第4讲 菱形的性质及判定(知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学八年级下册

本讲义聚焦菱形的性质及判定核心知识点，系统梳理定义（一组邻边相等的平行四边形）、性质（四条边相等、对角线互相垂直、面积=½×对角线乘积）、判定（邻边相等的平行四边形、对角线垂直的平行四边形）及易混淆点，构建从概念到应用的学习支架，衔接平行四边形知识形成完整脉络。 资料亮点在于分层设计真题（性质10题、判定11题、综合12题），如旋转长方形纸条探究菱形（培养几何直观，数学眼光），证明题（如证四边形为菱形）提升推理能力（数学思维），面积计算等题强化数学语言表达。课中例题助教师授课，课后练习帮学生查漏补缺，落实核心素养。

第4讲菱形的性质及判定 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第23章菱形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了菱形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 概念总结： 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=½×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 易混淆点： 对角线垂直的四边形不一定是菱形 一．菱形的性质（共10小题） 1．如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　 　 ． 2．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　 ． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　 　 ． 5．在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 　 　 ． 6．如图，四边形ADCE是菱形，过点C作CB⊥AC，交AD的延长线于点B，若AE，BC＝4，则AC的长为　 　 ． 7．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，那么阴影部分的面积是 　 　 ． 8．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ． 9．已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：DE＝BF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 10．已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F． （1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE； （2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE． 二．菱形判定（共11小题） 11．平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠A＝∠D D．CA平分∠BCD 12．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 13．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（ㅤㅤ） A．AB＝CD B．∠ACB＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 14．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（　　） A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB 15．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（　　） A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直 16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：　 　 ，使四边形ABCD成为菱形． 17． 已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 　 　 （答案不唯一）． 18．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段BC延长线上，且BE＝CF，AF平分∠EAD，求证：四边形AEFD为菱形． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH． （1）求证：AG＝CH； （2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形． 21．如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在线段AB，CD上，且BE＝DF，连接BD，EF交于点O． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）连接BF，DE（如图2），若BF＝DF，求证：四边形BFDE是菱形． 三．菱形性质与判定综合（共12小题） 22．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3，则线段AB的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 23．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则a+b的值为（　　） A．80 B．100 C．120 D．140 24．如图，按以下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接BC，CD，BD．若∠ABD＝68°，则∠ABC的度数是（　　） A．68° B．124° C．136° D．158° 25．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 　 　 cm2． 26．如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上，连接AD，CE交于点F，若∠AEC+∠ADC＝180°，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是　 　 ． 27．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F，下列条件：①∠ACB＝90°；②CD平分∠ACB；③AC＝BC，AD＝BD．选择条件 　 　 能使四边形DECF是菱形． 28．操作 现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形ABCD． （1）重叠部分四边形ABCD是什么形状的四边形？请说明理由． （2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？ 请直接填写：最小面积　 　 cm2，最大面积　 　 cm2． 29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长． 30．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系． 31．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 32．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，AC⊥BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作点DH⊥AB，垂足为点H，联结OH，求证：∠DHO＝∠DCO． 33．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N． （1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形； （2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN． 1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　 　 ． 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　 　 ． 3．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　 　 ． 4．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是　 　 ． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 1．菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠BOC＝90° C．∠ABC＝∠BCD D．∠ADB＝∠CDB 4．已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　） A．64 B．32 C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 6．已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD相交于点O．如果AO：BO＝4：3，那么菱形ABCD的面积为 　 　 ． 7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 　 　 ． 8．已知一个菱形的边长为10，其中一条对角线长为12，那么另一条对角线的长为 　 　 ． 9．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC的面积为S．如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么S的取值范围 　 　 ． 10．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长． 12．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：AG＝AH； （2）延长AF、BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：． 13．在菱形ABCD中，CE，AF分别是其外角∠DCN和∠DAM的平分线，AD的延长线交CE于点E，CD的延长线交AF于点F． （1）证明：△ADC≌△EDF； （2）判断四边形ACEF是什么特殊四边形．并说明理由． 14．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形，边DE与AC交于点O．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB、AC、AD相交于点F、G、H，联结CE． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）连结DG，如果AD⊥BC，求证：四边形DGEC是菱形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲菱形的性质及判定 (知识梳理+解题方法+例题精讲+课后巩固)培优讲义 本节课主要针对第23章菱形进行专题讲解。在本节课中，我们梳理了菱形相关概念、解题中常考的方法以及易错知识点。并结合课内常考例题进行深度讲解，课后搭配练习进行巩固。帮助同学们更好的掌握本小节知识点。 概念总结： 定义：一组邻边相等的平行四边形 性质：四条边相等；对角线互相垂直；面积=½×对角线乘积 判定：①一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形 易混淆点： 对角线垂直的四边形不一定是菱形 一．菱形的性质（共10小题） 1．如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　6　 ． 【分析】由菱形的性质可得AC⊥BD，由直角三角形的性质可得CD＝2OE，故可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△COD是直角三角形， ∵点E是CD的中点， ∴CD＝2OE＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 2．面积为S的菱形一条对角线是另一条的2倍，则其边长为（　　） A． B． C． D． 【分析】设菱形的一条对角线长为a，则另一条对角线长为2a，根据菱形的两条对角线互相垂直平分结合勾股定理即可求解． 【解答】解：设菱形的一条对角线长为a，则另一条对角线长为2a， ∵菱形的面积为S， ∴， ∴a，2a＝2， ∵菱形的两条对角线互相垂直平分， ∴其边长， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　25°　 ． 【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为25°． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，那么AF的长等于 　　 ． 【分析】连接BD，连接BF并延长交CD于点H，依题意得△BCD是等边三角形，AE＝BEAB＝1，CF＝EF，证明△FCH和△FEH全等得CH＝BE＝1，FH＝FBBH，则CH＝DH＝1，再根据等边三角形性质得BH⊥CD，则△BCH和△ABF都是直角三角形，在Rt△BCH中，由勾股定理得BH，则FH＝FBBH，然后在Rt△ABF中，由勾股定理得AF，据此即可得出答案． 【解答】解：连接BD，连接BF并延长交CD于点H，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且边长为2，∠DAB＝60°， ∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝∠DAB＝60°，CD∥AB， ∴△BCD是等边三角形， ∵点E是AB的中点， ∴AE＝BEAB＝1， ∵点F为CE的中点， ∴CF＝EF， ∵CD∥AB， ∴∠FHC＝∠FBE，∠FCH＝∠FEB， 在△FCH和△FEB中， ， ∴△FCH≌△FEB（AAS）， ∴CH＝BE＝1，FH＝FBBH， ∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1＝1， ∴CH＝DH＝1， ∵△BCD是等边三角形， ∴BH⊥CD， ∴∠FHC＝∠FBE＝90°， ∴△BCH和△ABF都是直角三角形， 在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH， ∴FH＝FBBH， 在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，理解菱形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 5．在边长为13的菱形中有一条对角线长为24，则另一条对角线长度为 　10　 ． 【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，BD＝2OB，OAAC＝12，由勾股定理求出OB＝5，得到BD＝2OB＝10． 【解答】解：如图，菱形ABCD边长是13，AC＝24， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BD＝2OB，OAAC24＝12， ∵菱形ABCD的边长是13， ∴AB＝13， ∴OB5， ∴BD＝2OB＝10． ∴菱形的另一条对角线长度为10． 故答案为：10． 【点评】本题考查菱形的到性质，关键是由菱形的性质推出AC⊥BD，BD＝2OB，OAAC，由勾股定理求出OB的长． 6．如图，四边形ADCE是菱形，过点C作CB⊥AC，交AD的延长线于点B，若AE，BC＝4，则AC的长为　2　 ． 【分析】先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【解答】解：∵四边形ADCE是菱形，AE，BC＝4， ∴， ∴∠DAC＝∠DCA， ∵CB⊥AC， ∴∠B+∠DAC＝90°＝∠DCB+∠DCA， ∴∠B＝∠BCD， ∴， ∴， ∵BC＝4， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 7．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为12和15，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，那么阴影部分的面积是 　45　 ． 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积． 【解答】解：设AP与EF相交于O点． ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC∥AD，AB∥CD． ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴PE∥AF，PF∥AE． ∴四边形AEFP是平行四边形． ∴阴影部分的面积等于△ABC的面积． ∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半， ∴菱形ABCD的面积AC•BD＝90， ∴图中阴影部分的面积为90÷2＝45． 故答案为：45． 【点评】本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键． 8．如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　3　 ． 【分析】连接AP，由菱形ABCD的周长为16，根据了菱形的性质得AB＝AD＝4，并且S菱形ABCD＝2S△ABD，则S△ABD12＝6，由于S△ABD＝S△APB+S△APD，再根据三角形的面积公式得到•PE•AB•PF•AD＝6，即可得到PE+PF的值． 【解答】解：连接AP，如图， ∵菱形ABCD的周长为16， ∴AB＝AD＝4， ∴S菱形ABCD＝2S△ABD， ∴S△ABD12＝6， 而S△ABD＝S△APB+S△APD，PE⊥AB，PF⊥AD， ∴•PE•AB•PF•AD＝6， ∴2PE+2PF＝6， ∴PE+PF＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且分别平分两组内角，也考查了三角形的面积公式，作出适当的辅助线，利用三角形的面积和菱形的面积建立等量关系是解答此题的关键． 9．已知：如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G． （1）求证：DE＝BF； （2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，B＝CD，然后证明出四边形DEBF是平行四边形，即可得到DE＝BF； （2）首先证明出四边形AGBD是平行四边形，如图所示，连接DG，由菱形得到DE＝BE，然后证明出AB＝DG，即可得到平行四边形AGBD是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∵E、F分别为边AB、CD的中点， ∴，， ∴BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE＝BF； （2）解：矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵AG∥DB， ∴四边形AGBD是平行四边形， 如图所示，连接DG ∵E为边AB的中点， ∴点E在DG上， ∵四边形BEDF是菱形， ∴DE＝BE， ∵AE＝BE，DE＝EG， ∴AB＝DG， ∴平行四边形AGBD是矩形． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，解题的关键是相关性质的熟练掌握． 10．已知：在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F． （1）如图①，如果∠BAE＝∠EAF，求证：AE＝BE； （2）如图②，如果对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM＝MN，求证：∠EAF＝2∠BAE． 【分析】（1）欲证AE＝BE，可以通过证明∠B＝45°＝∠BAE，根据等腰直角三角形的性质得出； （2）根据菱形的性质，由AAS证明△ABE≌△ADF，由于∠BAN＝90°，通过证明△AMN是等边三角形，得出∠MAN＝60°，则有∠MAB＝30°，从而证明∠EAF＝2∠BAE． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， 又∵AF⊥CD， ∴AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， 又∵∠BAE＝∠EAF， ∴∠BAE＝45°，∠AEB＝90°， ∴∠B＝45°＝∠BAE， ∴AE＝BE． （2）∵菱形ABCD， ∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADF， 又∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD， 在△ABE与△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴∠BAE＝∠DAF，AB＝AD， ∴∠ABM＝∠ADN， ∴△ABM≌△ADN（ASA）， ∴AM＝AN， 又∵∠BAN＝90°，BM＝MN， ∴AM＝MN＝AN， ∴∠MAN＝60°， ∴∠MAB＝30°， ∴∠EAF＝2∠BAE． 【点评】本题主要考查菱形的边的性质，同时综合利用全等三角形的判定方法及等腰三角形和等边三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 二．菱形判定（共11小题） 11．平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列条件中，不能判定它为菱形的是（　　） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠A＝∠D D．CA平分∠BCD 【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可． 【解答】解：A、为一组邻边相等平行四边形是菱形； B、为对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形； D、为一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形； C、可判定为矩形，不能判定为菱形，故选C． 【点评】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 12．已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD，∠ABO＝∠CBO，再添加一个条件使四边形ABCD是菱形，添加条件不正确的是（　　） A．AB＝AD B．AB∥CD C．OB＝OD D．AD＝CD 【分析】根据菱形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、AB＝AD，∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴DA＝DB， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； B、AB∥CD， ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB＝∠CBD， ∴CB＝CD， ∵AC⊥BD， ∴OD＝OB， ∴AB＝AD， ∵AB＝AC， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； C、OB＝OD， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠COB＝90°， ∵∠ABO＝∠CBO， ∴∠BAC＝∠BCA， ∴AB＝AC，AO＝OC， ∴四边形ABC都是平行四边形， ∵AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形，本选项正确，不符合题意； D、由AD＝CD，无法判断四边形ABCD是菱形． 故选：D． 【点评】本题考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法． 13．在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，对角线AC、BD相交于点O．下列说法能使四边形ABCD为菱形的是（ㅤㅤ） A．AB＝CD B．∠ACB＝∠ACD C．∠BAC＝∠DAC D．AC＝BD 【分析】证明∠BCA＝∠BAC，得AB＝BC，再证明AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【解答】解：能使四边形ABCD为菱形的是∠BAC＝∠DAC，理由如下： 如图，∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠DAC， ∵∠BAC＝∠DAC， ∴∠BCA＝∠BAC， ∴AB＝BC， ∵AB＝AD， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB＝AD， ∴平行四边形ABCD为菱形， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定，证明四边形ABCD为平行四边形是解题的关键． 14．已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列补充条件中，能判定这个平行四边形是菱形的是（　　） A．OA＝OC B．OA＝OB C．∠ABD＝∠CBD D．∠ABD＝∠CAB 【分析】根据矩形的判定方法和菱形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，这是平行四边形的性质，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形；故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴平行四边形ABCD是菱形；故选项C符合题意； D、∵∠ABD＝∠CAB， ∴OA＝OB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴AC＝AD， ∴平行四边形ABCD是矩形；故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形和菱形的判定方法是解题的关键，属于中考常考题型． 15．在一组对边平行的四边形中，增加一个条件，使得这个四边形是菱形，那么增加的条件可以是（　　） A．另一组对边相等，对角线相等 B．另一组对边相等，对角线互相垂直 C．另一组对边平行，对角线相等 D．另一组对边平行，对角线相互垂直 【分析】根据菱形的判定及平行四边形的判定与性质对每个选项分别判断即可． 【解答】解：A、另一组对边相等，对角线相等，这个四边形可能是等腰梯形，故此选项不符合题意； B、另一组对边相等，对角线互相垂直，这个四边形可能是等腰梯形，故此选项不符合题意； C、另一组对边平行，对角线相等，这个四边形是矩形，故此选项不符合题意； D：另一组对边平行，对角线互相垂直，这个四边形是菱形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】此题考查的是菱形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 16．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O．请添加一个条件：AD∥BC（AB＝CD或 OB＝OD 或∠ADB＝∠CBD 等）　 ，使四边形ABCD成为菱形． 【分析】根据AD∥BC或AB＝CD或或ADB＝∠CBD，证得四边形ABCD是平行四边形，再根据AC⊥BD可证得四边形ABCD是菱形；根据OB＝OD，证得Rt△ADO≌Rt△CBO（HL），得到AO＝CO，DO＝BO，可证得四边形ABCD是菱形． 【解答】解：当添加“AD∥BC”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“AB＝CD”时， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加“OB＝OD”时， ∵AD＝BC，AC⊥BD， ∴Rt△ADO≌Rt△CBO（HL）， ∴AO＝CO，DO＝BO， ∴四边形ABCD是菱形； 当添加：“∠ADB＝∠CBD”时， ∴AD∥BC， ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 故答案为：AD∥BC（或AB＝CD或OB＝OD 或ADB＝∠CBD等 ）． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、直角全等三角形全等的判定，解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定，利用数形结合的思想解答． 17．已知AD是△ABC的角平分线，点E、F分别是边AB，AC的中点，连接DE，DF，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是AB＝AC或∠B＝∠C或AE＝AF （答案不唯一）． 【分析】菱形的判定方法有三种： ①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 【解答】解：由题意知，可添加：AB＝AC． 则三角形是等腰三角形， 由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合， 即点D是BC的中点， ∴DE，EF是三角形的中位线， ∴DE∥AB，DF∥AC， ∴四边形ADEF是平行四边形， ∵AB＝AC， 点E，F分别是AB，AC的中点， ∴AE＝AF， ∴平行四边形ADEF为菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加∠B＝∠C或AE＝AF． 18．已知：如图，平行四边形ABCD中，点E在边BC上，点F在线段BC延长线上，且BE＝CF，AF平分∠EAD，求证：四边形AEFD为菱形． 【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥DC，求得∠B＝∠DCF，根据全等三角形的性质得到AE＝DF，∠AEB＝∠DFC，求得AE∥DF，推出AE＝EF，根据菱形的判定定理得到四边形AEFD为菱形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥DC， ∴∠B＝∠DCF， 在△ABE与△DCF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC， ∴AE∥DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∴∠DAF＝∠AFE， ∵AF平分∠EAD， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴∠AFE＝∠EAF， ∴AE＝EF， ∴四边形AEFD为菱形． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理以及菱形的判定定理是解题的关键． 19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为边AB、AC上的点，DE∥BC，联结BE，点G为BE的中点，联结DG，并延长交边BC于F． （1）求证：四边形DBFE是平行四边形； （2）如果∠C＝2∠BEF，求证：四边形DBFE是菱形． 证明： 【分析】（1）根据平行线的性质得到∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，由AAS定理证明，△DEG≌△FBG，得到DE＝FB，根据平行四边形的判定即可证的结论； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的性质证得∠EFC＝∠C，由三角形外角定理与已知条件证得∠BEF＝∠EBF，得到BF＝EF，即可证的结论． 【解答】证明：（1）∵DE∥BC， ∴∠DEG＝∠FBG，∠EDG＝∠BFG，DE∥FB， ∵点G为BE的中点， ∴EG＝BG， 在△DEG和△FBG中， ， ∴△DEG≌△FBG（AAS）， ∴DE＝FB， ∴四边形DBFE是平行四边形； （2）由（1）知四边形DBFE是平行四边形， ∴BD∥EF， ∴∠ABC＝∠EFC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∴∠EFC＝∠C， ∵∠C＝2∠BEF， ∴∠EFC＝2∠BEF＝∠BEF+∠EBF， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF， ∴平行四边形DBFE是菱形． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，等腰三角形的性质和判定，三角形外角定理，综合运用相关知识是解决问题的关键． 20．已知：如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD的中点，AF、CE与对角线BD分别相交于点G、H，联结EG、FH． （1）求证：AG＝CH； （2）当AD⊥BD时，求证：四边形EHFG是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB＝CD，求得AE，CF，得到AE＝CF，根据全等三角形的性质得到EH＝FG，得到AG＝CH； （2）连接EF，由（1）知，EH＝FG，EH∥FG，得到四边形EHFG是平行四边形，求得AD∥EF，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB＝CD， ∵点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE，CF， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF＝CE，AF∥CE， ∴∠AFD＝∠FCH， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠FCE，∠EBH＝∠FDG， ∴∠DFG＝∠BEH， ∵BE， ∴BE＝DF， ∴△BEH≌△DFG（ASA）， ∴EH＝FG， ∴AG＝CH； （2）连接EF， 由（1）知，EH＝FG，EH∥FG， ∴四边形EHFG是平行四边形， ∵点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴AE＝DF， ∵AE∥DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD∥EF， ∵AD⊥BD， ∴EF⊥BD， ∴四边形EHFG是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 21．如图1，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在线段AB，CD上，且BE＝DF，连接BD，EF交于点O． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）连接BF，DE（如图2），若BF＝DF，求证：四边形BFDE是菱形． 【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△DOF即可； （2）先证四边形BFDE是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠OBE＝∠ODF， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CE， ∵BE＝DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， 又∵BF＝DF， ∴平行四边形BFDE是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 三．菱形性质与判定综合（共12小题） 22．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3，则线段AB的长为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【分析】连接AC与BD，交于点O，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，由题意可判断出四边形ABCD是平行四边形．由于两张纸条等宽，可以推断出AB＝BC，则平行四边形ABCD是菱形．根据菱形的性质和勾股定理，计算出线段AB的长即可． 【解答】解：由题意可知，AD∥BC，AB∥DC，如图，连接AC与BD，交于点O，作DE⊥AB，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵两张纸条等宽， ∴DE＝DF， ∵S▱ABCD＝AB•DE＝BC•DF，A、C之间的距离为4，B、D之间的距离为3， ∴AB＝BC， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，， 在直角△OAB中，． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定定理与性质是解题关键． 23．甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为80的纸条，则a+b的值为（　　） A．80 B．100 C．120 D．140 【分析】根据题意列出方程组求出a，b的值，即可解决问题． 【解答】解：根据题意得：， 解方程组得：， ∴a+b＝100， 故选：B． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解决本题的关键是根据题意列出方程组． 24．如图，按以下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接BC，CD，BD．若∠ABD＝68°，则∠ABC的度数是（　　） A．68° B．124° C．136° D．158° 【分析】根据尺规作图得出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质即可求解． 【解答】解：根据题意可知，AB＝AD＝BC＝CD＝1， ∴四边形ABCD为菱形， ∴∠CBD＝∠ABD＝68°， ∴∠ABC＝2∠ABD＝2×68°＝136°． 故选：C． 【点评】本题考查了作图，菱形的判定与性质，掌握菱形的判定与性质的方法是关键． 25．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 　　 cm2． 【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，依题意得AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD是平行四边形，根据蓝丝带宽为6cm得BE＝DF＝6cm，再根据等腰直角三角形勾股定理AB＝ADcm，进而得平行四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： 依题意得：AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵蓝丝带宽为6cm， ∴BE＝DF＝6cm， ∵∠BAD＝45°， ∴△ABE和△ADF都是等腰直角三角形， ∴AE＝BE＝6cm，AF＝DF＝6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB（cm）， 同理：ADcm， ∴AB＝ADcm， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴重叠部分图形的面积是：AD•BE（cm2）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 26．如图，等边三角形ABC边长为2，点D在BC边上，且BD＜CD，点E在AB边上，连接AD，CE交于点F，若∠AEC+∠ADC＝180°，在线段FC上截取FG＝FA，连接BG，则线段BG的最小值是　　 ． 【分析】先根据等边三角形的性质证明△ABD≌△CAE，得出∠AFE＝60°，进而得到∠AGC＝150°，从而得到点G在以AC为弦、所对圆周角为150°的一段弧上运动，然后作辅助线图如图，得到BG+OG≥OB（当且仅当B，G，O三点共线时取等号），得出BG的最小值即为BO﹣OG，再求出BO，GO即得答案． 【解答】解：∵三角形ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵∠AEC+∠ADC＝180°， 又∵∠ADB+∠ADC＝180°， ∴∠AEC＝∠ADB， ∴∠AEC＝∠ADB，∠ABC＝∠BAC，AB＝AC， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴∠BAD＝∠ACE， ∴∠AFE＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠FAE＝∠BAC＝60°， 连接AG，如图， ∵FG＝FA， ∴∠FAG＝∠FGA＝30°， ∴∠AGC＝150°， ∴点G在以AC为弦、所对圆周角为150°的一段弧上运动， 设这段弧所在的圆心为O，连接AO，CO，BO，GO， 则BG+OG≥OB（当且仅当B，G，O三点共线时取等号）， ∴BG的最小值即为BO﹣OG， 设BO，AC交于点H， ∵∠AGC＝150°， ∴∠AOC＝2×（180°﹣150°）＝60°， ∵AO＝CO， ∴△ACO是等边三角形， ∴AO＝CO＝AC＝AB＝BC＝2， ∴四边形ABCO是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴BG的最小值为； 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，得出点G取最小值的位置是解题的关键． 27．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F，下列条件：①∠ACB＝90°；②CD平分∠ACB；③AC＝BC，AD＝BD．选择条件 　②③　 能使四边形DECF是菱形． 【分析】根据平行四边形的判定和性质定理已经菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】解：选择条件②， ∵DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F， ∴四边形DECF是平行四边形，∠FCD＝∠CDE， ∵CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠ECD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形DECF是菱形， 选择条件③， ∵DE∥AC交BC于点E，DF∥BC交AC于点F， ∴四边形DECF是平行四边形，∠FCD＝∠CDE， ∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD平分∠ACB， ∴∠FCD＝∠ECD， ∴∠ECD＝∠CDE， ∴CE＝DE， ∴四边形DECF是菱形， 故答案为：②③． 【点评】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键． 28．操作 现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形ABCD． （1）重叠部分四边形ABCD是什么形状的四边形？请说明理由． （2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？ 请直接填写：最小面积　25　 cm2，最大面积　125　 cm2． 【分析】（1）首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻边相等，则重叠部分为菱形； （2）设AB＝BC＝x厘米，根据菱形面积公式得到菱形ABCD的面积＝5x，于是得到当x＝5时，菱形ABCD的面积最小为5×5＝25（平方厘米），当x＝25时，菱形ABCD的面积最大为5×25＝125（平方厘米）． 【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形， 理由：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， 又∵AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵宽为5厘米， ∴AE＝AF＝5厘米， 设AB＝BC＝x厘米， ∴菱形ABCD的面积＝5x， ∵5＞0， ∴菱形ABCD的面积随x的增大而增大， ∵52+（25﹣x）2＝x2， ∴x＝13， ∴当x＝5时，菱形ABCD的面积最小为5×5＝25（平方厘米）， 当x＝13时，菱形ABCD的面积最大为5×13＝65（平方厘米）， 故答案为：25，65． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，证得四边形为菱形是解题的关键． 29．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，点E为BC的中点 （1）求证：四边形AECD是菱形； （2）联结BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的长． 【分析】（1）由直角三角形的性质可得AE＝AD＝EC，且AD∥BC，可证四边形AECD是平行四边形，即可得结论； （2）由角平分线的性质和平行线的性质可得AD＝AB＝CD，可证四边形ABCD是等腰梯形，可得BD＝AC，由勾股定理可求AC的长，即可得BD的长． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝90°，点E为BC的中点， ∴AE＝ECBC ∵BC＝2AD， ∴ADBC ∴AD＝EC，且AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形，且AE＝EC， ∴四边形AECD是菱形 （2）如图， ∵AD∥BC，AD＜BC ∴四边形ABCD是梯形， ∵BD平分∠ABD， ∴∠ABD＝∠DBC∠ABC ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD ∵四边形AECD是菱形， ∴AD＝DC＝2 ∴AB＝DC＝2 ∴四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC＝BD ∵BC＝2AD＝4． ∴BD＝AC2 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，求证BD＝AC是本题的关键． 30．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点，在图中作点D，使AD∥BE，且∠ADC＝90°，在AD上取点F，使FD＝BE，分别连接EF、ED、BD．试判断EF与BD之间具有怎样的位置关系． 【分析】连接BF，证明四边形BEDF是菱形，由菱形的性质可得出结论． 【解答】解：EF⊥BD． 连接BF， ∵BE∥DF，BE＝DF， ∴四边形BEDF是平行四边形． ∵∠ADC＝∠ABC＝90°，E为AC的中点， ∴BE＝DEAC， ∴四边形BEDF是菱形， ∴EF与BD互相垂直平分． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 31．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＜90°，AD∥BC，AB∥CD，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，DE＝DF． （1）求证：四边形ABCD为菱形； （2）联结AC交BD于点O，联结OF，求证：∠BDC＝∠OFB． 【分析】证明四边形ABCD是平行四边形，再由平行四边形面积证明AB＝BC，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质得OB＝OD，BC＝DC，则∠BDC＝∠DBC，再由直角三角形斜边上的中线性质得OFBD＝OB，则∠DBC＝∠OFB，即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴S平行四边形ABCD＝AB•DE＝BC•DF， ∵DE＝DF， ∴AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）如图，由（1）可知，四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，BC＝DC， ∴∠BDC＝∠DBC， ∵DF⊥BC， ∴∠DFB＝90°， ∴OFBD＝OB， ∴∠DBC＝∠OFB， ∴∠BDC＝∠OFB． 【点评】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 32．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AC与BD相交于点O，AC⊥BD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）过点D作点DH⊥AB，垂足为点H，联结OH，求证：∠DHO＝∠DCO． 【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形解答即可； （2）根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝OD＝OB，进而根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴OD＝OB，AB∥DC， ∵DH⊥AB， ∴OH＝OD＝OB， ∴∠HDO＝∠OHD， ∵DH⊥AB，AB∥DC， ∴DH⊥CD， ∴∠HDO＝90°﹣∠CDO＝∠DCO， ∴∠DHO＝∠DCO． 【点评】本题考查了菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是根据菱形和直角三角形的性质得出角之间的关系． 33．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N． （1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形； （2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN． 【分析】（1）如图2中，首先证明四边形DMEN是平行四边形，再证明ME＝MD即可证明． （2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF．只要证明△DMG≌△DFN即可． 【解答】证明：（1）如图2中， ∵AM＝ME．AD＝DB， ∴DM∥BE， ∴∠GDN+∠DNE＝180°， ∵∠GDN＝∠AEB， ∴∠AEB+∠DNE＝180°， ∴AE∥DN， ∴四边形DMEN是平行四边形， ∵DMBE，EMAE，AE＝BE， ∴DM＝EM， ∴四边形DMEN是菱形． （2）如图1中，取BE的中点F，连接DM、DF． 由（1）可知四边形EMDF是菱形， ∴∠AEB＝∠MDF，DM＝DF， ∴∠GDN＝∠AEB， ∴∠MDF＝∠GDN， ∴∠MDG＝∠FDN， ∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、 在Rt△ACE中，∵AM＝ME， ∴CM＝ME， ∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD， ∴∠DMG＝∠DFN， ∴△DMG≌△DFN， ∴DG＝DN． 【点评】本题考查菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连接OE．若OE＝2，则菱形的周长为 　16　 ． 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，再根据直角三角形斜边上的中线性质求出AB的长，即可得出结论． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOB为直角三角形， ∵OE＝2，且点E为线段AB的中点， ∴AB＝2OE＝4， ∴菱形的周长＝4AB＝4×4＝16， 故答案为：16． 【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握菱形的性质解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　　 ． 【分析】首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边AB上的高DE的长即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，OB＝ODBD＝3， ∴在直角三角形AOB中，， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘以高． 3．如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM＝2，BD＝8，则MC的长为 　　 ． 【分析】连接AC，由菱形的性质得到OA＝OC，由直角三角形斜边中线的性质推出OM＝OC＝2，由勾股定理求出BC＝2，由菱形的面积公式得到BC•AMAC•BD，求出AM，由勾股定理即可求出MC的长． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC过BD的中点O， ∴OA＝OC， ∵AM⊥BC， ∴∠AMC＝90°， ∴OMAC， ∵OM＝OC＝2， ∴AC＝4， ∵OBBD8＝4， ∴BC2， ∵菱形ABCD的面积＝BC•AMAC•BD， ∴2AM8×4， ∴AM， ∴MC． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由菱形的面积公式得到BC•AMAC•BD． 4．如果一个四边形有且只有三个顶点在圆上，那么称这个四边形是该圆的“联络四边形”，已知圆的半径长为5，这个圆的一个联络四边形是边长为的菱形，那么这个菱形不在圆上的顶点与圆心的距离是　3　 ． 【分析】先根据题意画图，连接BD，与AC交于点M，设AM＝x，由勾股定理建立方程，求出x，再由OC＝CM﹣OM即可求解． 【解答】解：如图： 连接BD，与AC交于点M， ∵四边形ABCD是菱形，AD＝2， ∴AC⊥BD，DM＝BM， ∴AC经过圆心O， ∴DM2＝AD2﹣AM2， 设AM＝x，OM＝OA﹣AM＝5﹣x 则， 连接OD， ∴DM2＝OD2﹣OM2＝52﹣（5﹣x）2， ∴， 解得：x＝4， ∴AM＝CM＝4， ∴OC＝CM﹣OM＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了菱形的性质，垂径定理的推论，勾股定理，正确理解题意，作出图形是解题的关键． 5．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，联结OE，OC＝OE．如果DB平分∠ADC，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】由AB∥DC，证明∠ABO＝∠CDO，由CE⊥AB交AB的延长线于点E，得∠AEC＝90°，由OC＝OE，得∠OCE＝∠OEC，推导出∠OAE＝∠OEA，则OA＝OE，所以OA＝OC，再证明△AOB≌△COD，得OB＝OD，则四边形ABCD是平行四边形，由∠ADB＝∠CDB，∠ABD＝∠CDB，证明∠ADB＝∠ABD，则AB＝AD，即可证明四边形ABCD是菱形． 【解答】证明：∵在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O， ∴∠ABO＝∠CDO， ∵CE⊥AB交AB的延长线于点E， ∴∠AEC＝90°， ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC， ∵∠OAE+∠OCE＝90°，∠OEA+∠OEC＝90°， ∴∠OAE＝∠OEA， ∴OA＝OE， ∴OA＝OC， 在△AOB和△COD中， ， ∴△AOB≌△COD（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵∠ABD＝∠CDB， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】此题重点考查平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等角的余角相等、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，推导出OA＝OC，进而证明△AOB≌△COD是解题的关键． 1．菱形ABCD的边长为1，AE垂直平分BC于点E，则BD的长为（　　） A． B． C． D．以上均不对 【分析】由菱形的性质可得AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD，可证△ABC是等边三角形，可求∠ABD＝∠CBD＝30°，即可求解． 【解答】解：如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，BD平分∠ABC，AC⊥BD， ∵AE垂直平分BC于E， ∴AB＝AC， ∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴AOAB，BOAO， ∴BD＝2BO， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 2．四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（　　） A． B． C． D．1 【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AMAD'，D'MAMAD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'MAB2，即可求解． 【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示： 则∠D'MA＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵∠DAD′＝30°， ∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AD'M＝30°， ∴AMAD'，D'MAMAD'， ∵四边形ABC′D′是菱形， ∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'MAB2， ∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比， 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、正方形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质和正方形的性质，证出D'MAD'是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，添加下列一个条件后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　） A．AD＝AB B．∠BOC＝90° C．∠ABC＝∠BCD D．∠ADB＝∠CDB 【分析】根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 【解答】解：A、当AD＝AB时，平行四边形ABCD是菱形，故选项A不符合题意； B、当∠BOC＝90°时，平行四边形ABCD是菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC＝∠BCD， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°，平行四边形ABCD是矩形，故C符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADB＝∠DBC＝∠CDB，∴CD＝CB，平行四边形ABCD是菱形，故选项D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 4．已知菱形的边长是8，一个内角是60°，那么这个菱形的面积是（　　） A．64 B．32 C． D． 【分析】连接AC，过点A作AE⊥CD交于点E，由菱形的性质推出AD＝CD＝8，判定△ADC是等边三角形，由等边三角形的性质得到DECD＝4，由勾股定理求出AE4，即可得到菱形的面积＝CD•AE＝32． 【解答】解：如图，四边形ABCD是菱形， 连接AC，过点A作AE⊥CD于E， ∵四边形菱形的边长是8，一个内角是60°， ∴AD＝CD＝8，∠D＝60°， ∴△ADC是等边三角形， ∴DECD＝4， ∴AE4， ∴菱形的面积＝CD•AE＝8×432． 故选：D． 【点评】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由菱形的性质判定△ADC是等边三角形． 5．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC+BD＝14，则菱形ABCD的面积为（　　） A．12 B．20 C．24 D．48 【分析】由菱形的性质得OAAC，OBBD，AC⊥BD，再由勾股定理得OA2+OB2＝AB2＝25，然后求出OA+OB＝7，则（OA+OB）2＝49，得2OA•OB＝24，即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OAAC，OBBD，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴OA2+OB2＝AB2＝25， ∵AC+BD＝14， ∴OA+OB＝7， ∴（OA+OB）2＝72＝49， 即OA2+2AO•OB+OB2＝49， ∴2OA•OB＝49﹣25＝24， ∴S菱形ABCDAC•BD＝2OA•OB＝24． 故选：C． 【点评】此题考查菱形的性质、勾股定理等知识，熟记菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键． 6．已知菱形ABCD的周长为40，对角线AC、BD相交于点O．如果AO：BO＝4：3，那么菱形ABCD的面积为 　96　 ． 【分析】利用菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝10，AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD，然后根据已知可设AO＝4a，则BO＝3a，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，BO的长，然后求出AC，BD的长，最后进行计算即可解答． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，AC＝2AO，BD＝2BO，AC⊥BD， ∵AO：BO＝4：3， ∴设AO＝4a，则BO＝3a， 在Rt△AOB中，AB5a， ∴5a＝10， ∴a＝2， ∴AO＝8，BO＝6， ∴AC＝2AO＝16，BD＝2BO＝12， ∴菱形ABCD的面积AC•BD16×12＝96， 故答案为：96． 【点评】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AC＝6，BD＝8，则AE的长是 　　 ． 【分析】由菱形的性质推出AC⊥BD，OCAC＝3，OBBD＝4，由勾股定理求出BC＝5，由菱形ABCD的面积＝BC•AEAC•BD，即可求出AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OCAC，OBBD， ∵AC＝6，BD＝8， ∴OC＝3，OB＝4， ∴BC5， ∵AE⊥BC， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AEAC•BD， ∴5×AE6×8， ∴AE． 故答案为：． 【点评】本题考查菱形的性质，关键是由菱形的面积公式得到BC•AEAC•BD． 8．已知一个菱形的边长为10，其中一条对角线长为12，那么另一条对角线的长为 　16　 ． 【分析】作出图形，根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA＝6，然后利用勾股定理列式求出另一条对角线BD的一半OB的长，即可得解． 【解答】解：如图，∵菱形的一条对角线长AC为12， ∴OAAC12＝6， ∵菱形的对角线AC⊥BD，AB＝10， ∴OB8， ∴BD＝2OB＝2×8＝16． 故答案为：16． 【点评】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，作出图形更形象直观． 9．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”． 问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，且△ABC的面积为S．如果△ABC存在“最优覆盖菱形”为菱形BCMN，那么S的取值范围 　9S≤18　 ． 【分析】由△ABC的面积为S可得△ABC的高为，然后再分三角形的高取最大值和最小值两种情况求解即可． 【解答】解：∵△ABC的面积为S， ∴△ABC的BC边上的为高， 如图：当高取最小值时，△ABC为等边三角形， 点A与M或N重合， 如图：过A作AD⊥BC，垂足为D ∵等边三角形ABC，BC＝6， ∴∠ABC＝60°，BC＝6，∠BAD＝30°． ∴BD＝3， ∴ADBD＝3， ∴3，即S＝9． 如图： 当高取最大值时，菱形为正方形， ∴点A在MN的中点， ∴6， ∴S＝18， ∴9S≤18， 故答案为：9S≤18． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，灵活运用相关知识是解答本题关键． 10．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，O是BD上的点，BO＝DO，∠ABD＝∠CBD，连结AO并延长交BC于点E． （1）求证：四边形ABED是菱形； （2）过点C作CF⊥AE，垂足为点F，若BE＝CE，求证：四边形ODCF是矩形． 【分析】（1）由AD∥BC，得到∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA，结合BO＝DO，证明△AOD≌△EOB（AAS），推出AO＝EO，易证四边形ABED是平行四边形，再根据∠ABD＝∠CBD，推出∠ABD＝∠ADB，得到AB＝AD，即可证明； （2）由（1）知四边形ABED是菱形，可得∠BOF＝∠DOF＝90°，由CF⊥AE，推出∠CFE＝90°，结合BE＝CE，证明△ECF≌△EOB（AAS），推出OB＝CF，进而得到CF＝DO，由∠BOF＝∠CFE＝90°证明BD∥CF，易证四边形ODCF是平行四边形，结合∠CFE＝90°，即可证明结论． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD，∠DAE＝∠BEA， ∵BO＝DO， ∴△AOD≌△EOB（AAS）， ∴AO＝EO， ∵BO＝DO， ∴四边形ABED是平行四边形， ∵∠ABD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∴AB＝AD， ∴四边形ABED是菱形； （2）由（1）知四边形ABED是菱形， ∴BD⊥AE， ∴∠BOF＝∠DOF＝90°， ∵CF⊥AE， ∴∠CFE＝90°，即∠CFE＝∠BOF， ∵BE＝CE，∠CEF＝∠BEO， ∴△ECF≌△EOB（AAS）， ∴OB＝CF， ∴CF＝DO， ∵∠BOF＝∠CFE＝90°， ∴BD∥CF， ∴四边形ODCF是平行四边形， ∵∠CFE＝90°， ∴四边形ODCF是矩形． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． 11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，点E是AD的中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于点F，联结CF． （1）求证：四边形ADCF是菱形； （2）如果AC＝6，四边形ADCF的面积是30，求AB的长． 【分析】（1）由AF∥BC，得∠AFE＝∠DBE，而∠AEF＝∠DEB，AE＝DE，即可证明△AFE≌△DBE，则AF＝DB，因为AD是斜边BC上的中线，所以AD＝DB＝DCBC，由AF∥DC，且AF＝DC，证明四边形ADCF是平行四边形，而AD＝DC，则四边形ADCF是菱形； （2）联结DF，由菱形的性质得AC⊥DF，则S菱形ADCF6DF＝30，求得DF＝10，再证明四边形ABDF是平行四边形，则AB＝DF＝10． 【解答】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB， ∵AD是斜边BC上的中线， ∴AD＝DB＝DCBC， ∴AF∥DC，且AF＝DC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AD＝DC， ∴四边形ADCF是菱形． （2）解：联结DF， ∵四边形ADCF是菱形，且AC＝6，S菱形ADCF＝30， ∴AC⊥DF， ∴6DF＝30， ∴DF＝10， ∵AF∥DB，AF＝DB， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AB＝DF＝10， ∴AB的长为10． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的面积公式等知识，证明△AFE≌△DBE是解题的关键． 12．如图，四边形ABCD是菱形，过点A作AE⊥BC、AF⊥CD，垂足分别为点E、F，AE、AF分别交BD于点G、H． （1）求证：AG＝AH； （2）延长AF、BC相交于点P，当BG＝GH时，求证：． 【分析】（1）根据菱形的性质即可解决问题； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明△AGH是等边三角形，△ADC是等边三角形，进而可以解决问题． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴AE⊥AD，AF⊥AB， ∴∠DAG＝∠BAH＝90°， ∴∠AHB＝90°﹣∠ABD＝90°﹣∠ADB＝∠AGD， ∴AH＝AG； （2）∵BG＝GH， ∴G是直角三角形ABH斜边BH的中点， ∴AG＝BG＝GH， 由（1）知：AH＝AG， ∴AG＝AH＝GH， ∴△AGH是等边三角形， ∴∠AHG＝60°， ∴∠ABH＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠BAP＝90°， ∴∠P＝30°， ∴PFCF， 如图，连接AC， ∵∠ADC＝∠ABC＝60°，AD＝CD， ∴△ADC是等边三角形， ∵AF⊥CD， ∴CF＝DF， ∴． 【点评】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 13．在菱形ABCD中，CE，AF分别是其外角∠DCN和∠DAM的平分线，AD的延长线交CE于点E，CD的延长线交AF于点F． （1）证明：△ADC≌△EDF； （2）判断四边形ACEF是什么特殊四边形．并说明理由． 【分析】（1）由“SAS”可证△ADC≌△EDF； （2）由对角线互相平分可求四边形ACEF是平行四边形，由对角线相等可证平行四边形ACEF是矩形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝CD， ∴∠MAF＝∠AFD，∠AEC＝∠ECN， ∵AF平分∠MAE， ∴∠MAF＝∠FAD＝∠AFD， ∴AD＝DF， 同理可得：CD＝DE， ∴AD＝CD＝DE＝DF， 在△ADC和△EDF中， ， ∴△ADC≌△EDF（SAS）； （2）解：四边形ACEF是矩形，理由如下： ∵AD＝DE，DC＝DF， ∴四边形ACEF是平行四边形， ∵AD＝CD＝DE＝DF， ∴AE＝CF， ∴平行四边形ACEF是矩形． 【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 14．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，且△ADE是等边三角形，边DE与AC交于点O．过点E作EF∥BC，EF分别与线段AB、AC、AD相交于点F、G、H，联结CE． （1）求证：四边形BCEF是平行四边形； （2）连结DG，如果AD⊥BC，求证：四边形DGEC是菱形． 【分析】（1）通过全等△BAD≌△CAE（SAS）的对应角相等判定∠B＝∠ACE＝60°．则∠ACE＝∠BAC．所以根据平行线的判定知BF∥CE．又EF∥BC，故两组对边互相平行的四边形是平行四边形，即四边形BCEF是平行四边形； （2）利用四边相等的四边形是菱形的判定定理证明即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝60°． 同理可知，AD＝AE，∠DAE＝60°． 即得∠BAC＝∠DAE． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC． 即得∠BAD＝∠CAE． ∴在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴∠B＝∠ACE＝60°． ∴∠ACE＝∠BAC． ∴BF∥CE． 又∵EF∥BC， ∴四边形BCEF是平行四边形； （2）∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠EDC＝90°﹣60°＝30°， ∵EF∥BC， ∴∠FED＝∠EDC＝30°， ∵四边形BCEF是平行四边形， ∴∠FEC＝∠B＝60°， ∴∠DEC＝30°， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴DC＝EC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°， ∴∠DOC＝180°﹣60°﹣30°＝90°，即ED⊥AC， ∴DO＝EO， ∴DG＝GE， ∵EF∥BC， ∴∠EGC＝∠ACB＝60°， ∵∠ACE＝60°， ∴∠EGC＝∠ACE， ∴GE＝EC， ∴GE＝EC＝DC＝DG， ∴四边形DGEC是菱形． 【点评】本题综合考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性比较强，需要同学们对知识有一个系统的掌握． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $