7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 一、必备知识基础练 1.(探究点一)若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.(探究点一)复数z1=2-i,z2=-2i,则z1+z2等于(　　) A.0 B.i C.i D.i 3.(探究点一)设z1=x2-i,z2=-1+xi,x∈R,若z1+z2为纯虚数,则实数x的值为(　　) A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 4.(探究点二)已知A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是坐标原点.若|z1+z2|=|z1-z2|,则△AOB一定是(　　) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 5.(探究点二)若向量分别对应复数z1=2-i,z2=3+i,则||=(　　) A.5 B. C.2 D.2 6.(多选题)(探究点二)在复平面内有一个平行四边形OABC,点O为坐标原点,点A对应的复数为z1=1+i,点B对应的复数为z2=1+2i,点C对应的复数为z3,则下列结论正确的是(　　) A.z1-z2=-i B.点C位于第二象限 C.z1+z3=z2 D.|z1-z3|=|| 7.(探究点一)若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第　　　　象限.  8.(探究点一)计算: (1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i); (2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]; (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R). 9.(探究点二)已知复数z1=a2-3+(a+5)i,z2=a-1+(a2+2a-1)i(a∈R)分别对应向量(O为坐标原点). (1)若复数z1对应的点在第四象限,求a的取值范围; (2)若向量对应的复数为纯虚数,求a的值. 二、关键能力提升练 10.若|z|+z=3+i,则z=(　　) A.1-i B.1+i C.+i D.-+i 11.在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD,则||等于(　　) A.5 B. C. D. 12.已知z1,z2∈C,|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,则|z1-z2|=(　　) A.0 B.1 C. D. 13.(多选题)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 14.复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=　　　　　,对应的点位于第　　　　　象限.  15.已知O为坐标原点,向量分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.求: (1)实数a的值; (2)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积. 三、学科素养创新练 16.如果复数z满足|z+2i|+|z-2i|=4,那么|z+i+1|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D. 17.已知复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,α,β均为锐角,且|z1-z2|=. (1)求cos(α+β)的值; (2)若cos α=,求cos β的值. 参考答案 1.C　z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限. 2.C　z1+z2=(2+)-(+2)i=i. 3.A　由z1=x2-i,z2=-1+xi,则z1+z2=x2-i+(-1+xi)=x2-1+(x-1)i,若z1+z2为纯虚数,则解得x=-1.故选A. 4.B　因为|z1+z2|=|z1-z2|,所以由复数加、减运算的几何意义知,以线段OA,OB为邻边的平行四边形是矩形,故△AOB是直角三角形. 5.B　因为,又向量分别对应复数z1=2-i,z2=3+i,所以表示复数z2-z1=1+2i,所以||=|1+2i|=.故选B. 6.ACD　对于A,z1-z2=1+i-1-2i=-i,A正确. 对于B,由题意得O(0,0),A(1,1),B(1,2),因为四边形OABC为平行四边形,则=(0,1),所以C(0,1),所以z3=i,点C位于虚轴上,B错误. 对于C,D,如图,z1,z2,z3对应的向量分别为,则,即z1+z3=z2,|z1-z3|=||=||,C,D正确. 故选ACD. 7.一　∵z1=3+4i,z2=-2+3i, ∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限. 8.解(1)(1+2i)+(7-11i)-(5+6i)=(1+7-5)+(2-11-6)i=3-15i. (2)5i-[(6+8i)-(-1+3i)]=5i-(7+5i)=-7. (3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i(a,b∈R). 9.解(1)因为复数z1=a2-3+(a+5)i对应的点在第四象限,所以解得a<-5. 所以a的取值范围是(-∞,-5). (2)因为, 所以向量对应的复数为z2-z1=[a-1+(a2+2a-1)i]-[a2-3+(a+5)i]=-(a2-a-2)+(a2+a-6)i. 根据向量对应的复数为纯虚数,可得-(a2-a-2)=0且a2+a-6≠0,解得a=-1. 10.C　设z=x+yi(x,y∈R), 依题意有+x+yi=3+i, 因此解得故z=+i. 11.B　如图,设D(x,y),F为▱ABCD的对角线的交点,则点F的坐标为2,, 所以 所以点D对应的复数为z=3+3i,所以=(3,3)-(1,0)=(2,3),所以||=. 12.B　在复平面中,设z1,z2分别与向量对应, 由题意可得||=||=1,||=. 因为||2+||2=2(||2+||2), 即3+=2(1+1)=4,解得||=1, 即|z1-z2|=1.故选B. 13.BC　复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即+1=+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即-1=-1,所以|z-1-i|的取值范围为[-1,+1],故1,2满足题意,0,3不满足.故选BC. 14.2　三　z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)=(-m)+(m2-2m)i. ∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0. ∴解得m=2.∴z2=-2+4i,=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限. 15.解(1)由z1=+(10-a2)i,得-(10-a2)i,则+z2=+[(a2-10)+(2a-5)]i的虚部为0,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3. 又a+5≠0,∴a=3. (2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,则=(,1),=(-1,1),则||=,||=, ∴cos<>=, ∴sin<>=, ∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积S=||||sin<>=. 16.A　设复数-2i,2i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,Z3,因为|z+2i|+|z-2i|=4,|Z1Z2|=4,所以复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2,如图所示,问题转化为:动点Z在线段Z1Z2上移动,求|ZZ3|的最小值.因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0,则Z3与Z0的距离即为所求的最小值,|Z0Z3|=1.故选A. 17.解(1)因为复数z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β, 所以z1-z2=(cos α-cos β)+i(sin α+sin β). 所以|z1-z2|=. 因为|z1-z2|=,所以, 解得cos(α+β)=. (2)因为α,β均为锐角,所以0<α+β<π, 所以sin(α+β)=. 因为α为锐角,cos α=,所以sin α=.所以cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·cos α+sin(α+β)sin α=. 5 学科网（北京）股份有限公司 $