山东省诸城第一中学2025-2026学年高三上学期一模考前模拟(一)数学试题1.18

2023级高三一模考前模拟(一) 数学试题 一、单选题 1．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知公差不为 的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 3．调查敏感问题时，一般难以获得被调查者的合作，所得结果可能不真实，此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查. 为调查中学生心理压力的情况，提出如下问题，问题 1 ：你现在心理压力很大吗？ 问题 2： 你学籍号尾号是偶数吗? 然后要求被调查的中学生抛掷硬币回答， 如果出现正面朝上， 就回答第一个问题； 否则回答第二个问题. 整个调查过程全程保密， 由于回答哪一个问题只有测试者自己知道，所以测试者一般乐意如实回答问题. 现在对学籍号为的1000名中学生进行调查， 其中有260名学生回答 “是”，则估计心理压力很大的中学生百分比大约为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量 满足： ，则 （    ） A． B． C． D． 5．函数是定义在上的偶函数，则在的最大值为（） A． B．1 C． D． 6．已知四个正整数满足，且 的平均数和中位数都为5，则可能的取值情况总数是（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 7．若函数 既存在极大值点，又存在极小值点，则实数 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左，右焦点分别为 ，过的直线交椭圆 于点 (点 在轴的上方)，过作直线的垂线，垂足为 ， 为等腰直角三角形，且 ， 则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的一个周期 B．是函数的一条对称轴 C．函数在有三个零点 D．函数为偶函数 10．如图，抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线 于 两点，交 轴于 点，其中点 在直线 上， 面积为 5，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，且存在 ， 使 成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A．数列 为等差数列 B． 不是整数 C． 的值可以是 2025 D． 的最小值为 三、填空题 12．已知关于 的方程 的根为复数 ，其中 为虚数单位，则 . 13．已知，是圆上的两个不同的点，若，则的最大值是 . 14．已知棱长为3的正方体位于平面的同侧，且顶点在平面上，若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 . 四、解答题 15．已知曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的值域. 16．如图，平行四边形 中， 中点为 ，现以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置. (1)若 中点为 ，证明：平面 ； (2)若 ，求 与平面 所成角的正弦值. 17．已知在 中， 分别是角所对的边，且 ,,为 外接圆劣弧 上一动点. (1)求A； (2)在四边形 中，若 为 的内角平分线，记 的面积分别为， ，若 ， 求 的取值范围. 18．已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . （i）求 (结果用 表示)； （ii）已知 ，证明： .(参考数据： ) 19．在平面直角坐标系 中，已知动点 到点 的距离与到直线 的距离之比为 2， 记动点 的轨迹为 . (1)求轨迹 的标准方程； (2)已知圆： ，圆的切线交曲线于 、两点. （i）当 时，若 ，且切点在第二象限，求切线的斜率； （ii）当 时，已知是关于轴对称的两点，是否存在，使得 的外接圆过定点； 若过定点，求出定点坐标； 若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 诸城一中2023级强基部周清数学试题参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B D C A B ACD AC 题号 11 答案 BC 7．A【详解】由题意得，因为存在极大值点，又存在极小值点， 所以有2个正根，即有2个正根. 当时，在上单调递增， 此时至多1个零点，不符合题意，故； 令，由，得，即， 即有两个正根，令，则与有两个不同的交点， 求导得，所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减，所以， 画出函数的图像如图所示： 由在上有两个正根，则， 所以，所以实数 的取值范围是. 8．B【详解】设，因为 为等腰直角三角形，所以， 所以，，则， 解得，所以，. 因为为等腰直角三角形，所以或， 当时，由余弦定理可得， ，即， 即，所以， 所以，所以，解得或. 当，此时，与矛盾，故不符合题意. 综上所述：椭圆 的离心率为或. 10．AC【详解】设直线 的方程为，因为 在直线 上， 联立，解得或，所以， 联立，得，所以，解得， 由，解得，故A正确； 所以，，故B错误； 由,则，故C正确； 由A在直线上，可得，解得， 所以直线 的方程为，令，可得，即， 所以， ，故，故D错误. 11．BC【详解】对于A：由可得，即， 又，所以数列是以2为公比和首项的等比数列，A错误； 对于B：因为数列是等比数列，且首项为，公比， 所以，所以， 所以， ， 因为，所以， 显然不是整数，B正确； 对于C：因为成等差数列，所以，即， 当时，，则，即， 取，则，满足，C正确； 对于D：由，得①， 当为奇数，时，①式即恒成立. 此时， 因为是奇数，最接近的奇数为，对应值为，并非，D错误； 12． 13． 14．【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则，， 不妨设平面的法向量为且，分别表示点到平面的距离， 依题意，，即，解得， 因此，所以顶点到平面的距离为. 15．【详解】（1）由切线方程，得. ，故. 求导得，切线斜率为3，故. 联立，解得，. （2）由（1）得，求导得. 在上，，， 故：时，，单调递减；时，，单调递增. ，，. 故在上的值域为. 16．【详解】（1）取中点，连接，因为分别为中点，所以，且， 又四边形是平行四边形，且为中点，所以，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）在中，， 所以，所以， 因为，所以. 在中，， 所以，即，解得. 因为，所以，又，平面， 所以平面ABCD. 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量为，则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即直线与平面所成角的正弦值是. 17．【详解】（1）由，可得：，又， 即，由正弦定理可得：， 又，得到，即， 即, 即，因为，所以，所以， 即，即，又，所以， 所以，即； （2） 由题意，又，所以， 即，所以， 令的中点为，由条件可知为的直径，为外接圆的圆心， 由圆的性质可得：，可得， 在中，由余弦定理得：， 所以，所以由，得：，又为三角形内角，， 化简可得：，又， 18．【详解】（1）记白球最先被全部取出的事件为，最后取出红球的事件为，最后取出黑球的事件为， .则概率为. （2）（i）显然事件与事件互斥，则，，， 所以， 整理得：. （ii）由（i）得：，所以． 所以：． 裂项求和得：. 下证：，即证：※ 令，求导得：， 由， 令， 解得，两根均小于0， 因为，所以当， 即， 所以：成立． 19．【详解】（1）设，由题意可得，即， 平方化简可得： （2）（i）当时，圆方程为：，设切线方程为：，，所以，平方可得：， 联立，得， ， 所以， 所以 即，化简可得：，解得：或，又， 所以或； （ii）当切线斜率存在时，设切线方程为：，所以，平方可得， 联立，得， ，， 所以，所以中点， 所以的中垂线方程为：，所以， 因为关于轴对称，则的外接圆圆心在轴上，设圆心坐标为，半径为， 则外接圆方程为    ， 若将切点上下对称，则由对称性，若外接圆过定点，则定点在轴上， 所以的中垂线交轴于，即为圆心， 所以， 所以， 所以圆的方程为， 令，得：， 将代入化简可得：， 若要和斜率无关，则，即，此时定点为原点， 若斜率不存在时，此时切线方程为或，（）与双曲线无交点，故舍去， 所以定点为原点. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $