精品解析：重庆市北碚区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

2025—2026学年（上）期末学生学业水平能力调研抽测 八年级数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试卷的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.010010001 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义，无限不循环小数即为无理数，判断各选项即可． 【详解】解：∵无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比， A．是分数，属于有理数； B．是无限不循环小数，属于无理数； C．，是整数，属于有理数； D．0.010010001是有限小数，属于有理数， 故选：B． 2. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，6，7 B. 2，3，4 C. 1，， D. ，，6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，判断是否能构成直角三角形，使用勾股定理的逆定理：验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：对于每个选项，计算平方和： A.∵，，∴，不是直角三角形； B.∵，，∴，不是直角三角形； C.∵，，∴，是直角三角形； D.∵，，∴，不是直角三角形， 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 16的平方根是4 B. 0的平方根是0 C. 负数没有立方根 D. 立方根等于其本身的数是0和1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义判断各选项的正确性． 【详解】解：∵平方根定义：一个数x的平方根是y，满足， A．16的平方根是，而不是只有4，∴A错误； B．，∴0的平方根是0，∴B正确； C．负数有立方根，如，∴C错误； D．立方根等于本身的数满足，解得或，∴D错误， 故选：B． 5. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，添加下列条件，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据题意结合全等三角形的判定条件逐一判断选项即可求解． 【详解】解：A项：结合，，满足，可判定全等； B项：∵，∴，结合，，满足，可判定全等； C项：与非夹角边，属情形，无法保证全等； D项：结合，，满足，可判定全等， 故选：C． 6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】解：∵全等三角形的对应边相等， ∴它们的周长相等，故B正确； A项两个等边三角形可能大小不同，不一定全等； C项面积相等的三角形形状可能不同，不一定全等； D项三个角对应相等的三角形相似，但不一定全等， 故选：B． 8. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 18 B. 36 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：D． 9. 如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（ ） A. α B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质及角度的等量代换．连接，由等腰直角三角形的性质得出，，，进而推出，证明，得到，，，从而得出的度数，再证明，得出，最终得出结果． 【详解】解：如图，连接， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10. 已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的展开与系数比较，多项式乘法的系数计算，代数式求值等知识点．先根据多项式A的展开，求出a、b、c、d的值；然后分别验证三个说法：说法①直接计算；说法②通过中项系数为0推导f与e的关系；说法③利用，推导f与e的关系． 【详解】解：∵， 展开， 比较系数得：，，，且， ∴， 则，， ∴，故说法①正确； ∵，，， M中项系数来自： A的项的常数项：， A的项的x项：， A的项的项：， ∴项系数为， 令其为0：， ∴，故说法②正确； ∵，， 由于， 又∵N为整式， ∴余数，即，故说法③正确， 综上，三个说法均正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：___． 【答案】3 【解析】 【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得． 【详解】解： ∵33=27， ∴． 故答案为3． 【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键． 12. 在“山声水声鸟鸣声声声入心”这句话中，“声”字出现频率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了频率的计算，首先统计句子中总字数和“声”字出现次数，然后计算频率比值． 【详解】解：句子“山声水声鸟鸣声声声入心”总字数为11个，“声”字出现5次， ∴频率为， 故答案为：． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 【答案】 7 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算及不等式的整数解，通过计算 的平方值，并比较其与连续整数的平方关系，确定n的值． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：7． 14. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法（平方差公式）因式分解，先提取公因式，再对余下的二次式应用平方差公式分解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 【答案】 ①. 10 ②. ##8.64## 【解析】 【分析】连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G，由勾股定理求得的值，再由求得和的值，进而由勾股定理求得的值；由翻折的性质可得出为等腰的中垂线，点A，D，F三点共线，，设，利用勾股定理列方程表示出，求解a的值即可得到，进而求得和的值，最后利用等面积法即可求得的值，即为点E到的距离． 【详解】解：如图，连接，过点D作交于点F，过点E作交于点G， ∵，，， ∴在中，， 又∵， ∴， 设，则， ∴，解得， ∴，， 在中，由勾股定理得，， ∵沿着直线翻折至所在平面内得到， ∴，，为等腰的中垂线， 即点A，D，F三点共线， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：10，． 【点睛】本题考查了勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的三线合一定理及利用三角形面积求高． 16. 如果一个四位正整数m的千位数字与个位数字之和为8，百位数字是十位数字的两倍，则称这样的四位数m为“冷静数”，若交换m的千位数字与百位数字、十位数字与个位数字后得到一个新数，且．例如“冷静数”，则，．求______；若已知m为“冷静数”，且的千位、百位组成的两位数与其十位、个位组成的两位数的和记为，能被7整除，则满足条件的m的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 2426 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算及数的表示方法，第一问直接计算交换后的数字并求值；第二问根据冷静数的定义设出数字，表达出和，简化表达式，利用整除性确定数字范围，求最小冷静数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设 m 的千位数字为 a，百位数字为 b，十位数字为 c，个位数字为 d，记作， 根据“冷静数”定义，有，， 交换后的千位数字为 b，百位数字为 a，十位数字为 d，个位数字为 c，记作， ∴，交换后， ∴， ∵的千位、百位组成的两位数为，十位、个位组成的两位数为， ∴， ∴， ∵能被7整除， 设（k为整数），即， 又∵，， ∴，， ∴代入上式可得：，即， ∵，， ∴当时，，即，化简得：， 要使m最小，需优先使a最小，再使c最小， ∴当时，， 则，， 此时， ∴满足条件的m的最小值为2426， 故答案为：，2426． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，涉及幂的乘方、同底数幂的除法、多项式乘多项式和平方差公式等，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据积的乘方运算法则计算，再根据同底数幂的除法运算法则计算，最后合并同类项； （2）先根据多项式乘多项式的运算法则和平方差公式，分别计算和，再去括号，最后合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 如图，在中，，平分． （1）请用尺规作图，作的角平分线交于E，交于点O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：.请完成下列证明的推理过程． 证明：∵， ∴ ① ∵平分，平分 ∴， ∴ ② ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求． （2）①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-角平分线，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质． （1）以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，再分别以这两点为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接该点至点C，并反向延长交点E，则的角平分线即为所求； （2）根据已知条件和角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质补充过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：①，②，③． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 为全面推进素质教育，某校拟构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术和体育四类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划调查初二年级学生对这四类选修课程的选择情况，现随机抽取部分学生进行了问卷调查（每名学生都参加选修课程且只参加其中的二项），并将调查统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）填空：______，扇形统计图中，“体育”类对应的扇形的圆心角是______； （2）请补全条形统计图； （3）若该校初二年级有650名学生，请估计该校初二年级选择“人文”类和“体育”类选修课程的学生人数共多少？ 【答案】（1）24，28.8 （2） 补全条形统计图如所求： （3）208人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，用样本估计总体及扇形统计图． （1）根据科技课程的人数信息求得所抽学生的总人数，再由人文课程所抽学生人数除以总人数再乘上即可得到m的值，继续求出“体育”类的频率，再用乘上该频率即可得出所对应的扇形的圆心角； （2）先求出“艺术”类的人数，再将“艺术”类的人数在条形统计图中补全即可； （3）先求出“体育”类选修课程的人数占比，再由该校初二学生总人数乘上“人文”类和“体育”类选修课程所抽人数占比即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵科技课程所抽学生人数为18人，占比为， ∴所抽学生的总人数为：（人）， ∵人文课程所抽学生人数为12人， ∴人文课程的占比为：， ∴， ∴“体育”类所对应的扇形的圆心角为：， 故答案为：24，28.8． 【小问2详解】 解：“艺术”类的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：“体育”类选修课程的人数占比为：， ∴该校初二年级选择“人文”类和“体育”类选修课程的学生人数为：（人）， 即估计该校初二年级选择“人文”类和“体育”类选修课程的学生人数为208人． 20. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则对中括号内的式子进行化简，再进行多项式除以单项式的运算，最后将x、y的值代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴． 21. 已知a、b是等腰的两边，且满足． （1）求的算术平方根； （2）求等腰的周长． 【答案】（1）6 （2）11或13 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，算术平方根的定义及等腰三角形的性质． （1）先根据二次根式有意义的条件求出b的值，进而求出a的值，再计算的值，最后求出其算术平方根； （2）根据等腰三角形的性质，分情况讨论腰长，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，进而求出等腰的周长． 【小问1详解】 解：由题意得，， 解得， 将代入， 可得， 将，代入， 可得， ∴36的算术平方根是6， 即的算术平方根是6． 【小问2详解】 解：当a为腰长时，等腰的三边长分别为5，5，3， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， 当b为腰长时，等腰的三边长为3，3，5， ∵，， ∴能构成三角形， 此时周长为， ∴等腰的周长为11或13． 22. 已知的三边分别是a、b、c． （1）若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． （2）若，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）25 （2）等腰三角形或直角三角形 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性、三角形三边关系及因式分解的应用． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形，再根据平方的非负性求出a、b的值，最后根据三角形三边关系求出c的取值范围，进而求出周长的最大值； （2）先对已知等式进行移项，然后通过因式分解将等式变形，再根据因式分解的结果判断的形状． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴且， 解得，， 根据三角形三边关系，可得，即， ∵c是正整数， ∴c的最大值为12， ∴周长的最大值为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c是三角形的三边， ∴， ∴或， 当时，，此时是等腰三角形； 当时，，此时是直角三角形， ∴是等腰三角形或直角三角形． 23. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【答案】（1） 解：如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴海港C会受影响． （2） 解：货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货，理由： 如图，设此时台风中心在上的位置为E， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵点D在上，，， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． 【解析】 【分析】2本题考查了勾股定理的应用及逆定理． （1）过点C作，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得，再利用三角形面积公式求得的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在上的位置为E，得出，利用勾股定理求得和的值，进而求得的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． （1）如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． （2）观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵ （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，解题的关键是利用等积法证明勾股定理． （1）连接，利用等积法，根据求解即可； （2）根据面积法可进行因式分解，然后根据因式分解后所得的等式，把的两边平方即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图形可知， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 25. 如图，在中，，于点D． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． （3）如图3，在（1）的条件下，若点P、Q分别是、边上的两个动点，且满足，连结、，点K为内部一点，连结、、，当取得最小值时，请判断是否有最小值，若没有请说明理由；若有请直接写出最小值． 【答案】（1）14 （2） 解：， 证明如下：如图，过点E作交的延长线于点G， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用等腰直角三角形的性质得出的值，再由勾股定理得出的值，进而求得的值，最后利用三角形面积公式即可求得结果； （2）过点E作交的延长线于点G，证得，得出，再证得，，继而得到，由此得出结论； （3）根据题意作，证得，平移使得，且，再作点G关于直线的对称点M，当B、P、M三点共线时，的值最小，即，连接交于点，连接交于点O，证得和，当取得最小值时，，将绕点B顺时针旋转得，连接，，过点作交延长线于点H，为等腰直角三角形，得到，当，，K，四点共线时，有最小值，有最小值，最小值即为，再利用勾股定理和三角形面积公式求出相关线段的值，最终可求出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，，， ∵点P，Q分别为，上的动点，且， ∴点P随点Q在运动， 如图，作， 在和中， ， ∴， ∴， 平移使得，且， ∴， 作点G关于直线的对称点M， ∴， ∴， 当B、P、M三点共线时，的值最小，即， ∴， 连接交于点，连接交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得，连接，，过点作交延长线于点H， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当，，K，四点共线时，有最小值， ∴， ∴的最小值即为， 在中，， ∴， 解得：， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短及等腰三角形的性质，二次根式的运算等，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）期末学生学业水平能力调研抽测 八年级数学试卷 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.试卷的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回. 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 0.010010001 2. 的计算结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，6，7 B. 2，3，4 C. 1，， D. ，，6 4. 下列说法正确的是（ ） A. 16的平方根是4 B. 0的平方根是0 C. 负数没有立方根 D. 立方根等于其本身的数是0和1 5. 如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，，添加下列条件，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 两个等边三角形一定全等 B. 两个全等三角形的周长相等 C. 面积相等的两个三角形一定全等 D. 三个角对应相等的两个三角形全等 8. 如果多项式是一个完全平方式，那么的值是（ ） A. 18 B. 36 C. D. 9. 如图，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，、都是以点F为直角顶点的等腰直角三角形，其中的斜边在的直角边上，已知点E在边上且满足，若，则的度数是（ ） A. α B. C. D. 10. 已知关于x的两个多项式，．下列说法： ①； ②若不含项，则； ③若，其中N为整式，则． 其中正确的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 计算：___． 12. 在“山声水声鸟鸣声声声入心”这句话中，“声”字出现频率是______． 13. 若n为正整数，且满足，则______． 14. 分解因式：______． 15. 如图，在中，，点D是边上一点，将沿着直线翻折至所在平面内，得到，若，，，则______，点E到的距离是______． 16. 如果一个四位正整数m的千位数字与个位数字之和为8，百位数字是十位数字的两倍，则称这样的四位数m为“冷静数”，若交换m的千位数字与百位数字、十位数字与个位数字后得到一个新数，且．例如“冷静数”，则，．求______；若已知m为“冷静数”，且的千位、百位组成的两位数与其十位、个位组成的两位数的和记为，能被7整除，则满足条件的m的最小值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，平分． （1）请用尺规作图，作的角平分线交于E，交于点O（不写作法，保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，求证：.请完成下列证明的推理过程． 证明：∵， ∴ ① ∵平分，平分 ∴， ∴ ② ∴ 在和中， ∵ ∴ ∴． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. 为全面推进素质教育，某校拟构建特色课程模式，开展人文、科技、艺术和体育四类选修课程，为合理安排课程数量，学校计划调查初二年级学生对这四类选修课程的选择情况，现随机抽取部分学生进行了问卷调查（每名学生都参加选修课程且只参加其中的二项），并将调查统计结果绘制成如图所示的两幅不完整统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）填空：______，扇形统计图中，“体育”类对应的扇形的圆心角是______； （2）请补全条形统计图； （3）若该校初二年级有650名学生，请估计该校初二年级选择“人文”类和“体育”类选修课程的学生人数共多少？ 20. 化简求值：，其中，． 21. 已知a、b是等腰的两边，且满足． （1）求的算术平方根； （2）求等腰的周长． 22. 已知的三边分别是a、b、c． （1）若，且a、b、c都是正整数，求周长的最大值． （2）若，判断的形状并说明理由． 23. 如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. （1）请通过计算说明海港C会受台风影响； （2）台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 24. 如图，我们运用图1中大正方形的面积可表示为，也可表示为，即可得到，由此推导出一个重要的结论，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”． （1）如图2，它由两个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成一个大直角梯形，请用其中面积的不同表示方法证明勾股定理． （2）观察图3，分解因式______；若、、为实数，，，利用上述结论求的值． 25. 如图，在中，，于点D． （1）如图1，若，，求的面积． （2）如图2，将绕点C顺时针旋转到，连接交于点F，请猜想并证明，，之间的数量关系． （3）如图3，在（1）的条件下，若点P、Q分别是、边上的两个动点，且满足，连结、，点K为内部一点，连结、、，当取得最小值时，请判断是否有最小值，若没有请说明理由；若有请直接写出最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $