精品解析：江苏省仪征中学2025-2026学年高二上学期月考（一）数学试卷

江苏省仪征中学2025-2026学年度第一学期高二数学（一） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程可知斜率,进而可得直线的倾斜角. 【详解】由直线方程可知斜率为. 故选：D 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，求得复数的代数形式，再利用虚部的定义可以求解. 【详解】因为， 所以， 所以复数的虚部为, 故选：C. 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】∵方程为双曲线，∴， ∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件， 故选：Ａ. 4. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 5. 抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数性质求出的顶点，利用抛物线的性质求出的准线，再求解距离即可. 【详解】由题意得，由二次函数性质得其顶点为 而，得到，故抛物线的准线方程为， 设抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为， 则，故D正确. 故选：D 6. 已知在递增的正项等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到是的两个实根，从而求得，再利用等比数列的通项公式求得，进而利用等比数列的片段和性质即可得解. 【详解】因为是递增的正项等比数列，所以， 又，，所以是的两个实根， 解，得或，所以， 所以由，得，得， 所以. 故选：B. 7. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，联立两圆方程即可得公共弦所在直线方程； 对于B，由弦长公式计算即可； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线，求出直线的方程即可判断； 对于D，求出坐标，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故错误； 对于B，设到直线：的距离为， 则有， 则弦长公式得：，故错误； 对于C，由题意可知线段中垂线为直线， 又因为，， 所以直线的方程为，故错误； 对于D，由，解得或， 取， 所以 所以， 所以，故正确. 故选：D. 8. 已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：， 化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离， 即，化简得，解得：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知等差数列满足，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 使得的的最小值为13 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件可得，公差，再结合等差数列性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由，得，等差数列的公差， 对于B，数列是递增数列，B正确； 对于AC，数列的前7项都为负，从第8项起为正， 因此，当时，取得最小值，A错误，C正确； 对于D，，因此使得的的最小值不为13，D错误. 故选：BC 10. 设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当变化时，恒过定点 B. 若，则在轴，轴上的截距之和为4 C. 若，则的斜率为1 D. 当时，点关于直线的对称点坐标为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将直线方程转化为，由解方程组即可；对于B，求出直线在轴，轴上的截距即可；对于C，化为斜截式即可得解；对于D，根据点关于直线的对称的求法，求得对称点的坐标. 【详解】对于A项，直线的方程为化为， 由，解得，所以直线恒过定点，A正确； 对于B项，时，，令，，令，， 此时在轴，轴上的截距之和为，B错误； 对于C项，由B项可知，故的斜率为1，C正确； 对于D项，时，， 设关于直线对称点坐标为， 则，解得， 即点关于直线的对称点坐标为，D错误. 故选：AC 11. 已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过抛物线的焦点 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 若点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设直线方程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，结合韦达定理求得可判断A；计算可得的中点到轴的距离为，可判断B；求出结合焦点弦公式求解可判断C；利用数量积夹角公式判断即可判断D. 【详解】对于A，设直线方程为，与联立得：， 故，因为，所以，解得， 即直线恒过点，故选项A正确； 对于B，设点M是的中点，，的中点，点到轴的距离为， 故以线段为直径的圆与轴相切，故B正确； 对于C，因为，且三点共线，则，所以， 代入中，得到，即， 所以，故C错误； 对于D，因为点，且，所以， 由对称性不妨设点A在第一象限，所以，，所以， 又，所以，所以， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：抛物线的相关结论， 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切； 中，过焦点的直线与抛物线交于两点，则以为直径的圆与轴相切，以为直径的圆与准线相切. 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 函数的导函数___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解 【详解】 故答案为： 13. 已知数列满足，且，则______ 【答案】1013 【解析】 【分析】利用数列递推式推出数列是常数列，求出数列的通项，即可求得答案. 【详解】由，可得，即数列是常数列， 因，则，即得，故. 故答案为：1013. 14. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出点的坐标，由对称性求出点的坐标，由题意可得出，可得出关于、的齐次等式，结合可求出的值. 【详解】如下图所示： 易知点、，直线的方程为， 联立解得，即点， 由椭圆的对称性可知，点与点关于轴对称，则， 所以，，且直线的斜率为， 由已知，则，则， 所以，，即， 等式两边同时除以可得， 因为，解得，解得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 设是实数，复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限． （1）求的取值范围； （2）若取整数，且关于的二次方程有实数根，求的值． 【答案】（1） （2）b＝0或b＝－2 【解析】 【分析】（1）由复数乘法法则化简复数为代数形式，得实部的虚部，再由对应点的位置得结论； （2）把方程左边整理成复数的代数形式，根据复数相等的定义列方程组求解． 【小问1详解】 ． 则－a－1＜0，且a－1＜0，解得－1＜a＜1． 故a的取值范围是． 【小问2详解】 因为－1＜a＜1，且a取整数，所以a＝0． 代入上述方程就是． 设实数根为，则，即． 根据复数相等的充要条件得，，消去得，． 解得b＝0，或b＝－2． 16. 已知数列中，，且（，且）. （1）求，的值； （2）证明：数列是等差数列，并求； （3）求数列的前项和为. 【答案】（1）， （2）证明: 因为（，且）， 所以，即， 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推公式代入求值即可； （2）根据等差数列的定义进行证明即可，根据等差数列的通项公式求出，进而求出； （3）利用错位相减法求和. 【小问1详解】 因为，， 所以，解得， 所以，解得； 【小问2详解】 证明略，； 【小问3详解】 ， ， 所以， 即 ， 所以. 17. 中，，边上的高所在直线的方程为，角的角平分线所在直线的方程为. （1）求所在的直线方程； （2）已知：直线（其中为参数），求直线被的外接圆截得的弦长最小值（其中为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，结合轴对称求出直线方程. （2）由（1）求出的外接圆方程，直线所过定点，再利用圆的性质求出最短弦长. 【小问1详解】 在中，由边上的高所在直线的方程为，得垂直于轴， 而，点在上，则， 设关于直线的对称点为，则，解得， 即点在直线上，直线的斜率， 所以直线所在的直线方程为，即. 【小问2详解】 由（1）得点，线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为，由得的外接圆圆心为， 该圆半径为，方程为， 由直线，得， 则，解得，因此直线过定点，，即点在圆内， 则直线与圆相交，当直线被圆截得的弦长最小时，直线， 所以直线被的外接圆截得的弦长最小值为. 18. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列． （1）若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由； （2）设数列是首项为-1公差为的等差数列，若该数列是P数列，求的取值范围． 【答案】（1） 因为，， 则， 当时，不适合上式，故， 那么当时，符合题意， 故数列是P数列. （2）． 【解析】 【分析】（1）求出数列的通项，根据P数列的定义判断即可； （2）由P数列定义建立不等式，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，该数列的前n项和为，， 由数列是P数列，可知，故公差， 对满足的任意n都成立， 则时，，明显成立； 时，令，解得， 故的取值范围为． 19. 已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程组，求解即可； （2）①写出直线的方程，与双曲线方程联立，求出弦长和点到的距离即可；②设，，当直线斜率不为0时，设，与双曲线方程联立，表示并化简得，根据为常数得出时；再验证当直线斜率时也满足即可. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，得 又因为渐近线方程为，所以， 解得，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 ①直线斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线得， ， 所以， 又点到的距离为， 故的面积为. ②设，， 当直线斜率不为0时，设，代入双曲线得， ，， 所以 ， 若为常数，则为常数，设为常数，则对任意的实数恒成立，，所以， 所以，此时. 当直线斜率时为，对于 所以，解得或（舍），所以在轴上存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省仪征中学2025-2026学年度第一学期高二数学（一） 一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，则在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的顶点到抛物线的准线的距离为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 6. 已知在递增的正项等比数列中，，，则（     ） A. B. C. D. 7. 圆和圆的交点为，则有（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 公共弦的长为 C. 线段中垂线方程为 D. 8. 已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9. 已知等差数列满足，记为的前项和，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 当时，取得最小值 D. 使得的的最小值为13 10. 设为实数，直线的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 当变化时，恒过定点 B. 若，则在轴，轴上的截距之和为4 C. 若，则的斜率为1 D. 当时，点关于直线的对称点坐标为 11. 已知为坐标原点，抛物线为抛物线上的两点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过抛物线的焦点 B. 以为直径的圆与轴相切 C. 当时， D. 若点，且，则 三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12. 函数的导函数___________. 13. 已知数列满足，且，则______ 14. 在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，上顶点为.连接并延长交椭圆于点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点.若，则椭圆离心率为__________. 四、解答题（共5小题，满分77分） 15. 设是实数，复数（是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限． （1）求的取值范围； （2）若取整数，且关于的二次方程有实数根，求的值． 16. 已知数列中，，且（，且）. （1）求，的值； （2）证明：数列是等差数列，并求； （3）求数列的前项和为. 17. 中，，边上的高所在直线的方程为，角的角平分线所在直线的方程为. （1）求所在的直线方程； （2）已知：直线（其中为参数），求直线被的外接圆截得的弦长最小值（其中为坐标原点）. 18. 对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列． （1）若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由； （2）设数列是首项为-1公差为的等差数列，若该数列是P数列，求的取值范围． 19. 已知为坐标原点，双曲线过点，渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）直线过点，与双曲线交于两点. ①若直线，求的面积； ②在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $