专题03 二次函数图象与性质相关12大考点专项复习（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第三章 函数 专题03 二次函数图象与性质相关12大考点专项复习 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数的图象 易｜混｜易｜错 1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 开口：当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下； 对称轴：直线；顶点坐标：； 1．（2025•浙江模拟）一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】对每个图象中的一次函数的图象确定a，b的符号，再对照二次函数得出a，b的符号比较是否一致，然后作出选择． 【解答】解：选项A中一次函数y＝ax﹣b，a＜0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向下，所以错误； 选项B中一次函数y＝ax﹣b，a＜0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线对称轴在y轴左侧，所以错误； 选项C中一次函数y＝ax﹣b，a＞0，b＞0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向上，所以错误； 选项D中一次函数y＝ax﹣b，a＞0，b＜0，二次函数y＝ax2+bx+c抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，所以正确． 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 2．（2025•建德市校级模拟）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝bx2+a的图象相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过一，三象限，a＞0，故此选项错误； B、由抛物线可知，图象与y轴交在正半轴a＞0，二次项系数b为负数，与一次函数y＝ax+b中b＞0矛盾，故此选项错误； C、由抛物线可知，图象与y轴交在负半轴a＜0，由直线可知，图象过二，四象限a＜0，故此选项正确； D、由直线可知，图象与y轴交于负半轴，b＜0，由抛物线可知，开口向上，b＞0矛盾，故此选项错误； 故选：C． 【点评】此题考查了抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，难度适中． 3．（2024•南漳县一模）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 【分析】命题④②③可以同时成立，由此即可判断． 【解答】解：假设抛物线的对称轴为直线x＝1， 则1， 解得a＝﹣2， ∵函数的图象经过点（3，0）， ∴3a+b+9＝0， 解得b＝﹣3， 故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 当y＝0时，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝3或x＝﹣1， 故抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0）， 函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧； 故命题②③④都是正确，①错误， 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法． 考点二：二次函数的性质 易｜混｜易｜错 1）二次函数的性质，也就是它的增减性，总括起来就两句话： 当a＞0时，抛物线有最低点，y有最小值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，y有最大值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越大； 2）抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 1．（2025•柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　） A． B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0 【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），可以得到a、b的值，然后根据二次函数的性质即可判断各个选项中的说法是否正确，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1）， ∴2，4a﹣2b+3＝﹣1， 解得a＝1，b＝4，故选项A错误，不符合题意； 当x＝﹣2时，二次函数有最小值为﹣1，故选项B错误，不符合题意； 当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故选项C错误，不符合题意； 由上可得，y＝x2+4x+3＝（x+1）（x+3）， ∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝﹣3， ∴当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（2025•西湖区校级三模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则这个二次函数图象的对称轴是直线（　　） x …… ﹣4 ﹣2 0 3 5 …… y …… ﹣m2﹣21 ﹣m2﹣5 0 ﹣m2 ﹣m2﹣12 …… A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 【分析】由y＝ax2+bx+c过（0，0），故设此函数解析式为y＝ax2+bx，由表格数据可知，解方程组可得，进而可求得对称轴． 【解答】解：由y＝ax2+bx+c过（0，0），故设此函数解析式为y＝ax2+bx， 由表格数据可知， ①﹣②得a+b＝1④，③﹣②得3a+b＝﹣1⑤， 联立方程④⑤，解得， 故二次函数图象的对称轴是直线x1， 故选：D． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数对称轴的求法，能从表格中获取函数的关键信息是解决问题的关键． 3．（2025•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 【分析】通过抛物线图象开口方向与对称轴求解． 【解答】解：∵y＝﹣x2+2x的图象开口向下，对称轴为直线x1， ∴当x≤1时，y随x增大而增大， ∴a≤1． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线对称轴为直线x． 4．（2025•萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 【分析】本题考查二次函数的性质及其图象上点的坐标比较．关键在于利用二次函数的解析式，代入点坐标后，通过代数运算比较m和n的大小关系． 需要结合开口方向a的正负以及参数t的大小，分析不同条件下m与n的大小关系． 【解答】解：将x ＝ 0代入函数得：m＝a（0+1）（0﹣t）＝﹣at； 将x ＝ 2代入函数得：n＝a（2+1）（2﹣t）＝3a（2﹣t）． 计算m﹣n：m﹣n＝﹣at﹣3a（2﹣t）＝﹣at﹣6a+3at＝ 2at﹣6a＝2a（t﹣3）． 因此，m﹣n＝2a（t﹣3），其符号由a和t共同决定． 当a＜0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＜3：（t﹣3）＜0，则m﹣n＞0，即m＞n（选项A正确） 若t＞3：（t﹣3）＞0，则m﹣n＜0，．即m＜n（选项B正确） 若t＝3：m＝n，此时选项A、B均不成立． 结论：t＜4时，t可能位于3的左侧或右侧，因此选项A和B均不必然成立， 当a＞0时，m﹣n＝2a（t﹣3）的符号由（t﹣3）决定： 若t＞4：（t﹣3）＞0，则m﹣n＞0，即m＞n． 结论：选项C（m＞n）成立，选项D（m＜n）不成立． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，通过给定函数表达式、点坐标及参数条件，判断函数值大小关系，需结合二次函数的开口方向、对称轴与点的位置分析．属于中等难度． 5．（2025•丽水一模）已知二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），若该函数过点（m，s）和点（m+4，t），则实数k，s，t的大小关系可能是（　　） A．a＞0时s＜k＜t，a＜0时s＞k＞t B．a＞0时t＜k＜s，a＜0时t＞k＞s C．a＞0时k＜s＜t，a＜0时k＞s＞t D．a＞0时s＜t＜k，a＜0时s＞t＞k 【分析】通过变量代换简化函数表达式，代入给定点坐标得到s和t关于k和a的表达式，进而比较大小关系． 【解答】解：二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），点（m，s）和点（m+4，t）， 设u＝x﹣m，则函数化为y＝a（u+1）（u﹣3）+k． ∵点（m，s）对应u＝0， ∴s＝a（0+1）（0﹣3）+k＝﹣3a+k． ∵点（m+4，t）对应u＝4， ∴t＝a（4+1）（4﹣3）+k＝5a+k． ∴s＝k﹣3a，t＝k+5a． 当a＞0时，∵﹣3a＜0，∴s＜k； ∵5a＞0，∴t＞k； 故s＜k＜t． 当a＜0时，∵﹣3a＞0，∴s＞k； ∵5a＜0，∴t＜k； 又t﹣s＝8a＜0，∴t＜s， 故s＞k＞t． 选项A符合上述关系， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 6．（2025•西湖区校级三模）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（　　） A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0 B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0 C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0 【分析】根据二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征即可求解． 【解答】解：∵直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴， ∴x1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+c， ∵点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点， ∴y1＝ax12﹣2ax1+c，y2＝ax22﹣2ax2+c， 当 x1＜x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0， ∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0， 整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0， ∵x1﹣x2＜0， ∴a（x1+x2﹣2）＞0，故A，B不符合题意； 当 x1＞x2，y1＜y2即y1﹣y2＜0， ∴ax12﹣2ax1+c﹣（ax22﹣2ax2+c）＜0， 整理得：a（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0， ∵x1﹣x2＞0， ∴a（x1+x2﹣2）＜0，故C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质和二次函数的图象及二次函数上点的坐标特征，解题关键是逐个判断即可得出正确的答案． 7．（2025•定海区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围． 【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点． 所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3． 如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1， ∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1． ∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点． ∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1）， ∴n＝1． 如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． ∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（，1）， ∴2﹣n＝1， 解得：n． ∴1＜n时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点． 综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n， 故选：A． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键． 8．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出s范围，进而选出符合条件的选项． 【解答】解：如图，根据题意可知，该二次函数开口向下． 对称轴为直线x1， ∵t2+5﹣4t＝（t﹣2）2+1＞0， ∴与点Q相比，点P更靠近对称轴， 即2﹣（﹣1）＜|s﹣（﹣1）|，整理得|s+1|＞3． ∴当s+1≥0时，有s+1＞3， 解得s＞2； 当s+1＜0时，有﹣（s+1）＞3， 解得s＜﹣4． 综上，s＞2或s＜﹣4． 故选：A． 【点评】本题主要考查二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标的特征，有一定难度，能够判断出两点离对称轴距离的大小是解题的关键． 9．（2025•宁波模拟）关于x的函数，当m＜x＜1时，y2＜y1．若y3＜y1，则（　　） A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2 【分析】抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1，再得出直线y2＝kx﹣k+4、y3＝（m﹣1）x+5﹣m都经过定点（1，4）根据当m＜x＜1时，y2＜y1，求得k＝1﹣m，从而得出y3＝（m﹣1）x+5﹣m，抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点坐标为（m，km﹣k+4），求得抛物线与直线y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交点横坐标为2﹣m，根据y3＜y1，利用数形结合思想即可求解． 【解答】解：∵， ∴顶点坐标为（1，4），对称轴为直线x＝1， 把x＝1代入y2＝kx﹣k+4，得y2＝4， ∴直线y2＝kx﹣k+4经过定点（1，4）， ∵当m＜x＜1时，y2＜y1． ∴抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点横坐标为m， 设抛物线与直线y2＝kx﹣k+4的交点坐标为（m，km﹣k+4）， 把（m，km﹣k+4）代入，得 km﹣k+4＝﹣m2+2m+3 ∴m＝1﹣k或m＝1（舍去）， ∴k＝1﹣m ∴y3＝﹣kx+k+4＝﹣（1﹣m）x+1﹣m+4＝（m﹣1）x+5﹣m 把x＝1代入，得y3＝4 ∴y3＝（m﹣1）x+5﹣m经过定点（1，4）， 设抛物线与直线y3的交点坐标为（n，（m﹣1）n+5﹣m），代入到，得： （m﹣1）n+5﹣m＝﹣n2+2n+3， ∴n2+（m﹣3）n+2﹣m＝0， ∴n＝2﹣m或n＝1， ∴抛物线与直线y3＝（m﹣1）x+5﹣m的另一交点横坐标为2﹣m， ∵y3＜y1， ∴1＜x＜2﹣m． 故选：C． 【点评】本题考查抛物线的图象性质，一次函数图象性质，根据交点确定不等式的解集，数形结合思想的应用是解题的关键． 10．（2025•浙江二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝h．若当h+1＜m＜h+2时，都有y1＞y3＞y2．则h的取值范围为（　　） A．1≤h≤2 B．2≤h≤3 C．1≤h≤3 D．h＜2或h＞3 【分析】根据“开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小”可知：|h+2|＞|m﹣h|＞|h﹣2|，然后可得，进而问题可求解． 【解答】解：由条件可知：开口向上，离对称轴的距离越近，其对应的函数值也就越小， ∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上，且y1＞y3＞y2， ∴|h+2|＞|m﹣h|＞|h﹣2|， 由条件可得1＜|m﹣h|＜2， ∴， 解得：1≤h≤3； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 11．（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是\ ． 【分析】根据顶点纵坐标为求得a＝2，即可求得抛物线为y＝2x2+2x﹣4，然后令y，解方程求得x或x，令y，解方程求得x或x，根据抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为，即可得k． 【解答】解：如图： ∵y＝ax2+ax﹣4＝a（x）24， ∴抛物线的顶点为（，4）， ∵顶点纵坐标为， ∴4， ∴a＝2， ∴y＝2x2+2x﹣4， 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴K（，），T（，） 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴R（，），S（，）， ∵抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为， ∴Q在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴k． 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 考点三：二次函数的图象与系数的关系 易｜混｜易｜错 1） 2）二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 1．（2025•宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（　　） A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0 C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0 【分析】令x，可以得到要求的多项式，然后根据a的取值不同确定y的正负，从而得解． 【解答】解：令x，yab+c（a+2b+4c）， ∵二次函数与x轴没有交点， ∴a＞0时，y＞0，a＜0时，y＜0， ∴a（a+2b+4c）＞0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 2．（2025•鄞州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0 【分析】利用二次函数的性质结合图象判断即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点的横坐标为2， ∴2， ∴b＝﹣4a，故A不正确； ∵函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵对称轴为直线x＝2，x1＞x2＞2， ∴y1＜y2，故B不正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，顶点的横坐标为2， ∴x＝2时，函数有最大值4a+2b+c， ∴当m≠2时，am2+bm+c＜4a+2b+c，即当m≠2时，am2+bm＜4a+2b，故C正确； ∵函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，对称轴为直线x＝2， ∴函数图象与x轴的另一个交点的横坐标为5， 由图可知：当x＜﹣1或x＞5时，y＜0，故D不正确； 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握二次函数的性质数形结合是解题的关键． 3．（2025•西湖区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1．下列四个结论中正确的结论有（　　） ①b＞0； ②若时，则6a+5c＝0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上x1＜x2，且x1+x2＜﹣1，则y1＞y2； ④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 【分析】根据抛物线开口方向和对称轴位置，即可判断①；利用对称轴公式求得ba，由a+b+c＝0，进一步得到5a+6c＝0，即可判断②；由点M（x1，y1），N（x2，y2）到对称轴的距离，即可判断③；证明根的判别式Δ＞0即可判断④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1， ∴a＞0，对称轴为直线x0， ∴0， ∴b＞0， 故①正确； 当时，对称轴为直线x， ∴ba， 当x＝1时，a+b+c＝0， ∴a+c＝0， ∴5a+6c＝0，故②错误； 由题意，抛物线的对称轴直线x＝h，﹣0.5＜h＜0， ∵点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＜﹣1， ∴点M到对称轴的距离＞点N到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③正确； 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣m）， 方程a（x﹣1）（x﹣m）＝﹣1， 整理得，ax2﹣a（1+m）x+am+1＝0， Δ＝[﹣a（1+m）]2﹣4a（am+1） ＝a2（m﹣1）2﹣4a， ＝a[a（m﹣1）2﹣4]， ∵﹣2＜m＜﹣1，a≥1， ∴a（m﹣1）2＞4， ∴a（m﹣1）2﹣4＞0， ∴Δ＞0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根．故④正确， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解； （3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）， ∴c＝4； ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0）， ∴4a+2b+c＝0． ∴4a+2b＝﹣4． ∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2； （2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m）， ∴抛物线的对称轴为直线x1． ∴1． ∴b＝2a． ∴b+b＝﹣2． ∴b＝﹣1． （3）∵2a+b＝﹣2，c＝4， ∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0． ∴抛物线的对称轴为：x． 当a＞0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧． ∴2． ∴0＜a≤1． 当a＜0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧． ∴0． ∴﹣1≤a＜0． 综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0． 【点评】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025•杭州二模）已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）． （1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 【分析】（1）将（0，﹣6）代入函数表达式，求出a的值即可解决问题． （2）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题． （3）用含a的代数式表示出y1和y2，再利用作差法即可解决问题． 【解答】（1）解：将点（0，﹣6）代入函数解析式得， ﹣2a﹣2＝﹣6， 解得a＝2， 所以函数的表达式为y＝2x2+4x﹣6． 则， 将x＝﹣1代入函数解析式得， y＝2﹣4﹣6＝﹣8． 所以函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣8）． （2）证明：因为Δ＝（a+2）2﹣4a（﹣2a﹣2）＝9a2+12a+4＝9（）2， 又因为a， 所以Δ＞0， 所以二次函数的图象与x轴必有两个不同的交点． （3）解：将A，B两点坐标代入函数解析式得， ， ， 两式相减得， ， 又因为x1+x2＝3， 所以y1﹣y2＝2（2a+1）（x1﹣x2）． 又因为当x1＜x2时，总有y1＞y2， 所以2a+1＜0， 解得． 所以a的取值范围是：a． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 考点四：二次函数的图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1）谨记一点“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，所以当有条件给出一个点在抛物线上，常需将该点的坐标带入对应解析式； 2）二次函数图象上点的坐标特征和图象对称轴、图象性质经常结合考察，做题时先画简图，就图思考。 1．（2025•浙江模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过四个点（﹣1，0），（0，y1），（1，y2），（2，y3）．若y2＜y1＜y3，则y2的取值范围为（　　） A．﹣4＜y2＜﹣2 B．﹣2＜y2＜0 C．0＜y2＜2 D．2＜y2＜4 【分析】代入（﹣1，0），可得b、c的关系式，用c将b替换，再代入（0，y1），（1，y2），（2，y3），可得y1、y2、y3的值，因为y2＜y1＜y3，可解得c的取值范围，可求得y2的取值范围． 【解答】解：代入（﹣1，0）， 得，1﹣b+c＝0， 解得：b＝c+1， ∴y＝x2+（c+1）x+c， 代入（0，y1），（1，y2），（2，y3）， 得，y1＝c， y2＝2c+2， y3＝3c+6， ∵y2＜y1＜y3，该二次函数开口朝上， ∴2c+2＜c＜3c+6， 解得：﹣3＜c＜﹣2， ∴﹣4＜2c+2＜﹣2，即﹣4＜y2＜﹣2， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握二次函数图象的性质． 2．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 【分析】根据题意将两点坐标代入解析式得到y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2，再令y＝﹣6将函数解析式转化为方程，关键一元二次方程两个根的关系，求出抛物线与直线两个交点的横坐标之差为4，再根据抛物线的对称性和增减性得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线xt， ，整理得， ∴抛物线解析式可表示为：y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2， ∵y＝﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣（x﹣t）2﹣2， ∴抛物线顶点坐标（t，﹣2）， ∵关于x的方程﹣x2+2tx﹣t2﹣2＝﹣6，即﹣x2+2tx﹣t2+4＝0，两个根满足： x1+x22t，x1x2＝t2﹣4， ∴丨x1﹣x2丨4， 即抛物线与直线y＝﹣6的两个交点的横坐标之差为4， ∴若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的最大值是丨x1﹣x2丨＝4， p＝t或q＝t时，q﹣p取得最小值：丨x1﹣x2丨＝2， ∴q﹣p的取值范围是：2≤q﹣p≤4． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是关键． 3．（2025•柯桥区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（﹣2，m），N（4，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，2a﹣b＝0 【分析】依据题意，先把点A、B的坐标分别代入解析式得到m＝4a﹣2b+c，n＝16a+4b+c，然后利用m＜n得到4a﹣2b+c＜16a+4b+c，则2a+b＞0，然后依次对各选项进行判断． 【解答】解：把A（﹣2，m），B（4，n）代入y＝ax2+bx+c中得m＝4a﹣2b+c，n＝16a+4b+c， ∵m＜n， ∴4a﹣2b+c＜16a+4b+c， ∴2a+b＞0， ∴B选项不符合题意； 当a＜0时，a+b＞﹣a＞0，2a﹣b＞﹣2b＜4a＜0， ∴C、D选项不符合题意； 当a＞0时，a+b＞﹣a， 又∵﹣a＜0， ∴a+b＝0是可能的． ∴A选项符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式是关键． 4．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 【分析】先求出对称轴，再根据m的正负分类讨论画出示意图分析即可． 【解答】解：由二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3可得对称轴为直线x， ∵A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q）， ∴A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称． 当m＞1时，可知对称轴﹣2＜x＜﹣1，开口向上，如图1所示： 则根据对称性有， 即﹣8＜a+b+c+d＜﹣4＜0，故①正确； 由图1，当C、D两点互换位置后，则有d＜a＜b＜c，故②可能正确； 当m＜﹣1时，则对称轴﹣1＜x＜0，图象开口向下，如图2所示： 则根据对称性有，即﹣4＜a+b+c+d＜0，故③正确； 当A、B、C、D如图2所示分布时，则有a＜c＜d＜b，故④一定不正确； 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 考点五：二次函数的几何变换 易｜混｜易｜错 1）二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2）二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法； 1．（2025•金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 【分析】根据“上加下减，左加右减”的平移规律，即得答案． 【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为y＝﹣（x﹣2）2﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解答本题的关键． 2．（2025•浙江模拟）已知抛物线C：y＝x2+4x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线关于直线x＝1对称，则平移的方法是（　　） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【分析】找一个点，经过平移后这个点与直线x＝1对称．抛物线C与y轴的交点为A（0，﹣10），与A点以对称轴对称的点是B（﹣4，﹣10）．若将抛物线C平移到C′，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称．则B点平移后坐标应为（2，﹣10）．因此将抛物线C向右平移6个单位． 【解答】解：∵抛物线C：y＝x2+4x﹣10＝（x+2）2﹣14， ∴抛物线对称轴为x＝﹣2． ∴抛物线与y轴的交点为A（0，﹣10）． 则与A点以对称轴x＝﹣2对称的点是B（﹣4，﹣10）． 若将抛物线C平移到C′，并且C，C′关于直线x＝1对称，就是要将B点平移后以对称轴x＝1与A点对称． 则B点平移后坐标应为（2，﹣10）． 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C． 【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 3．（2025•浙江模拟）将二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝ax2，则m，k的值分别是（　　） A．2，3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．﹣2，﹣3 【分析】利用二次函数图象平移规律：上加下减，左加右减，可得平移后的函数解析式． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝a（x﹣m+2）2+k﹣3， 又∵将二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝ax2， ∴m＝2，k＝3， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是掌握函数图象的平移规律． 4．（2025•临平区校级三模）二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的值为（　　） A．0 B．1 C．10 D．13 【分析】首先由二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，即可求得y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式，然后根据整式相等的性质，求得2a+2b＝﹣6，a2+b2＝5，又由（a﹣1）2+（b﹣1）2的＝a2+b2﹣2a﹣2b+2，即可求得答案． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称， ∴y＝（x+a）2+（x+b）2的解析式为：y＝（﹣x+1）2+（﹣x+2）2， 即y＝2x2﹣6x+5， 又∵y＝（x+a）2+（x+b）2＝2x2+（2a+2b）x+a2+b2， ∴2a+2b＝﹣6，a2+b2＝5， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2的＝a2+b2﹣2a﹣2b+2＝5+6+2＝13． 