专题04 二次函数代数类考点及几何综合题型31题专训（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题04 二次函数代数类考点及几何综合题型31题专训 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 1．（2025•浙江三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣m2+3m（m≠0的实数）． （1）二次函数图象的对称轴是 ． （2）当m＝2时， ①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值． ②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2时，均满足y1＜y2﹣6，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）根据二次函数的对称轴性质代入可得； （2）①根据平移可得B（1+3a，n），C（1﹣2a，n），关于对称轴对称，可得求值即可； ②点p到y轴的距离小于等于2，确定y的最小值和最大值，即所有“亲密点”的y的取值范围； （3）二次函数图象的对称轴直线开口向上，当时y随x值增大而减小，可知y2的最小值，然后分类讨论即可； 【解答】（1）解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣m2+3m， ∴二次函数图象的对称轴直线， ∴对称轴是直线， 故答案为：x； （2）①当m＝2时，二次函数为：y＝x2﹣3x+2，点A（1，n）平移后，B（1+3a，n），C（1﹣2a，n）， 由对称性得， 化简， 解得 a＝1， ∴1+3a＝4， 代入求n：n＝42﹣3×4+2＝16﹣12+2＝6，则 n＝6； ②∵点p到y轴的距离小于等于2， ∴﹣2≤x≤2， ∴顶点处y有最小值：当时，， 端点y有最大值：当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣3×（﹣2）+2＝12， 当x＝2时，y＝22﹣3×2+2＝0， ∴y的取值范围：； （3）当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2，需满足y1＜y2﹣6，则y1+6＜y2， 将P（x1，y1），Q（x2，y2）代入得：， ∵二次函数图象的对称轴直线，开口向上，当时y随x值增大而减小， ∴x2≤﹣2，当x2＝﹣2时，有最小值是10， ∴， ∴，则（x1﹣4）（x1+1）＜0， ∴或， ∴解得解集为：﹣1＜x1＜4， 当x1＝t﹣1时，则﹣1＜t﹣1＜4，解得：0＜t＜5， 当x1＝2t+1时，则﹣1＜2t+1＜4，解得：， ∴综上，t的取值范围为：． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，函数的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 2．（2025•丽水一模）定义：若点（a，b）满足b＝ka（k≠0），则称该点为“k倍点”．已知二次函数y＝x2+x+c（c为常数）． （1）当c＝﹣2时，求出该函数图象上的“二倍点”坐标； （2）若该函数图象上存在唯一的“二倍点”，求c的值； （3）在﹣3≤x≤2的范围内，若二次函数y＝x2+x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 【分析】（1）根据题意设这个“二倍点”坐标为（x，2x），代入求解计算即可； （2）设这个“二倍点”坐标为（x，2x），根据题意列出方程求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x，将在﹣3≤x≤2的范围内，二次函数y＝x2+x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在﹣3≤x≤2的范围内，二次函数g＝x2﹣2x+c与x轴至少有一个交点，即可求解． 【解答】解：（1）若点（a，b）满足b＝ka（k≠0），则称该点为“k倍点”．已知二次函数y＝x2+x+c（c为常数）． 当c＝﹣2时，y＝x2+x﹣2， 设这个“二倍点”坐标为（x，2x）， 代入得：x2+x﹣2＝2x， 解得：x1＝2或x2＝﹣1， ∴2x＝4或2x＝﹣2， ∴“二倍点”坐标为（2，4）或（﹣1，﹣2）； （2）设这个“二倍点”坐标为（x，2x）， 代入得：x2+x+c＝2x， 整理得：x2﹣x+c＝0， ∵存在唯一的“二倍点”， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×c＝0， 解得：； （3）由题意得，三倍点所在的直线为y＝3x， ∵在﹣3≤x≤2的范围内，二次函数y＝x2+x+c的图象上至少存在一个“三倍点”， ∴在﹣3≤x≤2的范围内，二次函数y＝x2+x+c和y＝3x至少有一个交点， 令3x＝x2+x+c，整理得，x2﹣2x+c＝0， 则Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4c≥0，解得c≤1； 设g＝x2+x+c﹣3x＝x2﹣2x+c，开口向上， 对称轴为x＝1， 使得g在﹣3≤x≤2之间与x轴至少有一个交点， ∴g在﹣3≤x≤2的最小值为：当x＝1时，g＝1﹣2+c＝c﹣1， 最大值为：当x＝﹣3时，g＝9+6+c＝15+c， ∴， 解得：﹣15≤c≤1． 【点评】本题考查二次函数图象和系数的关系，正确记忆相关知识点是解题关键． 3．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2b，即（b）2+b•（b）+c＝0，即可求解． 【解答】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9，②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则﹣8﹣（t2+2t﹣8）＝4， 方程无解； 当﹣1＜t≤0时，当x＝﹣1时，y的最小值为﹣9，当x＝﹣2时，y的最大值为﹣8， 则y最大﹣y最小＝﹣8﹣（﹣9）＝1≠4，不符合题意； 当t＞0时，y的最小值为﹣9，y的最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2b， ∴（b）2+b•（b）+c＝0， ∴cb2， ∴b﹣cbb2（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 4．（2025•上城区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 【分析】（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中，得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得对称轴为直线x＝1； （2）由y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，可得a+b﹣2＝﹣3，结合2a+b＝0，可得a＝1，b＝﹣2，故该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2，平移后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6，再根据0≤x≤5时，分别计算最大值和最小值即可； （3）由y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2，因为x2﹣x1，则2（x2﹣x1）＝4.再解不等式4＜48即可． 【解答】解：（1）把A（2，﹣2）代入二次函数y＝ax2+bx﹣2中， 得﹣2＝4a+2b﹣2，整理可得2a+b＝0， 变形可得，即对称轴为直线x＝1； （2）∵y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3， 即当x＝1时，ymin＝a+b﹣2＝﹣3， 又∵2a+b＝0， 故a＝1，b＝﹣2， 因该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣2， ∵向右平移2个单位后的新二次函数表达式为y＝x2﹣6x+6， 可得对称轴为直线x＝3， 故当0≤x≤5时，ymin＝﹣3；ymax在x＝0处取到，即ymax＝6， ∴ymin+ymax＝﹣3+6＝3； （3）∵y＝ax2+bx﹣2＝ax2﹣2ax﹣2，且图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． 则由韦达定理可得x1+x2＝2，x1•x2， ∴（x1+x2）（x2﹣x1）＝2（x2﹣x1）， ∵x2﹣x1， ∴2（x2﹣x1）＝4． ∵48，即4＜48， 整理得， 解得． 【点评】本题考查了二次函数的性质，包括对称轴，区间最值，图象的平移，韦达定理，不等式，熟练掌握以上基础知识点并灵活运用是解题关键． 5．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论； ②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到x3x2，将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的顶点在x轴上， ∴Δ＝42﹣4a×3＝0， ∴a． ∴该抛物线的函数表达式为yx2+4x+3； （2）①若k＝1，则y＝x， ∵A（，y1）为直线y＝x（k≠0）与抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）的交点， ∴， ∴． ∴若k＝1，a的值为． ②抛物线y＝ax2+4x+3的对称轴为直线x， ∵B（x2，y2），C（x3，y3）两点在抛物线上，且点C不与点A，B重合，y2＝y3， ∴B，C两点关于对称轴直线x对称， ∴， ∴x3x2． ∵直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点， ∴， ∴x1，x2是方程ax2+（4﹣k）x+3＝0（a＞0）的两个根， ∴， ∵x1， ∴x2＝﹣3． ∴x33， ∵0≤x3≤1， ∴03≤1， ∵a＞0， ∴2． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，抛物线的对称轴，顶点坐标，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 【分析】（1）（t，c）代入y＝x2﹣2x+c，求解一元二次方程即可； （2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在x轴上，求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【解答】（1）解：已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．点（t，c）在该二次函数的图象上，将（t，c）代入得： c＝t2﹣2t+c， 解得：t＝0或2； （2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴二次函数的顶点坐标为（1，c﹣1）， ∵该二次函数图象的顶点在x轴上， ∴c﹣1＝0， 解得：c＝1， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1； （3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， 其中1＞0，对称轴为直线x＝1， ∴在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在1＜x≤2时，y随x的增大而增大； ∴当x＝1时函数取得最小值n＝c﹣1； 当x＝﹣1时函数取得最大值m＝1+2+c＝c+3； ∴mn＝（c﹣1）（c+3）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4≥﹣4， 即mn≥﹣4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象经过点（﹣1，0）． （1）若b＝5，求该函数的表达式及顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤3时，函数y有最小值﹣9，求a的值． （3）若点P（4，s），Q（n﹣3，r）都在该函数图象上，且s＜r，求n的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法得出函数解析式，再化为顶点式即可； （2）将点（﹣1，0）代入y＝ax2﹣4ax+b，得b＝﹣5a，从而可得函数解析式为y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，再结合函数图象性质分情况讨论求解即可； （3）分两种情况：当a＞0时，当a＜0时，分别利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）根据题意可知0＝a+4a+5， 解得a＝﹣1． 所以y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9． 所以该函数的表达式为y＝﹣x2+4x+5，顶点坐标为（2，9）． （2）由条件可得0＝a+4a+b，所以b＝﹣5a． 所以y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a． 当a＞0时，x＝2时，函数y有最小值﹣9a＝﹣9，所以a＝1． 当a＜0时，x＝﹣1时，函数y有最小值0，不合题意， 所以a的值为1． （3）因为该函数图象的对称轴为直线x＝2， 当a＞0时，|n﹣3﹣2|＞2，解得n＜3或n＞7． 当a＜0时，|n﹣3﹣2|＜2，解得3＜n＜7． 所以当a＞0时，n的取值范围为n＜3或n＞7． 当a＜0时，n的取值范围为3＜n＜7． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 8．（2025•温州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2x﹣c（a，c为常数）的图象的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的表达式． （2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在y＝ax2﹣2x﹣c的图象上，x1＞x2． ①若x1+x2＝3，请比较y1与y2的大小并说明理由． ②若x1+x2＝k（k为常数），当y1≤y2时，求k的范围并说明理由． 【分析】（1）依据题意，由二次函数顶点为（1，﹣4），则可设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4，故y＝ax2﹣2ax+（a﹣4），又y＝ax2﹣2x﹣c，可得﹣2a＝﹣2，a﹣4＝﹣c，进而求出a，c可以判断得解； （2）①依据题意，结合（1）得，y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2]，又x1＞x2知x1﹣x2＞0，且x1+x2＝3，故y1﹣y2＝（x1﹣x2）（3﹣2）＝x1﹣x2＞0，进而可以判断得解； ②依据题意可得，y1﹣y2＝（x1﹣x2）（k﹣2）≤0，又x1＞x2，从而k﹣2≤0，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数顶点为（1，﹣4）， ∴可设二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4． ∴y＝ax2﹣2ax+（a﹣4）． 又∵y＝ax2﹣2x﹣c， ∴﹣2a＝﹣2． ∴a＝1． 又∵a﹣4＝﹣c， ∴﹣c＝﹣3，则c＝3． ∴二次函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3． （2）①由题意，结合（1）得，y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）﹣2（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）[（x1+x2）﹣2]． 又∵x1＞x2知x1﹣x2＞0，且x1+x2＝3， ∴y1﹣y2＝（x1﹣x2）（3﹣2）＝x1﹣x2＞0． ∴y1＞y2． ②由题意可得，y1﹣y2＝（x1﹣x2）（k﹣2）≤0． 又∵x1＞x2， ∴x1﹣x2＞0． ∴k﹣2≤0． ∴k≤2． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 9．（2025•吴兴区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的顶点坐标为（1，9）． （1）求a，c的值，并写出函数表达式． （2）已知A（m，n）在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若m≤﹣1，m≤x≤m+6时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标为（1，9）可知抛物线对称轴为直线x1，再将（1，9）代入抛物线表达式即可求出a，c； （2）①根据平移规律求出点B坐标为（m+6，n），再根据点A与点B关于对称轴对称列出关于m的方程，求出m，将点A坐标代入抛物线表达式即可求出点A坐标； ②根据m≤﹣1以及抛物线的开口方向和对称轴，分（Ⅰ）m+6≤1即m≤﹣5，（Ⅱ）﹣5≤m＜﹣2，（Ⅲ）﹣2≤m≤﹣1三种情况求抛物线的最值，再根据二次函数的最大值是最小值的2倍得到关于m的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2x+c的顶点坐标为（1，9）， ∴1，a﹣2+c＝9， ∴a＝1，则c＝10， ∴a＝1，c＝10，抛物线表达式为y＝x2﹣2x+10； （2）①∵将点A（m，n）向右平移6个单位后得到点B， ∴B（m+6，n）， 又∵点A与点B关于对称轴对称，且对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴m＝﹣2， ∴将点A（﹣2，n）代入抛物线表达式为y＝x2﹣2x+10得：n＝（﹣2）2﹣2×（﹣2）+10＝18． ∴A（﹣2，18）； ②由题意，二次函数表达式为y＝x2﹣2x+10，对称轴是直线x＝1，其图象开口向上， ∴m≤x≤m+6求最值要分3种情况： （Ⅰ）当m+6≤1，即m≤﹣5时，可得：x＝m时，y取最大值为m2﹣2m+10，当x＝m+6时，y取最小值为（m+6）2﹣2（m+6）+10＝m2+10m+34， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴m2﹣2m+10＝2（m2+10m+34）， 即m2+22m+58＝0， 解得：m＝﹣11±3， ∵m≤﹣5， ∴m＝﹣11﹣3， （Ⅱ）当﹣5＜m≤﹣2时，m+6＞1，且1﹣m＞m+5， 此时，当x＝m时，y取最大值为m2﹣2m+10，当x＝1时，y取最小值为9， ∵该二次函数的最大值是最小值的2倍， ∴m2﹣2m+10＝18， 解得：m＝4或m＝﹣2， ∵﹣5≤m≤﹣2， ∴m＝﹣2， （Ⅲ）当﹣2＜m≤﹣1时，m+6＞1，且1﹣m＜m+5， 此时，当x＝m+6时，y取最大值为（m+6）2﹣2（m+6）+10＝m2+10m+34，当x＝1时，y取最小值为9， ∴m2+10m+34＝18， 解得：m＝﹣2或﹣8， ∵﹣2＜m≤﹣1 ∴此种情况不成立， 综上所述，m的值为﹣11﹣3或﹣2． 【点评】本题考查了抛物线的顶点式、对称轴以及最值等知识，难点是要分情况讨论函数在给定区间内的最大值和最小值，进而列出关于m的方程求解． 10．（2025•黄岩区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2）． （1）当m＝3时，求二次函数的表达式． （2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2）． ①在（1）的条件下，当x2＝3x1时，y1＝y2，求y1的值； ②若，x1＜x2，恒有y1＞y2，求m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得； （2）①由题意可知M（x1，y1），N（x2，y2）关于对称轴对称，即可得出，求得x1+x2＝2，由x2＝3x1，即可求得x1，代入解析式即可求解； ②根据图象上点的坐标特征，M（x1，y1）到对称轴的距离大于点N（x2，y2）到对称轴的距离，即可得出，根据若即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2），m＝3， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣5； （2）①在（1）的条件下，函数为y＝x2﹣2x﹣5， ∵二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2），y1＝y2， ∴， ∴x1+x2＝2， ∵x2＝3x1， ∴4x1＝2，即x1， ∴y1＝（）2﹣25； ②∵二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2）， ∴图象开口向上，对称轴为直线x， ∵二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2），x1＜x2，恒有y1＞y2， ∴M（x1，y1）到对称轴的距离大于点N（x2，y2）到对称轴的距离， ∴， ∵， ∴m． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 11．（2025•衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 【分析】（1）①将题目中3个点坐标分别代入验证即可； ②因为a＝1，则函数y＝x2﹣2x﹣3，根据二次函数的性质以及图象上点的坐标特征可知图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3），则点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3），根据二次函数增减性即可求得当x≥2时，该函数的最小值是﹣3． （2）由p＜q，得到p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0，因为a＞0，所以2n+1＞0，解得n＞﹣0.5． 【解答】解：（1）①当x＝2时，y＝4a﹣4a﹣3＝﹣3≠﹣5，不合题意，舍去； 当x＝1时，a﹣2a﹣3＝﹣4，所以a＝1，符合合题意， 这时二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3； 当x＝﹣1时，3a﹣3＝﹣6，所以a＝﹣1＜0，不合题意，舍去； ∴二次函数的图象应经过（1，﹣4）； ②∵a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3， ∴二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，与y轴交于点（0，﹣3）， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大，点（0，﹣3）关于直线x＝1的对称点为（2，﹣3）， ∵当x≥m时，该函数的最小值是﹣3， ∴m＝2； （2）二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q）， ∴p＝an2﹣2an﹣3，q＝a（n+3）2﹣2a（n+3）﹣3， ∵p＜q， ∴p﹣q＝﹣6an﹣3a＝﹣3a（2n+1）＜0， ∵a＞0， ∴2n+1＞0即n＞﹣0.5． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 12．（2025•浙江模拟）已知二次函数，正比例函数y2＝﹣x． （1）求证：二次函数y1的顶点在y2的图象上． （2）若函数y＝y1﹣y2，当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大，求m的取值范围． （3）若点M（m+2，s），N（n，t）都在（2）中函数y的图象上，且s＜t，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）． 【分析】（1）先将二次函数化为顶点式，再求出顶点坐标代入正比例函数解析式验证即可； （2）根据当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大可知对称轴的范围，从而得解； （3）点M（m+2，s），N（n，t）代入可得s＝6，t＝n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m，则有n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m＞6，将n看成未知数，m看成参数，利用二次函数的图象与横线的交点问题解这个一元二次不等式即可． 【解答】解：（1）已知二次函数，正比例函数y2＝﹣x． ∵， ∴顶点坐标为（m，﹣m）， ∵当x＝m时，y2＝﹣x＝﹣m， ∴顶点在直线y2＝﹣x上． （2）∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m， ∴对称轴为直线x＝m﹣0.5， ∴当x≤m﹣0.5时，y随x的增大而减小； 当x≥m﹣0.5时，y随x的增大而增大． ∵当x＜2时，y随x的增大而减小； 当x＞3时，y随x的增大而增大， ∴2≤m﹣0.5≤3，则2.5≤m≤3.5． （3）∵x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m． 且点M，N都在y的图象上， ∴s＝（m+2）2﹣（2m﹣1）（m+2）+m2﹣m＝6． t＝n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m． ∵s＜t， ∴n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m＞6． 令y3＝6，转化为求当函数t＝n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m在直线y3上方时，n的取值范围． 当n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m＝6时， [n﹣（m﹣3）][n﹣（m+2）]＝0． ∴n＝m﹣3或n＝m+2． 又∵n2﹣（2m﹣1）n+m2﹣m＞6， ∴n＜m﹣3或n＞m+2． 【点评】本题考查二次函数解析式化为顶点式，二次函数的图象与性质，利用二次函数图象解一元二次不等式等知识，掌握数形结合思想以及良好的字母运算能力是解题的关键． 12．（2025•定海区三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于4＜x0＜6，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 【分析】（1）①利用对称轴公式求得即可； ②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（4，n），C（x0，p）在对称轴的右侧，点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离，据此即可得到，解得2≤t≤4， 【解答】解：（1）①∵t2， ∴b＝﹣4a； ②∵抛物线y＝ax2+bx+c中，a＞0， ∴抛物线开口向上， ∵点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，对称轴为直线x＝2， ∴点A（﹣2，m）到对称轴的距离大于点B（4，n）到对称轴的距离， ∴m＞n； （2）由题意可知，点A（﹣2，m）在对称轴的左侧，点B（4，n），C（x0，p）在对称轴的右侧， ∵4＜x0＜6，都有m＞p＞n， ∴点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， ∴，解得2≤t≤4， ∴t的取值范围是2≤t≤4． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． 13．（2025•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若﹣2＜x＜5． ①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值； ②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系． 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）①根据当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝﹣4a求解即可；②由称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间可知当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意），则a1＞0，a2＜0，分别求出最小值即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴对称轴为直线， （2）①∵a＞0， ∴抛物选开口向上， ∵﹣2＜﹣1＜5， ∴当x＝﹣1时，该函数最小值为y＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a ∵该函数的最小值为﹣8， ∴﹣4a＝﹣8， ∴a＝2， ②∵二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）对称轴在直线x＝﹣2与x＝5之间，且两个函数的最小值相等 当a1＞a2＞0或a2＜a1＜0时，则两条抛物线的顶点相同，即a1＝a2（不合题意） ∴a1＞0，a2＜0 当a1＞0时， 当a2＜0时， ∵两个函数的最小值相等， ∴﹣4a1＝32a2，即a1＝﹣8a2 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 14．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（2，0）． （1）求该二次函数的表达式． （2）已知m≤x≤n． ①若m+n＝4，该二次函数的最小值为，求n的值． ②若m+n＜﹣2，有，求m的值． 【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣1可得，故b＝2a，再把点（2，0）代入解析式可得，从而可求得二次函数的表达式； （2）①由m+n＝4，可得，故当x＝n时，ymin，即，解得n1＝﹣5（舍去），n2＝3，故n的值为3． ②由m+n＜﹣2，可得，又，故函数在 x＝﹣1 时取得最大值，在 x＝m时取得最小值 m﹣2．即，解得 m＝﹣6，m＝2（舍去）．所以 m＝﹣6． 【解答】解：（1）由，可得b＝2a， ∴y＝ax2+2ax+4，又抛物线过点（2，0），代入点（2，0）， ∴4a+4a+4＝0，解得， ∴该二次函数的表达式． （2）①∵m+n＝4， ∴，即x轴上m，n表示两点连结的线段中点为（2，0）， 故当x＝n时，ymin，即， 解得n1＝﹣5（舍去），n2＝3， 故n的值为3． ②∵m+n＜﹣2， ∴，即x轴上m，n表示两点的线段中点在（﹣1，0）的左边， 又∵， 故函数在 x＝﹣1 时取得最大值，在 x＝m时取得最小值 m﹣2． 即，解得 m＝﹣6，m＝2（舍去）． 所以 m＝﹣6． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，包括待定系数法求解析式，对称轴，区间最值，二次函数的增减性，熟练掌握以上内容是解题关键． 15．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，A（﹣2，m），B（1，1）是二次函数y＝ax2图象上的两点． （1）求a，m的值； （2）若点C在直线AB下方的抛物线上，点D在直线AB上方的抛物线上，问： ①求△ABC面积的最大值； ②当CD垂直平分线段AB时，求点D的坐标； （3）过点B作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点E，F，求△BEF中EF边上的高的最大值． 【分析】（1）将点B坐标代入抛物线的解析式，从而求得a的值，进而求得m的值； （2）①作CD∥y轴，交AB于D，设C（m，m2），可求得直线AB的解析式，从而表示出点D坐标，从而表示出CD，进而表示出S△ACD，从而得出结果； ②根据CD⊥AB求得CD的斜率，进而设出设直线CD的解析式，结合抛物线的解析式得出一元二次方程x2＝x+b从而得出xC+xD＝1，进而得出CD与AB交点横坐标，进而得出其纵坐标，进一步得出结果； （3）设EF上的高是BG，作BH⊥x轴，交EF于H，设E（m，m2），F（n，n2），可表示出，，直线FE的解析式为：y＝（m+n）x﹣mn，从而得出sin∠BHE，进而表示出BG，根据BE⊥BF得出（m+1）（n+1）＝﹣1，进而得出BG，设x＝m+n，从而BG，进一步得出结果． 【解答】解：（1）由题意得， 1＝a•12， ∴a＝1， ∴y＝x2， ∴m＝（﹣2）2＝4； （2）①如图1， 作CD∥y轴，交AB于D，设C（m，m2）， ∵A（﹣2，4），B（1，1）， ∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+2， ∴D（m，﹣m+2）， ∴CD＝﹣m2﹣m+2， ∴S△ACD， ∴当m时，S△ACD最大； ②∵CD⊥AB，kAB＝﹣1， ∴kCD＝1， 设直线CD的解析式为：y＝x+b， 由x2＝x+b得， x2﹣x﹣b＝0， ∴xC+xD＝1， ∴CD与AB交点横坐标为：， 当x时，y＝﹣x+2， ∴CD与AB的交点坐标为：（）， ∴直线CD的解析式为：y＝x+1， ∴x2﹣x﹣1＝0， ∴（舍去）， 当x时，y， ∴D（； （3）如图2， 设EF上的高是BG，作BH⊥x轴，交EF于H， 设E（m，m2），F（n，n2）， ∴，， ∴tan∠BHE，直线FE的解析式为：y＝（m+n）x﹣mn， ∴sin∠BHE，H（1，m+n﹣mn）， ∴BG＝BH•sin∠BHE，BH＝|m+n﹣mn﹣1|， ∴BG， ∵BE⊥BF， ∴（m+1）（n+1）＝﹣1， ∴﹣mn＝m+n+2， ∴BG， 设x＝m+n， ∴BG， ∴， 令， ∴yx2﹣4x+（y+3）＝0， 由（﹣4）2﹣4y（y+3）≥0得， ﹣4≤y≤1， ∴BG2最大＝4+1＝5， ∴BG最大． 【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解直角三角形等知识，解决问题的关键是具有较强的计算能力． 16．（2025•婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 【分析】（1）求出Δ＝b2﹣4ac的值即可求证； （2）当a＝1时，m＝2t2+7t+3，n＝2t﹣1，那么2t2+7t+3≤2t﹣1+2成立时，可通过画图方法，求得t值； （3）由题意可知，m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1，那么2at2+（6a+1）t+3≤（a+1）t﹣1+2成立时，可整理为2at2+5at+2≤0，不妨设 y′＝2at2+5at+2，那么其对称轴为，仅存在一个整数t，使得2at2+5at+2≤0成立，那么t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0且t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0，从而求得a的取值范围． 【解答】（1）证明：， ∴Δ＝（6a+1）2﹣4×2a×3＝36a2﹣12a+1＝（6a﹣1）2≥0， ∴抛物线与x轴必有交点； （2）解：当a＝1时，，y2＝2x﹣1， ∵点A（t，m）在抛物线上， ∴m＝2t2+7t+3， ∵点B（t，n）在直线y2＝2x﹣1上，将点B的坐标代入得：n＝2t﹣1， ∵m≤n+2， ∴2t2+7t+3≤2t﹣1+2， 即2t2+5t+2≤0， 设w＝2t2+5t+2＝（2t+1）（t+2）， 当或t＝﹣2时，w＝0； 画函数w＝2t2+5t+2如图1： 由图象可知，当w≤0，即m≤n+2，满足条件的整数t的值为﹣2和﹣1； （3）解：依题意得：m＝2at2+（6a+1）t+3，n＝（a+1）t﹣1， 设y′＝m﹣n﹣2， ∴y′＝2at2+5at+2， ∴其对称轴为，如图2： ∵m≤n+2， ∴2at2+5at+2≤0， ∵若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立， ∴t＝﹣1时，y′＝2a﹣5a+2≤0； t＝﹣2时，y′＝8a﹣10a+2＞0， ∴a的取值范围为：． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2025•西湖区校级三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a+b+c＝0，且该抛物线的图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、﹣2k（k≠0），求证：2b2+ac＝0； （3）若c＝1，4a2+b＝0，A（x1，y1）和B（5a，y2）是抛物线上的两点．对于3≤x1≤4都有y1＜y2，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、﹣2k（k≠0），得到一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）的两根为k、﹣2k，利用一元二次方程的根与系数的关系定理得到b＝ka，c＝﹣2ak2，代入化简即可得出结论； （3）利用抛物线上点的坐标的特征得到1，依据题意得到不等式a（x1+a）（x1﹣5a）＜0，利用分类讨论的思想方法结合不等式的性质得到关于a的不等式，解不等式即可得出结论． 【解答】（1）解：∵若抛物线的图象经过C（1，1）， ∴a+b+c＝1． ∵a+b+c＝0， ∴该抛物线的图象不经过点C． ∴该抛物线的图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1）， ∴， ∴， ∴该抛物线的函数解析式为y＝3x2﹣2x﹣1； （2）证明：∵抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、﹣2k（k≠0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数，a≠0）的两根为k、﹣2k， ∴k+（﹣2k），k•（﹣2k）， ∴b＝ka，c＝﹣2ak2， ∴2b2+ac＝2×（ka）2+a•（﹣2ak2）＝2k2a2﹣2a2k2＝0． ∴2b2+ac＝0； （3）解：∵若c＝1，4a2+b＝0， ∴y＝ax2﹣4a2x+1， ∵B（5a，y2）是抛物线上的点， ∴5a3+1， ∵对于3≤x1≤4都有y1＜y2， ∴， ∴a（）＜0． ∴a（x1+a）（x1﹣5a）＜0． ①当a＞0时，则（x1+a）（x1﹣5a）＜0， ∵3≤x1≤4， ∴只需x1﹣5a＜0， ∴4﹣5a＜0， ∴a． ②当a＜0时，则（x1+a）（x1﹣5a）＞0， ∵3≤x1≤4， ∴只需x1+a＞0， ∴3+a＞0， ∴a＞﹣3， ∴﹣3＜a＜0． 综上，a的取值范围为﹣3＜a＜0或a． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，一元二次方程与二次函数的联系，一元二次方程根与系数的关系，分类讨论的思想方法，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 18．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　 ． 【分析】（1）由题意得y＝a（x﹣1）2+2，把点（3，10）代入可求得a＝2，即可求得答案； （2）由平移得y＝2（x+1）2﹣1，把点（t，t﹣1）代入，整理得2t2+3t+2＝0，利用根的判别式可得Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0，即可得出答案； （3）运用函数图象平移及二次函数的性质列不等式组求解即可． 【解答】解：（1）∵函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点为（1，2）， ∴设y＝a（x﹣1）2+2， 把点（3，10）代入y＝a（x﹣1）2+2，得a（3﹣1）2+2＝10， 解得：a＝2， ∴y＝2（x﹣1）2+2， 即y＝2x2﹣4x+4． （2）将函数y＝2x2﹣4x+4的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新函数的表达式为：y＝2（x﹣1+2）2+2﹣3＝2（x+1）2﹣1， 把点（t，t﹣1）代入y＝2（x+1）2﹣1，得：t﹣1＝2（t+1）2﹣1， 整理得：2t2+3t+2＝0， ∵Δ＝32﹣4×2×2＝﹣7＜0， ∴原方程没有实数解， ∴点（t，t﹣1）不在新的函数图象上． （3）∵原函数的对称轴为直线x＝m， ∴将函数向右平移两个单位后，新函数的对称轴变为x＝m+2， 又∵点A（m，y1），B（2m，y2）在原函数的图象上，点C（x3，y3）在新的函数图象上， 且当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2， 当点A在点B的左侧时， 则m+2＜x3＜2m+2， 即， 解得：m≤4； 当点A在点B的右侧时， 则2＜x3m+2， 即， 解得：m≥14； 故答案为：m≤4或m≥14． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，抛物线的平移变换，一元二次方程根的判别式，不等式组等，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 19．（2025•金华模拟）已知点（1，2）在抛物线，c为常数）的图象上． （1）用含b的代数式表示c； （2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上． ①求p，q的值； ②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围． 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）①求出顶点坐标（﹣b，﹣b2﹣2b+1），令x＝﹣b，得到．﹣b2﹣2b+1＝﹣x2+2x+1即可得出结果； ②分b＞﹣1和b＜﹣1两种情况，找到临界点，进行求解即可． 【解答】解：（1）把（1，2）代入， 得2＝12+2b+c， 解得c＝1﹣2b． （2）①二次函数的顶点坐标为（﹣b，c﹣b2）， ∵c＝1﹣2b， ∴二次函数的顶点坐标为（﹣b，﹣b2﹣2b+1）， 令x＝﹣b，则﹣b2﹣2b+1＝﹣x2+2x+1， ∴顶点总在二次函数的图象上， ∵的顶点总在另一抛物线的图象上， ∴p＝2，q＝1； ②如图1，当b＞﹣1时，抛物线经过点 （0，﹣1）时，是临界状态， 此时﹣1＝1﹣2b， 解得b＝1， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），封闭区域内的整点为（0，0）； 当顶点沿着抛物线往左下方移动，抛物线经过点（﹣1，﹣3）时，﹣3＝（﹣1）2+2×（﹣1）b+1﹣2b， 解得， 此时区域内有（0，0），（0，﹣1）两个整点，满足题意， ∴： 如图2，当b＜﹣1时，由抛物线的轴对称性可得， 综上，b的取值范围为或． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 20．（2025•金东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）． ①当时，求y1﹣y2的最大值． ②若m≤x1≤m+1，m+2≤x2≤m+3时，存在y1﹣y2＝1，求m的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①分别求出y1最大值和y2最小值，即可求出答案；②根据题意列出不等式组进行解答即可． 【解答】解：（1）方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． ∴， 解得， ∴y＝﹣x2+2x+3； 方法二：∵二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴二次函数与x轴的另一个交点为（3，0），且该函数图象与y轴交点为（0，3）， ∴设二次函数表达式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 将（0，3）代入得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3； （2）①y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下， 当x＜1时，y随着x的增大而增大， 当x＞1时，y随着x的增大而减小， ∴当﹣1≤x1≤0时，当x＝0时，y1最大值为3， 当，当时，y2最小值为， ∴y1﹣y2最大值为； ②x＝m时，y＝﹣m2+2m+3； x＝m+1时，y＝﹣m2+4； x＝m+2时， y＝﹣m2﹣2m+3； x＝m+3时，y＝﹣m2﹣4m； ∴， 解得． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的最值等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键．． 21．（2025•新昌县二模）已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），其图象抛物线与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． （1）求当b＝1时，求抛物线的顶点坐标． （2）若将抛物线向上平移1个单位后，与x轴的交点坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断x1+x2与x3+x4的大小，并说明理由． （3）当0≤x≤2时，y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）的最大值与最小值之差为，求b的值． 【分析】（1）将b＝1代入二次函数y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），化为顶点式即可得到答案； （2）分别求出平移前后抛物线的对称轴，平移前抛物线与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），得到对称轴是，由平移后抛物线与x轴的交点坐标分别为（x3，0），（x4，0），确定其对称轴是，根据抛物线上下平移对称轴不变即可得证； （3）由二次函数图象与性质得到当x≤b时，y随x的增大而减小；当x＞b时，y随x的增大而增大，当x＝b时，y＝﹣2；分三类讨论求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵当b＝1时，二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2， ∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣2）； （2）x1+x2＝x3+x4，理由如下： ∵抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）的对称轴为直线， ∴，即x1+x2＝2b， ∵将抛物线向上平移1个单位后，抛物线表达式为y＝x2﹣2bx+b2﹣1（b＞0）， ∴平移后抛物线对称轴不变，仍为直线， ∴，即x3+x4＝2b， ∴x1+x2＝x3+x4； （3）∵二次函数y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）图象的对称轴为直线， 当x≤b时，y随x的增大而减小， 当x＞b时，y随x的增大而增大， 当x＝b时，y＝﹣2， ①当0＜b≤1时，最大值为（2﹣b）2﹣2最小值为﹣2， ∴， 解得，（不满足0＜b≤1，舍去）； ②当1＜b≤2时，最大值为b2﹣2，最小值为﹣2， ∴， 解得，（不满足1＜b≤2，舍去）； ③当b＞2时，最大值为b2﹣2，最小值为（2﹣b）2﹣2， ∴， 解得（不满足b＞2，舍去）； 综上所述，b的值为或． 【点评】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、抛物线平移，掌握配方法将一般式化为顶点式、求二次函数对称轴、二次函数最值求法是解决问题的关键． 22．（2025•开化县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）图象的对称轴是直线x＝1． （1）求证：2a+b＝0． （2）将二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在x轴上，求a的值． （3）在（2）的条件下，当n≤x≤3时，二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的最大值与最小值的差为8，求n的取值范围． 【分析】（1）由二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）图象的对称轴是直线x＝1可得1，故2a+b＝0； （2）由y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a求出二次函数y＝ax2+bx+1的顶点坐标为（1，1﹣a），平移后新抛物线的顶点坐标为（﹣3，2﹣a），可得2﹣a＝0，从而a的值为2； （3）求出抛物线的顶点为（1，﹣1），令x＝3得y＝7，知抛物线经过点（3，7），（﹣1，7），画出图象，由图可知，﹣1≤n≤1． 【解答】（1）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）图象的对称轴是直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0； （2）由（1）知，b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+1＝a（x﹣1）2+1﹣a， ∴二次函数y＝ax2+bx+1的顶点坐标为（1，1﹣a）， ∵将二次函数y＝ax2+bx+1的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，则其顶点（1，1﹣a）也向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∴新抛物线的顶点坐标为（﹣3，2﹣a）， ∵新的函数图象的顶点在x轴上， ∴2﹣a＝0， 解得a＝2，即a的值为2； （3）如图： 由（2）得a＝2， ∴y＝2x2﹣4x+1＝2（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线的顶点为（1，﹣1）， 在y＝2x2﹣4x+1，令x＝3得y＝7， ∴抛物线经过点（3，7）， 由对称轴为直线x＝1可知，抛物线还经过点（﹣1，7）， ∵当n≤x≤3时，二次函数y＝2x2﹣4x+1的最大值与最小值的差为8， ∴由图可知，﹣1≤n≤1． 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象与几何变换，二次函数性质等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 23．（2025•嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值． （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 【分析】（1）①由题意得：，即可求解； ②新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1），将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0，即可求解； （2）当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2，即可求解；当b≤2时、2＜b＜4时，同理可解． 【解答】解：（1）①由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x﹣3； ②该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象， 则新抛物线顶点坐标为：（2﹣m，1）， 将上述点的坐标代入一次函数表达式得：1+（2﹣m）+3＝0， 解得：m＝4； （2）纵坐标是横坐标的两倍，则y＝2x， 联立上式和抛物线的表达式得：2x＝﹣x2+bx+c， 则Δ＝（2﹣b）2+4c＝0①； 当b≥4时，则函数在x＝2时取得最大值，即y＝﹣4+2b+c＝2， 将上式和①联立并解得：b＝6+2（不合题意的值已舍去）； 当b≤2时，则函数在x＝1时取得最大值，即y＝﹣1+b+c＝2， 将上式和①联立并解得：b＝4（舍去）； 当2＜b＜4时，则函数顶点取得最大值，即yc＝2， 将上式和①联立并解得：b＝3， 综上，b＝6+2或3． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图象的平移、函数的最值等，分类求解是解题的关键． 24．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A． （1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． （2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积． 【分析】（1）抛物线的对称轴为直线x＝k，当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8），即可求解； （2）由Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0，即可求解； （3）由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8），则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8m），将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8，进而求解． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝k， 当x＝k时，y＝x2﹣2kx+4k﹣8＝﹣k2+4k﹣8，即点A（k，﹣k2+4k﹣8）， 当k＝2时，抛物线的顶点坐标为：（2，﹣4），对称轴为直线x＝2； （2）∵Δ＝（﹣2k）2﹣4（4k﹣8）＝4（k﹣2）2+16＞0， ∴抛物线与x轴总有两个不同的交点； （3）△AMN的位置如下示意图， ∵△AMN为等边三角形，过A作AT⊥MN于点T， 设MT＝NT＝m，则ATm， 由（1）知，点A（k，﹣k2+4k﹣8）， 则点N（k+m，﹣k2+4k﹣8m）， 将点N的坐标代入抛物线表达式得：﹣k2+4k﹣8m＝（k+m）2﹣2k（k+m）+4k﹣8， 整理得：m2m，则m＝0（舍去）或， 则△AMN的面积NM×AT2mm＝3． 【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、等边三角形的性质等，正确确定点N的坐标是解题的关键． 25．（2025•鄞州区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2ax+5与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，OB＝5OC． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤7时，求二次函数y＝﹣x2﹣2ax+5的最大值与最小值的差； （3）点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移2个单位长度得到点P1，若点P1关于原点O的对称点P2恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 【分析】（1）求出OB＝5，根据OB＝5OC，求出OC＝1，得出C（﹣1，0），代入即可求解； （2）结合（1）中解析式可得最大值在顶点处取得，最小值在x＝7处取得，求出最值即可解答； （3）设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点P1的坐标为（m，﹣m2+4m+3）．根据点P1、点P2关于原点的对称，则点P2的坐标为（﹣m，m2﹣4m﹣3），根据点P2在抛物线y＝﹣x2+4x+5上，即可求解． 【解答】解：（1）已知抛物线y＝﹣x2﹣2ax+5与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，OB＝5OC． 当x＝0时，得：y＝5， ∴OB＝5， ∴OC＝1， ∴C（﹣1，0）． 将点C的坐标代入得：﹣1+2a+5＝0， 解得a＝﹣2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 顶点坐标为（2，9）； （2）由（1）知y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9， 函数开口向下，顶点坐标为（2，9）， 故最大值在顶点处取得，最小值在x＝7处取得，值为y＝﹣（7﹣2）2+9＝﹣16， 故当﹣1≤x≤7时，﹣16≤y≤9， 最大值和最小值的差为：9﹣（﹣16）＝25； （3）设点P的横坐标为m，则点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点P1的坐标为（m，﹣m2+4m+3）． 设点P1关于原点的对称点为P2，则点P2的坐标为（﹣m，m2﹣4m﹣3）． ∵点P2在抛物线y＝﹣x2+4x+5上，将点P2的坐标代入得： ∴﹣m2﹣4m+5＝m2﹣4m﹣3， 解得m＝2或﹣2， ∴点P的坐标为（2，9）或（﹣2，﹣7）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、点平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 26．（2025•宁波三模）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数解析式和顶点坐标． （2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移m个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离m． （3）在二次函数图象上取点D（不与点C重合），使得在C，D之间的图象上（含C，D两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点D的坐标． 【分析】（1）分别将A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3即可求出二次函数解析式，化为顶点式即可求出顶点坐标； （2）根据题意可设P（1，m﹣4），可知（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝m﹣4，求解即可； （3）求出点C坐标，根据题意分情况得到D的纵坐标，再代入二次函数解析式求解即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）； （2）∵点P满足向左、向右或向下平移m个单位后均落在二次函数图象上， ∴点P在对称轴上，设P（1，m﹣4）， ∴点P向右平移m个单位后的坐标为（m+1，m﹣4）， ∴（m+1）2﹣2（m+1）﹣3＝m﹣4， 解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝1； （3）点D的坐标为或（4，5）．理由如下： 二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3的图象与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣3， ∴C（0，﹣3）， 当D在C左侧时，二次函数的最小值为﹣3， ∵在C，D之间的图象上（含C，D两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴D的纵坐标为4， 此时x2﹣2x﹣3＝4， 解得（不合题意，舍去），， ∴点D的坐标为； 当D在对称轴右侧时，二次函数的最小值为﹣4， ∵在C，D之间的图象上（含C，D两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1， ∴D的纵坐标为5， 此时x2﹣2x﹣3＝5， 解得x3＝﹣2（不合题意，舍去），x4＝4， 点D的坐标为（4，5）； 当D在C右侧且在对称轴左侧时，此时二次函数的最大值为﹣3，不合题意，舍去； ∴综上所述，点D的坐标为或（4，5）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．（2024•定海区三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知AC＝3m，BC＝4m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P ③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角α 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），其比例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 【分析】（1）如图，以B点为原点，以OC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，求得点A的坐标为（4，3），设滑道所在抛物线的函数表达式为y＝ax2，把A（4，3）即可得到结论； （2）如图，以点P为所在的直线为y轴，CQ所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，P（0，9.75），解方程即可得到结论； （3）与（2）所建平面直角坐标系一样，把y＝﹣2.25代入得，得到x＝±8，求得点Q（8，﹣2.25），得到M（15.5，0），设α与k的函数解析式为α＝mk，把（0.1，5）代入得，5＝m×0.1，求得，把M（15.5，0），Q（8，﹣2.25）解方程组即可得到结论． 【解答】解：（1）如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 则点A的坐标为（4，3）， 设滑道所在抛物线的函数表达式为y＝ax2，把A（4，3）代入得3＝a×42， 解得， ∴滑道所在抛物线的函数表达式为； （2）如图，建立如图所示的平面直角坐标系， ∵运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，P（0，9.75）， ∴运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把y＝3代入得，， 解得x＝±6， 即OC＝6， ∴运动员到达最高处时与点A的水平距离6； （3）∵点Q在底面BC下方竖直距离2.25m， 把y＝﹣2.25代入得， ， 解得x＝±8， ∴点Q（8，﹣2.25）， ∴OM＝15.5， ∴M（15.5，0）， 设α与k的函数解析式为α＝mk， 把（0.1，5）代入得，5＝m×0.1， 解得m＝50， ∴α＝50k， ∴， 设射线MN的解析式为， 把M（15.5，0），Q（8，﹣2.25）代入得， ， 解得α＝15， 答：俯角α至少15度． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，正确地的识别图形是解题的关键． 28．（2024•台州模拟）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米． 任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式； 任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）； 任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 【分析】（1）以地面所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，根据题意用待定系数法求解析式即可； （2）根据图象关于y轴对称，可求出点H的横坐标，再根据GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米，可求出点M的横坐标，再根据点M在曲线AD上，求出M的纵坐标，从而得出MN的长度； （3）先用待定系数法求出曲线BF的解析式，再设灯带总长度为w，GH＝d，根据w＝2MN+2HJ+GH得出w关于d的二次函数解析式，根据函数的性质求w的最小值即可． 【解答】解：（1）如图，以地面所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系， 设曲线AD的函数解析式为y＝a（x﹣3）2+4， 代入A（0，5）得：5＝a（0﹣3）2+4， 解得：a， ∴曲线AD的函数解析式为y（x﹣3）2+4； （2）∵GH长度为d米， ∴xH， ∵GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米， ∴xM1， 则yM（1﹣3）2+4d2d， ∴MNd2d； （3）设曲线BF的函数解析式为：， 代入B（0，4）得：， 解得：， ∴曲线BF的函数解析式为， 设灯带总长度为w，GH＝d， 则w＝2MN+2HJ+GH（d﹣2）2， ∵0， ∴当x＝2时，w有最小值，最小值为． ∴灯带总长度的最小值为米． 【点评】本题考查二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． 29．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L两点，交y轴于点D． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点B在AO的延长线上，连接BD，设点B的横坐标为t，△OBD的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，△OBD与△OAD的面积相等，过点B作BC⊥OB，过点L作AD的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交OD于H，过点E作EG⊥OA于G，连接DL和AC，若，AC2＝1314，求DL2的值． 【分析】（1）解方程，即可求解； （2）先求得D（0，22），得到OB＝﹣t，再利用三角形的面积公式列式求解即可； （3）利用等积法求得，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得BC＝15，结合已知求得，利用等角的余角相等求得∠ELG＝∠ADO，利用正切函数的定义求得，得到，据此求解即可． 【解答】解：（1）抛物线交x轴于A、L两点， 当y＝0时，得：， ∵a≠0， ∴， ∴，， ∴； （2）抛物线交y轴于点D． 当x＝0时，得：， ∴D（0，22）， ∴OD＝22， ∵点B在x轴负半轴上，点B的横坐标为t， ∴OB＝﹣t， ∴， 即S＝﹣11t； （3）∵S△OBD＝S△OAD， ∴， ∴， ∴，， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵LF⊥AD， ∴∠LFA＝90°， ∴∠FLA+∠FAL＝90°． ∵∠FAL+∠ADO＝90°， ∴∠ELG＝∠ADO， ∴tan∠ELG＝tan∠ADO， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 代入，得：∴， ∴， ∴， 在Rt△DLO中，由勾股定理得：DL2＝OL2+OD2＝62+222＝520． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数与面积的综合、全等三角形的判定与性质、勾股定理、正切的应用等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 30．（2025•西湖区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）如图1，求a的值； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC交x轴于点D，连接PA，设点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且∠EOA＝∠OCD，连接EA、EP，若CD＝2AE，，求tan∠EPC的值． 【分析】（1）先求得C（0，8），即b＝8，推出A（﹣6，0），再利用待定系数法求解即可； （2）过P作PM⊥x轴于M，设AP与y轴交点为N，得到，证明△AON∽△AMP，推出，利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接CE，过C作CR∥AD交AE的延长线于点R，延长OE交CR的延长线于点T，设∠AEO＝2α，求得∠EAO+∠CDO＝180°，证明四边形ARCD是平行四边形，证明△ERT≌△EAO，得到RT＝AO＝6，ET＝EO，推出tan∠T＝tan∠OCD，得到，求得OD＝4，过P作PH⊥y轴于点H，则PH＝t，，利用三角函数的定义求得t＝9，再计算得到∠ECP＝∠ECO+∠DCO＝90°，据此求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝8， ∴C（0，8）， 直线AC的解析式为．将点C的坐标代入得：b＝8， ∴， 当y＝0时，得：， 解得：x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， 将点A的坐标代入y＝ax2+8得： 0＝a（﹣6）2+8， 解得：； （2）点P为第四象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，则，如图2，过P作PM⊥x轴于M，AP与y轴交点为N， ∴，OM＝t， ∵A（﹣6，0），C（0，8）， ∴OA＝6，OC＝8， ∵∠AON＝90°＝∠AMP，∠OAN＝∠MAP， ∴△AON∽△AMP， ∴，即， 解得：， ∴， ∵， ∴； （3）连接CE，过C作CR∥AD交AE的延长线于点R，延长OE交CR的延长线于点T，如图3， 设∠AEO＝2α， ∵， ∴∠CDO＝45°+α， ∴∠EOA＝∠OCD＝90°﹣∠CDO＝90°﹣（45°+α）＝45°﹣α， ∴∠EAO＝180°﹣∠AEO﹣∠AOE＝180°﹣2α﹣（45°﹣α）＝135°﹣α， ∴∠EAO+∠CDO＝135°﹣α+45°+α＝180°， ∴AR∥CD， ∵CR∥AD， ∴四边形ARCD是平行四边形， ∴AR＝CD＝2AE，RC＝AD， ∴ER＝EA， ∵CR∥AD， ∴∠T＝∠EOA，∠TRE＝∠EAO， 在△ERT和△EAO中， ， ∴△ERT≌△EAO（AAS）， ∴RT＝AO＝6，ET＝EO， ∵∠T＝∠EOA＝∠OCD， ∴tan∠T＝tan∠OCD， ∵TC∥AD， ∴∠TCO＝∠COD＝90°， 在Rt△TCO中，， 在Rt△COD中，， ∴， ∵TC＝TR+RC＝TR+AD＝6+6+OD＝12+OD， ∴， ∴OD＝4或OD＝﹣16（不合题意，舍去）， ∴CT＝4+12＝16，， 过P作PH⊥y轴于点H，则PH＝t，，∠PHC＝90°， ∴， ∴， 解得：t＝9（经检验，是方程的根，且符合题意）， ∴PH＝9，CH＝18， 在直角三角形PCH中，由勾股定理得：， 在Rt△TCO中，TE＝EO， 由勾股定理得：， ∴∠ECO＝∠EOC＝45°+α， ∴∠ECP＝∠ECO+∠DCO＝45°+α+45°﹣α＝90°， ∴． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了解直角三角形，二次函数的图象和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 31．（2025•临平区模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，直线y＝x+7交x轴于点A，交y轴正半轴于点M，交抛物线于点C，点C的横坐标为10． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为线段CM上一点（不与点M，C重合），连接PB，若点P的横坐标为t，四边形OMPB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当S＝47.5时，点E为线段PC上一点，过点E作ED⊥x轴于点D，作EF⊥y轴于点G，交抛物线于点F，点H为GF上一点，HG＝EG．点L为第二象限抛物线上一点，连接EL交y轴于点N，过点M作MQ⊥EL于点Q，连接HQ，EO，PD．若2∠PDE+∠EOB＝90°，∠QHE＝2∠MEQ，求直线HQ的解析式． 【分析】（1）先求得A（﹣7，0）和C（10，17），再利用待定系数法求解即可； （2）过P作PY⊥OB于点Y，利用S四边形OMPB＝S△APB﹣S△MOM列式计算即可求解； （3）设∠PDE＝α，则∠BPD＝α，∠EOB＝90°﹣2α，∠APD＝45°+α，在AP上取点I，连接ID，使ID＝IP，过D作DS⊥IP于点S，则∠ISD＝90°，∠IDP＝∠IPD＝45°+α，设E（m，m+7），则OD＝m，DE＝m+7，AD＝m+7＝DE，证明△ISD∽△ODE，求得，过I作IR⊥AB于点R，过H作HW⊥EF，交EL于点W，连接QG，过G作GT⊥QG，交EL于点T，过Q作QU⊥GM于点U，则∠QUM＝∠QUG＝90°，解直角三角形求得，H（﹣8，15），再利用待定系数法求解即可． 【解答】解：（1）直线y＝x+7交x轴于点A，交抛物线于点C，点C的横坐标为10， 当y＝0时，得：x+7＝0， 解得：x＝﹣7， ∴A（﹣7，0）， 当x＝10时，得：y＝10+7＝17， ∴C（10，17）， 抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）交x轴负半轴于点A，且过点C，将点A、点C的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）直线y＝x+7交y轴正半轴于点M， 当x＝0时，得：y＝7， ∴M（0，7）， ∴OM＝7， 在中， 当y＝0时，得：在0， 解得：x1＝5，x2＝﹣7， ∵A左B右， ∴B（5，0）， ∴OB＝5， ∴AB＝12， 过P作PY⊥OB于点Y，如图2， 由题意，得P（t，t+7）， ∴PY＝t+7， ∴， ∵S四边形OMPB＝S△APB﹣S△MOM，， ∴； （3）当时，t＝5， ∴P（5，12）， ∵B（5，0）， ∴PB⊥x轴， ∴∠PBA＝90°，PB＝12， ∴PB＝AB， ∴， ∵DE⊥x轴， ∴∠EDA＝∠PBA＝90°， ∴PB∥ED， ∴∠BPD＝∠PDE， 设∠PDE＝α，则∠BPD＝α，∠EOB＝90°﹣2α， ∴∠APD＝45°+α， 在AP上取点I，连接ID，使ID＝IP，过D作DS⊥IP于点S，如图3，则∠ISD＝90°，∠IDP＝∠IPD＝45°+α， ∴∠PID＝90°﹣2α＝∠EOD， ∵∠EDO＝∠DSI＝90°， ∴△ISD∽△ODE， ∴， 设E（m，m+7），则OD＝m，DE＝m+7 ，∴AD＝m+7＝DE， ∴AS＝SE＝DS， 在直角三角形ADE中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过I作IR⊥AB于点R， ∴∠IRA＝∠IRD＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形ABP中，由勾股定理得：， ∴； ∵IR2+RD2＝ID2， ∴， ∴m＝8或m＝﹣15（舍去）， ∴E（8，15）， ∵GE⊥y轴， ∴GE＝8＝HG，∠EGO＝90°， ∵∠EGO＝∠AOG＝90°， ∴EF∥AB， ∴∠GEA＝∠EAB＝45°， 设∠MEQ＝β， ∴∠QHE＝2β，∠GEQ＝45°﹣β， ∴∠HQL＝2β+45°﹣β＝45°+β； 过H作HW⊥EF，交EL于点W， ∴∠WHE＝90°， ∴∠WHQ＝90°﹣2β， ∴∠HWQ＝180°﹣（90°﹣2β）﹣（45°+β）＝45°+β＝∠HQW， ∴HW＝HQ， 连接QG，过G作GT⊥QG，交EL于点T， 则∠QGT＝90°＝∠EGM， ∴∠EGT＝∠QGM， ∵∠GME＝90°﹣45°＝45°＝∠GEM， ∴GM＝GE＝8， ∵MQ⊥EL， ∴∠MQE＝90°， ∴∠QME＝90°﹣β， ∴∠QMG＝90°﹣β﹣45°＝45°﹣β＝∠GEQ， 在△MQG和△ETG中， ， ∴△MQG≌△ETG（ASA）， ∴QG＝GT， ∴， ∴∠PGE＝45°﹣（45°﹣β）＝β， ∴∠HGQ＝90°﹣β， ∴∠HQG＝180°﹣2β﹣（90°﹣β）＝90°﹣β＝∠HGQ， ∴HQ＝HG＝8＝HW， ∵， ∴GN＝4， ∴NM＝4， 过Q作QU⊥GM于点U，则∠QUM＝∠QUG＝90°， ∵∠MNQ＝∠GNE， ∴tan∠MNQ＝tan∠GNE， ∴； 设NU＝n，则QU＝2n， ∵∠MQN＝∠EGN＝90°，∠MNQ＝∠ENG， ∴∠QMU＝∠GEN， ∴tan∠QMU＝tan∠GEN， ∴， ∴UM＝4n， ∴MN＝5n＝4， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴EF∥x轴，HG＝8， ∴H（﹣8，15）， 设直线HQ的解析式为y＝kx+b1（k≠0），把点Q，点H的坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线HQ的解析式为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式．添加合适的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题04 二次函数代数类考点及几何综合题型31题专训 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 1．（2025•浙江三模）已知二次函数y＝x2﹣3x﹣m2+3m（m≠0的实数）． （1）二次函数图象的对称轴是 ． （2）当m＝2时， ①若将平面内一点A（1，n）向右平移3a个单位，则与抛物线上的点B重合；向左平移2a个单位，则与抛物线上的点C重合，求n的值． ②如果点p（x，y）在抛物线上，且到y轴的距离小于等于2，那么我们称点p是y轴的“亲密点”，求所有“亲密点”的y的取值范围． （3）对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤2t+1，x2≤﹣2时，均满足y1＜y2﹣6，直接写出t的取值范围． 2．（2025•丽水一模）定义：若点（a，b）满足b＝ka（k≠0），则称该点为“k倍点”．已知二次函数y＝x2+x+c（c为常数）． （1）当c＝﹣2时，求出该函数图象上的“二倍点”坐标； （2）若该函数图象上存在唯一的“二倍点”，求c的值； （3）在﹣3≤x≤2的范围内，若二次函数y＝x2+x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，求c的取值范围． 3．（2025•新昌县一模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 4．（2025•上城区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a＞0）的图象经过点A（2，﹣2）． （1）求二次函数的图象的对称轴． （2）若y＝ax2+bx﹣2的最小值为﹣3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和． （3）设y＝ax2+bx﹣2的图象与x轴的交点分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2．若48，求a的取值范围． 5．（2025•杭州一模）已知抛物线y＝ax2+4x+3（a＞0）． （1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式． （2）直线y＝kx（k≠0）与该抛物线相交于，B（x2，y2）两点． ①若k＝1，求a的值． ②点C（x3，y3）在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2＝y3时，0≤x3≤1，求a的取值范围． 6．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 7．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+b（a，b是常数，且a≠0）的图象经过点（﹣1，0）． （1）若b＝5，求该函数的表达式及顶点坐标． （2）当﹣1≤x≤3时，函数y有最小值﹣9，求a的值． （3）若点P（4，s），Q（n﹣3，r）都在该函数图象上，且s＜r，求n的取值范围． 8．（2025•温州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣2x﹣c（a，c为常数）的图象的顶点坐标为（1，﹣4）． （1）求二次函数的表达式． （2）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在y＝ax2﹣2x﹣c的图象上，x1＞x2． ①若x1+x2＝3，请比较y1与y2的大小并说明理由． ②若x1+x2＝k（k为常数），当y1≤y2时，求k的范围并说明理由． 9．（2025•吴兴区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2x+c的顶点坐标为（1，9）． （1）求a，c的值，并写出函数表达式． （2）已知A（m，n）在该抛物线上． ①将点A向右平移6个单位后得到点B，且点A与点B关于对称轴对称，求点A的坐标． ②若m≤﹣1，m≤x≤m+6时，该二次函数的最大值是最小值的2倍，求m的值． 10．（2025•黄岩区二模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象经过A（﹣1，﹣2），B（m，﹣2）． （1）当m＝3时，求二次函数的表达式． （2）若二次函数的图象经过M（x1，y1），N（x2，y2）． ①在（1）的条件下，当x2＝3x1时，y1＝y2，求y1的值； ②若，x1＜x2，恒有y1＞y2，求m的取值范围． 11．（2025•衢州一模）对于二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a﹣3（a＞0）． （1）若二次函数的图象经过了（2，﹣5），（1，﹣4），（﹣1，﹣6）三点中的某一个点． ①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由． ②当x≥m时，该函数的最小值是﹣3，求m的值． （2）若二次函数的图象经过点（n，p），（n+3，q），求当p＜q时，n的取值范围． 12．（2025•浙江模拟）已知二次函数，正比例函数y2＝﹣x． （1）求证：二次函数y1的顶点在y2的图象上． （2）若函数y＝y1﹣y2，当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞3时，y随x的增大而增大，求m的取值范围． （3）若点M（m+2，s），N（n，t）都在（2）中函数y的图象上，且s＜t，求n的取值范围（结果用含m的代数式表示）． 12．（2025•定海区三模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，m），点B（4，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝t． （1）当t＝2时， ①直接写出b与a满足的等量关系； ②比较m，n的大小，并说明理由； （2）已知点C（x0，p）在该抛物线上，若对于4＜x0＜6，都有m＞p＞n，求t的取值范围． 13．（2025•金华模拟）已知二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（常数a≠0）． （1）求该函数图象的对称轴； （2）若﹣2＜x＜5． ①当a＞0时，该函数的最小值为﹣8，求a的值； ②当a分别取a1，a2（a1＞a2）时，两个函数的最小值相等，求a1a2的数量关系． 14．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象的对称轴为直线x＝﹣1，且过点（2，0）． （1）求该二次函数的表达式． （2）已知m≤x≤n． ①若m+n＝4，该二次函数的最小值为，求n的值． ②若m+n＜﹣2，有，求m的值． 15．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，A（﹣2，m），B（1，1）是二次函数y＝ax2图象上的两点． （1）求a，m的值； （2）若点C在直线AB下方的抛物线上，点D在直线AB上方的抛物线上，问： ①求△ABC面积的最大值； ②当CD垂直平分线段AB时，求点D的坐标； （3）过点B作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点E，F，求△BEF中EF边上的高的最大值． 16．（2025•婺城区二模）已知点A（t，m）在抛物线（a为常数且a＞0）上，点B（t，n）在直线y2＝（a+1）x﹣1上． （1）求证：抛物线与x轴必有交点． （2）当a＝1时，求满足m≤n+2的整数t的值． （3）若仅存在一个整数t，使得m≤n+2成立，求a的取值范围． 17．（2025•西湖区校级三模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a+b+c＝0，且该抛物线的图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该抛物线的函数解析式； （2）若抛物线与x轴两个交点的横坐标为k、﹣2k（k≠0），求证：2b2+ac＝0； （3）若c＝1，4a2+b＝0，A（x1，y1）和B（5a，y2）是抛物线上的两点．对于3≤x1≤4都有y1＜y2，求a的取值范围． 18．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）若函数图象的顶点为（1，2）且过点（3，10），求该函数表达式． （2）在（1）的条件下，将函数图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，点（t，t﹣1）是否在新的函数图象上？若在，请求出t的值；若不在，请说明理由． （3）设函数的对称轴为直线x＝m，点、B（2m，y2）在函数图象上，将函数向右平移两个单位后得到一个新的函数，点C（x3，y3）在新的函数图象上．当a＞0时，若对于8＜x3＜9，都有y1＜y3＜y2，直接写出m的取值范围：　 ． 19．（2025•金华模拟）已知点（1，2）在抛物线，c为常数）的图象上． （1）用含b的代数式表示c； （2）当b的值变化时，的顶点总在另一抛物线的图象上． ①求p，q的值； ②若抛物线和抛物线围成的封闭区域内（不包含边界）有且只有2个横纵坐标均为整数的点，求b的取值范围． 20．（2025•金东区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a，b为常数且a≠0）的图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝1． （1）求二次函数的表达式． （2）函数图象上有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）． ①当时，求y1﹣y2的最大值． ②若m≤x1≤m+1，m+2≤x2≤m+3时，存在y1﹣y2＝1，求m的取值范围． 21．（2025•新昌县二模）已知二次函数y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），其图象抛物线与x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2． （1）求当b＝1时，求抛物线的顶点坐标． （2）若将抛物线向上平移1个单位后，与x轴的交点坐标分别为（x3，0），（x4，0），且x3＜x4，试判断x1+x2与x3+x4的大小，并说明理由． （3）当0≤x≤2时，y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）的最大值与最小值之差为，求b的值． 22．（2025•开化县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）图象的对称轴是直线x＝1． （1）求证：2a+b＝0． （2）将二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的图象向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新的函数图象的顶点在x轴上，求a的值． （3）在（2）的条件下，当n≤x≤3时，二次函数y＝ax2+bx+1（a＞0）的最大值与最小值的差为8，求n的取值范围． 23．（2025•嘉兴模拟）已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）． （1）若该二次函数的图象经过点（3，0），（0，﹣3）． ①求该二次函数的表达式； ②将该二次函数的图象向左平移m（m＞0）个单位长度，得到新的二次函数的图象，若新二次函数的图象的顶点恰好落在直线y＝﹣2x﹣3上，求m的值． （2）若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上有且仅有一个点的纵坐标是横坐标的两倍，且当1≤x≤2时，该二次函数的最大值是2，求b的值． 24．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2kx+4k﹣8（k为实数）的顶点为A． （1）当k＝2时，求抛物线的顶点坐标与对称轴． （2）求证：无论k取任何实数，抛物线与x轴总有两个不同的交点． （3）若以A为一个顶点作抛物线的内接等边三角形AMN（点M，N均在抛物线上），直接写出△AMN的面积． 25．（2025•鄞州区校级模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2ax+5与x轴交于点A，C（点A在点C的右边），与y轴交于点B，OB＝5OC． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤7时，求二次函数y＝﹣x2﹣2ax+5的最大值与最小值的差； （3）点P为抛物线上任意一点，将点P向下平移2个单位长度得到点P1，若点P1关于原点O的对称点P2恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标． 26．（2025•宁波三模）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数解析式和顶点坐标． （2）坐标平面内存在点P，满足向左、向右或向下平移m个单位后均落在二次函数图象上，求平移的距离m． （3）在二次函数图象上取点D（不与点C重合），使得在C，D之间的图象上（含C，D两点），该二次函数最大值与最小值的和等于1，请直接写出点D的坐标． 27．（2024•定海区三模）【项目式学习】 项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？ 项目背景： 任务一：确定滑道的形状 （1）图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知AC＝3m，BC＝4m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务二：确定运动员达到最高点的位置 （2）如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， ②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P ③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m． 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务三：确定拍摄俯角α 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为y＝kx+b（k≠0），其比例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 28．（2024•台州模拟）图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC，AD，BE，BF均是抛物线的一部分． 素材1：某综合实践小组测量得到点A，B到地面距离分别为5米和4米．曲线AD的最低点到地面的距离是4米，与点A的水平距离是3米；曲线BF的最低点到地面的距离是米，与点B的水平距离是4米． 素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH，GI，KL，MN，HJ，布置好后成轴对称分布，其中GI，KL，MN，HJ垂直于地面，GI与HJ之间的距离比KL与MN之间的距离多2米． 任务一：（1）在图2中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD的函数解析式； 任务二：（2）若灯带GH长度为d米，求MN的长度．（用含d的代数式表示）； 任务三：（3）求灯带总长度的最小值． 29．（2025•杭州模拟）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于A、L两点，交y轴于点D． （1）如图1，求点A的坐标； （2）如图2，点B在AO的延长线上，连接BD，设点B的横坐标为t，△OBD的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AD，△OBD与△OAD的面积相等，过点B作BC⊥OB，过点L作AD的垂线，垂足为F，交抛物线于点E，交OD于H，过点E作EG⊥OA于G，连接DL和AC，若，AC2＝1314，求DL2的值． 30．（2025•西湖区模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+8与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为． （1）如图1，求a的值； （2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC交x轴于点D，连接PA，设点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S与t的函数解析式； （3）如图3，在（2）的条件下，点E为第二象限内一点，且∠EOA＝∠OCD，连接EA、EP，若CD＝2AE，，求tan∠EPC的值． 31．（2025•临平区模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣7（a≠0）交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，直线y＝x+7交x轴于点A，交y轴正半轴于点M，交抛物线于点C，点C的横坐标为10． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P为线段CM上一点（不与点M，C重合），连接PB，若点P的横坐标为t，四边形OMPB的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不要求写自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，当S＝47.5时，点E为线段PC上一点，过点E作ED⊥x轴于点D，作EF⊥y轴于点G，交抛物线于点F，点H为GF上一点，HG＝EG．点L为第二象限抛物线上一点，连接EL交y轴于点N，过点M作MQ⊥EL于点Q，连接HQ，EO，PD．若2∠PDE+∠EOB＝90°，∠QHE＝2∠MEQ，求直线HQ的解析式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $