1.3 第1课时 平方差公式的认识-【培优课堂】2025-2026学年七年级下册数学试题课件（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦平方差公式的认识，从基础题（如识别可用公式的多项式乘法）导入，通过基础夯实（选择、填空、计算）到能力提升（逆向思维、规律验证），构建从公式理解到灵活应用的学习支架，衔接整式乘法与后续公式应用。 其亮点在于分层设计与核心素养融合，通过易错题警示强化公式形式把握，逆向思维题（如已知a²-b²=12求a+b）培养推理意识，规律探究（偶数平方差被3整除）提升运算能力，助力学生夯实基础、提升思维，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

第一章　整式的乘除 3　乘法公式 第1课时　平方差公式的认识 初中数学培优课堂  　平方差公式 1.(2025河南新郑期中)下列多项式乘法中能用平方差公式计 算的是 （ ） A.(a-b)(-a+b) 　　    B.(a+b)(-a+b) C.(a-b)(a-b)　　     D.(-a-b)(-a-b)     B     初中数学培优课堂 解析    A.第一个因式中的两项与第二个因式中的两项都互为 相反数,不能应用平方差公式. B.两个因式中的项有一项互为相反数,有一项相同,能应用平 方差公式. C,D两选项中,两个因式中的项都相同,不能应用平方差公式. 故选B. 初中数学培优课堂 2.【学科特色·易错题】(2025河南郑州期中)计算下列各式,其 结果是1-4a2的是 （ ） A.(-1-2a)(-1+2a)　　    B.(1-2a)2 C.(1-4a)2　　     D.(1+2a)(-1+2a)     A     解析    (-1-2a)(-1+2a)=1-4a2,则A正确. (1-2a)2=1-4a+4a2,则B错误. (1-4a)2=1-8a+16a2,则C错误. (1+2a)(-1+2a)=4a2-1,则D错误.故选A. 初中数学培优课堂 易错警示　此类问题,可能因为对平方差公式的形式特点把握不准,导致结果出现错误. 初中数学培优课堂 3.(2025广东深圳罗湖期末)若(x+3)(x-m)=x2-9,则m的值是 ______. 3　     解析　由平方差公式的特点可知m=3. 初中数学培优课堂 4.若xm-yn=(x+y2)(x-y2)(x2+y4),则m=________,n=________. 　    8　     　    4　     解析    (x+y2)(x-y2)(x2+y4)=(x2-y4)(x2+y4)=x4-y8,所以m=4,n=8. 初中数学培优课堂 5.计算: (1)(5+6a)(5-6a). (2)(-2x2+5)(-2x2-5). (3)   . (4)   . 初中数学培优课堂 解析    (1)(5+6a)(5-6a)=25-36a2. (2)(-2x2+5)(-2x2-5)=4x4-25. (3)   =121y2- x2. (4)    =  = x4-y4. 初中数学培优课堂   6.【学科特色·逆向思维】(2024四川凉山州中考,★☆☆)已知 a2-b2=12,且a-b=-2,则a+b=_________. 　　-6　     解析　因为a2-b2=12,所以(a+b)(a-b)=12. 因为a-b=-2,所以a+b=-6. 初中数学培优课堂 7.(★★★)观察: (2+3)2-22=7×3,(4+3)2-42=11×3. 嘉嘉发现规律:比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能 被3整除. 验证: (1)(6+3)2-62的结果是3的_______倍. (2)设偶数为2n,试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 延伸: 初中数学培优课堂 (3)比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数 是几?请说明理由. 初中数学培优课堂 解析    (1)15. 详解:(6+3)2-62=81-36=45=3×15,所以(6+3)2-62的结果是3的15 倍.故答案为15. (2)由题意得偶数为2n,比2n大3的数为2n+3, (2n+3)2-(2n)2=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3). 因为4n+3为整数, 所以3(4n+3)能被3 整除. 所以比2n大3的数与2n的平方差能被3整除. 初中数学培优课堂 (3)余数为3.理由:设整数为m,比m大3的数为m+3,则(m+3)2-m2= (m+3+m)(m+3-m)=6m+9=6(m+1)+3.因为m+1为整数,所以6(m+ 1)+3被6除的余数为3. 初中数学培优课堂   8.【新课标·运算能力】【学科特色·易错题】(2025山东青岛 李沧、城阳期中节选) (1)在计算(2+1)×(22+1)×(24+1)时,可以利用平方差公式,请你补 全计算过程: 解:(2+1)×(22+1)×(24+1) =(2-1)×(2+1)×(22+1)×(24+1) =(_______)×(22+1)×(24+1) =(_______)×(24+1)=_______. 初中数学培优课堂 (2)计算:(5+1)×(52+1)×(54+1)×…×(516+1)=_______. (3)根据你发现的规律填空: (a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)×…×(a2n+1)=_______. 初中数学培优课堂 解析    (1)22-1;24-1;28-1. (2) . 详解:(5+1)×(52+1)×(54+1)×…×(516+1) =  =  = . 初中数学培优课堂 (3)a4n-1. 详解:(a+1)(a-1)(a2+1)(a4+1)×…×(a2n+1) =(a2-1)(a2+1)(a4+1)×…×(a2n+1) =(a4-1)(a4+1)×…×(a2n+1) =(a2n-1)(a2n+1)=a4n-1. 初中数学培优课堂 易错警示　构造平方差公式简化运算时,要注意算式进行的是恒等变形,本题(2)的式子,原式添加一个因式(5-1)后,相当于扩大到了原来的4倍,故还需再除以4,才能保证该变形为恒等变形. 初中数学培优课堂 $