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的对称变换，注意两函数关于y轴对称，则x变为相反数，y不变．解此题的关键是注意整体思想与方程思想的应用． 5．（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 【分析】（1）将点A（2，﹣1）代入二次函数解析式中即可求解； （2）找出抛物线的对称轴为x，根据二次函数的性质结合“当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n”，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值； （3）根据平移的性质可得出a＝1，由二次函数的性质可得出h≥2，再将（0，0）代入二次函数解析式中可得出k＝﹣h2，进而即可得出k的取值范围． 【解答】解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上， ∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m， 解得m＝1， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1； （2）∵y＝x2﹣3x+1， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∴当x时，y随x的增大而减小， 当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1， ∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n， ∴n2﹣3n+1＝4﹣n， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∵n≤x≤1， ∴n的值为﹣1； （3）根据平移的性质可知，a＝1， ∵当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴h≥2． ∵平移后的图象经过原点O， ∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2， ∴k≤﹣4． 【点评】本题考查了二次函数与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是（1）根据待定系数法找出m的值；（2）根据二次函数的单调性找出关于n的一元二次方程；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征找出k＝﹣h2． 考点六：二次函数的最值 易｜混｜易｜错 1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：其最值为顶点纵坐标：； 当a＞0时，y有最小值，当a＜0时，y有最大值； 2）当区间范围内求函数最值时，多需要分类讨论； 1．（2025•余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 【分析】把二次函数的解析式化为顶点式的形式，进而可得出结论． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x﹣3可化为：y＝（x+1）2﹣4， ∴二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为﹣4． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，熟知二次函数的顶点式是解题的关键． 2．（2025•鄞州区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，则BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm，则S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25，再由二次函数的性质即可判断③；代入t＝3计算后即可判断①；由三角形面积公式得S△PBQ＝﹣t2+10t，再根据△PBQ的面积为16cm2，列出一元二次方程，解方程即可判断②． 【解答】解：由题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣t）cm， ∴S△PBQBP•BQ（10﹣t）•2t＝（﹣t2+10t）（cm2）， ∵S△PBQ＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣5）2+25， ∵﹣2＜0， ∴当t＝5时，△PBQ的面积有最大值为25，故③错误； 当t＝3时，△PBQ的面积为：﹣（3﹣5）2+25＝21，故①正确； 令S△PBQ＝16，则﹣t2+10t＝16，即t2﹣10t+16＝0， 解得t＝2或8， ∵t＝8时，BQ＜BC，故t＝8符合题意，故②正确； 故选：C． 【点评】本题是三角形综合题，考查了三角形面积公式、一元二次方程的应用以及二次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握三角形面积公式，求出△PBQ的面积与t的关系式是解题的关键． 3．（2025•衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 ． 【分析】依据题意，由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，可得抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值，进而分当x＝n时，y取最大值，此时2，即n和当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n，分别进行计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线开口向上，当x＝2时，y取最小值为﹣1． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当x＝n时或当x＝n+1时，y取最大值． ①当x＝n时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为n2﹣4n+3＝2， ∴n＝2（不合题意，舍去）或n＝2． ②当x＝n+1时，y取最大值，此时2，即n． 又∵此时y最大值为（n+1）2﹣4（n+1）+3＝n2﹣2n＝2， ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）． 综上，n＝2或1． 故答案为：2或1． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质进行分类讨论是关键． 4．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法，将（0，﹣3）代入函数解析式即可求出a； （2）根据二次函数的增减性，求出最大值和最小值，作差即可； ②分类讨论，求出不同m的取值范围对应的d1、d2即可比较即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． 将x＝0，y＝﹣3代入函数解析式可得： ﹣3＝a（0+1）（0﹣3）， 解得a＝1； （2）①y＝（x+1）（x﹣3）＝（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）的开口方向向上，对称轴为直线x＝1，根据函数的性质可得： 抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣2≤x≤2， ∴当x＝1时，y最小，y最小＝1﹣2﹣3＝﹣4； 当x＝﹣2时，y最大，y＝4+4﹣3＝5． ∴当m＝1时，﹣2≤x≤1时，函数y＝a（x+1）（x﹣3）的最大值4和最小值﹣5的差为d1＝4﹣（﹣5）＝9． 当x＝4时，y＝42﹣2×4﹣3＝5． ∴当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，且﹣4≤y≤5， 此时，d1的值保持不变，始终等于9， ∴m的取值范围是1≤m≤4， ②设x＝m时的函数值为y1，x＝m+1时的函数值为y2， I．当﹣2≤m≤0时，即﹣2≤m≤m+1≤1，则必有y1＞y2≥﹣4， 对应的最大值都是5．对应的最小值分别为y1，y2， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣y2， ∴d1＜d2 II．当0＜m＜1时，m＜1＜m+1，则必有y1＞﹣4，y2＞﹣4， 对应的最大值都是5．当﹣2≤m≤0时的最小值为y1＞﹣4，当﹣2≤x≤m+1时的最小值为﹣4， 此时d1＝5﹣y1；d2＝5﹣（﹣4）＝9， ∴d1＜d2； III．当1≤m≤3时，必有﹣4≤y1＜y2≤5， 对应的最大值都是5．对应的最小值都是﹣4． 此时d1＝d2＝9； IV．当3＜m≤4时，必有0＜y1≤5＜y2， 最小值都是﹣4．当﹣2≤m≤0时的最大值为5，当﹣2≤x≤m+1时的最大值为y2， 此时d1＝5﹣（﹣4）＝9；d2＝y2﹣（﹣4）＞9， ∴d1＜d2， V．当m＞4时，必有y1＜y2，对应的最小值都是﹣4．对应的最大值分别为y1，y2， 此时d1＝y1+4；d2＝y2+4， ∴d1＜d2， 综上所述，不存在d1＞d2． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握和灵活运用相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 考点七：待定系数法求二次函数解析式 易｜混｜易｜错 1）二次函数的三种表达式及其应用范围： 名称 通式 适用范围 一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0） 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式 顶点式 y＝a（x-m）2+h（a≠0） 当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式 交点式 y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0） 其中，（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式 相互联系 二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行； 1．（2025•温州模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n． 【分析】（1）把两个已知点的坐标代入y＝ax2﹣2ax+c得a、c的方程组，然后解方程组即可； （2）先利用配方法得到顶点式y＝﹣（x﹣1）2+4，则当x＝1时，y有最大值4，再计算出x＝0和x＝2时对应的函数值，从而得到当﹣1≤x≤2时函数值的取值范围，然后确定m、n的值，最后进行m﹣n的值． 【解答】解：（1）把（﹣1，0），（0，3）分别代入y＝ax2﹣2ax+c得， 解得， ∴这个二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y有最大值4， 当x＝﹣1时，y＝﹣x2+2x+3＝0， 当x＝2时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣4+4+3＝3， ∴﹣1≤x≤2时，0≤y≤4， ∴m＝4，n＝0， ∴m﹣n＝4﹣0＝4． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征． 2．（2025•宁海县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 4 t n … （1）当m＝1，n＝4时，求二次函数的表达式． （2）当t＝4时， ①求a、b之间的数量关系． ②在自变量﹣3≤x≤2范围内，y的最大值为9，求a的值． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）①把x＝1，y＝4代入二次函数表达式即可； ②求出二次函数的对称轴，再分a＞0和a＜0两种情况，结合二次函数的图象和性质讨论即可． 【解答】解：（1）当m＝1，n＝4时，可得， 解得， ∴二次函数表达式为：y＝﹣x2+2x+4； （2）①把x＝1，y＝4代入二次函数表达式得：a+b+4＝4， ∴b＝﹣a； ②由①知二次函数表达式可表示为：y＝ax2﹣ax+4， 对称轴为直线x， 以下分两种情况讨论： 当a＞0时，当x＝﹣3时，ymax＝9a+3a+4＝9， 解得：； 当a＜0时，当， 解得：a＝﹣20． 综上所述：． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，二次函数最值等知识，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，增减性，最值的计算是关键． 3．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）． （1）若二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），求该二次函数解析式； （2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a＝c； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值． 【分析】（1）依据题意，通过待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由抛物线的顶点落在x轴上，则b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，且b≠0，可得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，从而可以得解； （3）依据题意，对称轴为直线，且a+b+c＝0，x先求出a＝1，从而b＝﹣1﹣c，再求出c的范围，然后根据a2+b2+c2＝2c2，从而可以计算得解． 【解答】（1）解：∵图象过（1，0）， ∴a+b+c＝0． 又∵图象过A（﹣1，4），B（0，﹣1）， ∴ ∴ ∴y＝3x2﹣2x﹣1． （2）证明：∵顶点落在x轴上， ∴b2﹣4ac＝0， ∵a+b+c＝0，且b≠0， ∴（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0． ∴a＝c． （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且a+b+c＝0， ∴． ∵b≠0， ∴a＝1， ∴b＝﹣1﹣c． 又b≥c， ∴c≤﹣0.5． ∴将a＝1，b＝﹣1﹣c 代入得a2+b2+c2＝2c2． ∴当c＝﹣0.5时，a2+b2+c2有最小值1.5． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 考点八：抛物线与x轴的交点问题 易｜混｜易｜错 1）求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程， 而且①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2）求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别； 1．（2025•浙江模拟）已知x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根．若0＜x1＜1，0＜x2＜1，则（　　） A．c和1+b+c都小于 B．c和1+b+c至少一个小于 C．c和1+b+c都大于 D．c和1+b+c至少一个大于 【分析】根据韦达定理得到b，c与x1，x2的关系，设出函数f（x）＝x2+bx+c，表示出f（0）和f（1），通过假设法，推导出矛盾关系，即可求解． 【解答】解：x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根， 由韦达定理得x1+x2＝﹣b，x1x2＝c， 设f（x）＝x2+bx+c，则f（0）＝c，f（1）＝1+b+c， 假设，， ∴，， ∴， ， ， ∵0＜x1＜1，0＜x2＜1， 假设，， ∴， 与产生矛盾， 所以假设不成立，即f（0）和f（1）中至少有一个小于． 故选：B． 【点评】本题考查了韦达定理，反证法是解决本题的关键． 2．（2025•鄞州区校级模拟）设二次函数y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1≠x2）的图象与一次函数y2＝6x+2的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则|x1﹣x2|的值是（　　） A．6 B．8 C． D．7 【分析】首先根据一次函数y2＝6x+2 的图象交于点 （x1，0），可得，然后根据函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，可得函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0），进而可得，再结合求解即可． 【解答】解：∵一次函数y2＝6x+2的图象经过点（x1，0）， ∴6x1+2＝0，解得：， ∵当x＝x1时，y1＝0，y2＝0， ∴当x＝x1时，y＝y1+y2＝0， ∵函数 y＝y1+y2 的图象与 x 轴仅有一个交点， ∴y＝y1+y2的图象与x轴的交点为， ∴， 又∵， ∴ ， ∴， 解得： ∴， 故选：A． 【点评】此题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数y＝y1+y2与x轴的交点为（x1，0）． 3．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 【分析】利用交点式得到抛物线与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0），则两交点的距离为b﹣a，利用对称性得到抛物线的对称轴为直线x，同样方法得到 平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x，然后利用左右平移两交点的距离不变，上下平移对称轴不变，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）与x轴的交点坐标为（a，0），（b，0）， ∴两交点的距离为b﹣a，对称轴为直线x， ∵平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点， ∴平移后的抛物线与x轴的两交点的距离为n﹣m，对称轴为x， ∴b﹣a＝n﹣m，所以A、B选项不符合题意； ∵抛物线上下平移时，抛物线的对称轴不变， ∴， 即a+b＝m+n，所以C选项不符合题意，D选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4．（2025•余姚市三模）已知二次函数y＝x2+x﹣2025与x轴的交点的横坐标为m，n，则的值为　 ． 【分析】将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：设根为m，n，由题意可得： ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 5．（2025•西湖区二模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）． （1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点A（n，y1），B（m+1，y2），C（x0，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较y1，y2的大小． ②若x0＝﹣1，y1＞3，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）将m＝5代入函数解析式，进而可得该函数图象与x轴的交点坐标． （2）①由题意得，抛物线开口向上，对称轴为直线xm+1，可知点B为抛物线的顶点，函数值最小，进而可得y1＞y2． ②将点C（﹣1，3）代入函数解析式得出m＝0或m＝﹣4，然后分情况分析即可求解． 【解答】解：（1）当m＝5时，y＝（x﹣5）（x﹣5﹣2）＝（x﹣5）（x﹣7）． 令y＝0，得（x﹣5）（x﹣7）＝0， 解得x1＝5，x2＝7， ∴该函数图象与x轴的交点坐标为（5，0），（7，0）． （2）①∵y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝x2﹣（2m+2）x+m（m+2）， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xm+1， ∵B（m+1，y2）， ∴点B为抛物线的顶点，函数值最小， ∴y1＞y2． ②当x0＝﹣1时，C（﹣1，3）， 将点C（﹣1，3）代入y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）， 得（﹣1﹣m）（﹣1﹣m﹣2）＝3， 解得m1＝0，m2＝﹣4． 当m＝0时，y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x， 将A（n，y1）代入y＝x2﹣2x，得y1＝n2﹣2n， 令n2﹣2n＝3， 解得n1＝﹣1，n2＝3， ∴y1＞3时，n的取值范围为n＜﹣1或n＞3； 当m＝﹣4时，y＝（x+4）（x+2）＝x2+6x+8， 将A（n，y1）代入y＝x2+6x+8，得y1＝n2+6n+8， 令n2+6n+8＝3， 解得n1＝﹣5，n2＝﹣1， ∴y1＞3时，n的取值范围为n＜﹣5或n＞﹣1； 综上所述，当m＝0时，n＜﹣1或n＞3；当m＝﹣4时，n＜﹣5或n＞﹣1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 考点九：二次函数与不等式 易｜混｜易｜错 1）当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2）由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标， ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围； 1．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q）， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4， 如图所示， ∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题． 2．（2025•舟山三模）已知二次函数y＝x2+bx+2（b为常数）的对称轴是直线x＝2． （1）求二次函数的表达式； （2）当1≤x≤4时，求y的取值范围； （3）若点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上，求证：y1+y3＞2y2． 【分析】（1）利用对称轴公式即可求得b，从而求得二次函数的表达式； （2）当x＝4时，y＝2，函数顶点坐标为：（2，﹣2），即可求解； （3）根据图象上点的坐标特征，求得函数值，进一步求得y1+y3﹣2y2＞0，即可证得结论． 【解答】（1）解：∵对称轴是直线x＝2， ∴2， 解得b＝﹣4， ∴该函数的解析式为y＝x2﹣4x+2； ②解：∵y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2， ∴当x＝2时，函数有最小值﹣2， ∵当x＝4时，y＝x2﹣4x+2＝2， ∴当1≤x≤4时，y的取值范围是﹣2≤y≤2； （3）证明：∵点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上， ∴y1＝（t﹣k）2﹣4（t﹣k）+2，y2＝t2﹣4t+2，y3＝（t+k）2﹣4（t+k）+2， ∴y1+y3＝2t2+2k2﹣8t+4，2y＝2t2﹣8t+4， ∴y1+y3﹣2y2＝2k2， ∵k≠0， ∴2k2＞0， ∴y1+y3﹣2y2＞0， ∴y1+y3＞2y2． 【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，要求学生熟悉函数的基本性质，熟练掌握函数图象上点的坐标特征等． 3．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解； ②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解； （2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解． 【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x2． ①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k， 又过（﹣1，8），（0，3）， ∴． ∴a＝1，k＝﹣1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1． ②由①令y＝0， ∴（x﹣2）2﹣1＝0． ∴x＝3或x＝1． ∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）． 又抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围． ∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3． （2）由题意，∵对称轴是直线x＝2， ∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大． 又2＜3＜5， ∴y3＜y4＜y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y3＜0，且y4≥0． ∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0． 又对称轴是直线x2，即b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a≤1． ②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小． 又2＜3＜5， ∴y3＞y4＞y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y5＜0，且y4≥0． ∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． 又对称轴是直线x2，即b＝﹣4a， ∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a． 综上，a或a≤1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 考点十：二次函数的新定义问题 易｜混｜易｜错 1）二次函数的新定义问题，审题很重要，先要读懂题，解决第一问，然后联系二次函数中的同类考点，综合应用； 1．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 【分析】由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上，判断出函数与直线y＝﹣x没有交点即可．． 【解答】解：由“和差点”的定义可得点P在直线y＝﹣x上， 直线y＝﹣2x﹣1，直线y＝x+2，抛物线y＝x2﹣2都与直线y＝﹣x都有交点，函数y与直线y＝﹣x没有交点， 故选项A，B，D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，一次函数图象上的点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 2．（2024•浙江一模）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“阴阳函数”．例如：一次函数y＝x+2，它的“阴阳函数”为y，若点P（m，2）在二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”的图象上时，则m的值为（　　） A．﹣1或﹣1 B． C．或 D． 【分析】写出二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”，代入计算． 【解答】解：二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”为y， ①当m＜0时，将P（m，2）代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣m2﹣2m+3＝2， 解得：m＝﹣1（舍去）或m＝﹣1， 当m≥0时，将P（m，2）代入y＝x2+2x﹣3得：m2+2m﹣3＝2， 解得：m＝﹣1或m＝﹣1（舍去）． 综上所述：m＝﹣1或m＝﹣1． 故选：A． 【点评】本题考查的是“阴阳函数”的定义，二次函数的图象上点的坐标特征、掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 3．（2025•嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 【分析】把所给抛物线解析式整理成顶点式，可得m和k的值，易得y0﹣k＝4，则可得用a表示的y0的值及x0﹣m的值，进而可得用a表示的x0的式子，把用a表示的P（x0，y0）代入抛物线解析式，可得a的值． 【解答】解：∵y＝ax2+2ax+1＝a（x2+2x+1）+1﹣a＝a（x+1）2+1﹣a， ∴m＝﹣1，k＝1﹣a， ∵抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4， ∴y0﹣k＝4， ∴y0＝4+k＝4+1﹣a＝5﹣a， ∵， ∴x0﹣m＝2， ∴x0＝m+2＝﹣1+2＝1， ∴5﹣a＝a（1+1）2+1﹣a， 解得：a＝1． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义并应用到二次函数中解决问题是解决本题的关键；难点是得到用a表示的点P的坐标． 4．（2025•龙港市二模）新定义：我们把抛物线y＝﹣ax2﹣bx+c，（其中a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c称为“孪生抛物线”．例如：抛物线y＝﹣x2﹣5x+3的“孪生抛物线”为y＝x2+5x+3．已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C1的表达式为 　 ． 【分析】先求出抛物线C2为y＝ax2+2ax+a+4，可得A（﹣1，4），设B（x1，0），C（x2，0），得出，从而求得，由△ABC为直角三角形，可得，再列出方程求解即可． 【解答】解：∵已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2， 依据“孪生抛物线”的定义得：抛物线C2为y＝ax2+2ax+a+4＝a（x+1）2+4， ∴A（﹣1，4）， 设B（x1，0），C（x2，0）， 当y＝0时，得：ax2+2ax+a+4＝0， ∴， ∴， 由抛物线的对称性得AB＝AC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴， 解得：或a＝0（不合题意，舍去）， ∴抛物线， 故答案为：． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点发，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，理解新定义的意义是解决本题的关键． 5．（2024•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]． 如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6． 请根据以上信息，完成以下问题： 已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）． （1）若a＝2． ①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值； ②已知，求p的值． （2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值． 【分析】（1）①将a值代入运算即可，利用新定义的规定计算即可； ②令y＝3，求得x值，再利用新定义的规定解答即可； （2）利用待定系数法求得a值，再利用分类讨论的方法，依据新定义的规定列出关于k的方程解答即可． 【解答】解：（1）①∵a＝2， ∴y＝x2﹣4x+3． ∵[1，4]， ∴1≤x≤4． ∴当x＝4时，y＝x2﹣4x+3＝3，取得最大值， ∴M[1，4]＝3； ②∵， ∴当p≤x时，函数y取得最大值3， 令y＝3，则x2﹣4x+3＝3， ∴x＝0或x＝4． ∴p＝0． （2）∵该函数的图象经过点（0，0）， ∴a2﹣1＝0， ∴a＝±1． 当a＝1时，y＝﹣4x， ∵M[﹣3，k]＝k， ∴k＝﹣4×（﹣3）＝12， ∴k＝12． 当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x． ∵y＝﹣2（x+1）2+2， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2， ∵M[﹣3，k]＝k， ∴﹣2k2﹣4k＝k， ∴k＝0（不合题意，舍去）或k． ∵当a＝﹣1时，y＝﹣2x2﹣4x． ∵y＝﹣2（x+1）2+2， ∴当x＝﹣1时，y取得最大值为2， ∴k＝2． 当﹣3≤x≤2时，函数的最大值为2， ∴k＝2． 综上，k的值为12或k或k＝2． 【点评】本题主要考查了二次函数的解析式，一次函数的性质，待定系数法，二次函数图象的性质，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． 考点十一：二次函数的应用 易｜混｜易｜错 1）利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2）利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 3）利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 1．（2025•临平区校级二模）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求v关于x的函数解析式． （2）当车流密度x为多少时，车流量w＝x•v（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）达到最大？并求出最大值．（结果精确到整数） 【分析】（1）根据题意，分两种情况由待定系数法求出函数解析式； （2）分两种情况求出w关于x的函数解析式，由函数的性质求出最值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v＝60； 当20＜x≤200时，设v＝ax+b， 则， 解得， ∴vx， 综上所述，函数v关于x的函数解析式为v； （Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得w， 当0≤x＜20时，w＝60x， ∵60＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝20时，w有最大值，最大值为60×20＝1200； 当20≤x≤200时，w（200﹣x）x2x（x﹣100）2， ∵0， ∴当x＝100时，w有最大值，最大值为， 综上所述，当x＝100时，w的最大值为， ∴当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．（2025•浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围． 【分析】任务一： 任务二： 任务三： 【解答】解：任务一：由题意得抛物线的顶点为：（100，45）， 设从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式为：y＝a（x﹣100）2+45， 则：25＝a（0﹣100）2+45，解得：a， ∴y（x﹣100）2+45； 任务二：小亮不能实现； 设OP的解析式为：y＝kx，则300k＝20， 解得：k， ∴yx，当x＝140时，y14， ∴小亮不能实现； 任务三：设弹起后球飞行的路径为：y＝b（x﹣300）2+40， 对于y（x﹣100）2+45， 当y＝0时，0（x﹣100）2+45， 解得：x＝﹣50（不合题意，舍去）或x＝250， ∴M（250，0）， ∴0＝b（250﹣300）2+40， 解得：b， ∴y（x﹣300）2+40， 当y＝30时，30（x﹣300）2+40， 解得：x＝275或x＝325， ∴击球点与发球机水平距离x的取值范围275≤x≤325． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． 3．（2025•温州模拟）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在O处开始减速，此时白球在黑球前面20cm处保持2cm/s的速度匀速运动．小聪测量黑球减速后运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 … 运动距离y/cm 0 7.5 14 19.5 24 … 探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述． （1）求y关于t的函数关系式． （2）当t＝5时，求两球之间的距离． （3）黑球能否追上白球？若能，求出追上时t的值；若不能，求出它们之间的最短距离． 【分析】（1）设y＝at2+bt+c，代入（0，0），（2，14），（4，24），利用待定系数法求解即可； （2）设S为两球之间的距离，根据S＝白球距点O的路程﹣黑球运动的路程列出S关于t的函数解析式，令t＝5，即可求出S的值； （3）把（2）中S关于t的函数解析式化为顶点式，再利用二次函数的性质可得出结论． 【解答】解：（1）设y关于t的函数解析式为y＝at2+bt+c将点（0，0），（2，14），（4，24）得： ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； （2）令S表示两球之间的距离由题意可得， S＝20+2t﹣（t2+8t）t2﹣6t+20， 当t＝5时，S25﹣6×5+20＝2.5， 答：两球之间的距离为2.5cm； （3）St2﹣6t+20（t﹣6）2+2， ∵0， ∴当t＝6时，S有最短距离为2． ∴两球不能相遇，它们之间的最短距离为2cm． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式， 4．（2025•浙江模拟）综合与实践： 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 【分析】任务1：设购买一个甲品牌排球需x元，则购买一个乙品牌排球需（x+20）元，依据总的花费共3550元列方程求解即可； 任务2：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元，根据利润＝（售价﹣进价）×销量建立w与y之间的函数关系，最后利用函数的性质回答即可． 【解答】解：任务1：设购买一个甲品牌排球需x元， 依题意得：35x+50（x+20）＝3550， 解得：x＝30， ∴30+20＝50（元）， 答：购买一个甲品牌的排球需30元，购买一个乙品牌的排球需50元； 任务2：设当一个丙品牌的排球降价y元时，其利润为w元， 依题意，得：w＝（36﹣20﹣y）（50） ＝（16﹣y）（50+5y） ＝﹣5y2+30y+800$ ＝﹣5（y﹣3）2+845， 当y＝3，即售价为36﹣3＝33元时利润w有最大值，最大值为845． 答：当一个丙品牌的排球售价为33元时有最大利润，最大利润是845元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，根据实际问题建立方程模型和二次函数模型是解题的关键． 考点十二：二次函数与几何的综合 1．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 ； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 ． 【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解； （2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2，x1x2＝﹣9，进而求解． 【解答】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c）， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：yx2+c①， PQ＝2xQ＝6（cm）， 故答案为：6cm； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的解析式为y＝x+b， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②， 联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0， 则x1+x2，x1x2＝﹣9， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， 则|x1﹣x2|， 由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°， 则CH|x1﹣x2|， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°， 故设该直线的表达式为：y＝x+b， 将点C的坐标代入上式得：8＝6+b， 解得：b＝2， 则直线的表达式为：y＝x+2， 由（1）知，抛物线的表达式为：yx2， 联立上述两式得：x2＝x+2， 解得：x＝6或﹣1.5， 则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5， 则CH＝7.5． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 2．（2025•杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）分别求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1），可得DP＝﹣（t）2，当t时，线段DP有最大值，最大值为 ．此时点P的坐标为 ； （3）过点Q作QG∥y轴交AB于点G，设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1），则S△ABQ3×|n2﹣5n+4|＝15，求出n的值即可求Q点坐标． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4+m， ∴C（0，4+m）， ∵二次函数y＝（x﹣2）2+m的对称轴为直线x＝2， ∴B（4，4+m）， 将A（1，0）代入y＝（x﹣2）2+m， ∴m+1＝0， 解得m＝﹣1， ∴二次函数的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3， ∴C（0，3），B（4，3）， 将A（1，0），B（4，3）代入y＝kx+b， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1； （2）设P（ t，t2﹣4t+3），则D（t，t﹣1）， ∵点P从A点沿抛物线向B点运动且点P不与A、B重合， ∴1＜t＜4， ∴DP＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t）2， ∴当t时，线段DP有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为 ； （3）存在点Q，使S△ABQ＝15，理由如下： ∵B（4，3），A（1，0） 过点Q作QG∥y轴交AB于点G， 设Q（n，n2﹣4n+3），则G（n，n﹣1）， ∴QG＝|n2﹣4n+3﹣n+1|＝|n2﹣5n+4|， ∴S△ABQ3×|n2﹣5n+4|＝15， 解得n＝6或n＝﹣1， ∴Q（﹣1，8）或（6，15）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，用待定系数法求函数的解析式，铅锤法求三角形面积的方法是解题的关键． 3．（2025•鄞州区校级模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．是否存在点P使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 【分析】（1）设利用待定系数法求出解析式即可； （2）当点P在直线BC的上方时，过点P作PQ∥y轴，交BC的延长线于点Q，待定系数法求出直线BC的解析式，设点P（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2），根据二次函数的对称性求出CD＝1，根据题意求出PQ＝1，列出方程式，解方程求出m的值，即可求出点P的坐标；当点P在BC的下方时，点P和点D重合，舍去； （3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2），表示出PM的长，根据相似三角形判定和性质即可求出的值，结合二次函数的最值即可求解． 【解答】解：（1）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2），将点A，点B，点C的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣2； （2）如图2： 当点P在直线BC的上方时， 过点P作PQ∥y轴，交BC的延长线于点Q， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（2，0），C（0，﹣2）代入得： ， 解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣2， 设点P（m，m2﹣m﹣2），则点Q（m，m﹣2）， ∵y＝x2﹣x﹣2， ∴对称轴为直线， ∴D（1，﹣2）， 即CD＝1， 则，， ∵S△PBC＝S△BCD， ∴PQ＝1， 即m2﹣m﹣2﹣（m﹣2）＝1， 解得：， 当时，， 当时，， ∴或； 当点P在BC的下方时， 同理得出PQ＝1， ∴﹣m2+2m＝1， ∴m＝1， 此时点P和点D重合，故舍去， ∴或； （3）存在点P使的值最大；理由如下： 如图3： 作PN⊥AB于N，交BC于M， ∵P（t，t2﹣t﹣2），M（t，t﹣2）， ∴PM＝（t﹣2）﹣（t2﹣t﹣2）＝﹣t2+2t， ∵PN∥OC， ∴△PQM∽△OQC， ∴， ∴当t＝1时，的最大值为． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，二次函数的对称性，解决问题的关键是添加辅助线，构造相似三角形． 4．（2025•杭州校级模拟）抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且AB＝14． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第二象限抛物线上，连接AP并延长交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交AO于点H，设点P的横坐标为m，点E的纵坐标为d，求d与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在OB上取点F，使得BF＝AH，在CO的延长线上取点Q，使得OQ﹣OH＝OA，连接FE、FQ，当∠QFO＝2∠AEO时，求点P的坐标． 【分析】（1）利用抛物线的对称性求得A（﹣4，0），再利用待定系数法求解即可； （2）由题意，得，OE＝d，则，据此列式计算即可求解； （3）过F作FR⊥AB，且FR＝AO，连接AR，ER，在OC上取点K，使OK＝OQ，连接FK，FK交ER于点G．证明△AFR≌△EOA和△OKF≌△OQF求得KF＝10，在Rt△KOF中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【解答】解：（1）抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且AB＝14． ∴抛物线的对称轴为直线， 如图1，AB＝14，设对称轴交AB于点T，则OT＝3． ∴AT＝7， ∴AO＝4， ∴A（﹣4，0）， 把点A的坐标代入得： （﹣4）2（﹣4）+c＝0， 解得：c＝10， ∴； （2）∵点P在第二象限抛物线上，设点P的横坐标为m，点E的纵坐标为d，则，OE＝d， ∵PH∥OC， ∴∠AHP＝∠AOC＝90°， ∴， ∴AH＝m﹣（﹣4）＝m+4， 在Rt△AHP中，，在Rt△EAO中，， ∴， ∴， 解得d＝10﹣m； （3）∵BF＝AH＝m+4， ∴AF＝AB﹣BF＝10﹣m， ∴OE＝AF，OF＝6﹣m， 过F作FR⊥AB，且FR＝AO，连接AR，ER， ∴△AFR≌△EOA， ∴∠FAR＝∠AEO，AR＝AE， ∵∠EAO+∠AEO＝90°， ∴∠FAR+∠EAO＝90°， ∴∠EAR＝∠FAR+∠EAO＝90°， ∴， 设∠QFO＝2∠AEO＝2α， ∴∠AEO＝α， ∴∠OER＝45°﹣α， 在OC上取点K，使OK＝OQ，连接FK，FK交ER于点G．如图3，则△OKF≌△OQF． ∴∠OKF＝∠OQF＝90°﹣2α， ∴∠KGE＝45°﹣α， ∴KE＝KG，∠KGE＝∠FGR＝45°﹣α， ∵∠AFR＝90°，∠FAR＝∠AEO＝α， ∴∠ARF＝90°﹣α， ∴∠FRG＝90°﹣α﹣45°＝45°﹣α＝∠FGR， ∴GF＝FR＝4， ∵OQ﹣OH＝OA，OH＝﹣m，OA＝4， ∴OK＝OQ＝OA+OH＝4﹣m， ∴EK＝OE﹣OK＝10﹣m﹣（4﹣m）＝6， ∴KG＝EK＝6， ∴KF＝10， 在直角三角形KOF中，由勾股定理得：KO2+OF2＝KF2， ∴（4﹣m）2+（6﹣m）2＝102， ∴m＝12（不合题意，舍去）或m＝﹣2， ∴P（﹣2，6）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质、待定系数法、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题． 1．（2025•西湖区校级一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 【分析】根据抛物线的图象与性质，当开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 【解答】解：抛物线对称轴为直线， 当x1+x2＜4时，x2﹣2＜2﹣x1， 则当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2； 当x1+x2＞4时，x2﹣2＞2﹣x1， 则当a＞0时，y2＞y1；当a＜0时，y1＞y2； 故A、B选项都不正确； 若a（x1+x2﹣4）＞0，则a与x1+x2﹣4同号，由上可知y1＜y2， 故C不正确； 若a（x1+x2﹣4）＜0，则a与x1+x2﹣4异号，由上可知y1＞y2， 故D正确； 故选：D． 【点评】本题考查了抛物线的图象与性质，解题关键是掌握当图象开口向上时，离对称轴越近的点的纵坐标越小，当开口向下时，离对称轴越近的点的纵坐标越大． 2．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【分析】由题意可知对称轴为y轴，则函数为y＝ax2+c，利用待定系数法求得yx2+c，由当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出pm2+c，q（m+1）2+c，进一步求得p﹣qm2（m+1）2m，得到p﹣q无最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）， ∴对称轴为直线x0， ∴0， ∴b＝0． ∴y＝ax2+c． 把点A、B的坐标代入得， 解得a， ∴yx2+c， ∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q， ∴pm2+c，q（m+1）2+c， ∴p﹣qm2（m+1）2m， ∵0≤m， ∴p﹣q无最大值． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为y轴是解题的关键． 3．（2025•诸暨市三模）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【解答】解：∵y＝x2，a＝1＞0，对称轴为y轴， ∴在y轴左侧，y随x的增大而减小，在y轴右侧，y随x的增大而增大，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大； A、x1＞x2，y1不一定大于y2， 例如x1＝1时，y1＝1，x2＝﹣2时，y2＝4，此时x1＞x2， 但是y1＜y2；故选项A错误，不符合题意； B、x1＜x2，y1不一定小于y2， 例如x1＝﹣2时y1＝4，x2＝1时，y2＝1，此时x1＜x2， 但是y1＞y2；故选项B错误，不符合题意； C、当x1x2＞（x2）2，即：x1x2＞x2x2＞0， ∴x1＜x2＜0或x1＞x2＞0， 当x1＜x2＜0时，y1＞y2， 当x1＞x2＞0时，y1＞y2， ..当x1x2＞（x2）2时，y1＞y2， 故选项C正确，符合题意； D、∵x1x2＜（x2）2， ∴x2（x1﹣x2）＜0， 若x2＜0，则x1﹣x2＞0， ∵y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）中，x1+x2＞0或x1+x2＜0， ∴y1不一定小于y2； 若x2＞0，则x1﹣x2＜0， ∵y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2）中，x1+x2＞0或x1+x2＜0， ∴y1不一定小于y2； 故选项D错误，不符合题意； 故选C． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键，本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断． 4．（2025•浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　） A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3 【分析】先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为n＜1，1≤n≤3和n＞3三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y的值随着x的值增大而减小；当x＞1时，y的值随着x的值增大而增大； ①当n＜1时，当﹣1≤x≤n时，y随的x增大而减小， 那么x＝﹣1时取得最大值，x＝n时取得最小值， 最大值为﹣1，最小值为（n﹣1）2﹣1， 则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2， 解得n＝3或n＝﹣1， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去； ②当1≤n≤3时， 此时 x＝1时取得最小值，x＝﹣1时取得最大值， 最大值为3，最小值为﹣1， 此时最大值与最小值的和为2， 符合题意； ③当n＞3时， 此时x＝1时取得最小值，x＝n时取得最大值， 最小值为﹣1，最大值为（n﹣1）2﹣1， 则可列出方程：（n﹣1）2﹣1﹣1＝2， 解得n＝3或n＝﹣1， 但是这与假设矛盾，所以这种情况不符合题意，舍去． ∴综上，得到n的取值范围为：1≤n≤3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．（2025•温州模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（1，4），C（4，4），D（4，1），二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】根据题意得出二次函数开口向上，对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，0），根据二次函数经过C（4，4）时，m最大，求解即可． 【解答】解：二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2＝（x﹣m）2， 故二次函数开口向上，对称轴为直线x＝m，顶点坐标为（m，0）， 若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点， 则当二次函数经过C（4，4）时，m最大， 代入得4＝（4﹣m）2， 解得：m＝2（舍去）或m＝6， 故选：C． 【点评】该题考查了二次函数的图象和性质，掌握其性质是解题的关键． 6．（2025•浙江模拟）已知抛物线y＝﹣x2+5mx﹣3（m＞0）经过A（2m，y1）和B（m+1，y2）两点，若﹣3＜y2＜y1，则m的取值范围是 　 ． 【分析】根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为直线，当x＝0时，此时y＝﹣3，根据抛物线的对称性得出：当x＝0或x＝5m时，抛物线的函数值均为﹣3；点A在抛物线上关于对称轴对称的点A′的横坐标为3m；根据题意，可得点B一定在点A下方，结合题意分情况讨论：点B在点A左侧或点B在点A′右侧，结合图象，列出不等式组，即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当x＝0时，此时y＝﹣3， 根据抛物线的对称性可得时，此时y＝﹣3， 即当x＝0或x＝5m时，抛物线的函数值均为﹣3； ∵， ∴点A在抛物线上关于对称轴对称的点A′的横坐标为； ∵﹣3＜y2＜y1，m＞0， ∴点B一定在点A下方， 分情况讨论： 如图①，若点B在点A左侧，此时，解得m＞1； 如图②，若点B在点A′右侧，此时，解得； 综上所述，m的取值范围是或m＞1． 故答案为：或m＞1． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 7．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若t＝1，抛物线与x轴只有一个交点． ①求证：a＝c； ②抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，直线AB的表达式为y2＝kx+b．求在0＜x＜1范围内，x等于多少时，y1﹣y2取得最大值？ （2）点P（x1，y1）Q（x2，y2）在该抛物线上，t+1＜x1＜t+2，1﹣t＜x2＜3﹣t．若y1＞y2，求t的取值范围． 【分析】（1）①把t＝1代入得：，根据根的判别式得出Δ＝（﹣2a）2﹣4ac＝0，即可得出答案； ②先求出顶点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，a），求出直线AB的解析式为：y2＝﹣ax+a，得出，根据二次函数的最值，求出结果即可； （2）先求出对称轴为直线，根据t＜t+1＜x1＜t+2，得出点P一定在对称轴的右侧，根据二次函数性质得出当x＝t+1时，y1取最大值，当x＝t+2，y1取最小值，分两种情况：当点Q在对称轴右侧时，当点Q在对称轴左侧时，分别列出不等式组，解不等式组即可． 【解答】解：（1）①把t＝1代入得：， 把y1＝0代入得：ax2﹣2ax+c＝0， 由题意可得：Δ＝（﹣2a）2﹣4ac＝0， ∴4a（a﹣c）＝0， ∵a＜0， ∴a﹣c＝0， ∴a＝c； ②∵a＝c， ∴， ∴顶点A的坐标为（1，0）， 把x＝0代入得：y1＝a， ∴点B的坐标为（0，a）， 由题意可得： ， 解得：， ∴直线AB的解析式为：y2＝﹣ax+a， ∴ ＝ax2﹣2ax+a+ax﹣a ＝ax2﹣ax， ， ∵a＜0， ∴当时，y1﹣y2取最大值； （2）y＝ax2﹣2tax+c的对称轴为：直线， ∵t＜t+1＜x1＜t+2， ∴点P一定在对称轴的右侧， ∵a＜0， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，在对称轴的左侧y随x的增大而增大， ∴当x＝t+1时，y1取最大值，当x＝t+2，y1取最小值， 当点Q在对称轴右侧时，要使y1＞y2则， 解得：t； 当点Q在对称轴左侧时， 当x1＝t+2时，点P关于直线x＝t对称点的横坐标为：2t﹣t﹣2＝t﹣2， 要使y1＞y2则， 解得：； 所以有： t或时，y1＞y2． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 8．（2025•缙云县二模）定义：平面直角坐标系xOy中，若点P（m，n），点Q（km+1，﹣kn﹣1），其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级摆动点”．例如，点（1，2）的“2级摆动点”是点（2×1+1，﹣2×2﹣1），即点（3，﹣5）． （1）点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上？请说明理由； （2）若函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”，求k的值； （3）若关于x的二次函数y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3的图象上恰有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），这两个点的“1级摆动点”都在直线y＝x+1上，并且同时满足：（b﹣1）2＝8c，求证：． 【分析】（1）求出点（2，3）的3级摆动点是（7，﹣10），进一步得出结果； （2）表示出点（2，5）的“k级摆动点”为（2k+1，﹣5k﹣1），将其代入函数的解析式，进一步得出结果； （3）根据点A（x1，y1）的“1级摆动点”为（x1+1，﹣y1﹣1）在直线y＝x+1上时得出y1＝﹣x1﹣3，根据题意得出﹣x﹣3＝x2+（b﹣1）x3有两个不等的实数根，整理后根据一元二方程根的判别式大于0，进而得出结论． 【解答】（1）解：点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上，理由如下： 当m＝2，n＝3，k＝3时， km+1＝2×3+1＝7，﹣kn﹣1＝﹣3×3﹣1＝﹣10， ∴点（2，3）的3级摆动点是（7，﹣10）， 当x＝7时，y＝﹣2×7+4＝﹣10， ∴点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上； （2）解：点（2，5）的“k级摆动点”为（2k+1，﹣5k﹣1）， ∵函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”， ∴﹣5k﹣1， ∴k或k＝0（舍去）， ∴k； （3）证明：点A（x1，y1）的“1级摆动点”为（x1+1，﹣y1﹣1）在直线y＝x+1上时， ∴﹣y1﹣1＝（x1+1）+1， ∴y1＝﹣x1﹣3， ∵（b﹣1）2＝8c， ∴2c， ∴y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3＝x2+（b﹣1）x， 由题意得， ﹣x﹣3＝x2+（b﹣1）x3有两个不等的实数根， 即：x2+bx0有两个不等的实数根， ∴Δ＞0， ∴， ∴b． 【点评】本题在新定义的基础上，考查了有关一次函数和反比例函数的求值问题，一元二次方程和二次函数之间的关系等知识，解决问题的关键是正确理解题意． 9．（2025•滨江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）、B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为第二象限抛物线上一点，连接CD、BD，BD交OC于点W，设点D的横坐标为t，△WDC的面积为S，求S与t之间的函数解析式； （3）在（2）的条件下，DH⊥x轴于点H，点E为OH上一点，连接ED并延长至点F，使得FD＝DE，连接BF、HF，延长BD交FH于点G，连接CG，若，∠FBA＝2∠FHD，求直线CG的解析式． 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过D作DK⊥AO于点K，证明△BOW∽△BKD，得出，求出OW＝t+5，根据，即可得出答案； （3）根据，求出t＝﹣4，过点F作FM⊥x轴于点M，延长HM至点N，使MN＝MH，连接FN，则FN＝FH．证明△EHD∽△EMF，得出，设MN＝MH＝HE＝m，得出BF＝BN＝6+2m，BM＝6+m，根据勾股定理得出62+（6+m）2＝（6+2m）2，解得m＝2或m＝﹣6（舍去），求出线FH的解析式为y＝﹣3x﹣12，线BD的解析式为．最后待定系数法求出直线CG的解析式为即可． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得， ∴． （2）由题意，得． 过D作DK⊥AO于点K， ， 则∠DKB＝90°，OK＝﹣t，， ∵∠COB＝∠DKB＝90°， ∴OW∥DK， ∴△BOW∽△BKD， ∴， ∴， ∴OW＝t+5， 对于，当x＝0时，y＝5， ∴C（0，5）， ∴OC＝5， ∴CW＝5﹣（t+5）＝﹣t， ∵， ∴S与t之间的函数解析式：． （3）∵DH⊥AB， ∴， ∵， ∴， ∴t＝﹣4， ∴D（﹣4，3），DH＝3，OH＝4， 过点F作FM⊥x轴于点M，延长HM至点N，使MN＝MH，连接FN，则FN＝FH． ∴∠FNH＝∠FHN，设∠FHD＝α， 则∠FHM＝90°﹣α，∠FBA＝2∠FHD＝2α， ∴∠FNH＝∠FHN＝90°﹣α， ∴∠BFN＝180°﹣∠FNB﹣∠FBN＝90°﹣α＝∠FNB， ∴FB＝BN， ∵∠DEH＝∠FEM，∠DHB＝∠FMB＝90°， ∴△EHD∽△EMF， ∴， ∵ED＝DF， ∴， ∴FM＝2DH＝6，ME＝2HE， ∴MH＝HE， 设MN＝MH＝HE＝m， ∴BM＝6+m，BF＝BN＝6+2m， ∵FM2+BM2＝BF2， ∴62+（6+m）2＝（6+2m）2， 解得m＝2或m＝﹣6（舍去）， ∴OM＝6， ∴F（﹣6，6）， 设直线FH的解析式为y＝kx+b，把F（﹣6，6），H（﹣4，0）代入得： ， 解得：， ∴直线FH的解析式为y＝﹣3x﹣12， ∵B（2，0），D（﹣4，3）， ∴同理可得：直线BD的解析式为． 联立， 解得， ∴． 设直线CG的解析式为y＝a1x+b1（a1≠0）． 把代入得： ， 解得， ∴直线CG的解析式为． 【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 1．（2025•温岭市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，直接把A（1，2）代入y＝x2+bx+c整理得b+c＝1； ②依据题意，把 （2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b，可得p＝b+5，则pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣（b+2）2+9≤9．即可作答； （2）依据题意，先得出抛物线y＝x2+bx+c上的开口向上，因为对于任何的，（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立，所以得点B为抛物线的顶点，对称轴为直线x＝2，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【解答】解：（1）①由题意，把A（1，2）代入y＝x2+bx+c， ∴1+b+c＝2． ∴b+c＝1． ②由（1）得：b+c＝1， ∴c＝1﹣b． 把（2，p）代入y＝x2+bx+1﹣b， ∴p＝4+2b+1﹣b＝b+5． ∴pc＝（b+5）（1﹣b）＝﹣b2﹣4b+5＝﹣（b+2）2+9≤9． ∴pc的最大值为9． （2）∵抛物线为y＝x2+bx+c， ∴抛物线开口向上． ∵对于任何的实数t都有（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立， ∴点B（2，p）必为抛物线的最低点，即点B为抛物线的顶点． ∴对称轴为直线x＝2，当x＜2时，y随着x的增大而减小，当x＞2时，y随着x的增大而增大． ∵y1≥y2，点C（t，y1）AD（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点， ∴， ∴t≤1． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【分析】（1）描点，连线得到相关图形；猜测v是t的一次函数，y是t的二次函数，用待定系数法设出函数解析式后，把表格中的点代入可得所求的函数解析式，任意再选其他数值代入，可得所求的函数解析式符合题意； （2）①由图2判断出t的取值范围，进而根据y与t的函数解析式，判断出y的最大值； ②假设两球能相遇，白球的运动路程也符合（1）得到的函数解析式，进而根据两球在AB上的运动路程的和为118列出方程即可求得相应的时间，代入（1）中得到的函数解析式可得相遇点P到A点的距离． 【解答】解：（1）描点，连线． 由图象猜测v是t的一次函数． 设v＝kt+b（k≠0）． ∵经过点（0，12），（2，10）， ∴． 解得：． ∴v＝﹣t+12； 猜测y是t的二次函数． 设y＝at2+bt（a≠0）． ∵经过点（2，22），（4，40）， ∴． 解得：． ∴yt2+12t． ∵把其他的点代入上述两个函数解析式也适合， ∴v＝﹣t+12，yt2+12t； （2）①由图2得：∵v≥0， ∴0≤t≤12． ∵yt2+12t， ∴二次函数开口向下，t12时，y有最大值． ∴y最大122+12×12＝72． 答：黑球在水平木板AB上滚动的最大距离为72cm； ②设黑球运动t秒时，两球相遇． t2+12t+[（t﹣2）2+12（t﹣2）]＝118． 整理得：t2﹣26t+144＝0． 解得：t1＝8，t2＝18（不合题意，舍去）． 当t＝8时，y82+12×8＝64． 答：两球会在水平木板AB的某个位置相遇，相遇点P到A点的距离为64cm． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解白球在木板上的滑行距离与时间t的关系与黑球在木板上的滑行距离与时间t的关系相同是解决本题的难点；易错点是根据黑球在木板上的滑行时间为t秒判断白球在木板上的滑行时间为（t﹣2）秒． 3．（2024•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N． （1）求抛物线表达式； （2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形． ①求点E的坐标； ②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值． 【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求得解析式； （2）①由Q坐标求出BQ解析式，然后根据四边形ANEM是平行四边形和△BME≌△AOM得出BM＝OA＝4，再分类讨论求得M和E的坐标； ②求出AM解析式，交点为P，再求出H坐标，然后由两点间距离公式求出BP和BH长度，因为旋转不改变长度，所以BP1长度不变，当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，所以此时OH1等于BO﹣BH，然后代入计算即可． 【解答】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴OA＝4， 设直线BQ的解析式为y＝kx+b1， ∵B（﹣6，0），， ∴， 解得， ∴直线BQ的解析式为， ∵N为BQ与y轴交点， ∴N（0，2）， ∴AN＝2， ∵四边形ANEM是平行四边形， ∴AN∥EM且EM＝AN＝2，且点E在点M下方， ∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM， ∴BM＝OA＝4， ∵B（﹣6，0）， ∴M（﹣2，0）或（﹣10，0）， 若M为（﹣2，0）， ∵∠BME＝∠AOM＝90°， 故E（﹣2，﹣2）， 若M为（﹣10，0）， ∵OM＝ME＝2，此时OM＝10，（矛盾，舍去）， 综上，点E的坐标为（﹣2，﹣2）； ②如图，设AM的解析式为y＝kx+b， ∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A， ∴点A的坐标为（0，4）， 将点A（0，4）、M（﹣2，0）的坐标代入y＝kx+b得： ， 解得， ∴AM的解析式为y＝2x+4， AM与BQ相交于点P， ∴， 解得， 所以点P的坐标为， 设直线BE的解析式为y＝mx+n， 将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得： ， 解得， 所以直线BE的解析式为， BE与AM相交于点H， ∴， 解得， ∴点H的坐标为， ∴BP， BH， ∴， 当H旋转到x轴上时，此时OH1最短， ∴OH1＝BO﹣BH， ∴； 方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形 则等腰Rt△BH1P1， 取F（0，6），则等腰Rt△BOF，△BH1O与△BP1F相似， ∴， ∴BP1+FP1≥BF， 即1≥6， 故的最小值． 【点评】本题考查了抛物线的综合运用，利用待定系数法求函数的解析式，找出相关点坐标，逐步分析求解是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 专题03 二次函数图象与性质相关12大考点专项复习 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：二次函数的图象 易｜混｜易｜错 1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 开口：当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下； 对称轴：直线；顶点坐标：； 1．（2025•浙江模拟）一次函数y＝ax﹣b和二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•建德市校级模拟）在同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝bx2+a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．（2024•南漳县一模）已知二次函数y＝x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图象经过点（1，0）；命题②：该函数的图象经过点（3，0）；命题③：该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图象的对称轴为直线x＝1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（　　） A．命题① B．命题② C．命题③ D．命题④ 考点二：二次函数的性质 易｜混｜易｜错 1）二次函数的性质，也就是它的增减性，总括起来就两句话： 当a＞0时，抛物线有最低点，y有最小值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越小； 当a＜0时，抛物线有最高点，y有最大值，抛物线上的各点，谁离对称轴越近，谁的y越大； 2）抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 1．（2025•柯城区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的顶点坐标为（﹣2，﹣1），下列说法正确的是（　　） A． B．当x＝﹣2时，二次函数有最小值为3 C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．当﹣3＜x＜﹣1时，y＜0 2．（2025•西湖区校级三模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则这个二次函数图象的对称轴是直线（　　） x …… ﹣4 ﹣2 0 3 5 …… y …… ﹣m2﹣21 ﹣m2﹣5 0 ﹣m2 ﹣m2﹣12 …… A．x＝﹣1 B．x＝0 C． D．x＝1 3．（2025•鄞州区校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2x，当﹣1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．﹣1＜a≤1 C．a＞0 D．﹣1＜a＜2 4．（2025•萧山区二模）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣t）（a≠0），且A（0，m），B（2，n）为其图象上两点，则下列说法正确的是（　　） A．若a＜0，t＜4，则m＞n B．若a＜0，t＜4，则m＜n C．若a＞0，t＞4，则m＞n D．若a＞0，t＞4，则m＜n 5．（2025•丽水一模）已知二次函数y＝a（x﹣m+1）（x﹣m﹣3）+k（a，m，k为常数，a≠0），若该函数过点（m，s）和点（m+4，t），则实数k，s，t的大小关系可能是（　　） A．a＞0时s＜k＜t，a＜0时s＞k＞t B．a＞0时t＜k＜s，a＜0时t＞k＞s C．a＞0时k＜s＜t，a＜0时k＞s＞t D．a＞0时s＜t＜k，a＜0时s＞t＞k 6．（2025•西湖区校级三模）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1＜y2，（　　） A．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＜0 B．若x1＜x2，则x1+x2﹣2＞0 C．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＞0 D．若x1＞x2，则a（x1+x2﹣2）＜0 7．（2025•定海区二模）对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　） A．﹣3＜n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或 C．n≤﹣1或 D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1 8．（2025•衢州三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＞n时，x的取值范围是m﹣4＜x＜2﹣m，且该二次函数的图象经过点P（2，t2+5），Q（s，4t）两点，则s的值可能是（　　） A．3 B．2 C．0 D．1 9．（2025•宁波模拟）关于x的函数，当m＜x＜1时，y2＜y1．若y3＜y1，则（　　） A．﹣m+2＜x＜1 B．m+2＜x＜1 C．1＜x＜﹣m+2 D．1＜x＜m+2 10．（2025•浙江二模）在平面直角坐标系中，点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（m，y3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．设抛物线的对称轴为直线x＝h．若当h+1＜m＜h+2时，都有y1＞y3＞y2．则h的取值范围为（　　） A．1≤h≤2 B．2≤h≤3 C．1≤h≤3 D．h＜2或h＞3 11．（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 ． 考点三：二次函数的图象与系数的关系 易｜混｜易｜错 1） 2）二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 1．（2025•宁波一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴没有交点，且a+b≠0，则（　　） A．a（a+2b+4c）＞0 B．a（a+2b+4c）＜0 C．a+2b+4c＞0 D．a+2b+4c＜0 2．（2025•鄞州区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点的横坐标为2，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）均在该函数的图象上，则下列说法正确的是（　　） A．b＝4a B．若x1＞x2＞2，则y1＞y2 C．当m≠2时，am2+bm＜4a+2b D．若函数图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣1，则当x＜﹣1或x＞5时，y＞0 3．（2025•西湖区校级三模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），开口向上，过A（1，0），B（m，0）两点，且﹣2＜m＜﹣1．下列四个结论中正确的结论有（　　） ①b＞0； ②若时，则6a+5c＝0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上x1＜x2，且x1+x2＜﹣1，则y1＞y2； ④a≥1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1必有两个不相等的实数根． A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①④ 4．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 5．（2025•杭州二模）已知二次函数y＝ax2+（a+2）x﹣2a﹣2（a为常数且a≠0）． （1）当函数图象经过点（0，﹣6）时，求函数的表达式并写出函数图象的顶点坐标； （2）求证：当时，函数图象与x轴必有两个不同的交点； （3）若函数图象经过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中x1+x2＝3，且当x1＜x2时，总有y1＞y2，求a的取值范围． 考点四：二次函数的图象上点的坐标特征 易｜混｜易｜错 1）谨记一点“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，所以当有条件给出一个点在抛物线上，常需将该点的坐标带入对应解析式； 2）二次函数图象上点的坐标特征和图象对称轴、图象性质经常结合考察，做题时先画简图，就图思考。 1．（2025•浙江模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象经过四个点（﹣1，0），（0，y1），（1，y2），（2，y3）．若y2＜y1＜y3，则y2的取值范围为（　　） A．﹣4＜y2＜﹣2 B．﹣2＜y2＜0 C．0＜y2＜2 D．2＜y2＜4 2．（2024•西湖区校级二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过（t﹣1，﹣3），（t+1，﹣3）两点，若﹣6≤y≤﹣2时，总有p≤x≤q，则q﹣p的取值范围是（　　） A．1≤q﹣p≤3 B．2≤q﹣p≤3 C．2≤q﹣p≤4 D．1≤q﹣p≤4 3．（2025•柯桥区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点M（﹣2，m），N（4，n），若m＜n，则下列可能成立的是（　　） A．当a＞0时，a+b＝0 B．当a＞0时，2a+b＝0 C．当a＜0时，a+b＝0 D．当a＜0时，2a﹣b＝0 4．（2025•钱塘区一模）已知二次函数y＝mx2+2（m+1）x+3的图象上有四个点：A（a，p），B（b，p），C（c，q），D（d，q），其中p＜q，下列结论一定不正确的是（　　） A．若m＞1，则a+b+c+d＜0 B．若m＞1，则d＜a＜b＜c C．若m＜﹣1，则a+b+c+d＜0 D．若m＜﹣1，则c＜b＜a＜d 考点五：二次函数的几何变换 易｜混｜易｜错 1）二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是： ①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。 2）二次函数一般式往顶点式转化，可以用顶点公式转化，也可以用配方法； 1．（2025•金东区二模）将二次函数y＝﹣x2的图象先向下平移2个单位，再向右平移2个单位所得新函数表达式为（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2+2 B．y＝﹣（x+2）2﹣2 C．y＝﹣（x+2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣2 2．（2025•浙江模拟）已知抛物线C：y＝x2+4x﹣10，将抛物线C平移得到抛物线C′，若两条抛物线关于直线x＝1对称，则平移的方法是（　　） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 3．（2025•浙江模拟）将二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数表达式为y＝ax2，则m，k的值分别是（　　） A．2，3 B．﹣2，3 C．2，﹣3 D．﹣2，﹣3 4．（2025•临平区校级三模）二次函数y＝（x+1）2+（x+2）2与y＝（x+a）2+（x+b）2的图象关于y轴对称，则（a﹣1）2+（b﹣1）2的值为（　　） A．0 B．1 C．10 D．13 5．（2025•杭州二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上． （1）直接写出这个二次函数的解析式； （2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，求n的值； （3）将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y＝a（x﹣h）2+k，当x＜2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围． 考点六：二次函数的最值 易｜混｜易｜错 1）对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）：其最值为顶点纵坐标：； 当a＞0时，y有最小值，当a＜0时，y有最大值； 2）当区间范围内求函数最值时，多需要分类讨论； 1．（2025•余姚市一模）二次函数y＝x2+2x﹣3的最小值为（　　） A．2 B．3 C．﹣3 D．﹣4 2．（2025•鄞州区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝10cm，BC＝20cm动点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动；动点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当t＝3时，△BPQ的面积为21cm2； ②t有两个不同的值，都使△BPQ的面积为16cm2； ③△BPQ面积的最大值为50cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025•衢州一模）当n≤x≤n+1时，若二次函数y＝x2﹣4x+3的最大值为2，则n的值为　 ． 4．（2025•宁波模拟）二次函数y＝a（x+1）（x﹣3）的图象经过点（0，﹣3）． （1）求a的值． （2）当﹣2≤x≤m时，该函数的最大值减去最小值的差为d1，当﹣2≤x≤m+1时，该函数的最大值减去最小值的差为d2． ①若d1＝9，求m的取值范围； ②是否存在d1＞d2？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 考点七：待定系数法求二次函数解析式 易｜混｜易｜错 1）二次函数的三种表达式及其应用范围： 名称 通式 适用范围 一般式 y＝ax2+bx+c（a≠0） 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时，常用一般式求其表达式 顶点式 y＝a（x-m）2+h（a≠0） 当已知抛物线的顶点坐标（或者是对称轴）时，常用顶点式求其表达式 交点式 y＝a（x-x1）(x-x2)（a≠0） 其中，（x1，0）(x2，0)是抛物线与x轴的两个交点坐标，故知道抛物线与x轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式 相互联系 二次函数表达式间的转化，一般式往顶点式转化，常用配方法进行； 1．（2025•温州模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣1≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，求m﹣n． 2．（2025•宁海县二模）已知二次函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 4 t n … （1）当m＝1，n＝4时，求二次函数的表达式． （2）当t＝4时， ①求a、b之间的数量关系． ②在自变量﹣3≤x≤2范围内，y的最大值为9，求a的值． 3．（2025•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，ab≠0）的图象经过（1，0）． （1）若二次函数图象经过A（﹣1，4），B（0，﹣1），求该二次函数解析式； （2）若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：a＝c； （3）若二次函数图象的对称轴为直线，当b≥c时，求a2+b2+c2的最小值． 考点八：抛物线与x轴的交点问题 易｜混｜易｜错 1）求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程， 而且①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2）求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别； 1．（2025•浙江模拟）已知x1、x2是二次方程x2+bx+c＝0两个不同的根．若0＜x1＜1，0＜x2＜1，则（　　） A．c和1+b+c都小于 B．c和1+b+c至少一个小于 C．c和1+b+c都大于 D．c和1+b+c至少一个大于 2．（2025•鄞州区校级模拟）设二次函数y1＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1≠x2）的图象与一次函数y2＝6x+2的图象交于点（x1，0），若函数y＝y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则|x1﹣x2|的值是（　　） A．6 B．8 C． D．7 3．（2025•余姚市一模）已知抛物线y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）（a＜b），将该抛物线平移，若平移后的图象与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），下列说法正确的是（　　） A．若向左平移，则a+b＝m+n B．若向右平移，则b﹣a＜n﹣m C．若向上平移，则a+b＞m+n D．若向下平移，则a+b＝m+n 4．（2025•余姚市三模）已知二次函数y＝x2+x﹣2025与x轴的交点的横坐标为m，n，则的值为　 ． 5．（2025•西湖区二模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2）（m是常数）． （1）当m＝5时，求该函数图象与x轴的交点坐标． （2）若点A（n，y1），B（m+1，y2），C（x0，3）都在该函数图象上，点A不与点B，C重合． ①比较y1，y2的大小． ②若x0＝﹣1，y1＞3，直接写出n的取值范围． 考点九：二次函数与不等式 易｜混｜易｜错 1）当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2）由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳： ①根据图象找出交点横坐标， ②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围； 1．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 2．（2025•舟山三模）已知二次函数y＝x2+bx+2（b为常数）的对称轴是直线x＝2． （1）求二次函数的表达式； （2）当1≤x≤4时，求y的取值范围； （3）若点A（t﹣k，y1），B（t，y2），C（t+k，y3）（k≠0）均在该函数的图象上，求证：y1+y3＞2y2． 3．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 考点十：二次函数的新定义问题 易｜混｜易｜错 1）二次函数的新定义问题，审题很重要，先要读懂题，解决第一问，然后联系二次函数中的同类考点，综合应用； 1．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标之和为零的点称为“和美点”，下列函数的图象中不存在“和美点”的是（　　） A．y＝﹣2x﹣1 B．y＝x+2 C． D．y＝x2﹣2 2．（2024•浙江一模）对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为“阴阳函数”．例如：一次函数y＝x+2，它的“阴阳函数”为y，若点P（m，2）在二次函数y＝x2+2x﹣3的“阴阳函数”的图象上时，则m的值为（　　） A．﹣1或﹣1 B． C．或 D． 3．（2025•嘉兴模拟）定义：抛物线y＝a（x﹣m）2+k（a，m，k为常数，a＞0）中存在一点P（x0，y0）使得，则称y0﹣k为该抛物线的“相对深度”．根据上述定义解答问题：已知抛物线y＝ax2+2ax+1（a＞0）的“相对深度”为4，则a的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 4．（2025•龙港市二模）新定义：我们把抛物线y＝﹣ax2﹣bx+c，（其中a≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c称为“孪生抛物线”．例如：抛物线y＝﹣x2﹣5x+3的“孪生抛物线”为y＝x2+5x+3．已知抛物线（a为常数，且a＜0）的“孪生抛物线”为C2.抛物线C2的顶点为A，与x轴交于B，C两点，若△ABC为直角三角形，则抛物线C1的表达式为 　 ． 5．（2024•湖州一模）定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2（x1＜x2）范围内的最大值，记作M[x1，x2]． 如函数y＝2x，在﹣1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[﹣1，3]＝6． 请根据以上信息，完成以下问题： 已知函数y＝（a﹣1）x2﹣4x+a2﹣1（a为常数）． （1）若a＝2． ①直接写出该函数的表达式，并求M[1，4]的值； ②已知，求p的值． （2）若该函数的图象经过点（0，0），且M[﹣3，k]＝k，求k的值． 考点十一：二次函数的应用 易｜混｜易｜错 1）利用二次函数的性质求解最值多出现在销售问题中，利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2）利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 3）利用二次函数解决抛物线形问题 解决此类问题一般步骤： ①合理建立直角坐标系，把已知数据转化为点的坐标； ②根据题意，把所求问题转化为求最值或已知x的范围就y的值的问题。 1．（2025•临平区校级二模）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． （1）当0≤x≤200时，求v关于x的函数解析式． （2）当车流密度x为多少时，车流量w＝x•v（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）达到最大？并求出最大值．（结果精确到整数） 2．（2025•浙江模拟）根据以下素材，探索完成任务． 乒乓球发球机的运动路线 素材一 如图1，某乒乓球台面是矩形，长为280cm，宽为150cm，球网高度为14cm．乒乓球发球机的出球口在桌面中线端点O正上方25cm的点P处． 素材二 假设每次发出的乒乓球都落在中线上，球的运动的高度y（cm）关于运动的水平距离x（cm）的函数图象是一条抛物线，且这条抛物线在与点P水平距离为100cm的点Q处达到最高高度，此时距桌面的高度为45cm，乒乓球落在桌面的点M处．以O为原点，桌面中线所在直线为x轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 素材三 如图3，若乒乓球落在桌面上弹起后，在与点O的水平距离为300cm的点R处达到最高，设弹后球达到最高时距离桌面的高度为h（cm）． 问题解决 任务一 研究乒乓球的飞行轨迹 （1）求出从发球机发球后到落在桌面前，乒乓球运动轨迹的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）． 任务二 击球点的确定 （2）当h＝20时，运动员小亮想在点R处把球沿直线擦网击打到点O，他能不能实现？请说明理由． 任务三 击球点的距离 （3）若h＝40，且弹起后球飞行的高度在离桌面30cm至50cm时，小亮可以获得最佳击球效果，求击球点与发球机水平距离x的取值范围． 3．（2025•温州模拟）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在O处开始减速，此时白球在黑球前面20cm处保持2cm/s的速度匀速运动．小聪测量黑球减速后运动距离y（单位：cm）随运动时间t（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间t/s 0 1 2 3 4 … 运动距离y/cm 0 7.5 14 19.5 24 … 探究发现，y与t之间的数量关系可以用二次函数来描述． （1）求y关于t的函数关系式． （2）当t＝5时，求两球之间的距离． （3）黑球能否追上白球？若能，求出追上时t的值；若不能，求出它们之间的最短距离． 4．（2025•浙江模拟）综合与实践： 背景：当前排球渐渐走入初中生的学习和生活中，排球运动不仅能提升身体素质，还能促进心理健康，对青少年的身心发展有着诸多益处． 排球的购买与售卖 素材1：为了能让学生日常锻炼“排球垫球”体育运动，某中学打算购进一批排球，计划购买甲品牌的排球35个，乙品牌的排球50个，共花费3550元．已知购买一个甲品牌的排球比购买一个乙品牌的排球少花20元． 素材2：某商店售卖丙品牌排球，进价为每个20元，当前售价为每个36元，每周可售出50个．经市场调查发现，售价每降低3元，每周可多售出15个． 任务1：求购买一个甲品牌、一个乙品牌的排球各需多少元？ 任务2：求当一个丙品牌的排球售价为多少元时有最大利润？最大利润是多少？ 考点十二：二次函数与几何的综合 1．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 ； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 ． 2．（2025•杭州模拟）如图，二次函数y＝（x﹣2）2+m的图象交y轴于点C，点B与点C关于该二次函数图象的对称轴对称．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B． （1）求二次函数与一次函数的解析式． （2）点P是该抛物线上一动点，点P从A点沿抛物线向B点运动（点P不与A、B重合），过点P作PD∥y轴，PD交直线AB于点D．请求出点P在运动的过程中，线段PD的长度的最大值以及此时点P的坐标； （3）抛物线上是否存在点Q，使S△ABQ＝15，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025•鄞州区校级模拟）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（2，0），与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求二次函数的解析式； （2）如图2，过点C作CD∥x轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连结PB、PC，若S△PBC＝S△BCD，求点P的坐标； （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连结OP交BC于点Q．是否存在点P使的值最大．若存在请求出的最大值；若不存在请说明理由． 4．（2025•杭州校级模拟）抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且AB＝14． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点P在第二象限抛物线上，连接AP并延长交y轴于点E，过点P作y轴的平行线交AO于点H，设点P的横坐标为m，点E的纵坐标为d，求d与m的函数关系式； （3）如图3，在（2）的条件下，在OB上取点F，使得BF＝AH，在CO的延长线上取点Q，使得OQ﹣OH＝OA，连接FE、FQ，当∠QFO＝2∠AEO时，求点P的坐标． 1．（2025•西湖区校级一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　） A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2 2．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 3．（2025•诸暨市三模）已知点（x1，y1），（x2，y2）为二次函数y＝x2图象上的两点（不为顶点），则以下判断正确的是（　　） A．若x1＞x2，则y1＞y2 B．若x1＜x2，则y1＜y2 C．若，则y1＞y2 D．若，则y1＜y2 4．（2025•浙江二模）已知二次函数y＝x2﹣2x，当﹣1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则n的取值范围是（　　） A．﹣1≤n≤1 B．﹣1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥3 5．（2025•温州模拟）在平面直角坐标系中，已知A（1，1），B（1，4），C（4，4），D（4，1），二次函数表达式为y＝x2﹣2mx+m2，若该函数的图象与四边形ABCD的边有交点，则m的最大值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2025•浙江模拟）已知抛物线y＝﹣x2+5mx﹣3（m＞0）经过A（2m，y1）和B（m+1，y2）两点，若﹣3＜y2＜y1，则m的取值范围是 　 ． 7．（2025•浙江模拟）在平面直角坐标系中，抛物线． （1）若t＝1，抛物线与x轴只有一个交点． ①求证：a＝c； ②抛物线的顶点为A，与y轴相交于点B，直线AB的表达式为y2＝kx+b．求在0＜x＜1范围内，x等于多少时，y1﹣y2取得最大值？ （2）点P（x1，y1）Q（x2，y2）在该抛物线上，t+1＜x1＜t+2，1﹣t＜x2＜3﹣t．若y1＞y2，求t的取值范围． 8．（2025•缙云县二模）定义：平面直角坐标系xOy中，若点P（m，n），点Q（km+1，﹣kn﹣1），其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级摆动点”．例如，点（1，2）的“2级摆动点”是点（2×1+1，﹣2×2﹣1），即点（3，﹣5）． （1）点（2，3）的3级摆动点是否在一次函数y＝﹣2x+4的图象上？请说明理由； （2）若函数的图象上存在点（2，5）的“k级摆动点”，求k的值； （3）若关于x的二次函数y＝x2+（b﹣1）x+2c﹣3的图象上恰有两个点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），这两个点的“1级摆动点”都在直线y＝x+1上，并且同时满足：（b﹣1）2＝8c，求证：． 9．（2025•滨江区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）、B（2，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点D为第二象限抛物线上一点，连接CD、BD，BD交OC于点W，设点D的横坐标为t，△WDC的面积为S，求S与t之间的函数解析式； （3）在（2）的条件下，DH⊥x轴于点H，点E为OH上一点，连接ED并延长至点F，使得FD＝DE，连接BF、HF，延长BD交FH于点G，连接CG，若，∠FBA＝2∠FHD，求直线CG的解析式． 1．（2025•温岭市二模）已知抛物线y＝x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（1，2），B（2，p）． （1）①求b，c的关系式； ②求pc的最大值； （2）已知点C（t，y1），D（t+2，y2）是抛物线y＝x2+bx+c上的两点，且对于任意的实数t，不等式：（y1﹣p）（y2﹣p）≥0恒成立．若y1≥y2时，求t的取值范围． 2．（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 3．（2024•浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N． （1）求抛物线表达式； （2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形． ①求点E的坐标； ②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $