河南省南阳市唐河县第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学周测试题（11.30）

市唐河县第一高级中学2025-2026学年高三上学期数学周测试题（2025-11-30） 一．选择题（共8小题） 1．若z＝﹣1+i，则（　　） A．﹣1﹣i B．﹣1+i C． D． 2．(北师大教材P45)已知全集U＝{x∈N+|﹣2＜x＜9}，M＝{3，4，5}，P＝{1，3，6}，那么{2，7，8}是（　　） A．M∪∁UP B．∁U（M∩P） C．（∁UM）∪（∁UP） D．（∁UM）∩（∁UP） 3．（期中考试变式）若不等式|x﹣1|＜a的一个充分条件为0＜x＜1，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞0 B．a≥0 C．a＞1 D．a≥1 4．（2025高考真题）已知a＞0，b＞0，则（　　） A．a2+b2＞2ab B． C．a+b D． 5．（北师大教材必修二习题）如图，一个三棱锥容器的三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，经测量知SD：DA＝SE：EB＝CF：FS＝2：1，这个容器最多可盛原来水的 （　　） A． B． C． D． 6．已知二面角α﹣l﹣β的大小为120°，点B，C在棱l上，A∈α，D∈β，AB⊥l，CD⊥l，AB＝2，BC＝1，CD＝3，则AD的长为（　　） A． B． C．2 D．2 7．（高考真题）设函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点； ②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点； ③f（x）在（0，）单调递增； ④ω的取值范围是[，）． 其中所有正确结论的编号是（　　） A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 8．（期中考试变式）设函数f（x）＝kx，若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则实数k的取值范围为（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．[，） 二．多选题（共3小题） （多选）9．（期中考试变式）已知，且，tanα＝5tanβ，则（　　） A． B． C． D． （多选）10．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＞0，公比q＞0，T6＜1＜T7，则（　　） A． B．q＞1 C．当n＝3时，Tn最小 D．当n＝3时，Tn最大 （多选）11．（人教版教材P169改编）如图，一块边长为4m的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（　　） A．当x＝2m时，正四棱锥的侧面积为 B．当x＝2m时，正四棱锥的体积为 C．当时，正四棱锥外接球的体积为 D．正四棱锥的体积最大值为 三．填空题（共3小题） 12．空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，EF，则异面直线AD，BC所成的角为　 　 ． 13．（2024期末改编）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若，且A，B，C，D四点共面（O为该平面外一点），则S2027＝ 　 　 ． 14．（2025高考真题改编）已知，_________________. 四．解答题（共3小题） 15．（期中考试滚动）已知函数f（x）＝x3﹣3x+2． （1）求 f（x）在区间[﹣2，3]上的最值； （2）若过点P（2，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围． 16．（北师大教材习题）已知平行六面体ABCD﹣A'B'C′D′的底面是边长为3的正方形，棱AA′＝5，且∠BAA'＝∠DAA'．求： （1）棱AA′与底面ABCD所成角的大小； （2）这个平行六面体的体积． 17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC为等边三角形，D，E分别为PC，PB的中点，BD⊥PA，BC＝2，AC＝1． （1）求证：AC⊥平面PBC； （2）在线段AC上是否存在点F，使得平面DEF与平面ABC的夹角为，若存在，求出CF的长；若不存在，请说明理由． 18．已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且．数列{bn}满足bn＝其前n项和为Tn． （1）求an； （2）若Tn﹣Sn≥λn恒成立，求实数λ的取值范围． 19．在平面四边形中，，，，将沿翻折至，其中为动点． （1）设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上； （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； （2）求二面角的余弦值的最小值． 高三数学周测答案（11.30） 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D D C B C D D 二．多选题（共3小题） 题号 10 11 12 答案 BC BC BCD 7．【解答】解：依题意作出 的图象如图，其中 m⩽2π＜n， 显然①正确，②错误； 当x∈[0，2π]时，ωx∈（，2πω），∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω6π，∴，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当x∈（0，）时，ωx∈（，），若f（x）在（0，）单调递增，则，即ω≤3，∵，故③正确．故选：D． 8．【解答】解：若存在唯一的整数x0，使得f（x0）＜0，则存在唯一的整数x0，使得k， 所以k有唯一的整数解，令g（x），x＞0，所以g′（x）， 令g′（x）＝0，得x，所以在（，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减， 在（0，）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，g（），g（2），g（3），所以k，故选：D． 二．多选题（共3小题） （多选）12．【解答】解：用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示： 对于A：当x＝2时，即AB＝2，由题意可得△ABP的边AB上的高为2， 所以侧面面积为，故A错误； 对于B：当x＝2时，由题意可得侧面斜高PE＝2，， 可得，所以，故B正确； 对于C：当时，可得，， 正四棱锥外接球的球心M在直线PO上，设外接球的半径为r， 则，解得，所以正四棱锥外接球的体积为，故C正确；对于D：可得，， ， 令，则，所以，令f′（t）＝0，则，解得，当，f'（t）＞0，，f'（t）＜0， 所以f（t）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减， 所以，此时时取等号，故D正确．故选：BCD． 三．填空题（共1小题） 12． 13. 　2027　 ．14. 4 四．解答题（共5小题） 15.【详解】（1）函数，，， 当或时，，当时，，函数在，上单调递增，在上单调递减，又，，， 所以函数在区间上的最大值是，最小值是． （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得，当或时，，当时，，函数在，上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值为，在处取得极大值为， 由过点存在条直线与曲线相切，得方程有个互不相同的解， 即直线与函数的图象有个交点，观察图象得当时，直线与函数的图象有个交点，所以实数的取值范围是． 16．【解答】解：（1）如图平行六面体ABCD﹣A'B'C′D′，设A'在底面上的射影为H，连接A'H，AC，可得H在正方形ABCD的对角线AC上，则∠A'AH为棱AA′与底面ABCD所成角． 因为∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°， 根据cos∠A'AB＝cos∠A'AHcos∠HAB，得cos60°＝cos∠A′AH•co45°，即有cos∠A′AH，则∠A′AH＝45°； （2）在直角三角形AA'H中，A'H＝AA'sin45°＝5，则平行六面体的体积V＝S底h＝3×3． 17．【解答】（1）证明：∵△PBC为等边三角形，D为PC中点，∴BD⊥PC， 又∵BD⊥PA，PA∩PC＝P，PA，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC，∴AC⊂平面PAC，∴AC⊥BD，取BC中点G，连接PG，∵△PBC为等边三角形，∴PG⊥BC， ∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PG⊂平面PBC， ∵AC⊂平面ABC，∴PG⊥AC，∵BD与PG相交，BD，PG⊂平面PBC，∴AC⊥平面PBC； （2）以C为坐标原点，CA，CB所在直线为x轴，y轴，过C且与GP平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C（0，0，0），B（0，2，0），，，， 设F（a，0，0）（0≤a≤1），则，， 设平面DEF的一个法向量为， 则，∴， 取，可得，∴为平面DEF的一个法向量， 取平面ABC的一个法向量为， 则， 解得，此时，∴在线段AC上存在点F使得平面DEF与平面ABC的夹角为，且． 18.【详解】（1）当时，有， 所以，得，当时，有， 即，而，两式作差，得， 化简得，又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以； （2）当为偶数时， ， 所以，为偶数，由恒成立，得， 是偶数，当时，有最小值，所以； 当为奇数时，为偶数， ， 所以，为奇数，由恒成立，得， 又在上单调递增，所以当时，有最小值1，所以． 综上，实数的取值范围是. 19.【解答】解：（1）（i）证明：∵AC＝CD＝1，∠CAD＝∠ADC＝30°，∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝90°，AB⊥AC，翻折后同样有AB⊥AC，又AB⊥PC，PC∩AC＝C， ∴AB⊥平面PCA，又AB⊂平面ABC， ∴平面PAC⊥平面ABC； （ⅱ）如图，∵△ABC的外接圆圆心O1位于BC中点，作C关于AP的对称点O2， 则O2C＝O2A＝O2P＝1，O2为△ACP的外接圆圆心，作O1H⊥AC于H，则H为AC中点， 则O1H⊥平面ACP，O1H⊥O2H，又△O2AC为等边三角形，∴O2H⊥AC， 而外接球球心O，满足OO1⊥平面ABC，OO2⊥平面ACP，∴OO1＝O2H，BO1， ∴球O的半径为R； （2）以A为原点，AC所在直线为x轴，过A且垂直底面ACP的直线为z轴，建系如图： 则根据题意可得C（1，0，0），P（，，0），又AB＝1，∴设B（0，cosθ，sinθ）， ∴，，易知平面ACP的一个法向量为，设平面BCP的法向量为， 则，取， 设二面角A﹣CP﹣B的平面角为φ，易知φ为锐角，∴cosφ＝|cos，|，令t＝cosθ，则t∈[，]， ∴cosφ， ∴当，即cosθ时，cosφ取得最小值， ∴二面角A﹣CP﹣B的余弦值的最小值为． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $