精品解析：湖南省邵阳市洞口县2025-2026学年八年级上学期期末质量监测数学试题卷

2025年秋季学期期末质量检测试卷 八年级数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列多项式可以提取公因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提取公因式是指多项式中各项有公共的因子，可以因式分解提出来．据此逐一检查各选项，只有B选项有公因式x． 【详解】解：A、无公因式，不符合题意； B、有公因式x，可分解为，符合题意； C、无公因式，不符合题意； D、无公因式，不符合题意． 故选：B． 2. 取怎样的实数，式子在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负． 【详解】解：∵ 有意义， ∴ ， ∴ . 故选：C． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，4 D. 2，3，5 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了组成三角形的条件，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，逐一验证各选项即可． 【详解】解：对于三条线段a，b，c，能组成三角形的条件是， ，． A∶ 2，2，2，有， ， ， 均成立，∴能组成三角形． B∶ 1，1，8，有，不满足三边关系，∴不能组成三角形． C∶ 1，2，4，有，不满足三边关系，∴不能组成三角形． D∶ 2，3，5，有，不满足三边关系，∴不能组成三角形． 故选A 4. 对于分式下列说法不正确的是（ ） A. 时，分式值为 B. 时，分式无意义 C. 时，分式值为负数 D. 时，分式的值为正数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质及乘法、加法运算，通过计算每个选项的左右两边，判断是否相等，即可判断仅选项D正确． 【详解】解：对于A: = 2 + 3 = 5，，∴ A错误，不符合题意； 对于B: ，∴ B错误，不符合题意； 对于C: ，∴ C错误，不符合题意 对于D: ，∴ D正确，符合题意， 故选：D． 6. 如图，直线，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理. 先求出，再根据三角形内角和求出结论即可． 【详解】解：如下图： ，， ， ， ， ， 故选：D． 7. 干冰升华吸热，使空气中的水蒸气冷凝形成白雾．在舞台上用干冰可以塑造出宛如仙境一般烟雾缭绕的奇妙效果．“干冰”其实是固态的二氧化碳，二氧化碳的分子直径约为，用小数表示为（ ） A. 0.000000035 B. 0.00000000035 C. 0.0000000035 D. 0.000000000035 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于1时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 8. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，扶手的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，过C作于E，则，． 【详解】解：过C作于E，则，， ， ， ， ， 故选：A． 9. 在中，的对边分别记为，且，请用因式分解判断，的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的定义．通过因式分解给定方程，得到，结合三角形边长为正数，推导出，从而判断三角形形状为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ 在中，边长大于0， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． 故选：D． 10. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，根据正方形的面积求出的长，勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； 故选C 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，解题的关键是识别多项式符合完全平方公式的形式，直接利用公式分解． 观察多项式，其符合完全平方公式的形式，其中，，直接代入公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式除法法则将除法运算转化为乘法运算，再通过约分得到计算结果． 【详解】解：原式 ． 13. 命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假，根据绝对值的定义，时，a的值可以是2或，因此命题不总是成立，进而可得答案． 【详解】解：∵当时，，但， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：假． 14. 若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，解决本题的关键是理解方程解的意义. 把方程的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解即可. 【详解】解：去分母得： 整理得： 因为分式方程的解为 故答案为：3． 15. 县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 【答案】3或7或10 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键．分情况，当E在线段上，或当E在线段延长线上，由证明这两个三角形全等，再结合对应边相等进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， 当E在线段上时， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 若， ∴， ∴， ∴（舍去）， 当E在线段延长线上时， 若， ∴， ∵， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴当或7或10秒时，与全等． 故答案为：3或7或10． 三、解答题（共8个小题，满分72分，第17、18、19、20、21、22题每小题8分，第23、24题每小题12分，除填空外都要写出必要的解题步骤与过程） 17. 