1.1.2 幂的乘方课件 2025-2026学年北师大版 数学七年级下册

第1章 整式的乘除 1　幂的乘除 第2课时 幂的乘方 北师版 七年级 数学（下） 知识回顾 完成下面的问题． 1．x3表示的意义是_________． 2．如果把x换成a4，那么(a4)3表示的意义是_______________． 3．把a4·a4·a4＝a4+4+4写成比较简单的形式是a4·a4·a4＝________． 4．计算(a4)3的结果是_____． x·x·x a4·a4·a4 a4×3 a12 5．根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： (1)(22)2＝22×22＝2(____)； (2)(22)3＝22×22×22＝2(____)； (3)(a2)5＝a2·a2·a2·a2·a2＝a(____). 4 10 6 太阳的半径约为地球的 102 倍，它的体积约为地球的 (102)3 倍。 地球、木星、太阳可以近似地看成球体。木星、太阳的半径分别约为地球的 10 倍和 102倍，它们的体积分别约为地球的多少倍? 球的体积公式是V=πr3，其中V是球的体积，r是球的半径。 等于多少呢? 木星的半径约为地球的 10 倍， 它的体积约为地球的 103 倍。 探究新知 幂的乘方 （1）(62)4=__×__×__×__=6( )+( )+( )+( )= 6( )×( ) = 6( )； 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空， 观察计算的结果，你能发现什么规律? （2）(a2)3 =__×__×__=a( )+( )+( )= a( )×( ) = a( )； （3）(am)2 =__×__=a( )+( )= 6( )×( ) = a ( ) 。 62 62 62 62 2 2 2 2 2 4 8 a2 a2 a2 2 2 2 2 3 6 am am m m m 2 2m 【猜想】 (am)n=_______。 amn 问题探究 (am)n = am · am· … · am · am = am+m+…+m = amn n 个 am n 个 m 如果m，n都是正整数，那么(am) n 等于什么? 为什么? 幂的乘方，底数_____，指数_____。 (am)n = amn（m，n 都是正整数） 幂的乘方法则: 不变 相乘 注意：底数(即上面公式中的a)既可以是单项式，也可以是多项式。 例 计算： （1）(102)3； （2）(b5)5； （3）(an)3； （4）– (x2)m；（5）(y2)3 · y；（6）2(a2)6 – (a3)4 。 解：（1） (102)3 = 102×3 = 106； （2） (b5)5 = b5×5 = b25； （3） (an)3 = an·3 = a3n； （4） – (x2)m = – x2·m = – x2m ； （5） (y2)3 · y = y2×3 · y = y6 · y = y7； （6） 2(a2)6 – (a3)4 = 2a2×6 – a3×4 = a12 。 例题解析 分析与示例 【例1】计算(x3)2的结果为( ) A．x6 B．x8 C．x5 D．2x4 A 直接运用(am)n＝amn计算． 命题角度1　直接依据法则进行计算 【例2】计算： (1)(a3)4＝____； (2)[(m－n)2]5＝_______________． a12 (m－n)10 命题角度2　幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算 幂的乘方与同底数幂乘法的混合运算是常见的一种题型，同底数幂的乘法法则是底数不变，指数相加．幂的乘方法则是底数不变，指数相乘． 【例3】计算： (1)(y4)2＋(y2)3·y2； (2)5(a3)4－13(a6)2； (3)－7x4·x5·x7＋5(x4)4－(x8)2. 解：(1)原式＝y8＋y6·y2＝y8＋y8＝2y8； (2)原式＝5a12－13a12＝－8a12； (3)原式＝－7x16＋5x16－x16＝－3x16. 命题角度3　逆用法则代入求值 逆用幂的乘方法则进行计算，使其能用含已知式的形式表示出来．常见的变形是amn＝(am)n或amn＝(an)m(m，n都是正整数)． 【例4】已知10a＝5，则100a的值是( ) A．25 B．50 C．250 D．500 A 【例5】已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值． (1)103m；(2)102n；(3)103m+2n. 解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27； (2)102n＝(10n)2＝22＝4； (3)103m+2n＝103m×102n＝27×4＝108. 命题角度4　逆用幂的乘方比较大小 解决此类题的思路：把需要比较大小的几个数化成指数相同的式子，然后比较底数的大小． 【例6】已知a＝240，b＝332，c＝424，则a，b，c的大小关系为( ) A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a B 【例7】请看下面的解题过程：比较2100与375的大小． 解：因为2100＝(24)25，375＝(33)25， 且24＝16，33＝27，16<27， 所以2100<375. 请你根据上面的解题过程，比较3100与560的大小． 解：因为3100＝(35)20，560＝(53)20， 且35＝243，53＝125，243>125， 所以3100>560. 不变 变化 符号表示 同底数幂的乘法 幂的乘方 想一想：同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则有什么相同点和不同点? (am)n = amn 底数不变 am · an = am+n 指数相加 底数不变 指数相乘 (m，n都是正整数) 注意：两者不可混淆 思考 思考：下面这道题该怎么进行计算呢? [(a2)3]4 =(a6)4 =a24 [(am)n]p等于多少?(m，n，p都是正整数) [(am)n]p=amnp。 例1 计算 (1)(102)3；　(2)(b5)5；　(3)(an)3； (4)－(x2)m；　(5)(y2)3·y；　(6)2(a2)6－(a3)4. 解：(1)原式＝102×3＝106； (3)原式＝an×3＝a3n； (4)原式＝－x2×m＝－x2m； 应用举例 【方法指导】直接运用(am)n＝amn计算即可． (2)原式＝b5×5＝b25； (5)原式＝y6·y＝y7； (6)原式＝2a12－a12＝a12. 例2 比较340与430的大小． 【方法指导】逆用幂的乘方比较大小：340＝(34)10，430＝(43)10，比较34与43的大小就可以得出340与430的大小． 解：因为340＝(34)10，430＝(43)10， 且34＝81，43＝64，81＞64， 所以(34)10＞(43)10， 即340＞430. 例3 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，则代数式x＋y的值为________． 【方法指导】根据幂的乘方的逆运算转化得到x和y的方程，求出x，y，再计算出代数式的值． 10 课堂小结 幂的乘方 (am)n = amn （m，n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 法则 注意 幂的乘方与同底数幂的乘方的区别： 幂的乘方法则的逆用: amn=(am)n=(an)m (am)n = amn am · an = am+n 随堂检测 1．判断题，错误的予以改正． (1)a4＋a4＝2a8；( ) × 改正： a4＋a4＝2a4； (2)(x3)3＝x6；( ) × 改正： (x3)3＝x9； (3)(－4)2·(－4)4＝(－4)6＝－46；( ) 改正： 原式＝46； × (4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0.( ) √ 2．若(x2)m＝x10，则m＝____． 5 3．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值． 解：a3m+2n＝a3m·a2n (am)3·(an)2 ＝23×52 ＝200. $