,不等式k≤cn恒成立，则≤(c)m=6, 所以实数k的取值范围是（一∞，6 …17分 19.(本小题满分17分) 1)解：依题意知椭圆C的焦点在x轴上，设椭圆C的方程为行+方=1(a>b>0）, c2y2 -2,b=l,所以椭圆C的方程为干1.…… (2)解：因为A(2,0),B(0,1),所以|AB|=√5， …4分 直线AB的方程为+y=1,即x+2y-2=0. …5分 因为D在椭圆C上，所以可设D(2cos0,sin0), 则D到直线AB的距离d=12cos0+2sin0-2 2Esim(0+)-2 5 5 所以△ABD的面积S=号1AB·d-号X5X 2m+)--mo+〉- 5 【高二数学·参考答案◆第4页（共5页）】 /2十1，…8分 当且仅当sin(0+不）)=一1时，等号成立， 所以2cos0=2cos(7+2kx)=-巨，s0=sin(+2张x)=- 2， 此时D的坐标为（一反，-号》。 所以△ABD的面积的最大值为反+1.取到最大值时D的坐标为（一反，一受）.1D分 (3)证明：依题意，设l的方程为y=kx+m, y=kx+m, 2 消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, +y2-1, 则△=(8km)2-4(1十4k2)(4m2-4)>0,即1+4k2>m2.…11分 8km _4m2-4 设P(c1y1),Q(x2y2),则由韦达定理得x十x?一1十4快x1一1+4h· …12分 1-2k2y2 因为k1=1 x2一2 所以k1+6,=》2十兰，红十m+,十m_21,-(26-m+x)一 x1-2x2-2x1-2x2-2 x1x2一2(x1十x2)+4 ,(*) 把x1十x2= 1十钻21一1十快代入(*)，化简整理得1十，= 8km 4m2-4 1 m+2k·…15分 因为1，后：成等差数列，所以十：名即m十2 2 m十2k友，所以m=-5 2 k, 此时直线1的方程为y=k(x-）,所以直线1过定点（号0）.…17分 【高二数学·参考答案◆第5页（共5页）】