利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 【答案】（1）15 （2）4049 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，正确因式分解是解答的关键． （1）先将原式化为，再整体代入求解即可； （2）利用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解： ． 18. 化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握分式乘除法的计算方法以及分式有意义的条件是正确解答的关键．根据分式乘除法的计算方法进行化简后，再根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解： 由于且， 所以当时，原式． 19. 如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； （2）求剩余木料的面积； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式即可求出两个小正方形的边长； （2）根据（1）中结论求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：两个小正方形的面积为和， 两个小正方形的边长为，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由（1）知大正方形的边长为：； ∴大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 答：剩余木料为． 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．求灯泡到地面的高度． 【答案】1.5m 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记定理内容即可． 【详解】解：如图2，根据题意得：法线垂直于平面镜，且， ∴ 在和中， ∴ ∴ 21. 将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点、、、．若，B、C两点表示的刻度分别是，， （1）求的度数． （2）求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，三角形的外角的定义及性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据三角形的外角的定义及性质，可得，再根据平行线的性质可得； （2）证明是等边三角形即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 又， 是等边三角形， ． B、C两点表示的刻度分别是，， ， ． 22. 古楼驿生态文化旅游区是洞口县集4A级景区、乡村振兴示范基地、红色旅游打卡点于一体的特色产业园区，近年来依托“茶旅融合”模式实现了产业升级．其游客中心销售甲、乙两种相同重量的古楼云雾茶礼盒．甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜60元，用1500元购买乙种茶叶礼盒数量与用1200元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； （2）某企业为外地考察团准备具有洞口地方特色的伴手礼，需要从该游客中心购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过2200元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 【答案】（1）甲种茶叶礼盒的单价是240元，乙种茶叶礼盒的单价是300元 （2）最少需购买4盒甲种茶叶礼盒 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，理解题意列出方程与不等式是解题关键； （1）设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元，根据等量关系：用1500元购买乙种茶叶礼盒数量与用1200元购买甲种茶叶礼盒数量相同，列出方程并求解即可，注意要检验； （2）设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒，根据不等关系式：总金额不超过2200元，列出不等式并求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种茶叶礼盒的单价是x元，则乙种茶叶礼盒的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：甲种茶叶礼盒的单价是240元，乙种茶叶礼盒的单价是300元； 【小问2详解】 解：设购买y盒甲种茶叶礼盒，则购买盒乙种茶叶礼盒， 根据题意得：， 解得：， 又y为整数， y的最小值为4． 答：最少需购买4盒甲种茶叶礼盒． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 【答案】（1） （2） （3）， 如图所示． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是运用数形结合的思想进行因式分解． （1）用两种方法表示出图2的面积，得出式子． （2）由得，，代入数据计算即可； （3）作出图形，根据图形进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：图2面积表示为：， 或表示为：， 所以有：． 故答案为：． 【小问2详解】 ， ． ． ， ． 【小问3详解】 略 24. 等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： （1）类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． （2）拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． （3）综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 【答案】（1） 解：问题1：． 证明：中，是边的中线， ， 和均为直角三角形， 分别是和斜边上的中线， ，， ， ； 问题2：． 证明：中，是边的中线， ，，， ， 分别是和的角平分线， ，， ， 又，， ， ； （2） 解：是线段的中点，理由如下： 如图，连接， 中，是边的中点， ， ， ， 又， 是中边的中线， 是线段的中点； （3） 证明：如图，连接，作交于点H， ，，E是边的中点， ，，， 和均为等腰直角三角形， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】（1）问题一：根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，再根据直角三角形斜边中线的性质，可得，，结合，可证；问题二：证明，可得； （2）连接，根据等腰三角形“三线合一”性质，可得，结合可得，再次利用“三线合一”，可得是中边的中线； （3）连接，作交于点H，可得和均为等腰直角三角形，先证，得出，，再证，得出，通过等量代换即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等，熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期期末质量检测试卷 八年级数学 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列多项式可以提取公因式的是（ ） A. B. C. D. 2. 取怎样的实数，式子在实数范围内有意义（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，2，2 B. 1，1，8 C. 1，2，4 D. 2，3，5 4. 对于分式下列说法不正确的是（ ） A. 时，分式值为 B. 时，分式无意义 C. 时，分式值为负数 D. 时，分式的值为正数 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 干冰升华吸热，使空气中的水蒸气冷凝形成白雾．在舞台上用干冰可以塑造出宛如仙境一般烟雾缭绕的奇妙效果．“干冰”其实是固态的二氧化碳，二氧化碳的分子直径约为，用小数表示为（ ） A. 0.000000035 B. 0.00000000035 C. 0.0000000035 D. 0.000000000035 8. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，扶手的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，的对边分别记为，且，请用因式分解判断，的形状一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 10. “出入相补”原理是中国古典数学理论的奠基人之一、魏晋时期伟大的数学家刘徽创立的．我国古代数学家运用出入相补原理在勾股定理证明、开平方、解二次方程等诸多方面取得了巨大成就．如图，是刘徽用出入相补法证明勾股定理的“青朱出入图”，其中四边形均为正方形．若，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 因式分解：______． 12. 计算：________． 13. 命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 14. 若关于的分式方程的解为2，则的值为______． 15. 县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 16. 如图，中，，，过点B作．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点的运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当以B，E，D为顶点的三角形与全等时，______s． 三、解答题（共8个小题，满分72分，第17、18、19、20、21、22题每小题8分，第23、24题每小题12分，除填空外都要写出必要的解题步骤与过程） 17. 利用因式分解求值． （1）已知，，求值． （2） 18. 化简，并在0、1、2中选一个恰当的数带入求值． 19. 如图，从一个大正方形木板上裁去面积为和的两个小正方形木料． （1）裁去的两块正方形木料的边长分别为_____和_____； （2）求剩余木料的面积； 20. 【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2．小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电简的灯泡在点G处，手电简的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点F到地面的高度，点A、点C到平面镜B点的距离相等．图中点A，B，C，D在同一条直线上．求灯泡到地面的高度． 21. 将含角的直角三角尺按如图方式放置在刻度尺上，与刻度尺一组互相平行的对边分别交于点、、、．若，B、C两点表示的刻度分别是，， （1）求的度数． （2）求的长． 22. 古楼驿生态文化旅游区是洞口县集4A级景区、乡村振兴示范基地、红色旅游打卡点于一体的特色产业园区，近年来依托“茶旅融合”模式实现了产业升级．其游客中心销售甲、乙两种相同重量的古楼云雾茶礼盒．甲种茶叶礼盒的单价比乙种茶叶礼盒单价便宜60元，用1500元购买乙种茶叶礼盒数量与用1200元购买甲种茶叶礼盒数量相同． （1）求甲、乙两种茶叶礼盒的单价； （2）某企业为外地考察团准备具有洞口地方特色的伴手礼，需要从该游客中心购进甲、乙两种茶叶礼盒共8盒，且总金额不超过2200元，请通过计算说明最少需购买多少盒甲种茶叶礼盒． 23. 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，通过计算几何图形的面积可以将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． （1）请把表示图2面积的多项式因式分解： ；（直接写出等式即可） （2）若， ， 为实数，，，利用（1）的结论求的值； （3）如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，可利用这些纸片将多项式因式分解，并画出图形． 24. 等腰三角形底边的中线有很多重要性质．数学活动课上，同学们围绕等腰三角形底边中线的性质开展了对以下系列问题的探究． 初步探究：如图，中，是边的中线，，， 为垂足．与是否相等呢？小明同学认为．他的理由如下： 因为，是的中点 所以也是的平分线， 因为，，所以． 这里运用了等腰三角形“三线合一”性质和角平分线性质．请运用相关知识继续完成对以下问题的探究： （1）类比探究 问题1：如图①，中，是边的中线，分别是和的中线．那么与相等吗？ 问题2：如图②，中，是边的中线，分别是和的角平分线．那么与相等吗？ 请你选择其中一个问题给出结论，并证明你的结论． （2）拓展探究 问题3：如图③，中，是边的中点．的边过点，且，，那么是线段的中点吗？请你说明理由． （3）综合探究 问题4：如图④，中，，，E是边的中点，、分别在、边上，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $