广东湛江市2025-2026学年高三上学期普通高考测试(一)数学试卷

湛江市2026年普通高考测试（一） 数学参考答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1.【答案】D 【解析】由题意得A={x|0<x<10},所以AUB={x|x>0},故选D. 2.【答案】A 【解析】由题意得，=1一i,4=十1iD=i,故选A ”z21-i2 3.【答案】B 【解析】因为a,b为单位向量，且a一b=√2，平方得a·b=0,所以|a十b|=√2，故选B. 4.【答案】A 【解析】由题意得号T-号-否-号故T-,所以1。一票=3，因为w>0,所以w=3,故选A 5.【答案】C 【解析】先取出同一主题的两个案例有C种取法，再从剩下的主题中取出2个主题，有C种方 法，最后再从中各取一个案例有C2C2种，由分步计数原理得，取法种数为C4CC2C2=48,故 选C. 6.【答案】B 【解析】因为an+1=√a十1，所以a+1=a十l,故{a}为等差数列，所以a=n. 1 bn= am+1十am√n+I+√n =Wn十1-√n, 所以Sn=√n十1-1，故S15=4-1=3,故选B. 7.【答案C D 【解析】以点D为原点，DA,DC,DD分别为x,y,之轴建立空问直角 E 坐标系.可得B(4,4,0),E(1,,4),F(2,4,4),C(0,4,0),则可得平面 BEF的一个法向量为m=(4,一1,2).点C到平面BEF的距离d= D. B心·ml=16②I,故选C. m 21 数学参考答案及评分参考第1页（共8页） 8.【答案】D 【解析】原不等式等价于2x+1一n≥(m十2)lnx.若m<一2，则曲线g(x)=(m十2)lnx必然有 一部分位于直线y=2x十1一n的上方，与原不等式恒成立相矛盾，所以m>一2（也可令x→0， +1一0≥nx,设函数f(x)=nx, g(x)→+∞>1一n进行排除).所以上述不等式等价于，n干2十，十2>≥ 直线：y千2十经过分析可知，代0单测递蜡，且直线1始终位于曲线的上方， 直线1经过点(2，十2)，则可得该点位于函数x)=1nx的“外部”，即可得，干2≥1h2,由此 即可得n一5、 品≤-1n2当直线1与f()相切于点(，导)时等号成立，此时m=2,n= 5-4ln2,故选I). 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BD 【解析】由题意得极差变小，平均数变大，原数据和新数据的中位数分别为2不，，故中位数 变大.原数据和新数据的80%分位数分别为，，故80%分位数变大，故选BD, 10.【答案】AC 【解析】由题意得f(-2x-1)=-f(2x-1),故f(x)关于(-1,0)中心对称，所以f(-1)=0, 因为f(x)是偶函数，所以f(1)=0,选项A正确；因为f(一x)=f(x),且f(x-1)= 一f(-x-1)=一f(x+1),所以f(.x一1)=f(x十3)，故f(x)的周期T=4,从而f(4)=f(0), 故选项B不确定；对f(一x)一∫(x)两边求导得一g(一x)=g(x),故g(x)为奇函数，故g(0)= 0,选项C正确；因为(x)关于（一1,0）中心对称，所以g(x)关于x=一1对称，由于周期T=4, 所以g(2n)=0,故选项D不确定，故选AC. 11.【答案】A(CD 【解析】因为渐近线l1:ay=bx,l2:ay=一bx互相垂直，所以两条直线的斜率分别为1和-1，从 而可得a=b,即可得双曲线C的离心率为√2，选项A正确；若△PFF2为等腰直角三角形，则 PF:上FR,且有PF,1=EF,,从而可得公=2c,所以a=2C,与离心率为N2矛盾，选项B错 误；因为直线l:y=x十1恒过定点(0,1)，当=士1时，直线l∥11或L∥1，当∈（一1,1)时， 直线1与直线1,2都相交，结合双曲线C与渐近线的关系，即可得此时直线l与双曲线C的两 支各有一个交点，选项C正确；根据双曲线的定义可知1PF,|-1PF,1=2a,得PE PF2 P形a=品+1<2品。十1，曲病心*为区可得6=a,代人上式即可得的最大 值为2√2十3，选项D正确.故选ACD. 数学参考答案及评分参考第2页（共8页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案) 【解折anle+经)-tane+经）"2，得an。-号，所以tam2a-品。一是 2tan a3 13.【答案】2√/2 【解析】点P到L2的距离等于点P到焦点F(0,1)的距离，点P到直线1，l2的距离之和的最小 值为焦点F到直线11的距离，即1一3=22. W/1+1 14.【答案】号 【解析】设p·B表示先解答A类最终通过解答B类问题结束游戏的概率，pB-B表示先解答B类 最终通过解答B类向题结束游戏的概率，通过题意可得，P=是0，P=专+号× 名P十号×-：计算可得p=号a8=专，则可得甲先通过解答A类刷题再通过解 1 答B类问题结束游戏的概率为子 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)如图，设AD=a,则BD=2a, 在△ABD中，由余弦定理得AB2=a2+4a2一4a”cos∠ADB,即3=3a2, 故a=1,… …2分 AD=1,BD=2.…3分 在△ABD中，由正弦定理得AD sin B sin∠ADB,即1=3 AB sin B …4分 √3 ∴sinB-2 6分 (2)如图，设AD=x,BD=DC=y, 在△ABD和△ADC中，由余弦定理得 (AB2=x2+y2-2xycos/ADB, …8分 AC2=x2+y2-2xycos/ADC, 「x2+y2-xy=3①， 即2+y+y=1@, 10分 ②-①，得2xy=4, xy=2,…12分 SAANC=2 SAAB-=2X号ysin∠ADB=月. ……………………………… 13分 数学参考答案及评分参考第3页（共8页） 16.解：(1)记育苗成功为事件A,移栽成活为事件B. 由题意得P(A)=p,P(B|A)=q, P(AB)-P(A)P(BIA)-P(BIA)-1-P(BIA)-1-- 所以q=p=号 2 …4分 设播撒300粒种子时育苗成功的种子数量为5， 根据题意可得gB(30,号），由此可得5(5)=n=30×号=20. 6分 (2)解法一：一粒种子种植成功概率为pq,“X=5”表示事件“恰好有5粒种子种植成功”， 所以P(X=5)=C(pg)(1-pg)=6(pg)5-6(pg)6.…9分 令q=t,设函数f(t)=6t5一6t(t∈(0,1))，…10分 .f(1)=614(5-6t).… 11分 当(0，吾)时，f)>0;当（骨，1）时，f()<0, ………………………… 13分 ∴f)在(0，吾)上单调递增，在(？1)上单调递减， …14分 ∴f)的最大值为f()）=(), 综上，X=5的概率P=6(p9)-6(pg),其最大值为()月 ，…15分 解法二：为了保证X=5,则6粒种子中育苗成功的数量需大子或等于5. 设育苗成功的数量等于5为事件C,育苗成功的数量等于6为事件D, 则可得P(C)=C8p(1一)，P(D)=p, 则有P(X=5)=P(C)×g+P(D)×Cgg(1-q), 从而可得P(X=5)=6(g)5.6(g).…9分 令g=t,设函数f(t)=6t5-6t(t∈(0,1)，…10分 .f(t)=6t(5-6t).… 11分 当(0,8)时)>0；当（后，1）时，f)<0, 13分 “)在(0，)上单调递增，在（后，1）上单调递减， 14分 ∴f)的最大值为f()=(得)广护， 综上，X=5的概率P=6(g)-6(pg),其最大值为（合）月 ，…15分 17.解法一：(1)证明：如图，设PC的中点为M,连接BM,GM, 数学参考答案及评分参考第4页（共8页） 在△PCD中，点G为PD中点，M为PC中点，GM/CD,且GM=CD, …2分 根据条件可得AB/DC,且AB=CD, ……3分 ∴.AB∥GM且AB=GM, .四边形ABMG为平行四边形，… 4分 ∴.AG∥BM. 又，BMC平面PBC,AG在平面PBC,∴.AG∥平面PBC. 5分 (2)解：.，AG∥平面PBC,平面AEFG∩平面PBC=EF, AG/∥EF.……………7分 又，AG∥13M, .EF∥BM, 8分 器器- 9分 又：PM=2PC, 10分 (3)解：如图，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为之轴建立空间直角坐标系， G B 可得A00,0,(径0，号），G0,1,1).1分 m·AE=0, 设平面AEG的法向量为m=(x,y,z),则 m·AG=0, 2 即 32=0 令x=1,可得m=(1,1,-1).…12分 y十之=0， 易得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1),…13分 数平面a与平面ABCD夹角的余弦值为1cos(m,ml三m二又-号 …15分 数学参考答案及评分参考第5页（共8页） 解法二：(1)证明：如图，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为之轴建立空间直角坐 标系. C 则可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2), ,点G为PD的中点， ,.G(0,1,1),… 1分 ∴.AG=(0,1,1),BC=(1,2,0),BP=(-1,0,2). 2分 n·BC=0,x1+2y1=0, 设平面PBC的法向量为n=(x1,y,之)，则 即 n·Bp=0,-x1+2x1=0, 令x1=2,可得n=(2,-1,1),… 3分 .AG。n=0.… 4分 ,AG丈平面PBC, ∴.AG∥平面PBC. …5分 ②)解晤=台E(后0，》A啦-（层0，号） m·AE=0, 2 设平面AEG的法向量为m=(x2,y2,之2)，则 即 3x2+32=0, m·AG=0, y2+2=0, 令x2=1,可得m=(1,1,-1). …6分 装2则A方=A户+p=AP十2PC=(2以，2以，2一2.…………… 直线AFC平面AEG,.A户.m=0,即2λ十2λ-(2-2λ)=0，…9分 A=子 器= ……………… …10分 (3)解：由(2)得平面AEG的法向量为m=(1,1,一1)，…11分 易得平面ABCD的一个法向量为p=(0,0,1),…13分 故半面e与平百A8CD夹角的余孩微为oasm,p一惯治-后之-停 …15分 数学参考答案及评分参考第6页（共8页） 18.解：(1)设点P是T上任意一点，F1,F2是其左、右焦点，则有|PF|+|PF2|=2a.…1分 又|IPF|-|PF2II≤2c,即-2c≤|PFI-|PF2|≤2c, 结合以上两式可得a一c≤|PF|≤a十c,a-c≤|PF2|≤a十c, 当且仅当P,F1,F2三点共线时取等号， .点P到其中一个焦点的距离的最小值为a一c,故a一c=2一√3.…2分 又e=￡=3 a2’ ………3分 解得a=2,C=√3，故b一a2一C2=1,…4分 圆T的方程为2十y,……吧 (2)依题意可设直线CD的方程为x=ty十1，…6分 代入T的方程消去x得(t+4)y2+2ty-3=0,△=16t2十48>0，.存在两个不相等的实数根. …7分 2t y1+y2= t2+4’ 设C(x1,y1),D(x2,y2),则 …8分 3 y1y2=一 +4 故直线CB的方程为头-二号令x=4,可得M,2)】 …9分 又i=(+2,).Ai-(6,22) …10分 (x2+2).2y %二y+3）一6y21—1D=一412十6y十2=0 C1一2 x1-2 .AD∥AM,故A,D,M三点共线. …12分 (3)是. 由(2)易得，直线DB的方程为兰=二号令=4可得N4,》 …13分 设H(x,y)为以MN为直径的圆上一点，则有Mi·N产=0， 2y1（ 即(x-4)2+(y-2- 2y2 =0, x2-2 …14分 由对称性可知，若存在定点，则定点必须在x轴上 令y=0, 得(x-4)2=一 4y1y2 4y1y2 4y1y2 a-20(z4-2万-(--1)=一Py2-1+2)+1=3,…15分 x=4士W5,…16分 ∴.以MN为直径的圆恒过两定点(4十√3,0)，(4一√3,0).…17分 数学参考答案及评分参考第7页（共8页） 19.(1)解：由题意得f(x)=-工， ……1分 ∴.f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 2分 故f(x)的最大值为f(0)=1,… 3分 (2)证明：令+1-x一m一1，即x-1-十1 n=0. 设g(）=x-1-+1-n(x>0), 4分 则g()=1+名>0，故g(x)在(0，十0)上单调递增. …5分 ga+1》=一0<0， a1-号 n 2--(rt2n+D-(n+1 e++1 ne"+号+1 ne++1 …6分 设h(x)=e-x2(x≥2)，则h'(x)=e-2x,设m(x)=e-2x,则m'(x)=e-2≥e2-2>0, …7分 .h'(x)在[2，+∞)上单调递增，故h'(x)≥h'(2)=e2-4>0, .h(x)在[2，十∞)上单调递增，故h(x)≥h(2)=e2-4>0,…8分 (n+1)=e+1-(n+1)>0,即g(n+1+）>0,…9分 故n+1<xn<n十1+1 …10分 (3)证明：由(2)得n+2<x+1<n+2+n十故2<x<x+1…x+1一x>0.…1分 在x=1处的切线方程为y一急二-红一1，即y=-日x+ e 令=f)y-号-（←日+）-++-2>0，…2分 e ex z十1=e(2>, e er 由1)知当x>1时，<1，故x+1<e,<e, p(x)>0,…p(x)在(1，十o∞)上单调递增，…14分 p6x>g,即52+是4>l+ e2n+1 （xm+1一xn）.… 15分 e'm+1 由2十1=2一n-1,t1-41-n-2, e+1 得x1-=1+(1>1--. …16分 e 解得xn+1一xm> e e十………………17分 数学参考答案及评分参考第8页（共8页）保密★启用前 湛江市2026年普通高考测试（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合A={x|1gx<1},B={x|x>2},则AUB= A.(2,+∞) B.(2,10) C.(0,10) D.(0,+o) 2.设复数1，在复平面内对应的点关于实轴对称，且之1=1十i,则= A.i B.-i C.1 D.-1 3.设a,b为单位向量，且a一b|=√2，则|a十b|= A.1 B.√2 C.3 D.2 4若a=骨a=行是函数八)=n(ar十p(o>0》的丙个相邻的零点，则w A.3 B.4 C.5 D.6 5.某次展览会有4个核心主题，已知每个主题下有2个案例，现需从8个案例中随机抽 取4个案例进行重点演示，则抽出的4个案例中，恰好包含某一个主题下的2个案 例，而另外2个案例来自两个不同主题的抽取方案的种数为 A.120 B.96 C.48 D.24 6.在数列{an}中，a1=1,an+1=√a品十1，令bn=。 1 一，则数列{bn}的前15项的和为 anti+ A.2 B.3 C.√15 D.4 数学试题第1页（共4页） 7,如图，正方体ABCD-A1B,C1D,的棱长为4，其中A1E=3ED1, D 点F为B,C1的中点，则点C到平面BEF的距离为 A A.4⑤ 5 B.8⑤ 5 C.1621 21 D.47 17 8.已知不等式2x一mlnx十1≥2lnx+n(m,n∈R,且m≠一2)对任意正实数x恒成立， 则干3的最大值为 A.In 2 B.1 C.-1 D.-In 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.一组互不相等的数据从小到大排列为x1,x2,·,x6,去掉x1后，则下列选项正确的是 A.极差变大 B.平均数变大 C.中位数变小 D.80%分位数变大 10.已知g(x)为f(x)的导函数，两个函数的定义域均为R,f(x)为偶函数，且f(2x一1) 为奇函数，则下列选项一定正确的是 A.f(1)=0 B.f(4)=0 C.g(0)=0 D.g(1)=0 1.如图，已知双曲线C号-盖=1（®>0,6>0）的左，右焦点分别为R,,两条断近 线l:ay=bx,l2:ay=一bx互相垂直，点P是双曲线C右支上任意一点，则下列说 法正确的是 A.双曲线C的离心率为√2 B.存在点P,使得△PFF2为等腰直角三角形 C.当∈（一1,1）时，直线1：y=x十1与双曲线C一定有两个 交点 D.的最大值为2巨+3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知tan(a+）=2,则tan2a= 13.已知直线：z十y十3=0和直线6：y=-1,则抛物线y=是2上一动点P到直线 11,2的距离之和的最小值为 数学试题第2页（共4页） 14.某智力问答游戏的规则如下：游戏共有A,B两类问题（每类问题的数量无限多，且 不重复).参加游戏的选手解答任意一道问题正确，则游戏结束；若解答错误，则按以 下规则抽取一道问题进行解答：若解答的是A类问题，则抽取一道B类问题进行解 答，若解答的是B类问题，则等可能地抽取一道A类或B类问题进行解答.如此循 环，直到解答正确为止.已知甲解答A,B两类问题的正确率分别是}，了，且解答每 道问题是相互独立的.若甲最先解答一道A类问题，则他通过解答B类问题结束游 戏的概率是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题13分) 在△ABC中，AB=√3，AC=7,D是BC的中点，∠ADB=. (1)当BD=2AD时，求sinB的值； (2)求△ABC的面积S. 16.(本小题15分) 某农作物的种植过程分为育苗与移栽两个环节.在育苗环节，每粒种子的成活率为 力.在育苗成功的条件下，对幼苗进行移栽，每株幼苗移栽的成活率为q.若该农作物 育苗成功且移栽成活则认为种植成功.每粒种子种植是否成功互不影响， (1)若一粒种子种植成功的概率为分，在育苗成功的条件下，移栽失败的概率为子， 现播撒300粒种子，设育苗成功的种子数量为%，求E(); (2)播撒6粒种子，设种植成功的数量为X,求X=5的概率P,并求P的最大值. 数兴丽体、一 17.(本小题15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,AB∥DC,PA⊥平面ABCD,且PA=AD= DC-2AB-2过点A作平面a与棱PB,PC,PD交于点EF,G其中路-号，且 点G为PD的中点. (1)证明：AG∥平面PBC; (2求照的值： (3)求平面a与平面ABCD夹角的余弦值， 18.(本小题17分) 已知椭圆r等+学-1o>6>0)的左右顶点分别为A,B,其离心率为停，且r上 的点到其中一个焦点的距离的最小值为2-一√5，过点G(1,0)的直线交椭圆于C,D 两点，直线CB,DB分别交直线l:x=4于点M,N. (1)求椭圆T的方程； (2)证明：A,D,M三点共线； (3)试问以MN为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由. 19.(本小题17分) 知f(x)=设y=f2与y=xn-1(n∈N)的图象位于第一象限的交点 为Pn(xm,yn). (1)求f(x)的最大值； (2)证明：m+1<,<n+1+ (3)证明：x+1一x>e十1 数学试题第4页（共4页）