精品解析：山东省潍坊市昌乐第一中学2025-2026学年高二上学期直升班第五次段测数学试题

2025-2026学年上学期高二年级第五次段测 数学学科试题 2026.01 命题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 2. “直线与直线互相垂直”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出的值，结合充分条件、必要条件、充要条件的定义判断即可. 【详解】因为直线与直线互相垂直， 所以，整理得，解得或. 所以由可得到直线与直线互相垂直， 反之，两直线垂直有可能是， 所以“直线与直线互相垂直”是“” 的必要不充分条件. 故选：B. 3. 四面体中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 4. 过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆的方程求圆心坐标和半径，再求，结合切线性质求，，再利用三角形面积公式求的面积，结合对称性可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径， 由切线性质可得，，， 又点的坐标为， 所以， 所以， 所以的面积， 的面积， 所以四边形的面积. 故选：D. 5. 园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ） A. 144种 B. 120种 C. 96种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】按照的顺序分步考虑可能性，再相乘即可. 【详解】先考虑A区有4种可供选择，再考虑B区有3种，D区有2种，E区有2种，C区有2种， 由分步乘法计数原理得共有种. 故选：C. 6. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 7. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 8. 如图，､是椭圆与双曲线的公共焦点，､分别是､在第二､四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆的对称性，求出椭圆的离心率，然后求解双曲线的离心率即可. 【详解】F1､F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A､B分别是C1､C2在第二､四象限的公共点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O=，则为等边三角形且A，B关于原点对称， 可得A（-，c），B（，c）， 代入椭圆方程可得：，可得， 可得e4﹣8e2+4=0，解得e=. 代入双曲线方程可得，可得， 可得：e4﹣8e2+4=0，解得e=， 则C1与C2的离心率之积为：2. 故选A. 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，注意椭圆以及双曲线的对称性的应用是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 展开式中二项式系数的最大值为84 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据二项式的展开式可判断A；根据二项式系数的性质可判断B，通过赋值可判断CD. 【详解】展开式的通项公式为， ，故A正确； 根据二项式系数的性质，二项式系数的最大值为和，即最大值为，故B错误； 当时，， 当时，， 所以，故C错误； 当时，， 当时，， 所以， 又，则，故D正确. 故选：AD. 10. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 当直线l与x轴垂直时， B. △ABF1的周长为 C. 的内切圆的面积的最大值为 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用代入法，结合椭圆的定义、椭圆的性质、平面向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为， 所以，解得，所以，故A正确； 的周长为， 故B错误； 设的内切圆的半径为， ， 当A为椭圆C的上顶点或下顶点时，的面积取得最大值， 最大值，所以 的内切圆的半径的最大值， 所以的内切圆的面积的最大值为，故C正确； ， 因为， 所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用椭圆的定义和焦点三角形面积的性质. 11. 在棱长为4的正方体中， 为和的交点， 点在线段上，，，分别为棱和的中点， 则下列选项正确的是（ ） A. 若点是线段上一动点， 则直线平面 B. 若点 为平面内一点，且满足，则的最小值为 C. 若点是平面内一点， 且满足， 则点的轨迹是椭圆 D. 过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，证明平面平面，即可判断；对于B，先证明位于上，则时，取得最小值，利用等面积法求出即可判断；对于C，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程即可判断；对于D，取的中点分别为，证明平面为所求截面，再证明其为等腰梯形即可. 【详解】由正方体的性质可知，， 平面，平面， 平面，又，平面，平面， 平面，又，平面，平面， 平面平面，平面，平面，故A正确； 选项B：连接，交于点，连接， 平面，平面， 平面平面，交线为， 位于上，则的最小值为到直线的距离， 当时，取得最小值， 是直角三角形，， 即， 的最小值为，故B正确； 选项C：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设， 则，， 则， 又， 则，化简得，其中， 所以点的轨迹是抛物线的一部分，故C错误； 选项D：取的中点分别为， 平面，平面，， 是的中点，，又，， ，， ， 又，平面， 平面，又平面，， 同理可得， ，且平面， 平面， ，平面， 平面平面， 平面即为所求截面， ，， ，平面为等腰梯形，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，那么_______. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量垂直的坐标关系得到的值，再由向量模的坐标公式计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 所以，. 故答案为：. 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式定理的通式,写出所有能得到目标项的可能,求出结果. 【详解】由题意可知,通式为 当时,求中系数即可, 则通式为当时, 可得项的系数为, 故答案为: . 14. 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）潍坊市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等6名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法.（结果用数字作答） （2）求除以的余数. 【答案】（1）；（2）999 【解析】 【分析】（1）先将6名教师分成和两组，然后再分配到四个不同的中学去，再根据排列组合的分组分配问题计算可得； （2）将转化为，由二项式定理将展开并整理，将展开式的每项提出1000，易得结果. 【详解】（1）因为6名教师分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师， 所以先将6名教师分成4组，每组至少一个，故有两种分组结构：和. 分两类完成，第一类按分组，有（种）， 然后再分配到四个不同的中学去，有（种），所以有（种）不同的分配方法； 第二类按分组，有（种）， 然后再分配到四个不同的中学去，有（种），所以有（种）， 根据分类加法计数原理共有（种）不同的分配方法. （2） ， 所以除以的余数为999. 16. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标，求的中点坐标，由垂径定理得到，即可求得圆心坐标，然后求得半径，即可写出圆的方程； （2）当斜率不存在时，写出直线方程，联立方程组求得，验证此时直线是否满足题意；当斜率存在时，设直线方程，得到圆心到直线的距离，由垂径定理求得斜率，即可得直线方程. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆的圆心为，的中点为. 因为，，所以的中点的坐标为. 因为，所以，即，解得， 所以圆心的坐标为，所以半径， 故圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①当直线的斜率不存在时，因为直线过，所以直线的方程为. 将代入，得， 解得或，所以，成立. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 圆心到直线的距离. 因为，所以，解得， 所以方程为，即. 综上，直线的方程为或. 17. 已知点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为点到点的距离等于到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，得到，代入韦达定理，求得的值，即可求解. 【小问1详解】 解：由点到点的距离比它到直线的距离小1， 则点到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线定义知，点的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线， 可得，所以点的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：直线过点，由已知直线的斜率不为， 故设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则，设，所以 因为，可得，所以， 则，解得， 所以直线的方程为或. 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． （1）证明：； （2）当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； （3）若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】（1） 取中点为，连接，因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）直线PB与平面所成角为 （3） 【解析】 【分析】（1）取中点为，证明平面即可； （2）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可； （3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，建系，设，则可求点坐标，利用直线PC与AB所成角的余弦值向量求法得出，再建系求两个平面的法向量进而求其夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， 则，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， 【小问3详解】 以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为为等腰三角形，，所以， 则， 设，则， 则， 故， 所以或（舍去）， 所以两两互相垂直， 由（2）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则，取，得， 所以. 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ； ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期高二年级第五次段测 数学学科试题 2026.01 命题人：数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. “直线与直线互相垂直”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 四面体中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 过点作圆：的切线，，切点分别为，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 园艺部门打算为一个社区休闲广场的中心花坛（如图）布置花卉，要求同一区域摆放同一种花卉，相邻的两块区域（有公共边）摆放不同种类的花卉．现有4种不同种类的花卉可供选择，则不同布置方案有（ ） A. 144种 B. 120种 C. 96种 D. 72种 6. 已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（ ） A. 2 B. C. 4 D. 7. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，､是椭圆与双曲线的公共焦点，､分别是､在第二､四象限的交点，若，且，则与离心率之积为（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 展开式中二项式系数的最大值为84 C. D. 10. 已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点（不同于左、右顶点），则下列说法正确的是（ ） A. 当直线l与x轴垂直时， B. △ABF1的周长为 C. 的内切圆的面积的最大值为 D. 的最小值为4 11. 在棱长为4的正方体中， 为和的交点， 点在线段上，，，分别为棱和的中点， 则下列选项正确的是（ ） A. 若点是线段上一动点， 则直线平面 B. 若点 为平面内一点，且满足，则的最小值为 C. 若点是平面内一点， 且满足， 则点的轨迹是椭圆 D. 过线段且垂直于平面的截面图形为等腰梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，那么_______. 13. 的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 14. 已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为___________；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）潍坊市开展支教活动，我校有甲，乙，丙等6名教师被随机地分到A，B，C，D四个不同的中学，且每个中学至少分到一名教师，共有多少种不同分法.（结果用数字作答） （2）求除以的余数. 16. 已知圆的圆心在上，点，在圆上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程. 17. 已知点到点的距离比它到直线的距离小1． （1）求点的轨迹方程； （2）直线过点与点的轨迹相交于两点，若，求直线的方程． 18. 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． （1）证明：； （2）当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； （3）若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $