河北省雄安新区2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

2025一2026学年度高三年级第一学期期末考试 数学参考答案 一、选择题（单选）： 1~4.CBAC 5~8.BDBA 二、选择题（多选）： 9.ABD 10.AD 11.ABC 三、填空题： 12.1613.414.3,(第-空2分；第二空3分) 四、解答题：（若有其他解法，请参照给分） 15.解： (1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 由S6=4S3得，d=2a1;… …2分 又a2=2a1十1，解得a1=1,d=2,… 4分 则数列{an}的通项公式为an=2n一1.… 6分 (2)因为6=会=201， 2n, 所以工=+2++…+20， 2 ① 江-安+2++…+223+2. 2n 2n+1. ② 8分 ①一②得 =++安++…+， 2n-1 2n+1, 10分 1 + 27) 2n-1 2+1 ………12分 1-2 T,=3-2n+3 2n 所以数列{b.}的前n项和T.=3-2n十3 2n …… 13分 16.解： (1)因为底面ABCD为矩形，所以CD⊥AD.…1分 又因为PA⊥PD,PA=PD,AD=4,所以PD=2√2. 因为CD=2,PC=2W5,满足CD2十PD2=PC2,所以CD⊥PD.…3分 又因为PD∩AD=D,PD,ADC平面PAD, 高三数学参考答案第1页（共4页） 所以CD⊥平面PAD. ……5分 又因为CDC平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD. 6分 (2)以A为坐标原点，AB,AD所在直线的方向分别为x,y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系。 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,4,0),C(2,4,0),P(0,2,2), E(0,3,1), A=(2,0,0),A2=(0,2,2), AC=(2,4,0),Ai=(0,3,1).…8分 设平面PAB的一个法向量为m=(x1,y1,之1)， 平面EAC的一个法向量为n=(x2,y2,z2),则 m·A3=0即2=0： m·A市=0,2y1十2x1=0, 所以m=(0,1,一1)；…10分 n·AC=0,n/2x2+42=0, 即 所以n=(2,-1,3). n·Ai=0,3y2+x2=0, 12分 设平面EAC与平面PAB的夹角为0，则 w=aaa贤g女 7 14分 所以平面EAC与平面PAB夹角的余弦值为 > 15分 17.解： (1)f(x)=3x2-3a,… 1分 当a≤0时，不符合题意，故a>0. 2分 令f(x)=0解得x1=-√a,x2=√a, 此时A(-√a,2a√a),B(Wa,-2aVa),. 4分 由AB=4a解得a=之 6分 (2)因为A(-√a,2a√a),B(√a,-2aa), 所以点P在AB的中垂线y=2a上 8分 又P在曲线g（)=ln(ax)上，则方程la(ax)=云存在正数解， h(x)=ln(ac)之在x∈(0，十o∞)存在零点， 10分 N(u)=子-云在(0，十∞)上单调递减且W(2a)=0, 故h(x)在(0,2a)单调递增，(2a,十c∞)单调递减. 12分 因为（公）=一嘉<0，由零点存在定理可知， 只需(2a)=ln(2a)-1≥0即可，得a∈√号，+∞) 14分 所以a的取值范围为√号，十∞H …15分 高三数学参考答案第2页（共4页） 18.解： (1)由题意得，a2=25-b2, 2分 将42,35)代AE得25”器-1， 解得a2=9,b2=16,……… 4分 所以E的方程为号后-1 ……………………………………………………………………… 5分 (2)不存在， 6分 -1,@ 理由：设A(x1,y),B(x2,y2),则 兽-意-1，@ ②-①，得i-喔-， 16 9 化简整理，得k=一少=9(x十x2)_9 2-五16(y1十y2)=16…7分 所以直线L的方程为y-2三6Cz-2,即9x-16y十14=0.③)…9分 检验：③与。一无61联立可得△<0，故这样的直线L不存在………10分 (3)四边形ARQF为梯形.… 11分 [y=kx+5, 得(16k2-9)x2+160kx+256=0,16k2-9≠0， 由韦达定理，得x1十x2=一 160k 256 6k2-9'x1x2=162—9 ④…12分 由K,号，Q,号)且为-a+5, 9 52兔x1子名16 可得kAR一kQ= y-5 5+5 x1-3十2 x1-x2 Z2 2 2+9a+x） ……………14分 x2(x1一x2） 将④代人(*)式分子得2+✉十)=2×6g9 25616、160k 16k2-9 =2.2。-0, 512k 所以R=kQ,即AR∥FQ. 16分 又因为AF与RQ不平行，所以四边形ARQF为梯形.…17分 高三数学参考答案第3页（共4页） 19.解： (1)X的所有可能取值为-1,0,1. P(X=-1)=(1-0.8)×0.5=0.1, 1分 P(X=0)=0.8X0.5+(1-0.8)×(1-0.5)=0.5,…2分 P(X=1)=0.8×(1-0.5)=0.4. 3分 所以X的分布列为 X -1 0 ……。4。。……。 5分 P 0.1 0.5 0.4 (2)(i)由(1)可知p:=0.1p:-1+0.5p:十0.4p+1, 故5p:=p:-1十4p+1 1 即p+1一p:=4（p:一p-1),… ……7分 又因为p1一p。=1≠0， 则{p+1一p(i=0,1,2,…,7)是公比为子，首项为1的等比数列。…9分 pg=p8一p?十p,一p6十…十p1一p十p0 =(,一pr)+(-)++(一)=专[1-()]p 由于p8=1,故1 3 11分 4-() 所以p4=(p4-p3)十(p3-p)十(p2-p)十(p1-p)十p= 1-()]- …12分 (ⅱ)由题意知每场试验甲药胜出的概率为p=p4, 设2一1场中甲药有效的概率为M;增加两场甲药有效的概率为N,则： ①当2n-1场中甲胜出n-1场的概率为C2马1p-1(1-p), 增加两场甲药有效的概率为C2m1p”-1(1一)”p2；…………13分 ②当2n一1场中甲胜出n场的概率为Cm-1p”(1-p)-1, 增加两场甲药有效的概率为C2m-1p”(1一p)-1[1一(1一p)2门；…14分 ③当2n一1场中甲至少胜出n+1场的概率为M-C2m-1p”(1一p)-1, 增加两场甲药一定有效.… …15分 所以N=C2m31p-1(1-p)”p2十C2m-1p(1-p)”-1[1-(1-p)2]十M-C2m-1p(1一p)-1,整理 得N-M=C2m-1p"(1-p)m(2p-1),……16分 仅力三力，=5>号，故N一M>0,故能够提高甲药有效的概率.………………17分 高三数学参考答案第4页（共4页）河北省雄安新区 2025一2026学年度高三年级第一学期期末考试 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 in 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 出 项是符合题目要求的 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|-2<x<2},则A∩B= A.{0,1} B.{0,1,2} C.{-1,0,1) D.{-1,0,1,2} 2.若复数之满足(1十i)x=1一i,则x A.i B.-i C.-2i D,2i 3.函数f(x)=cosx一sinx在区间[0,2π]上的零点个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 4.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是 A.y=In x B.y=x+1 C.y=x3 D.y=tan x 5.已知FR,分别为椭圆C号+若=1(a>6>0)的左，右焦点，M为椭圆C上-点， 若|F1F2|=|MF2|,∠FF2M=120°，则C的离心率为 安 A. BI c.5-1 2 n吗 6.在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),B(6,0),动点P满足∠APB=60°，则点P到 x轴距离的最大值为 A.√3 B.4③ C.83 D.23 3 3 高三数学试卷第1页（共4页） 7.在△ABC中，AB=1,AC=√3，∠BAC=90°，点D在边BC上（不含端点），延长AD 到E,若A它=(2一λ)A克+AAC,且A它1=2，则线段BD的长度是 A分 B.1 c. D.3 8.已知3x-3=4-4=5°一5，则x,y,x的大小关系不可能为 A.之<x<y B.x=y=z C.I<y<z D.<y<x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,过F的直线与C交于A,B两点，点A(4,m)到 F的距离为5，则下列说法正确的有 A.p=2 B.准线方程为x=一1 C.AF⊥x轴 D.IABI-25 10.已知圆台的上、下底面半径分别为3和5，母线长为25，则 A.圆台的侧面积为16√5π B,圆台的母线与底面所成角的正切值为号 C.圆台的体积为196π D.圆台的外接球表面积为100π 11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若sin2A十sin2B一2sinC=0, cos Ace0 s Bcos C5。且a>c,点D,E分别是边AC,BC上的动点（不含端点 则下列说法正确的有 A.A=B B.cosC-是 C.cos A+cos C=5 D.若DE=DC.则AD的取值范围是[5c,e+1) 高三数学试卷第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知等比数列{a}的前n项和为Sn,且公比为2，则S。S= S2 13.已知直线y=2x十3是曲线y=lnx十x十a的一条切线，则a= 14.记a1,a2,…,ag,ag为1,2，…，8,9的任意排列，X=min{max{a1,a2,a3},max{a4, a5,a6},max{a,ag,ag},则X所有取值中最小值为 ;X的取值为偶数的概 率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S6=4S3,a2=2a1十1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若6.=贸，求数列{6.}的前n项和T 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥PD,PA=PD,CD=2, AD=4,PC=2√3. (1)证明：平面PAD⊥平面ABCD; (2)E为PD的中点，求平面EAC与平面PAB夹角的余弦值. E B 17.(15分) 已知函数f(x)=x3一3ax存在两个极值点x1,x2(x1<x2),记A(x1,f(x1),B(x2, f(x2). (1)若|AB=4a,求a的值； (2)若曲线g(x)=ln(ax)上存在点P,使得|PA|=|PB|,求a的取值范围. 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知双曲线E:-1@>0,b>0)过点4V2,33),且上焦点为F(0,5),直线 交E于A,B两点. (1)求E的方程， (2)弦AB的中点坐标能否为(2,2)？若能，求此时直线1的方程；若不能，请说明 理由. (3)若直线1的方程为y=kx十5(k≠0)，过A,B作直线m:y=号的垂线，垂足分别 为P,Q.点R为线段PQ的中点，判断四边形ARQF的形状，并给出证明. 19.(17分) 为测试甲、乙两种新药的疗效，现进行动物试验，试验方案如下：共进行2一1场试 验，n∈N·,每场包含若干轮对比试验，每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再 安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停 止试验，并认为治愈只数多的药在该场胜出.当一种药物胜出的场数超过半数，则认 为该药有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施 以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以 甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分：若都治愈或都未治愈则两种药均 得0分.假设甲、乙两种药的治愈率分别为0.8和0.5. (1)一轮试验中甲药得分记为X,求X的分布列。 (2)记甲、乙两种新药在每场试验开始时都赋予4分，p,(i=0,1,…,8)表示“甲药的 累计得分为i时，最终认为该场甲药胜出”的概率，则。=0，=1， p:=ap:-1十bp十cp+1(i=1,2,…,7), 其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1) (1)求p4; (ⅱ)记p,为每场甲药胜出的概率，现拟增加两场试验，试分析能否提高甲药有 效的概率？ 高三数学试卷第4页（共4页）