精品解析：安徽省阜阳市临泉县2025-2026学年九年级上学期九年级冬季协作区期末联考数学试题

九年级数学 上册第二十一章一下册第二十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，用放大镜将图形放大，这种变换应属于（ ） A. 对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似变换的定义，掌握相似图形的定义是解题关键． 根据对称变换、平移变换、相似变换、旋转变换的特点，结合图形即可得出答案． 【详解】解：由一个图形到另一个图形，在改变的过程中形状不变，大小发生变化，属于相似变换． 故选：C． 2. 下列函数是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如为常数，的函数是反比例函数． 【详解】解：∵反比例函数的形式为， A．是正比例函数，不符合定义； B．可化为形式，其中，符合定义； C．是一次函数，不符合定义； D．是正比例函数，不符合定义． 故选：B． 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义，对于按顺序排列的四条线段、、、，如果，则它们成比例．计算每组中前两条线段的比值与后两条线段的比值是否相等，即可得解． 【详解】解：A、，，，不成比例； B、，，，不成比例； C、，，，成比例； D、，，，不成比例． 故选：C． 4. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，解得：． 故选B． 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质可得，从而得到，进而求出答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的周长， ∵的周长为5， ∴的周长为． 故选：D 6. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 将代入关于的一元二次方程中得，且，解出的值即可． 【详解】解：由题意，得且， 或，且， ， 故选：A． 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质， 根据反比例函数定义，计算各点纵坐标值，结合比较大小． 【详解】∵ 点在上， ∴，，， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 又， ∴ ． 故选：D． 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 9. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形与平行线性质求解角度． 先由得；再由得；结合求出；最后根据平行线同旁内角互补即可解答． 【详解】解：如图，连接, ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，根据题意作出辅助线，利用反比例函数系数k的几何意义求解是解答此题的关键． 连接，再根据反比例函数中k的几何意义进行解答即可． 【详解】解：连接， ∵点，，，是反比例函数的图象上的点， 都垂直于x轴， ∴， ∵， ∴，，． 以此类推，解得． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可． 【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个， ∴字母“”出现的概率是， 故答案为∶． 12. 如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次函数的应用及一元二次函数的最值，掌握一元二次函数的最值求法是解题的关键． 设车棚宽度的长为，则车棚长度为，列出一元二次函数，再求最值即可； 【详解】解：如图：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 则，， 所以车棚的面积 ， 所以，当，即，时，车棚的面积最大． 故答案为：12． 13. 如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，构建相似三角形是解题的关键． （1）根据题意，先得到，进而可求； （2）过点作于点，进而可证，再根据相似比列方程求解即可． 【详解】（1）， ． 根据题意可知， ； （2）， 四边形是平行四边形， 当时，过点作于点， 则． ． ， ，即，解得． 故答案为：；． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数的解析式．把代入，求出k的值，即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 该反比例函数的解析式为． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的． （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 【答案】（1） 如图，为所求： （2） 如图，为所求： ； 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查旋转图形及相似图形的作法，掌握相关作图方法是解题的关键． （1）根据旋转的性质找到，，连接，，即可得到答案； （2）根据位似比直接找到，，连接，，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． （1）求的值． （2）过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，反比例函数的系数的几何意义，求反比例函数的解析式，求一次函数的解析式，反比例函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合问题是关键． （1）根据反比例函数的系数的几何意义求解即可；用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设，，将两个点的坐标分别代入，中，列出方程求解，得到M与N的坐标，即可求得答案． 【小问1详解】 解：， ， 图象位于第一象限， ， ； 一次函数的图象经过点， ， ； 【小问2详解】 解：如图，设，， 将，分别代入，中， 得，， 解得，， ，， ． 17. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． （1）求证：． （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形， ， ． ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）由（1）的结论，求出的长，证明，列出比例式，结合面积比与相似比的性质进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，且，解得， ． ， . ． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】（1）段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为 （2）草莓一天内最适合生长的时间有15小时 【解析】 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【小问1详解】 解：设段所对应的反比例函数关系式为． 把代入，得， ． 当时，， 解得，即， 段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为． 【小问2详解】 解：设直线的函数关系式为． 把代入， 得 解得， 直线的函数关系式为． 当时，，解得． 当时，，解得， （小时）． 答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时． 19. 如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． （1）如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． （2）如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 【答案】（1）路灯的高度为 （2）路灯的高度为 【解析】 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影，也考查了相似三角形的判定与性质． （1）由题意得，再根据相似的性质求解即可； （2）根据题意，先证，得到，再代入相关值求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ，即，解得． 答：路灯的高度为. 【小问2详解】 解：， ， ， 即， ， ， ． 答：路灯的高度为． 六、（本题满分12分） 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．其中，命题4.2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．小美想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证． 已知：如图1，为已知三角形；如图2，是的切线，为切点，，． 求证：． 小美在图2的基础上，添加了辅助线：如图3，连接并延长，交于点，连接． （1）请在小美所添辅助线的基础上，求证：． （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：是的切线， ， ． 是的直径， ， ， . ， ． ， ， 同理， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角的性质，相似三角形的判定性质，勾股定理，正确理解题意是解本题的关键． （1）根据切线的性质，得到根据直径所对的圆周角是直角，得出得到推出再由圆周角的性质，得到从而得到即可得出． （2）连接，设与交于点，由（1）得，根据相似三角形的性质求得，进而求得，勾股定理求得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点，由（1）得， ． ， ， ， 且， ， 在中，. 设，则， 在中，根据勾股定理得，解得， 的半径为． 七、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义等知识点． （1）由待定系数法求解函数解析式； （2）设，表示出，则由题意得，再解方程即可； （3）可求直线，过点作轴交于点，则，点的横坐标为，，则，再由二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入中， 得 解得 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：对于，当 ∴， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线． 设， ∵ ． 是以为底的等腰三角形， ，即， 解得， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ， 如图，过点作轴交于点， ∴， ． 点的横坐标为， ， ， 当时，有最大值1， ∴有最小值2，此时． 八、（本题满分14分） 22. 已知为正方形内任意一点． （1）如图1，连接，以为对角线作正方形，连接，求证：． （2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：．． （3）如图3，若，连接，求的最小值． 【答案】（1） 证明：如图1，连接． 四边形为正方形， ， ， ． ， ， ， ； （2） 证明：四边形为正方形 ． 旋转得到， ， ，即， （SAS）， ， ， 四边形为正方形， ． ， ， ， ， . ， ， ． 在中，， ， ． ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、三角形全等的判定和性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及旋转的性质的综合应用，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角，旋转的性质是解题的关键．解题时注意：旋转前后的对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． （1）根据题意，可得，进而证得，再根据相似比即可证明； （2）由“”证得，再证，进而得到，再在，，结合即可证明； （3）首先构造辅助线，将放在等腰直角三角形中，再结合全等三角形，将转化为，即可得到的最小值为线段，再利用勾股定理求解的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点C作，且满足，连接，再延长至点，使得， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点，，，四点共线时，，即的最小值为线段， ∴在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册第二十一章一下册第二十七章 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 如图，用放大镜将图形放大，这种变换应属于（ ） A. 对称变换 B. 平移变换 C. 相似变换 D. 旋转变换 2. 下列函数是反比例函数的是( ) A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 4. 若反比例函数的图像经过二，四象限，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，的周长为5，则的周长为（ ） A. 5 B. 8 C. 13 D. 15 6. 已知关于的一元二次方程有一根为，则的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 若点在反比例函数的图象上，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，是的弦且与平行，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在轴的正半轴依次截取，过点，分别作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，得，并设其面积分别为，以此类推，若，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. -2 D. 4 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 12. 如图，某校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口．若要使车棚的面积最大，则的长为___________． 13. 如图，在中，，点以每秒3个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动，点以每秒2个单位长度的速度从点沿方向向点匀速运动．作，设运动时间为，单位：s）． （1）运动过程中，的长为___________（用含的代数式表示） （2）连接，若，则的值为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 14. 已知反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的解析式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为． （1）画出将绕点顺时针旋转得到的． （2）以原点为位似中心，在轴下方画出，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 16. 如图，在平面直角坐标系中，A是反比例函数图象上一点，轴，垂足为B，若，一次函数的图象与轴交于点． （1）求的值． （2）过点作x轴的平行线，分别交和0）的图象于点M，N，求的长． 17. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，对角线与相交于点，且． （1）求证：． （2）若，求的值． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 18. 长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分． （1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围； （2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？ 19. 如图，小明和小亮打算用不同的方法测量学校操场边一个垂直于路面的路灯的高度．他们分别在白天和晚上利用太阳光和路灯的灯光进行测量． （1）如图1，若垂直于地面的标杆的长为，在太阳光下小明测得它的影长为，同一时刻，小亮测得路灯的影长为，求路灯的高度． （2）如图2，小亮在晚上路灯亮后来到路灯附近，他先蹲在点处，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，接下来小亮站起来，在路灯的照射下，小亮的头顶最高处的影子落在点处，，小明测得，求路灯的高度． 六、（本题满分12分） 20. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．其中，命题4.2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形．小美想尝试对这个命题进行证明，于是根据书中命题的内容及图形的画法写出了已知和求证． 已知：如图1，为已知三角形；如图2，是的切线，为切点，，． 求证：． 小美在图2的基础上，添加了辅助线：如图3，连接并延长，交于点，连接． （1）请在小美所添辅助线的基础上，求证：． （2）若，求的半径． 七、（本题满分12分） 21. 如图，抛物线与轴交于，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式． （2）在抛物线的对称轴上有一点，若是以为底的等腰三角形，求点的坐标． （3）若点在抛物线上，且它的横坐标为，与交于点，当的值最小时，求点的坐标． 八、（本题满分14分） 22. 已知为正方形内任意一点． （1）如图1，连接，以为对角线作正方形，连接，求证：． （2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，延长交于点，交的延长线于点，连接，若，求证：．． （3）如图3，若，连接，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $