山东省济南市市中区2025-2026学年上学期九年级期末学情调研数学试题

2026 年九年级上学期数学期末学情调研试题 （满分150分 时间120分钟） 第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求. 1.榫卯强调隐形连接，被誉为 “中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图 2 是六根鲁班锁（图 1）中的一个构件，其左视图是（ ） 2.已知=，则的值为（ ） A. B. 2 C. − D. −2 3.一个反比例函数图象过点(2,−3)，该图象也一定过点（ ） A. (−6,−1) B. (6,1) C. (−3,2) D. (−2,−3) 4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ） A. y=(x−1)2+6 B. y=(x−1)2−6 C. y=(x+1)2+6 D. y=(x+1)2−6 5.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计 40 个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ ） A. 2 B. C. D. 7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ ） A. 80cm B. 60cm C. 50cm D. 40cm 8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65∘，则∠D的度数为（ ） A. 15∘ B. 25∘ C. 45∘ D. 65∘ 9.反比例函数y=(k≠0)和一次函数y=−kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ ） 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点(−,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案． 11.已知∠A为锐角，且cosA=，则∠A等于______度． 12.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若=，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为______． 13.如图，点A，D分别在函数y=，y=的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为8，则k的值为______． 14.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留π） 15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90∘，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60∘得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为______． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分 7 分）计算：−2cos45∘+(π−2025)0+∣−∣+()−1. 17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长． 18.（本小题满分 7 分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 19.（本小题满分 8 分）数学社团开展 “讲数学家故事” 的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 20.（本小题满分 8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22∘，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30∘，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，≈1.73） （1）求水平横管BC到水平线AD的距离； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 21.（本小题满分 9 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=∠ABC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF=2，sin∠BEC=，求⊙O的半径． 22.（本小题满分 10 分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个 “日” 字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）． （1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？ 23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为(−2,−2)，点A的横坐标为4，连接OA． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OB，求△OAB的面积； （3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标． 24.（本小题满分 12 分）如图，抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点C(0,3)，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点A(−1,0)，连接BC，直线y=kx+2(k>0)与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当=3时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得△BCO中有一个锐角与∠PCB相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图 1，当α=60∘时，的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______； （2）类比探究 如图 2，当α=90∘时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由； （3）解决问题 如图 3，当α=90∘时，点E，F分别是CA，CB的中点，点P在线段EF上，当点C，P，D在同一直线上，且AP=时，求出BD的长． 答案 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。每小题只有一个选项符合题目要求. 1.榫卯强调隐形连接，被誉为 “中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图 2 是六根鲁班锁（图 1）中的一个构件，其左视图是（ D ） 2.已知=，则的值为（ A ） A. B. 2 C. − D. −2 3.一个反比例函数图象过点(2,−3)，该图象也一定过点（ C ） A. (−6,−1) B. (6,1) C. (−3,2) D. (−2,−3) 4.把抛物线y=(x+2)2+3的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ C ） A. y=(x−1)2+6 B. y=(x−1)2−6 C. y=(x+1)2+6 D. y=(x+1)2−6 5.一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的红色和黄色玻璃球，共计 40 个，将球搅匀，从中随机摸出一个，记下颜色后放回，搅匀再摸球，通过大量重复摸球试验后，将摸到红球的频率绘制成如下所示的统计图，由此可估计袋子中红色玻璃球的个数为（ C ） A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 6.如图，在4×4的正方形网格中，点A，B，C都在格点上，则tan∠ABC的值是（ A ） A. 2 B. C. D. 7.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．” 这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂OB=50cm，BD=20cm，则AC的长度是（ D ） A. 80cm B. 60cm C. 50cm D. 40cm 8.如图，AC是⊙O的直径．若∠ACB=65∘，则∠D的度数为（ B ） A. 15∘ B. 25∘ C. 45∘ D. 65∘ 9.反比例函数y=(k≠0)和一次函数y=−kx+3在同一平面直角坐标系的大致图象可能是（ A ） 10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(−3,0)，与y轴交于点B，其对称轴为直线x=−1，以下结论：①abc>0；②当x>2时，y的值随x值的增大而减小；③5a+2b+c>0；④抛物线一定经过点(−,0)；⑤关于x的方程ax2+(b+1)x+c+1=0有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ B ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．直接填写答案． 11.已知∠A为锐角，且cosA=，则∠A等于____30__度． 12.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小得到△A′B′C′，若=，△A′B′C′的面积为4，则△ABC的面积为___36___． 13.如图，点A，D分别在函数y=，y=的图象上，点B，C在x轴上．若四边形ABCD为矩形且矩形的面积为8，则k的值为___－2___． 14.如图，正八边形ABCDEFGH和正方形GHIJ的边长均为3，以顶点H为圆心，HG的长为半径画圆，则阴影部分的面积为______．（结果保留π） 15.如图，线段AB=4，点C为平面上一动点，且∠ACB=90∘，点D为线段BC的中点，将BD绕点B顺时针旋转60∘得到线段BE，连接AE，则线段AE的最大值为___2+2___． 三、解答题：本题共 10 小题，共 90 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分 7 分）计算：−2cos45∘+(π−2025)0+∣−∣+()−1. =2－+1++3 =6 17.（本小题满分 7 分）如图，在△ABC中，∠C=90∘，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AB=10，BC=6，DE=3，求AD的长． 解：在△ABC 中，∠C =90°, AC =8, BC =6 ∴AB ==10 ∵∠A =∠A , ∠AED =∠C , ∴△ADE△ABC 则＝．即＝ ∴AD =5. 18.（本小题满分 7 分）码头工人每天往一艘轮船上装载货物，平均每天的装载量y（吨）与装完货物所需时间x（天）之间是反比例函数关系，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）由于紧急情况，要求装载货物不超过4天，那么平均每天至少要装载货物多少吨？ 解：(1）设这个反比例函数的表达式为y=(k≠0), 根据题意，得50=，解得 k =400, 这个反比例函数的表达式为 y =( x>0). (2）当 x =4时， y =400÷4=100.由图象可知当 x≤4时， y ≥100. 答：平均每天至少要装载100吨货物． 19.（本小题满分 8 分）数学社团开展 “讲数学家故事” 的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是______； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 解：(1）∵共有4张卡片 ∴小安随机抽取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是 (2）根据题意，画树状图如图 由图可得，共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的有6种 ∴抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为= 20.（本小题满分 8 分）图 1 是安装在倾斜屋顶上的热水器，图 2 是热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD=22∘，真空管AB与水平线AD的夹角∠BAD=30∘，真空管AB的长度为2米，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.2米．（参考数据：sin22∘≈0.37，cos22∘≈0.93，tan22∘≈0.40，≈1.73） （1）求水平横管BC到水平线AD的距离； （2）求水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． 解：(1）过 B 作 BF⊥AD 于 F , ∠AFB =90°, 在 Rt△ABF 中， sin∠BAF = ∵AB =2.5米，∠BAF =39°, BF = AB·sin39°≈2.5×0.629=1.5725≈1.6米． 答：水平横管 BC 到水平线 AD 的距离约为1.6米； (2) ∵∠FBC =∠BCD =∠D =90° ∴四边形 BCDF 为矩形， ∴BC = DF , CD =BF =1.6米，CE =0.6米 ∵DE = CD - CE =1.6-0.6=1（米） 在 Rt△ADE 中， tan∠DAE = ∵∠DAE =22° ∴AD =≈2.48（米）, 又：∵在 Rt△ABF 中， cos∠BAF = ∵AB =2.5米，∠BAF =39° ∴AF = AB·cos39°≈2.5x0.777=1.9425≈1.94（米）. ∴DF = AD - AF =2.48-1.94=0.54≈0.5（米） ∴BC = DF =0.5米， 答：水平横管 BC 的长度约为0.5米． 21.（本小题满分 9 分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=∠ABC． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BF=2，sin∠BEC=，求⊙O的半径． (1） 如图，连结 OE . ∵∠BCE =∠ABC ,∠BCE =∠BOE ∴∠ABC =∠BOE ∴OE // BC ∴∠OED =∠BCD ∵EF // CA ∴∠FEC =∠ACE ∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ,级∠FEO =∠ACB ∵AB 是直径 ∴∠ACB =90°,∴∠FEO =90° ∴FE⊥EO . ∵EO 是⊙O 的半径 ∴EF 是⊙O 的切线． （2）∵EF // AC ∴△FEO△ACB ∵BF =2, sin∠BEC =，∠BEC =∠BAC ∴sin∠BAC == 设⊙O 的半径为 r ，则 FO =2+ r , AB =2r ∴= 解得 r =3,.⊙O的半径是3. 22.（本小题满分 10 分）如图，用一根120cm的铁丝制作一个 “日” 字型矩形框架ABCD，铁丝全部用完．设矩形框架ABCD的一边长AB为x（单位：cm），所围成的矩形框架ABCD的面积为S（单位：cm2）． （1）求出S与x之间的函数解析式，并直接写出x的取值范围； （2）当x的值是多少时，矩形框架ABCD面积S最大？最大面积是多少？ 解：(1）由题意可得：3x+2y=120, ∴y ==-x +60; ∴S= xy =x(-x +60)=-x2+60x;（0<x≤24） (3) S =-x2+60x=-x2(x -20)2+600, 由（2）可得：0<x≤24, 当x =20时， S的值最大，为600cm2. 23.（本小题满分 10 分）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为(−2,−2)，点A的横坐标为4，连接OA． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接OB，求△OAB的面积； （3）在y轴上存在一点P，使△PCD∽△AOD．求P点的坐标． （1）将B的坐标为(−2,−2)代入y=，得k=4 ∴反比例函数表达式为y= 将A的横坐标为4代入y==1 将A（4，1）和B(−2,−2代入y=ax+b 解得 ∴一次函数表达式为y=x－1 （2）3 （3）P（0，1）或（0，－3） 24.（本小题满分 12 分）如图，抛物线y=−x2+bx+c的图象经过点C(0,3)，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），点A(−1,0)，连接BC，直线y=kx+2(k>0)与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的解析式； （2）当=3时，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由； （3）第一象限内抛物线上是否存在一点P，使得△BCO中有一个锐角与∠PCB相等？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． （1）将C(0,3)和A(−1,0)代入y=−x2+bx+c得 解得 ∴抛物线表达式为y=−x2+x+3 （2）E（2，） （3）P的横坐标为或 25.（本小题满分 12 分）在△ABC中，CA=CB，∠ACB=α，点P是平面内不与A，C重合的任意一点，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP． （1）观察猜想 如图 1，当α=60∘时，的值是______，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是______； （2）类比探究 如图 2，当α=90∘时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图 2 的情形说明理由； （3）解决问题 如图 3，当α=90∘时，点E，F分别是CA，CB的中点，点P在线段EF上，当点C，P，D在同一直线上，且AP=时，求出BD的长． 22.(1)1 60° 解：(2)=，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为45°. 理由如下：∵∠ACB =90°, CA = CB , ∴∠CAB =45°,= 同理可得∠PAD =45°,=, ∴=，∠CAB =∠PAD ∴∠CAB +∠DAC =∠PAD +∠DAC , ∠DAB =∠PAC . ∴△DAB△PAC . ∴=，∠DBA =∠PCA . 设 BD 交 CP 于点 G , BD 交 CA 于点H . ∵∠BHA =∠CHG , ∴∠CGH =∠BAH =45° ∴直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数为45°. (3)AD 的值为2+或2- 1 学科网（北京）股份有限公司 $