专题04 最值模型：隐圆模型35种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题04最值模型：隐圆模型35种题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值 题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值 题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值 题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型六直角三角形+定长定角+点圆最值 题型七矩形+定弦定直角+点圆最值 题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值 题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值 题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2 题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型十五正方形+定弦定角+点圆最值 题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值 题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值 题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型二十正方形+定长定直角+面积最值 题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值 题型二十二四点共圆+定弦定角 题型二十三定弦定角+圆的切线+点圆最值 题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值 题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值 题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积 题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值 题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值 题型二十九定长定直角+面积最值+相似 题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值 题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算 题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值 题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算 题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径 题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围 题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上， 如图，此时 ∵ ∴当重合时，重合， 此时，则 ∴的最小值是 故答案为：． 题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值 4．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值 5．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】证明即可判断①，在上取一点，使得，证明，进而判断②；过点分别作的垂线，垂足分别为，则，根据相似三角形的性质即可判断③，取的中点，连接，根据题意得出在以为直径的圆上运动，进而得出当在上时，取得最小值，最小值为的长，勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，点是正方形的对角线上的点， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，在上取一点，使得， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； 如图，连接交于点，则，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在正方形中，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴ ∴ ∴，故③错误 如图 ∵ ∴ 即 ∵点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处， ∴ ∴ ∴在以为直径的圆上运动 取的中点，连接， ∴当在上时，取得最小值，最小值为的长， ∴ ∴ ∴ ∴，故④正确 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，求一点到圆上的距离的最值问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型六直角三角形+定长定角+点圆最值 6．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 【答案】（1），，，；（2），；（3）证明见解析；（4）． 【分析】（1）根据三角函数的定义，类比题目求解即可； （2）根据（1）中结论可知，代入相关数值求解即可； （3）连接，延长分别交于D，E，连接，根据直径对直角和圆周角定理可知，，根据三角函数的定义，分别在，，，中，可得，，即可得证； （4）过O作，连接，，根据垂径定理，圆周角定理和三角函数可得，当时，最小，此时也最小，根据三角函数求出最小值，即可得解． 【详解】（1）解：同理，在中， ， 在中  ， ， ∴， 即， ∴； 故答案为：，，，； （2）解：， ， 由（1）知：， ， ，， ，； （3）证明：连接，延长分别交于D，E，连接，则， ， 是直径， ， 在中，， ∴， 在中，，   ∴， ∴ ， 同理，在中，， 在中，可得， ， ∴； （4）解：过O作，连接，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 当时，最小，此时也最小， 过A作于， 在中，， ， ， 长度的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识解决问题． 题型七矩形+定弦定直角+点圆最值 7．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 【答案】B 【分析】如图连接、 交于点，作 交于点，可证，连接，当为 中点时最大，即可求出，最后可以求出最小值 【详解】解：如图连接、 交于点 ， 在矩形中，，， ∵， ∴四点共线，以为圆心 为半径作圆， 作 交于点， ∴， ， ∴ ∴， ∵ ，当最大时最小， ∴连接，当为 中点时最大，则， ∵ ，且为中点， ∴ ，则， ∴ ， ∴， ∴的最小值为8， 故选：B． 【点睛】本题利用矩形的性质，圆周角定理，四点共圆，相似三角形的判定和性质，构造辅助圆求解最小值是解题的关键． 题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 8．（2025·山东德州·一模）如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接交于点，连接，，可证，得，再证，得，当取得最小值时，的值最小，点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，，，即， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针方向旋转得到线段， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，的值最小， 如图所示， ∵， ∴点在以点为圆心，以为半径得圆弧上运动，当点共线时，的值最小，最小值为， ∴长的最小值为， 故选：D ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算，理解图示，合理作出辅助线是关键． 题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值 9．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的最值问题、切线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆的最值问题、切线的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；设半圆O与的边相切的切点为D，连接，过点O作于点F，交半圆O于点E，由题意易得，，，然后通过证明，得到，，进而根据圆的最值问题可求解． 【详解】解：设半圆O与的边相切的切点为D，连接，过点O作于点F，交半圆O于点E，如图所示： ∵，，， ∴， ∵直径为2的半圆O与的边相切的切点为D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点P与点F重合，点Q与点E重合时，有最小值，最小值为， 根据圆外的点到圆上的点距离为最大时，需经过圆心，所以当点P与B重合时，且Q也在线段上时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值和最小值之积为； 故选B． 题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 10．（2025·广东深圳·一模）如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、解直角三角形等知识点，正确得出点的运动轨迹是解题关键． 先利用直角三角形的性质可得，从而可得点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆，再根据圆的性质可得当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值，然后利用直角三角形的三角函数即可得出答案． 【详解】解：如图，设直线与轴的交点为点，则， 轴，点是线段的中点，且， ， 点的运动轨迹是以点为圆心、长为半径的圆， ，， ， 面积为， 则当面积取得最小值时，应最小， 由圆的性质可知，当与相切，且点位于轴的正半轴上时，取最小值， ， ∴， 又，， ， ∴， 故选：B． 题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值 11．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并得出点的运动轨迹是解题的关键．根据题意可知点在以为圆心，长为半径的圆上运动，连接，由，即，，然后根据点在四边形内部（含边界），可推出当点正好落在边上时，最短，此时易证是等边三角形，最后根据等边三角形的性质即可求得． 【详解】解：根据折叠的性质可知，，，为定点， 点在以为圆心，长为半径的圆上运动，如图所示，连接， ，即 点在四边形内部（含边界）， 当点正好落在边上时，最短，此时，最短，如图所示， 四边形为菱形，， ， 又， 是等边三角形， ， ， 故选：A． 题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值 12．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2 13．（2025苏州市模拟预测） 如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】由，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值； 【详解】解：，点为的中点， ， 是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长； ，， ， ， ； 的最小值为； 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理的应用，圆的基本性质，直角三角形斜边上的中线的性质，判断出点的位置是解题的关键． 14．（2025苏州市零模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，先找出点的运动路径为以为直径且位于矩形内部的半圆，作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接，推出的最小值为，再求出的长度即可，推出的最小值为是解此题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点的运动路线为以为直径且位于矩形内部的半圆， 作以为直径的半圆，圆心为，作点关于直线的对称点，连接交半圆于点，连接， 则， ∴， ∴的最小值为； 连接， ∵四边形是矩形，点是的中点，点为的中点， ∴，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴的最小值为， 故答案为：7． 题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 15．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 / / 【分析】连接,将绕点逆时针旋转得到,连接,由等边三角形的性质和勾股定理求出,证明是等边三角形，得到,再证明,得到,得出点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动，由点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接,将绕点逆时针旋转得到，连接， 点是等边三角形边的中点， ， ， 由旋转的性质可得, 是等边三角形， , , , , , 点在以点 为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图， 当点在线段上时，的值最小，最小值为，当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，. 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 题型十五正方形+定弦定角+点圆最值 16．（2025宁波市模拟预测）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先得出动点在的外接圆中的劣弧上，过圆心作，交延长线于点，连接，设的优弧上有一点，连接，再解直角三角形求出的长，然后利用勾股定理可得的长，最后根据即可得． 【详解】解：∵正方形，边长为4， ∴， ∵正方形内有一动点，， ∴如图，动点在的外接圆中的劣弧上， 过圆心作，交延长线于点，连接， 设的优弧上有一点，连接， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，（当且仅当点共线时，等号成立）， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理、三角形的三边关系、正方形的性质等知识，正确得出动点的运动轨迹是解题关键． 题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值 17．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查多边形内角和以及线段的最值，（1）根据多边形内角和定理可求出；（2）根据题意得点在以D为圆心，2为半径的圆上，连接AD，交⊙D于点Q，此时AQ最短，证明，根据相似三角形的性质列比例式可求出． 【详解】解：（1）∵五边形的内角和为， ∴； （2）∵， ∴点Q在以D为圆心，2为半径的圆上， 如图，连接，交于点Q，此时最短，此时点B，P重合，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 故答案为：108；． 题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值 18．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形与旋转．熟练掌握等腰直角三角形性质，勾股定理，旋转性质，三角形中位线判定和性质三角形三边关系，是解题的关键． 求出，，取的中点O，连接，则，可得，得点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动，得的最小值为，最大值为． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵D为边的中点， ∴， 取的中点O，连接， 则， ∵P是的中点， ∴， ∴在绕点A旋转的过程中，点P是在以点O为圆心，以长为半径的圆上运动， ∵， ∴当点P在上时，取得最小值， 为； ∵， ∴当点P在延长线上时，取得最大值， 为． 故答案为：，． 题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值 19．（2025·河南焦作·二模）如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点逆时针旋转至，直线与交于点，若，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】结合等边三角形的性质及旋转的性质，由可判定，由全等三角形的性质得，由三角形内角和得，可得、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心，当点在线段的延长线上时，时，最小，当点在线段的上时，时，最小，点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的，①当是的直径时，取得最大值，②当与重合时，，此时取得最小值，即可求解． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， ， ， 线段绕点逆时针旋转至， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 、、、四点共圆，圆心为等边三角形的外心， 当点在线段的延长线上时，时，最小， 当点在线段的上时，时，最小， 如图， 点的运动轨迹为以为圆心，的长为半径的， ①如图，当是的直径时，取得最大值， 连接，过点作交于， ， ， ， ， 取得最大值为； ②如图，当与不重合时， ， 当与重合时，， 此时取得最小值， ， ， 同理可证， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， 取得最小值； 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，勾股定理等；掌握等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，圆的基本性质，能找出动点的运动轨迹，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 20．（2025·河南漯河·三模）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ，最大值为    【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，将绕点逆时针旋转得，连接，证明，则，故点在以圆心，为半径的圆上运动，当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得，连接，   ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点在以圆心，为半径的圆上运动， ∴如图，    当点在线段上时，的最小值为，当点在线段上时，的最大值为． 故答案为：，． 题型二十正方形+定长定直角+面积最值 21．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 【答案】（1）相等，垂直 （2）证明见解析 （3） （4） 【分析】（1）根据图形进行猜想即可； （2）过点作于，过点作分别交、于、， 证明四边形为矩形，四边形为正方形，结合正方形性质证明，则可得，证明，得出，，再利用，得出，即可证明； （3）证明，得出，，再证明，在中，利用勾股定理求出，由等面积法得求出，在中，利用勾股定理求出，再证明为等腰直角三角形，得出，利用线段和差即可求解； （4）构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于，证明是等腰直角三角形，得出，求得，则当最小时，的面积最小，则最小时，的面积最小，由，可知当最小时，的面积最小，由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小，此时，点与重合，再进行计算即可． 【详解】解：（1）相等，垂直； （2）过点作于，过点作分别交、于、， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形，四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）在正方形中，由，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 得， 由等面积法得， 即， ∴， 在中，， 由（2）可知，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （4）如图，构造的外接圆，连接，，，过点作于点，设的半径为，过点作于， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵正方形中，，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴当最小时，的面积最小， ∴最小时，的面积最小， ∵， ∴当最小时，的面积最小， 由点到直线的最短距离可得，当、、依次共线，且时，最小， 此时如图，点与重合， 则， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，外接圆，二次根式，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值 22．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)，理由见解析. (3) 【分析】（1）利用，，得出是等边三角形，得出．由旋转得，则可求出，再利用外角即可求解； （2）连接，，利用，，得，证明，得，，得出，再证明，得出，可得，，再通过点是的中点，和点是的中点，证明，，通过证明是等腰直角三角形，即可得出； （3）取中点，中点，连接，，，通过证明，得出，由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动，由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线，即点和点重合时，最小， 此时，由翻折可知，则点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值，此时，连接，过点作于点，过点作于点，证明，得出，，通过证明，得出，，再计算出，，即可求出，则，通过，求出， 可求出，则利用即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴． 由旋转得， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接，， ∵，， ∴， 由旋转知，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即； （3）解：取中点，中点，连接，，， ∵，， ∴，，， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 由点为固定点，，得点在过点且垂直于的直线上运动， 由点到直线的最短距离可得，当取最小值时，即垂直于点运动轨迹的直线， 即点和点重合时，最小， 此时如图， 由翻折可知， ∴点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 由点到圆上一点的最大距离可知当、、依次共线时，取最大值， 此时如图，连接，过点作于点，过点作于点， 由旋转知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 题型二十二四点共圆+定弦定角 23．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）解：， 四点共圆， ． 故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 题型二十三定弦定角+圆的切线+点圆最值 24．（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 【答案】 【素材】 【实践探索】证明见解析 【迁移运用】 【分析】本题考查了圆的基本性质（如圆周角定理、切线的性质、垂径定理等）以及米勒圆（最大视角问题）的相关知识，涉及到利用圆的性质比较角的大小、探究最大视角的位置等内容．解题的关键是熟练运用圆中角的大小关系（如同弧所对的圆周角相等、圆外角与圆周角的大小关系），结合切线的性质和垂径定理等，将实际问题转化为几何图形中的角度关系问题，从而确定最大视角的位置并进行相关计算． 利用“同弧圆周角相等”与“三角形任意一个外角大于与它不相邻的一个内角”可得出与；利用“切线的性质”、“垂径定理”、“矩形的判定和性质”、“勾股定理”可求得的长，从而可写出点A的坐标． 【详解】如下图， 设线段与圆弧交于点C，连接，则， 又，所以，， 故答案为：． 【实践探索】连结，其中与圆交于点N，连续．如图所示． ∵， ∴，即当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大． 【迁移应用】如图，过点A、点P、点Q作外接圆，圆心为C，根据【实践探索】结论，当点A为的切点时，最大． 连结， 作，垂足为点M． ∵点A为的切点，为圆的半径， ∴， ∵， ∴ （垂径定理），且四边形为矩形（三个角为直角的四边形为矩形） 由点，点知，，则， ∴，即， 在直角三角形中，， 由矩形对边相等知，， ∴． 题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值 25．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）32 （2） 【分析】本题考查了圆的垂径定理、勾股定理、三角形面积计算以及角平分线性质、全等三角形、圆的性质在最值问题中的应用，解题的关键是：利用垂径定理和勾股定理求出三角形的高；通过构造辅助线转化周长表达式，结合几何性质求最小值． （1）连接由垂径定理得的长度，用勾股定理求出进而得到的长度，代入三角形面积公式计算； （2）过作、的垂线，利用角平分线性质得垂线相等，构造全等三角形转化线段，将周长表示为含的式子，结合外接圆和垂线段最短求最小值，进而得周长最小值． 【详解】（1）解：连接． ∵是边上的高且经过圆心O， ∴，由垂径定理得． ∵的半径为5，即， 在中，由勾股定理得． ∴（当圆心在内部时）． ∴的面积为． （2）能． 过点M作于E，于F，在上截取，连接，如图所示： ∵，平分， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的周长， ∴要使平行四边形的周长为最小，只需为最小即可， ∵，， ∴， ∴在和中， ∴ ， ∴， 在四边形中，，，， ∴， ∴， ∴， 即， 作的外接圆，圆心为O，连接，，，过点O作于H，如图2所示： ∴，， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 由勾股定理得：， ， 故得要使为最小，只需x为最小即可， ∵， ∴， 解得：， 即当点M，O，H在同一条直线上时，x为最小，最小值为， 此时的最小值为：， 平行四边形的周长的最小值为： 题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值 26．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值； 问题解决 （2）如图2，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）  （2）存在；位置见解析； 【分析】（1）如图1中，取的中点O，连接，．求出，．再利用两点之间线段最短解决问题； （2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求．过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N，则四边形是矩形，解直角三角形求出，，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中，取的中点O，连接，． ∵四边形是正方形， ，． ，， ． ． ， 的最小值为； （2）存在．如图2中，在的下方作等边三角形，作的外接圆，过点K作交于点E，点E即为所求． 过点K作的垂线交于点M，连接，，过点D作于点N， ， 则四边形是矩形． ，． ， ， ， ， ，． 是等边三角形， ． ． ， ． ． ， ． ，， ． ∴四边形是平行四边形，． ． ． ， ． 的面积的最小值． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，两点之间线段最短，直角三角形斜边中线，勾股定理，等边三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积 27．（2024台山市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 ．    【答案】 【分析】由矩形的性质求出∠ABQ=120°，由矩形的性质和轴对称性可知，△BOQ≌△DOC，根据S阴影部分=S四边形ABQD﹣S扇形ABQ=S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ可求出答案． 【详解】∵当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变， ∴点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，    ∵矩形ABCD中，AB=1，AD=， ∴∠ABC=∠BAC=∠C=∠Q=90°， ∴∠ADB=∠DBC=∠ODB=∠OBQ=30°， ∴∠ABQ=120°， 由轴对称性得：BQ=BA=CD， 在△BOQ和△DOC中， ， ∴△BOQ≌△DOC， ∴S阴影部分=S四边形ABQD﹣S扇形ABQ=S四边形ABOD+S△BOQ﹣S扇形ABQ， =S四边形ABOD+S△COD﹣S扇形ABQ， =S矩形ABCD﹣S△ABQ=1×-． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值 28．（2025·广西玉林·三模）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小，根据折叠的性质得到，进一步得到，根据勾股定理求出，即可求解，灵活应用相关知识是解答本题的关键． 【详解】解：如图所示，点在以为圆心为半径的圆上运动，当共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ， ， ∵是边的中点，， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值 29．（2025兰溪市模拟预测）如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图：连接OP、OQ，根据,可得当OP⊥AB时，PQ最短；在中运用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求得AB、AQ的长，然后再运用等面积法求得OP的长，最后运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接OP、OQ， ∵是的一条切线 ∴PQ⊥OQ ∴ ∴当OP⊥AB时，如图OP′，PQ最短 在Rt△ABC中， ∴AB=2OB=,AO=cos∠A·AB= ∵S△AOB= ∴，即OP=3 在Rt△OPQ中，OP=3,OQ=1 ∴PQ=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理等知识点，此正确作出辅助线、根据勾股定理确定当PO⊥AB时、线段PQ最短是解答本题的关键． 题型二十九定长定直角+面积最值+相似 30．（2024秭归县模拟）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 ． 【答案】6 【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线得出相似可得，根据已知，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9，即可求出此时△ABO的最大面积． 【详解】解：如图，过点D作DF∥AE， ∵DF∥AE ∴△DBF∽△ABE ∴， ∵， ∴DF＝2EC， ∴DO＝2OC， ∴DODC， ∴S△ADOS△ADC，S△BDOS△BDC， ∴S△ABOS△ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G， 当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：6×3＝9， 此时△ABO的面积最大为：9=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似以及圆等知识，解决本题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值 31．（2024德阳市模拟）（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动，所以当点C运动到线段上时，的值最小，求出的长，即得的最小值； （2）连结，取的中点D，连结，，根据三角形的中位线定理得，则点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动，所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，求出的长，即得的最大值． 【详解】（1）连结，取的中点D，连结，，   为的中点， ， 所以点C在以定点D为圆心，1为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点C在线段上时，的值最小，最小值为； 故答案为：． （2）连结，取的中点D，连结，，   为的中点， ， 所以点M在以定点D为圆心，为半径的圆上运动， ，，， ， ， 所以当点M运动到线段的延长线上时，的值最大，最大值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形与坐标，圆的定义，三角形中位线定理，求圆外一点到圆上点的距离的最值，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算 32．（2023·湖北黄石·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．    【答案】 【分析】取中点O，连接，，由即可得到，再由，可得当点P在线段上时，有最小值，然后利用直角三角形的性质可得，即可推出，则是等边三角形，求得的面积，根据可得． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，，    ∵， ∴， ∴点P在以为直径的圆上运动， 在中，， ∴当点P在线段上时，有最小值， ∵点O是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题． 题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值 33．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形面积的最值问题，圆周角定理，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键．过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案． 【详解】如图，过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 当点M到的距离最大时，的面积最大，当点N到的距离最大时，的面积最大， 即M点运动到D点，N点运动到E点， 此时四边形面积的最大值 ． 故选B． 题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算 34．（2024·江苏扬州·三模）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质、中点性质即可求得，如图1中，连接交于点，连接，首先证明，利用勾股定理求出．由，推出点在为直径的上运动，当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是，求出，再利用弧长公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点、分别是边、的中点， ，， 连接交于点，连接，如图1， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 点在为直径的上运动， 当点与重合时，如图2中，连接，．点的运动轨迹是， 此时，， ， ，， 平分， ， ， ， 点的运动轨迹的长． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径 35．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决 （2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）；（2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【分析】（1）连接，证明等边三角形，再利用弧长公式计算即可求解； （2）点P在以为圆心，圆心角为的圆上，如图，由题意知直线必经过的中点，得到四边形是平行四边形，求得，作于点，解直角三角形求得和的长，再证明，利用相似三角形的性质求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接，    ∵， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∵， ∴， ∴的长为； 故答案为：； （2）存在满足要求的点P和点F，此时的长为．理由如下， 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵要在湿地上修建一个新观测点P，使， ∴点P在以为圆心，为弦，圆心角为的圆上，如图，    ∵， ∴经过点的直线都平分四边形的面积， ∵新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分， ∴直线必经过的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作于点，    ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴． 答：存在满足要求的点P和点F，此时的长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围 36．（2024·广东·中考真题）【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）设，则，用含的代数式表示出，再代入验证即可得解； （2）先由点B的坐标和k表示出，再由折叠性质得出，如图，过点D作轴，过点B作轴，证出，由比值关系可求出，最后由即可得解； （3）当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H，求出k的值，进而即可求出k的取值范围． 【详解】（1）设，则， ∵轴， ∴D点的纵坐标为， ∴将代入中得：得， ∴， ∴， ∴， ∴将代入中得出， ∴函数的图象必经过点C； （2）∵点在直线上， ∴， ∴， ∴A点的横坐标为1，C点的纵坐标为2， ∵函数的图象经过点A，C， ∴，， ∴， ∴， ∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E， ∴，， ∴， 如图，过点D作轴，过点B作轴， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴，， ∴， 由图知，， ∴， ∴； （3）∵把矩形沿折叠，点C的对应点为E，当点E，A重合， ∴， ∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形，， ∴，，， ∵轴， ∴直线为一，三象限的夹角平分线， ∴， 当过点B时，如图所示，过点D作轴交y轴于点H， ∵轴， ∴H，A，D三点共线， ∵以点O为圆心，长为半径作，， ∴， ∴， ∴，，， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当过点A时，根 据A，C关于直线对轴知，必过点C，如图所示，连，，过点D作轴交y轴于点H， ∵, ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∴， ∴, ∴当与的边有交点时，k的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，一次函数的性质，反比例函数的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，轴对称的性质，圆的性质等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． $专题04最值模型：隐圆模型35种题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值 题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值 题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值 题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型六直角三角形+定长定角+点圆最值 题型七矩形+定弦定直角+点圆最值 题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值 题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值 题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2 题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型十五正方形+定弦定角+点圆最值 题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值 题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值 题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值 题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 题型二十正方形+定长定直角+面积最值 题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值 题型二十二四点共圆+定弦定角 题型二十三定弦定角+圆的切线+点圆最值 题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值 题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值 题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积 题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值 题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值 题型二十九定长定直角+面积最值+相似 题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值 题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算 题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值 题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算 题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径 题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围 题型一直角三角形+定弦定直角+点圆最值 1．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 题型二正方形+定弦定直角+瓜豆原理+点圆最值 2．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 题型三矩形（直角梯形）+折叠模型+定点定长+点圆最值 3．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型四等腰三角形+定点定长+对称+面积最值 4．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 题型五正方形+折叠模型+定点定长+点圆最值 5．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为的正方形的对角线上取一点，使，连结并延长至点，连结，使，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④点是边上一动点，连结，将沿翻折，点落在点处，连结交于点，连结，则的最小值为其中正确的结论有 ．（填序号） 题型六直角三角形+定长定角+点圆最值 6．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践 【问题提出】 原题呈现（人教版九年级下册85页第14题） 如图1，在锐角中，探究，，之间的关系． 【问题探究】 将下列探究过程补充完整： （1）如图1，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． 在中，，   ∴， 在中，，   ∴， ∴，即， 同理，在中，_____， 在中，_____， ∴___________， 即， ∴； 【结论应用】 （2）如图2，在中，，，．求，的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：，．） 【深度探究】 （3）如图3，是锐角的外接圆，半径为． 求证：． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，，D是线段上的一个动点，以为直径的分别交，于点E，F，连接．则线段长度的最小值是________． 题型七矩形+定弦定直角+点圆最值 7．（2025·江苏宿迁·三模）已知在矩形中，，，点为边上的一个动点（点不与点、重合），过点作射线的垂线，垂足为，则的最小值为（   ）． A．7 B．8 C． D．10 题型八正方形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 8．（2025·山东德州·一模）如图，四边形是边长为的正方形，是平面内一点，，将绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，则长的最小值为（    ）． A． B． C． D． 题型九直角三角形+特殊角度+圆+点圆最值 9．（2025·河北邢台·二模）如图，直径为2的半圆O与的边相切，圆心O在边上，若，，，P，Q分别是与半圆弧上的动点，则的最大值和最小值之积是（   ） A． B． C． D． 题型十坐标系+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 10．（2025·广东深圳·一模）如图，已知A，B两点的坐标分别为，点C，F分别是直线和x轴上的动点，，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当面积取得最小值时，的值是（   ） A． B． C． D． 题型十一菱形+折叠模型+定点定长+点圆最值 11．（2025·河北邯郸·一模）如图，在菱形中，，，点在边上，且，是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，当点在四边形内部（含边界）时，的长度的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 题型十二菱形+定角定弦+瓜豆原理+点圆最值 12．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 题型十三矩形+动点+对角线+定弦定直角2 13．（2025苏州市模拟预测） 如图，矩形中，，，点、分别、边上的点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B．4 C．5 D． 14．（2025苏州市零模）如图，矩形的边，M为的中点，P是矩形内部一动点，满足，N为边上的一个动点，连接，则的最小值为 题型十四等边三角形+旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 15．（2025·天津·一模）如图，是等边三角形的边的中点，为平面内一点，连接，将线段以点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点之间的距离为1，则的最小值为 ，最大值为 ． 题型十五正方形+定弦定角+点圆最值 16．（2025宁波市模拟预测）如图，已知正方形，边长为4，正方形内有一动点，．连接，则线段的最小值为 ． 题型十六正多边形+折叠模型+定点定长+点圆最值 17．（2025·河北·一模）如图，在正五边形中，，点P在边上（不与点C重合），连接，将沿折叠得到，连接． （1） ； （2）的最小值为 ． 题型十七等腰直角三角形+旋转+定点定长+点圆最值 18．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在等腰中，，，D为边的中点，连接并取的中点P，连接，在绕点A旋转的过程中，线段的最小值为 ，最大值为 ． 题型十八等边三角形+旋转+瓜豆原理+定弦定角+点圆最值 19．（2025·河南焦作·二模）如图，在等边中，，是平面内一点，线段绕点逆时针旋转至，直线与交于点，若，则的最大值是 ，最小值是 ． 题型十九旋转+定点定长+瓜豆原理+点圆最值 20．（2025·河南漯河·三模）如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ，最大值为    题型二十正方形+定长定直角+面积最值 21．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践 【问题情境】 如图，小昕同学在正方形纸板的边、上分别取点、，且，交于点．连接，过点作，垂足为，连接、，交于点，交于点． 【活动猜想】 （1）与的数量关系是_______，位置关系是_______； 【探索发现】 （2）证明（1）中的结论； 【实践应用】 （3）若，，求的长； 【综合探究】（4）若，则当_______时，的面积最小． 题型二十一等腰三角形+旋转+瓜豆原理+点圆最值 22．（2025·重庆·中考真题）在中，，点D是边上一点（不与端点重合），连接．将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，，求的度数； (2)如图2，，，过点作，交的延长线于，连接．点是的中点，点是的中点，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明： (3)如图3，，，，连接，．点从点移动到点过程中，将绕点逆时针旋转得线段，连接，作交的延长线于点．当取最小值时，在直线上取一点，连接，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得，连接，，，当取最大值时，请直接写出的面积． 题型二十二四点共圆+定弦定角 23．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 题型二十三定弦定角+圆的切线+点圆最值 24．（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置 【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段表示球门，、为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大． 如图1，___________．（用“>”、“”或“”填空） 【实践探索】假设运动员沿着直线带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段为弦作，恰与直线相切，切点为．若点是上一个异于点的动点， 求证：当运动员跑动到切点处时，射门张角最大，即． 【迁移应用】如图3，点，点，点为轴正半轴上的一个动点，当最大时，请求出点的坐标． 题型二十四平行四边形+定弦定角+点圆最值 25．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出 （1）如图①，内接于，边上的高经过圆心O，若，的半径为5，求的面积； 问题解决 （2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为，，平分交对角线于点M，在点M处安装喷灌装置，且，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形周长的最小值；若不能，请说明理由． 题型二十五正方形/四边形+定弦定角+点圆最值 26．（2025·陕西西安·一模）问题提出 （1）如图1，在正方形中，点E是其内部一点，连接，，且．若，求的最小值； 问题解决 （2）如图2，是某公园的一块四边形空地的平面图，其中，，，，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路，，，（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：，且的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得，且的面积最小？若存在，请确定出点E的位置，并求出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 题型二十六矩形+对称+定长定点+点圆最值+面积 27．（2024台山市一模）如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为 ．    题型二十七矩形+折叠模型+定长定点+点圆最值 28．（2025·广西玉林·三模）如图，在矩形中，点为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，则的最小值为 ． 题型二十八直角三角形+圆的切线+点到直线距离+最值 29．（2025兰溪市模拟预测）如图，在中，的半径为点是边上的动点，过点作的一条切线(其中点为切点)，则线段长度的最小值为 ． 题型二十九定长定直角+面积最值+相似 30．（2024秭归县模拟）如图，在RtABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D、E分别在边AB、AC上，且DB=2AD，AE=3EC，连接BE，CD，相交于点O，则ABO面积最大值为 ． 题型三十坐标系+中点轨迹+定点定长+点圆最值 31．（2024德阳市模拟）（1）如图①，在平面直角坐标系中，、，以点为圆心、2为半径的上有一动点．连接，若点为的中点，连接，则的最小值为 ． （2）如图②，点A、B的坐标分别为、，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为 ．    题型三十一直角三角形+勾股逆定理+定弦定直角+点圆最值+面积计算 32．（2023·湖北黄石·一模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的面积是 ．    题型三十二圆+特殊角度+对角互补+面积最值 33．（2024·黑龙江牡丹江·一模）如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（   ） A．9 B． C．18 D． 题型三十三矩形+动点+定弦定直角+隐圆轨迹+路径长计算 34．（2024·江苏扬州·三模）在矩形中，，，点、分别是边、的中点，某一时刻，动点从点出发，沿方向以每秒4个单位长度的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发，沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，其中一点运动到矩形顶点时，两点同时停止运动，连接，过点作的垂线，垂足为．在整个运动过程中，点所经过的路径长是 ． 题型三十四定弦定角+隐圆+面积平分+轨迹路径 35．（2024·陕西·中考真题）问题提出 （1）如图1，在中，，，作的外接圆．则的长为________；（结果保留π）   问题解决（2）如图2所示，道路的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点D，E，C，线段和为观测步道，其中点A和点B为观测步道出入口，已知点E在上，且，，，，，现要在湿地上修建一个新观测点P，使．再在线段上选一个新的步道出入口点F，并修通三条新步道，使新步道经过观测点E，并将五边形的面积平分．    请问：是否存在满足要求的点P和点F?若存在，求此时的长；若不存在，请说明理由．（点A，B，C，P，D在同一平面内，道路与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号） 题型三十五坐标系+矩形+折叠对称+隐圆+交点范围 36．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点A． 【构建联系】（1）求证：函数的图象必经过点C． （2）如图2，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E落在y轴上，且点B的坐标为时，求k的值． 【深入探究】（3）如图3，把矩形沿折叠，点C的对应点为E．当点E，A重合时，连接交于点P．以点O为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求k的取值范围． $