1.3.1 平方差公式的认识课件2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 3 乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 北师版 七年级 数学（下） 复习导入 完成下列各题，看谁做得又快又准确： (1)(a＋b)(a－b)＝____________； (2)(x＋1)(x－1)＝_________； (3)(1＋2a)(1－2a)＝_________； (4)(2x＋y)(2x－y)＝___________； (5)多项式与多项式相乘，先用____________________乘_________________________，再把所得的________． a2－b2 x2－1 1－4a2 4x2－y2 一个多项式的每一项 另一个多项式的每一项 积相加 新课导入 老王在某开发商处预定了一套边长为x米的正方形户型，到了交房的日子，开发商对老王说:“你定的那套房子结构不好，我给你换一个长方形的户型，比原来的一边增加5米，另一边减少5米，这样好看多了，房子总价还一样，你也没有吃亏，你看如何? ”老王一听觉得没有吃亏就答应了。 你觉得老王吃亏了吗? 探究新知 平方差公式的认识 （1）(x+2) (x–2) （2）(1+3a)(1–3a) （3）(x+5y)(1–5y) （4）(2y+z)(2y–z) = x2 – 2x + 2x – 4 = x2 – 4 = 1 – 3a + 3a – 9a2 = 1 – 9a2 = x2 – 5xy + 5xy – 25y2 = x2 – 25y2 = 4y2 – 2yz + 2yz – z2 = 4y2 – z2 用多项式与多项式相乘的运算法则计算下列多项式的积： 两数的___ 两数的___ 中间项抵消了 两数_____的___ 和 差 差 平方 你发现了什么? 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方的差。 你能再举一些类似的例子验证一下你的发现吗? (a + b)(a - b) = a2 - b2 （1）(3m + 1)(3m - 1); = 9m2 - 3m + 3m - 1=9m2 – 1。 = x4 - x2y + yx2 - y2= x4 - y2。 （2）(x2 + y)(x2 - y) 你能用字母表示你发现的规律吗? 讨论探究 【例1】利用平方差公式计算： (1)(5＋6x)(5－6x)；　 (2)(x－2y)(x＋2y)；　 (3)(－m＋n)(－m－n). 【方法指导】直接用平方差公式计算． 解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2； (2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2； (3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2. (2)(ab＋8)(ab－8). 【方法指导】进一步理解平方差公式，ab在(2)中可以表示一个整式． (2)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64. x]2y2= x2 【例2】利用平方差公式计算： (1)xy][ x 【例3】计算(a－1)(a＋1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＋1的结果是( ) A．2a8 B．a16 C．a8 D．a16－1 【方法指导】先观察算式符合平方差公式特点，(a－1)(a＋1)＝a2－1，再用(a2－1)(a2＋1)＝a4－1，(a4－1)(a4＋1)＝a8－1，(a8－1)(a8＋1)＝a16－1，a16－1＋1＝a16，得到结果是a16. B 应用举例 (2)－2a2b3·(－3a)； (3)7xy2z·(2xyz)2； (4)(4×105)·(5×104)； (5)(x2y2)·(－4xy2). 【方法指导】运用幂的运算法则和单项式乘单项式的法则计算即可． (2)原式＝6a3b3； (3)原式＝28x3y4z3； (4)原式＝20×109＝2×1010； (5)原式＝－4x3y4. 【例1]计算:(1)2xy2·[ 解：原式= 【例2】已知－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值． 【方法指导】根据－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程，进而求出m，n的值，即可得出答案． 解：因为－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项， 所以3m＋1＋5m－3＝4，2n＋5n－4＝1， 解得m＝ ，n＝. 所以m2＋n＝ 【方法指导】先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积． 【例3】有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积． 解：长方形的面积是xy m2， 绿化的面积是x×y＝xy(m2)， 则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2). 平方差公式的几何验证 如图①，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形. (1) 请表示图① 中阴影部分的面积. a b 图① a2 − b2 (2) 小颖将阴影部分拼成了一个长方形 (如图② )， 这个长方形的长和宽分别是多少? 你能表示出它的面积吗? a b 图② 中长：a + b， 宽：a − b， 面积：(a + b)(a − b). 证一证： 经过以上求面积的过程，你能验证平方差公式吗? (a＋b)( a－b)＝a²－b² 图② 合作探究 还有其他的几何方法解释吗？ a b a+b a-b a a-b b a a b b a-b 算一算！ 课堂小结 平方差公式 文字描述 几何验证 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a + b)(a－b) = a2－b2 多项式乘多项式 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 符号表示 c=a，d=-b 随堂检测 1．判断正误，如果错误，应怎样改正？ (1)(－a－b)(a－b)＝－a2＋b2；( ) (2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2；( ) √ (3)(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9；( ) × (4)(3x－1)(－3x－1)＝9x2－1.( ) 改正：(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2； × × 改正：(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9； 改正：(3x－1)(－3x－1)＝1－9x2. 2．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)； 解：(1)原式＝a4－b4； (2)[xy3m](－3m0.5xy) (2)原式=9m2－x2y2 $