1.3.2 平方差公式的综合应用课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 3 乘法公式 第2课时 平方差公式的综合应用 北师版 七年级 数学（下） 复习导入 你还记得平方差公式吗? 你能用文字表示这个公式吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。 新课导入 如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。 （1）请表示图中阴影部 分的面积。 a b a2 – b2 （2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少?你能表示出它的面积吗? (a + b) (a – b) a-b a b b （3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗 ? a b a b 阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b) （4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法? a b 把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。 阴影部分的面积：(a + b)(a – b) a+b a-b 例题解析 （1）计算下列各组算式： 7×9 = 8×8 = 11×13 = 12×12 = 79×81 = 80×80 = 63 64 143 144 6399 6400 （2）观察上述算式及其结果，你发现了什么? (a – 1)(a + 1) = a2 – 1。 （3）请用字母表示这一规律。 符合平方差公式。 例题解析 用平方差公式进行计算： （1）103×97； （2）118×122 。 解：（1）103×97 =(100 + 3)(100 – 3) = 1002 – 32 = 9 991； （2）118×122 = (120 – 2)(120 + 2) = 1202 – 22 = 14 396。 (103+97)÷2=100 (118+122)÷2=120 你有什么发现? 分析与示例 命题角度1　利用平方差公式进行数字计算 利用平方差公式计算两个绝对值较大的数的乘积时，关键是将已知数写成两数和与这两数差的积的形式． 【例1】用简便方法计算，则98×102变形正确的是( ) A．98×102＝1002＋22 B．98×102＝(100－2)2 C．98×102＝1002－22 D．98×102＝(100＋2)2 C 【例2】运用平方差公式简便计算： (1)69×71; 解：(1)原式＝(70－1)×(70＋1) ＝702－12＝4 899； (2)1 007×993. 解：(2)原式＝(1 000＋7)(1 000－7) ＝1 0002－72 ＝999 951. 命题角度2　利用平方差公式整体求值 把相同的代数式看作一个整体，再利用平方差公式求值，注意有些代数值的非负性． 【例3】如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40，那么a－b的值为( ) A．49 B．7 C．－7 D．7或－7 D 【例4】若(a2＋b2＋1)(a2＋b2－1)－3＝0，则a2＋b2的值为____． 2 命题角度3　添项后运用平方差公式 此类题是通过适当添项变形成平方差公式的形式，从而进行简便计算． 【例5】先阅读理解，再解答问题． 如何计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)的值呢？我们注意到平方差公式的特征，可以将原式乘以(2－1)，所以原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)＝232－1. 试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值． 解：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝×(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝×(32－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1 ＝×(316－1)－1 ＝ . 试用上述方法求(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)－1的值． 命题角度4　利用平方差公式计算图形的面积 图形面积的计算一般是通过分割图形，利用面积的不同表示方法将问题转化，进而达到求解的目的． 【例6】将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形，再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为( ) A．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 B．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 D 【例7】为了美化城市，经统一规划，将一正方形草坪的南北方向增加3 m，东西方向缩短3 m，则改造后长方形草坪的面积与原来正方形草坪的面积相比( ) A. 增加了6 m2 B．增加了9 m2 C．减少了9 m2 D．保持不变 C 应用举例 【例1】用平方差公式进行计算： (1)103×97； 【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算； 解：(1)原式＝(100＋3)(100－3) ＝1002－32 ＝9 991； (2)118×122. (2)原式＝(120－2)(120＋2) ＝1202－22 ＝14396. (2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算． 【例2】用平方差公式进行计算： (1)20×19； 【方法指导】(1)可改写成[20×[20，利用平方差公式计算； 解：(1)原式＝[20×[20 ＝202－[2 ＝399； (2)13.2×12.8. (2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2) ＝132－0.22 ＝168.96. 【方法指导】 (2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算． 【方法指导】综合应用单项式(多项式)乘多项式计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便． 解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2 ＝a4－a2b2＋a2b2 ＝a4； (2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3). (2)原式＝4x2－25－4x2＋6x ＝6x－25. 【例3】计算： (1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2； 【例4】如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是________________________． 图① 图② 【方法指导】因为图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2. (a＋b)(a－b)＝a2－b2. 课堂小结 原理:等面积法 简便运算 方法:用不同方法表示 同一图形的面积 混合运算 平方差公式 验证公式 应用 随堂练习 1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是( ) A．(m－n)(－m－n)    B．(－1＋mn)(1＋mn) C．(－m＋n)(m－n)    D．(3m－2)(3m＋2) C 2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n的值为( ) A．1    B．2    C．2或－2    D．4 B 3．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，高为(2a－3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少． 解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b) ＝(4a2＋9b2)[(2a)2－(3b)2] ＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2) ＝(4a2)2－(9b2)2 ＝16a4－81b4(m3). 答：这个游泳池的容积是(16a4－81b4)m3. $