1.4 数列在日常经济生活中的应用课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

1.4 数列在日常经济生活中的应用 储蓄贷款与国计民生、社会生活发展息息相关，大到支援国家建设，小到个人家庭的财政支出管理，处处都嵌套着数列的应用. 单利与复利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为：利息= 本金×利率×存期. （1）单利计算公式： 以符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金与利息和（以下简称本利和），则有 . S=P（1+nr） S=P（1+r）n 复利是指一笔资金除本金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是 . （2）复利计算公式： 解：（1）根据题意，第1个月存入的金额为x元，到期利息为xrn元；第2个月存入的金额为x元，到期利息为xr（n-1）元……第n个月存入的金额为x元，到期利息为xr元. 例1：银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔相同数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全部本利和，这是整取(现在有一年、三年、五年3种，年利率分别为1.35%， 1.55%， 1.55%）.规定每次存入的钱不计复利. （1）若每月存入金额为x元，月利率r保持不变，存期为n个月，试推导出到期整取时本利和的公式； （2）若每月初存入500元，到第3年整取时的本利和是多少？(精确到0.01元） 而本金为nx元，这样就得到本利和公式 因此，各月利息之和为xr（1+2+…+n)= 即 ① （2）根据题意知，x=500，r= ，n=36，代入①式，本利和为 （元）. （3）根据题意知，y = 2000，r = ，n = 12，代入①式，得 所以每月初应存入 165.46 元. （3）若每月初存入一定金额，希望到1年后整取时取得本利和2 000元，则每月初应存入的金额是多少？（精确到0.01元） （元）. 例2:银行有另一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和.按照定期存款自动转存的储蓄业务，假定无利率变化调整因素，我们来讨论以下问题: (1)如果储户存入定期为1年的P元存款，定期年利率为r，连存n年后，再取出本利和.试求岀储户n年后所得本利和的公式； 解：(1)记n年后得到的本利和为an.根据题意知： 第1年存入的本金P元，1年后到期利息为Pr元，1年后本利和为 a1= P+Pr =P(1+r)(元)； 2年后到期利息为P(1+r)r元，2年后本利和为 a2=P(l+r)+P(l+r)r = P(l+r)2(元)； ∴各年的本利和是一个首项a1=P(l+r)、公比q=l+r的等比数列{an}，故n年后到期的本利和为 an=a1qn-1=P(l+r)(l+r)n-1 = P(l+r)n(元). (2)如果存入1万元定期存款，存期1年，年利率为1.75%，那么5年后共得本利和多少元？(精确到0.01元) (2)由(1)可知，5年后本利和为 a5=10 000×(1+0.0175)5≈10 906.17（元）. 因此，5年后得本利和约为10 906.17元. 零存整取模型： 利息按单利计算，等差数列的求和问题. 归纳总结 定期自动转存模型： 利息按复利计算，等比数列的求和问题. 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”.从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存款三年.已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7%.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？ 解：由题意得，李先生一次可支取本息 100×36+100×2.7%× =3779.82（元）. 根据今天所学，回答下列问题： 1.单利计算公式和复利计算公式？ 2.如何解决“零存整取”和“定期自动转存”问题？ 伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，分期付款在年轻人中越来越受欢迎.你知道分期付款时每期的还款金额怎么算出来的吗？ 解：假定小华每期还款x元，第k个月末还款后的本利欠款数为Ak元,则 A2 = 5 000×(1+0. 006)2-x； A4 =A2（l+0. 006）2-x=5 000×1. 0064 -1. 0062x-x； A6 =A4（l+0. 006）2-x=5 000×1. 0066 -1. 0064x-1. 0062x-x； … 例1:小华准备购买一台售价为5000元的电脑，釆用分期付款方式，并在一年内将款全部付清.商场提出的付款方式为:购买后2个月的月末第1次付款，再过2个月第2次付款……购买后第12个月末第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.6%,每月利息按复利计算.求小华每期应付的金额是多少？（精确到0. 01元） 由题意年底还清，则A12 =0. A12 =5 000×1. 00612 -（1. 00610+1. 0068+1. 0066+1. 0064+1. 0062+1）x； 解得 （元）. 因此，小华每期应付的金额是868.79元. 思考：若商场出售电脑，有下表的3种付款方式，以供顾客选择.请分别算出各种付款方式每次应付金额，并填写在表中.选择一种你喜欢的付款方式，与同学交流，并说明选择的理由. 方案类别 分几次付清 付款方式 每期所付款额 1 3次 购买后第4个月末第1次付款， 再过4个月第2次付款， 购买后第12个月末第3次付款 2 6次 购买后第2个月末第1次付款， 再过2个月第2次付款…… 购买后第12个月末第6次付款 3 12次 购买后第1个月末第1次付款， 再过1个月第2次付款…… 购买后第12个月末第12次付款 职工小张2021年向银行贷款20万元用于购房，银行住房贷款的年利率为4.9%，按复利计算，若双方协议自2022年元月起生效，每年年底还银行相同金额的贷款，到2031年年底全部还清（即用10年时间等额还款）.则小张每年年底还银行贷款的金额是多少元？（精确到1元） 解：设小张每年年底还银行贷款x元，第k年年底还款后欠款为Ak万元. 则A1=20（1+0.049）-x； A2 = [20（1+0.049）-x](1+0. 049)-x= 20（1+0.049）2-x(1+0. 049)-x； … A10 =20（1+0.049）10-x(1+0. 049)9-…-x(1+0. 049)-x 由题意知10年后年底还清，可知A10 =0， 可得 因此，x≈2.5775（万元）. 综上，每年还款约为2.5775万元，10年后可还清. 分期付款模型： （1）每期按复利计算； 归纳总结 （2）每期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于贷款及贷款到最后一次付款时所生的利息之和. 根据今天所学，回答下列问题： 1.如何解决“分期付款”问题？ 2.如何将实际问题转化为数列问题？ 将实际问题转化为数列问题的步骤： （1）厘清各因素之间的关系； （3）解决数学问题； （2）建立数学模型，分清是等差数列还是等比数列，分清是求an还是求Sn； （4）用数学结果解释实际问题. $