精品解析：天津市第一百中学2026-2027学年高二上学期第一次过程性诊断数学试卷

2025—2026学年第一学期第一次过程性诊断 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，， 则过点，点的直线斜率， 设直线的倾斜角为，满足， 则， 所以，即直线的倾斜角为． 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为1，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又直线在轴上的截距为1，所以直线的方程为，即. 3. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】C 【解析】 【分析】先求得两圆的圆心与半径，通过计算圆心距判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为，故圆心，半径； 将圆的一般方程配方，得，故圆心，半径； 两圆圆心距： ， 由，可知两圆外切， 故两圆公切线的条数为3. 4. 设，已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两直线平行的充要条件求出a的取值，再结合充分条件、必要条件的定义判断关系即可. 【详解】，， 若，得，整理得，因式分解得，解得或； 当时，，，将化简后与完全一致，两直线重合，不符合平行要求，故舍去； 当时，，，两直线斜率相同、截距不同，满足平行条件； 因此的充要条件为，故“”是“”的充要条件. 5. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离向量公式，计算相关向量的模长与点积后代入公式求解即可. 【详解】 由题意，， 则 ，，  ， 根据点到直线的距离公式，代入数值： 得.  6. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理可得答案. 【详解】分别为的中点，故. 故选：D 7. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标，根据过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直，求出直线斜率后即可推导直线方程 【详解】由，配方可得， 因此圆心的坐标为，半径， 设点，代入圆的方程左侧得，故在圆内部， 根据圆的几何性质，过圆内一点的最短弦与该点和圆心的连线垂直， 又，由两条垂直直线的斜率乘积为，可得所求最短弦所在直线的斜率， 所以 过点且斜率为的直线方程为，整理得. 8. 一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于直线的对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得答案． 【详解】由圆的方程化为, 则圆心为，半径为， 点关于直线的对称点的坐标为，则点在反射光线所在直线上， 易知反射光线所在直线的斜率存在，设反射光线所在直线方程为， 即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，所以，解得或. 9. 已知实数，满足，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将已知方程化为圆的标准方程，将不等式恒成立转化为不大于的最小值，再利用直线与圆有交点的条件求出的最小值，即可得到的取值范围. 【详解】对配方，得，该方程表示圆心为，半径的圆， 不等式对圆上任意点恒成立，等价于对所有圆上的点恒成立，因此只需，设，即直线，当直线与圆有公共点时，圆心到直线的距离不超过半径， 由点到直线的距离公式得  ，化简得，解得， 因此的最小值为， 由，得，即的取值范围为. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 向量，向量，则______． 【答案】 3 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算和数量积的坐标运算规则求解即可. 【详解】向量，向量，则  ， 所以. 11. 两条平行直线与之间的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先统一两条平行直线的对应系数，再利用两平行直线间的距离公式计算求解. 【详解】两边同乘以得， 由与（A、B不同时为0）的距离公式， 代入，得 . 12. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程以及其离心率的定义，可得答案. 【详解】由椭圆，显然，则，，， 由题意可得，解得， 所以椭圆的长轴长. 故答案为：. 13. 已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由圆和圆， 两圆的方程，相减可得，即， 即两圆的公共弦所在的直线方程为， 又由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 则公共弦长为. 14. 已知为椭圆：的动点，则点到直线：最短距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设出与直线平行且与椭圆相切的直线方程，联立椭圆方程利用判别式为0求出参数，再通过平行线间的距离公式计算最短距离． 【详解】设平行于直线的直线的方程为， 联立方程组， 整理得 令直线与椭圆相切， 则， 解得或． 根据平行线间的距离公式，直线与直线的距离为， 当时，， 当时，， 则点到直线最短距离为． 15. 若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数和的图象有两个不同的交点，作出图形，数形结合可求得实数的取值范围. 【详解】由关于的方程有两个不同实数解， 可得函数和函数的图象有两个不同的交点， 由，得， 所以表示以为圆心，为半径的圆的上半圆（含端点）. 是过定点的直线， 在同一坐标系内作出两函数的图象如图所示： 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线过点时，直线的斜率为， 当直线与半圆相切时，可得，解得， 由函数和的图象有两个不同的交点，可得或， 所以实数的取值范围是. 三、解答题 16. 求下列各条件下的直线方程． （1）经过点，且与直线平行的直线； （2）经过点且平行于过和直线； （3）经过点且垂直于的直线． 【答案】（1） （或） （2） （或） （3） （或） 【解析】 【详解】（1）由平行关系设所求直线方程为. 将点代入，得，解得. 因此所求直线方程为. （2）直线的斜率为. 所求直线与直线平行，故其斜率为. 由点斜式方程得，整理得所求直线方程为. （3）直线的斜率为. 设所求直线的斜率为，由两直线垂直得，解得. 由点斜式方程得，整理得所求直线方程为. 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点， ①若，求直线的方程； ②当绕点转动时，求中点的轨迹方程． 【答案】（1）圆的方程为 （2）①直线的方程为或 ②的轨迹方程为 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线的方程，联立直线，解出圆心坐标，进而解出半径即可； （2）①分类讨论直线斜率存在与不存在的情况，利用弦心距和点到线的距离公式计算即可得出结果； ②设中点的坐标为，则，再分、进行讨论求解． 【小问1详解】 因为，，所以线段的中点为， 直线的斜率， 进而线段的中垂线的斜率为，因此线段的中垂线的方程为， 即．联立，解得． 则圆的半径， 所以圆的方程为． 【小问2详解】 ①由可得弦心距， 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为， 圆心到直线的距离也为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即． 则圆心到直线的距离 解得，此时直线的方程为； 综上，直线的方程为：或． ②解：设中点的坐标为， 因为为弦的中点，所以， 又因为直线过点，所以， 当时，， 即， 整理得， 当时，，则也满足该方程， 所以中点的轨迹方程为． 18. 如图，在三棱柱中，，，是棱的中点，侧棱底面． （1）求异面直线与所成的角； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求到平面的距离． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，写出的坐标，然后利用向量法可求得异面直线与所成的角； （2）先求出平面的法向量，是平面的法向量，然后利用向量法可求得与平面所成角的余弦值； （3）求得，利用向量法可求得到平面的距离． 【小问1详解】 ∵侧棱底面，底面，底面， ∴，．又∵， ∴以C为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系. ∵都是三棱柱的侧棱，且底面， ∴四边形与都是矩形． ∵，∴矩形与都是边长为2的正方形． ∴． ∴． ∴， ∴异面直线与所成的角是． 【小问2详解】 ∵是棱的中点，∴． 由（1），知． ∴． ∵侧棱底面，∴是平面的一个法向量． 设平面的法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为. ∴． ∴平面与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 由（1）知，所以， 由（2）可知平面的一个法向量为， 所以到平面的距离. 19. 已知椭圆的焦点，，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 由椭圆的定义，得，所以. 由焦点坐标可知，故. 因此，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，. 将代入椭圆方程，整理得. 由韦达定理，得. 根据线段中点的横坐标为，得，即. 解得或. 上述一元二次方程的判别式为. 当或时，均有，符合直线与椭圆交于两点的条件. 因此，直线的方程为或. 20. 已知圆：（）的圆心为． （1）证明：无论取何值，圆恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标； （2）当时，过直线：上动点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积最小值，并求此时点的坐标； （3）当时，若直线：与圆交于，两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 【答案】（1）证明：圆的方程为， 整理得， 若圆恒过定点，则该点坐标与取值无关，需满足， 解得或， 故圆恒过两个定点和. （2）四边形面积的最小值为，此时点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程整理为关于参数的等式，因为等式对任意恒成立，所以令的系数和不含的项分别为0. （2）先将代入圆方程得到圆心和半径；因为四边形的面积可拆分为两个全等直角三角形的面积和，如果要让面积最小，那么切线长最小，而，因此只需让圆心到直线上点的距离最小，即求圆心到直线的垂线段长度，进而得到最小面积和对应点坐标. （3）设，，将直线方程与圆方程联立，得到关于的一元二次方程，由直线与圆相交可得判别式大于0；根据韦达定理得到和，将转化为关于的表达式，结合题设不等式求解，最后取与判别式条件的交集得到的范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，圆的方程为， 整理得，则圆心. 如图，易知，则四边形的面积最小时，即面积最小时， 因为为定值，即最小时，又因为，即最小时， 故此时为点到直线的距离， 则， 因为，所以， 故四边形面积的最小值. 设，因为，则，解得， 故. 【小问3详解】 当时，圆的方程为， 联立圆和直线的方程，消去并整理得， 则恒成立， 设，，则，， 所以 ， 整理得，解得或， 所以的取值范围为. 【点睛】求含参数的圆过定点时，整理参数项要准确；联立方程后不要忽略直线与圆相交的判别式的隐含条件，向量的数量积展开时要结合直线方程正确转化为的表达式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期第一次过程性诊断 高二数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 过点与点的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线的方向向量为，且在轴上的截距为1，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆：，圆：，则两圆公切线的条数为（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4. 设，已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 空间内有三点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知三棱锥，点分别为的中点，且，用表示，则等于（    ） A. B. C. D. 7. 已知圆的方程是，则圆中过点的最短弦所在的直线方程是（ ） A. B. C. D. 8. 一条光线从点射出，经直线反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9. 已知实数，满足，若不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 向量，向量，则______． 11. 两条平行直线与之间的距离为______． 12. 已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为______. 13. 已知圆：和圆：，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长为______． 14. 已知为椭圆：的动点，则点到直线：最短距离为__________． 15. 若关于的方程有两个不同实数解，则实数的取值范围是__________． 三、解答题 16. 求下列各条件下的直线方程． （1）经过点，且与直线平行的直线； （2）经过点且平行于过和直线； （3）经过点且垂直于的直线． 17. 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线：上． （1）求此圆的方程； （2）过点的直线与圆交于，两点， ①若，求直线的方程； ②当绕点转动时，求中点的轨迹方程． 18. 如图，在三棱柱中，，，是棱的中点，侧棱底面． （1）求异面直线与所成的角； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求到平面的距离． 19. 已知椭圆的焦点，，且过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线：交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为，求直线的方程． 20. 已知圆：（）的圆心为． （1）证明：无论取何值，圆恒过两个定点，并求出这两个定点的坐标； （2）当时，过直线：上动点作圆的两条切线，切点分别为，，求四边形的面积最小值，并求此时点的坐标； （3）当时，若直线：与圆交于，两点，且，其中为坐标原点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $