专题05 最值模型：费马点、瓜豆模型及其它模型50种题型全归纳（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题05最值模型：费马点、瓜豆模型 及其它模型50种题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值 题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度 题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值 题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值 题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值 题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值 题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值 题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值 题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值 题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值 题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用 题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算 题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值 题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值 题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值 题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值 题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值 题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值 题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值 题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值 题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性 题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值 题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值 题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值 题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值 题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值 题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值 题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值 题型四十四垂径定理+定点到直线距离 题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值 题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值 题型四十七将军饮马+胡不归组合型 题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值 题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值 题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 2．（2024安徽模拟）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 【答案】C 【分析】此题考查旋转的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，解题关键在于利用旋转的性质求解，将绕点A逆时针旋转得到，可得，易得到和均为等边三角形，推出，可得，则共线时最短；由于点E也为动点，可得当时最短，此时易求得的值． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，则， ∴和均为等边三角形，， ∴， ∴， ∴、、共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当时最短，而， ∴，， ∵和均为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴的最小值为 ． 故选C． 题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质、三角形的全等证明，勾股定理，连接、、，证可得，进而得到，勾股定理求出的长，即得最小值； 【详解】解：如图，连接、、、， ∵正方形和正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴的最小值为 故答案为：． 题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小，作交的延长线于，的延长线交的延长线于，在中由勾股定理即可解决问题． 本题考查正方形的性质、旋转变换等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线，构造全等三角形． 【详解】解：如图将绕点顺时针旋转得到，当、、、共线时，最小， 理由：，， 是等边三角形， ，， ， 当、、、共线时，最小， 作交的延长线于，的延长线交的延长线于，则四边形是矩形， 在中， ，，， ，，，， 中， ， 的最小值为， 故答案为：． 题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形中求最短距离的问题．将绕点顺时针旋转，得到，连接、，由旋转可得和均为等边三角形，，则，当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离，求点到的距离即可得出结论． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接、， 由旋转可得和均为等边三角形， ∴， ∴， 当、、、在同一直线上时，取最小值，其最小值为点到的距离， 设交于点， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 6．（2026河北模拟预测）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定；过点作于点，如图，先计算出，则，，于是利用勾股定理可计算出；把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，，根据旋转的性质得到，，，，则可判断为等边三角形，所以，由于当且仅当、、、共线时取等号，所以的最小值为，即的最小值为，过点作于点，如图，计算出，则，接着计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的最小值． 【详解】解：过点作于点，如图， ， ， ， ， ， 在中，， 把绕点顺时针旋转得到，如图，连接，， ，，，， 为等边三角形， ， ， 当且仅当、、、共线时取等号 的最小值为，即的最小值为， 过点作于点，如图， ， ， ， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据费马点的定义证明∽，得到对应边成比例解题即可； （2）连接，过点A作，于点，，根据等边三角形得到≌，即可得到，，，然后根据角平分线的判定得到，然后根据费马点的定义解题即可； （3）先根据费马点的定义得到当、、、四点共线时，此时，的值最小，且，延长交于点，则，连接，即可得到这时点是外接圆的圆心，然后根据最小值和矩形的性质求出半径即可． 本题属于圆的综合题，主要考查相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，圆的性质，掌握费马点的定义和应用是解题的关键． 【详解】（1）解：点是的费马点，， ， ， ， ∽， ， 已知，， ， 解得（负值舍去）； 证明：连接，过点A作，于点，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中，， ≌， ，，， ， 又，， ， 又， ， ， ， ， 点是的费马点； （3）解：以为边向下作等边，连接，并绕点A顺时针旋转得到，连接，，如图， 根据题目可知当、、、四点共线时，此时，的值最小，且， 延长交于点，则，连接，如图， 又， ， ， ， 点为外接圆的圆心， ，即， 的值最小为， ， 即圆的半径为． 题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 8．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①等边；②两点之间线段最短；③；④A． (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． 又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④． （2）将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，    ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为， （3）∵总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，    过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元） 故答案为： 【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键． 题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值 9．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 【答案】(1) (2)的最小值为，此时 (3) 【分析】（1）结合旋转性质得，则，，，故，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）模仿题干，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点．得出是等边三角形，则，再根据菱形的性质得，同理得，故，结合解直角三角形的正列式，，整理得，即可作答． （3）如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长．则，，因为运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，列式，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，如图2中， 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，，， ， ， ． 在中， ，，， ， 即的最小值为． （2）解：如图3中，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，，，当、、、四点共线时，值最小，最小值为线段的长，设交于点． 将绕点顺时针旋转，得到， ， ，， 是等边三角形， ，． 菱形中，， ， ， ， 同理，， ． 连接，交于点， 则． 在中， ，，， ， ， ， ． 的最小值为， 此时． （3）解：如图4中，将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于．当共线时，的值最小，最小值为线段的长． 设千米，则千米， 千米，，， ， （千米），（千米）， ， ∵运输点到三个菜窖的总路程至少为千米， ∴千米， ， ， ， 的最小值为2千米，的最小值为千米， 此矩形菜地的面积的最小值为平方千米． 【点睛】本题考查了最短路径，勾股定理，旋转性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 10．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再用等面积法即可求得； （2）连接，证明，得，继而可证明，得，证明， 由，从而证明； （3）作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点，可得， ，得，当四点共线时，PA取得最小值，设，则，从而可得， ，，求得，作于，证明，求得 ，进而可求，，，作于，求得 ，在下方作，作于，当最小时，的值最小，求得相关线段的长即可求解． 【详解】（1）解：点D是的中点， ， 在中，， ， ， ； （2）证明：连接， 中，，， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 即； （3）解：作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当四点共线时，取得最小值，如图所示： 中，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 同理可求， ， 在中，， 作于， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 作于， ， 即， ， ， 在下方作，作于， ， ， 当最小时，的值最小，当共线且时最小， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形的相关知识，勾股定理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值 11．（2024·广东·模拟预测）如图,是等边三角形,是边上的高,，点E是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形性质、图形旋转性质（全等、对应边/角相等）、等边三角形判定、两点之间线段最短、勾股定理．解题的关键是：以C为旋转中心旋转，转化线段使成折线，利用共线时折线最短求最小值． 以C为旋转中心，将顺时针旋转得，由旋转性质得，故、、；因且为等边三角形，得；则转化为，当B、E、、共线时，和最小为的长度；由是等边三角形，得、，作高用勾股定理算得，即最小值． 【详解】解：以点C为旋转中心，将顺时针旋转得到，连接 ∵旋转角为，旋转前后三角形全等 ∴（旋转性质） ∵且 ∴是等边三角形 ∴（等边三角形三边相等） ∴ 根据“两点之间线段最短”，当点B、E、、在同一直线上时，的最小值为的长度 （如图） ∵是等边三角形， ∴（等边三角形性质） 又∵（旋转性质） ∴ 过点C作，垂足为点F， ∵， ∴（等腰三角形内角和）． 在中，， ∴角所对直角边等于斜边的一半）． 由勾股定理得， 同理，故， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值 12．（2024东营市模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】cm 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短时的位置的确定，解本题的关键是确定取最小值时的位置． 将绕点逆时针旋转得到，则易知是等边三角形，转化为两定点之间的折线，再利用“垂线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，是等边三角形， ， 作于，交于． ， ，， ， 当点，，，四点共线且垂直时，有最小值为， ， ， 的最小值(cm)． 故答案为：cm． 题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】将线段绕点逆时针旋转，得到线段，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，由，是等腰直角三角形，得到，，进而得到 ，， 结合，得到四边形是正方形，，由，，，得到，设，则，，，在中，根据勾股定理得到，当时，取得最小值，取得最小值，取得最小值， 本题考查了，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形性质与判定，正方形的性质与判定，的最值，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，将转化． 【详解】解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，作中点，延长到点，使得，延长到点，使得，连接、、、， ∵，，线段绕点逆时针旋转，得到线段， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴ ， ∴，即：， ∵是中点，， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，，， ∴，即：， 设，则，，， ∴， 在中，， 当时，取得最小值，取得最小值， 此时取得最小值，， 故答案为：． 题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值 14．（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 【答案】 【分析】将绕A顺时针旋转得到，连接；将绕点D逆时针旋转，得到，连接；由旋转及等边三角形的性质知，，的最小值转化为的最小值，当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长． 【详解】解：如图1，将绕A顺时针旋转得到，连接；将绕点D逆时针旋转，得到，连接； 由旋转性质得：， 都是等边三角形， ，； 同理：都是等边三角形， ， ； 当H、G、E、F、N、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为线段的长． 故的最小值为线段的长，如图2； 设分别交于点P、Q； ， 是的垂直平分线， ； ，是等边三角形， ，， ； ， 四边形是矩形， ， 公里， 即的最小值为公里； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，最短路径问题，确定最小值时点E、F的位置是本题的关键． 题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形，圆的知识，解题的关键是旋转， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，为等边三角形， 有，从而，当点D、E、共线时取得最小值；由易得，则点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动，则，当且仅当三点共线时取等号；连接，过O作于点M，在中，由勾股定理得求得，即可求得结果． 【详解】解：将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴； ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴, 当且仅当点D、E、共线时取等号， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点D在以线段为弦，圆心为点O的圆弧上运动， ∴，当且仅当三点共线时取等号， ∵， ∴； 如图，连接，过O作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得：， 此时， 即的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，一点到圆上点距离的最值等知识，利用旋转变换、构造辅助圆是解题的关键． 题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值 16．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G，根据相似三角形的判定和性质求出为定值，证明，在中，利用勾股定理求出，再利用三角形三边关系求出的最小值为，即可求解． 【详解】解：分别以为边作平行四边形，连接，过点E作交于点G， ， 四边形是矩形， ， 矩形中，， ， ， ，，， ， ， ， ，即， 解得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形性质，矩形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，正确作出辅助线构造相似三角形，及平行四边形是解题的关键． 题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值 17．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】如图，把绕顺时针旋转得到，连接，，证明为等边三角形，为等边三角形，可得，，当，，，，共线时，，此时最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，把绕顺时针旋转得到，连接，， ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形， ∴，， 当，，，，共线时， ，此时最小， ∵， ∴，而，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，旋转的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，的最小值为300，的长为米 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的性质，特殊角三角函数，相似三角形的判定及性质． （1）连接，由旋转的性质得到，，，再由勾股定理得即可解答． （2）连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，，，当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，过点作于点H，交于点M，证得为等边三角形，再由特殊角的三角函数得到，米，则，再根据勾股定理得的值，设交于点N，过点B作于点Q，易证，即可解答． 【详解】解：（1）如图①，连接． 根据小明的思路可知，，，则． ∵，， 在中，， 当C，P，，E四点共线时取得最小值，的最小值为． （2）存在．∵点A，关于对称， 米， 点在以点E为圆心，50米为半径的圆弧上． 如图②，连接，作点A关于的对称点，则点的轨迹为弧． 由（1）同理可得，将绕点B顺时针旋转60°得到，连接，，，．由旋转的性质得，，， 为等边三角形， ， ∵， 米． 当E，，P，，C五点共线时，取得最小值，最小值为，此时点为与弧的交点． 过点作于点H，交于点M． ∵， 为等边三角形， 米． ∵，， ， （米）， 在中，（米）． 易得米，米， 则（米），（米）， 在中，（米）， （米）， 的最小值为300． 设交于点N，过点B作于点Q． ， ， ，即， 米，米， 米， ， ， ， ， 米， 易知当取得最小值时，， 在中，（米）． 答：的最小值为300，此时的长为米． 题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用 20．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 【答案】任务一：见解析；任务二：A；任务三：研发区E应建在内部，且满足时花费最少，最少费用为元 【分析】本题主要考查三角形的旋转变换的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点，将待求线段的和通过旋转变换转化为同一直线上的线段来求是解题的关键，学会利用旋转的方法添加辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题． 任务一：证明是等边三角形即可证明结论； 任务二：结合任务一结论选择即可； 任务三：把绕点B逆时针旋转60度得到，连接，为等边三角形，证出，当且仅当在上时，的值为最小，为，过点作，交延长线于点H，求出最小值，即可求出结论． 【详解】解：任务一：如图，由旋转得：， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴；    任务二：在素材2中，由题意得：要找一点E到A、B、C三点距离和最小， 研发区E建在内的区域比较合适， 故选：A； （3）如图， 把绕点B逆时针旋转60度得到， 则 ， 连接， 为等边三角形， ， 绕点B逆时针旋转60度得到， ， ， ， 当且仅当在上时，的值为最小，为， 此时，点E在内部，且满足， 过点作，交延长线于点H， 在中，， ， ， 在中，， 最小值为，此时费用为元．    题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算 21．（2024黄冈市模拟）问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合小明的思路完成填空： ， ， (2)类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 【答案】(1)4，，； (2)①②； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理逆定理可得，进而可求； （2）①将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到，则∠PBP′＝90°，，，，根据勾股定理逆定理得，，可求，即可求； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由勾股定理的逆定理得，可求，进而即可求∠． 【详解】（1）解：∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4，，； （2）①如图，将绕点B逆时针旋转，使与重合，得到， 则，，，， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ②将绕点B逆时针旋转，得到，连接， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，根据勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，添加恰当辅助线构造直角三角形是解本题的关键． 题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值 22．（2024·广东深圳·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)若点P为内一点，求的最小值． (3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 【答案】(1)，，； (2)； (3)或或或16． 【分析】对于（1），令y=0，求出点A，点B的坐标，令x=0，可得出点C的坐标； 对于（2），将△BPC绕点B顺时针旋转60°，得到△，连接，，当O，P，，四点共线，OP+BP+CP的值最小，在直角三角形中，求出此时的最小值； 对于（3），需要分类讨论，当CE=CF，CE=EF，CF=EF时，分别求解． 【详解】（1）∵与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 当y=0时，x=-3或；当x=0时，y=4， ∴，，． （2）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到，连接，， ∴，，，，， ∴和为等边三角形， ∴． 当O，P，，四点共线，OP+BP+CP的值最小，OC=4，， 在Rt△BOC中，， ∴∠OBC=30°， ∴BC=2OC=8， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）分类讨论：①如图，当CE=CF，点F在点C的左侧时，过点F作FG⊥CE于点E，则． ∵OA=3，OC=4， ∴AC=5， ∴， 设FG=3m，则CG=4m，FC=5m， ∴CE=FC=5m， ∴GE=m，OE=4-5m． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 当点F在点C右侧时，如图所示，过点F作FG⊥y轴于点G，则， ∴， 设FG=3m，则CG=4m，FC=5m， ∴CE=FC=5m， ∴GE=9m，OE=5m-4． ∵， ∴， 即， ∴， ∴． ②如图，当CE=EF时，过点A作交y轴于点G，由EF=CE，得AG=CG， 设OG=m，则AG=CG=4-m， ∵OA2+OG2=AG2， ∴32+m2=(4-m)2， 解得． 由和，可得直线AG的关系式为， 设直线DF的关系式为，将点D（4，0）代入，得， ∴， ∴． ③如图，当CF=EF时，过点C作交x轴于点G，则∠GCO=∠OED=∠ECF=∠ACO， ∵∠AOC=∠COG，CO=CO， ∴△AOC≌△GOC， ∴OG=OA=3， ∴G（3，0）， 由点G（3，0），C（0，4）可得直线CG的关系式为， 设直线DE的关系式为，将点D（4，0）代入得， ∴， ∴． 故CE的长为：或或或16． 【点睛】这是一道关于等腰三角形和二次函数的综合问题，考查了待定系数法求一次函数关系式，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，应用分类讨论思想进行求解是解题的关键． 题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值 23．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，    的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值 24．（2025年江苏省无锡市梁溪区九年级第二次模拟考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的运用规律，掌握点的运动，建立合理的数量关系，数形结合分析是关键． 根据题意，轴对称，旋转的性质得到点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即，点在以点为圆心，为半径的圆上，点在以点为圆心，为半径的圆上，由此得到的最小值是的值减去的最大值，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵点， ∴点关于点的对称点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图所示，连接， ∵， ∴点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， 将绕点逆时针旋转度得，则， ∴与轴的负半轴的夹角为， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上， ∴当点在上顺时针运动时，根据轴对称的性质得到点在上逆时针运动，点在上顺时针运用， 连接， ∴， ∵点的运动方向不同， ∴线段与线段的关系是：相交与平行，如图所示， ∴如图3所述，当时，延长交于点，过点作于点， 当时，， ∴最大时，的值最小， ∴当时，的值在四边形是平行四边形时最大， ∴， ∴， 故选： D． 题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 25．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，根据题意得到点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动是解题的关键． 过点C作于点G，可得四边形是矩形，从而得到，，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小，然后结合可得点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动，当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小，延长交于点M，过点D作于点N，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点G， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点H，即当最小时，面积最小， ∵E是线段的中点，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点在以点E为圆心，1长为半径的半圆上运动， ∴当点E，，H三点共线时，最小，此时面积最小， 延长交于点M，过点D作于点N，则， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ∴， 即面积的最小值为． 故选：B． 题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值 26．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查直角所对的弦是直径，找出点E的运动轨迹是解题的关键．根据点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上，进而分析当重合时，重合，取得最小值，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以中点为圆心，长为半径的半圆上， 如图，此时 ∵ ∴当重合时，重合， 此时，则 ∴的最小值是 故答案为：． 题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 27．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值 28．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以为直径的半圆，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可； （2）连接，利用三角形的中位线定理得到，则取得最小值时，长度最小，设的中点为O，连接，当、、三点共线时，此时最小；过点O作，交的延长线于点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得，进而得到，即可求得，进而得到． 【详解】（1）解：∵点E是内一动点，且， ∴点E的运动轨迹为以为直径的半圆， 取的中点O，连接，当时，此时与的距离最大， 即此时面积取得最大值，如图， ∵ ∴， ∴面积的最大值． 故答案为：4； （2）连接，如图， ∵、的中点为M、N， ∴， ∴取得最小值时，长度最小． 由（1）可知，点E的运动轨迹为以为直径的半圆，设的中点为O，连接， ∴当、、三点共线时，此时最小，如图， 由（1）可知，， 过点O作，交的延长线于点F，如图， ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点的轨迹． 题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值 29．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①见解析  ② 【分析】（1）过点E作于点K，即可得到四边形是矩形，然后证明，即可求出的值，然后根据正切的定义求出的度数即可； （2）根据勾股定理求出长，利用（1）的结论求出长，然后证明是等边三角形，根据正弦的定义求出长解答即可； （3）①根据（2）的证明得到，过点M作交于点L，则有，得到，即可得到，然后根据平行线分线段成比例得到结论即可； ②连接，，根据直角三角形斜边上的中线性质和平行线分线段成比例得到，进而判断，即可得到点Q在与线段夹角为的射线上，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解：过点E作于点K， ∵是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴    ，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴    ， 根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：根据（1）中结论可得， 又∵垂直平分， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 过点M作交于点L， 则，， 又∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ②连接，， ∵，， ∴， 又∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点Q在与线段夹角为的射线上， ∴过点D作于点， 当点Q在时，最小， 这时． 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理和等边三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值 30．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①四边形是矩形，理由见解析；②；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）①由折叠的性质得，，再证明，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解； ②延长和相交于点，连接，证明四边形是正方形，再证明，据此求解即可； （3）先利用折叠的性质求得，推出点在以为直径的上，连接，，得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形是矩形，理由如下， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②延长和相交于点，连接， 由折叠的性质得，，， ∵点恰好落在边上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵， ∴点在对角线上， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由折叠的性质得，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴点在以为直径的上，连接，， ∴，即点在上时，线段存在最小值， ∵， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识点，难度较大，第三问判断点在以为直径的上是解题的关键． 题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值 31．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 【答案】（1）（2）或（3） 【分析】（1）根据正方形的性质，折叠的性质，推出为等腰直角三角形，进而求出的长即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可； （3）连接，，作，易得四边形为矩形，根据折叠性质得到，证明，得到，进而得到，作点关于的对称点，连接，连接交于点，则，，得到，得到当点在上时，即点与点重合时，，值最小，证明，得到，进而得到为的中点，设，则：，在中，由勾股定理，得：，求出的长，进而求出的长，证明，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形，边长为4， ∴， ∴， ∵翻折， ∴，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴； （2）当时，如图，作于点，延长交于点， 则：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵折叠， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴； ②当时，如图：作于点，延长交于点，作于点，则：，四边形为矩形，四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴； 综上：或； （3）连接，，交于点，作，则：四边形为矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，连接，连接交于点，则：，， ∴， ∴当点在上时，即点与点重合时，，值最小； 如图： ∵，，， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，利用轴对称解决线段和最短问题等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，确定动点位置，是解题的关键． 题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性 32．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．            【答案】（）详见解析；（）；（） 【分析】（1）连接，证明，即可求证； （2）根据题意得点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，当点在线段上时，有最小值．根据勾股定理求出，即可求解； （3）过点作于，交于点，证明，可得，设，，根据勾股定理得到关于x的方程，可得到，．，，． 设，则，．在中，根据勾股定理求出，即可求解． 即的长为5． 【详解】（1）证明：连接，    由折叠可得，． ∵四边形为矩形，． ∵为的中点，， ∴． 在与中， ∵，， ∴， ∴ （2）解：，点在移动过程中，不变． ∴点在以为圆心，10为半径的的弧上． 连接，    当点在线段上时，有最小值． ∵，，， ∴． ∴， ∴的最小值为． （3）解：过点作于，交于点，    ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 设，， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得． ∴，．，，． 设，则，． 在中，， ∴． 解得，， 即的长为5． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值 33．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）4；（2）；（3）的最小值为，此时的长为 【分析】（1）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长的一半解答即可； （2）根据矩形的判定和性质，结合垂线段最短解答即可； （3）根据矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形三边关系定理应用，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，垂线段最短原理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，，为边上的中线， ∴, 故答案为：4； （2）如解图①， 四边形为矩形， 连接，则， 过点作于点， ． 在中，， 故， 根据三角形面积性质，得， 的最小值为； （3）如解图②，连接，则， ，当三点共线时最小， 在上顺次截取， 作，则四边形为矩形， 则， ， 解得，． 如解图③，作点关于的对称点，作， 连接， 与的交点即为所确定的位置． 作交于点，得矩形． 在中， ， ， ， 由， ， ，， 当最小时，的最小值为，此时的长为． 题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值 34．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】如图：过E作于点M，作于点H，作于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到，因为，所以求出的值即可解答． 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键． 题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 35．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等边对等角，过点E作于H，则四边形是矩形，则，根据，可得的最小值为6，则由折叠的性质可得的最小值为6；如图所示，连接，证明，得到，则，利用勾股定理得到当最大时，最大，即最大时，最大，则当与点B重合时，最大，设此时，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴的最小值为6， 由折叠的性质可得， ∴的最小值为6； 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最大时，最大，即最大时，最大， ∴当与点B重合时，最大， 设此时，则， ∴， 解得， ∴的最大值为 故答案为：，． 题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 36．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 【答案】 / / 【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置． 题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 37．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值 38．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值 39．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 【答案】(1) (2)点B到的距离为； (3)①；② 【分析】（1）如图，连接，，先证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质结合弧长公式可得答案； （2）过作于，过作于，连接，证明四边形是矩形，可得，，再结合勾股定理可得答案； （3）①如图，由过点A的切线与垂直，可得过圆心，过作于，过作于，而，可得四边形为矩形，可得，再进一步利用勾股定理与锐角三角函数可得答案；②如图，当为中点时，过作于，过作于， ，此时最短，如图，过作于，而，证明，求解，再结合等角的三角函数可得答案． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵的半径为3，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）解：过作于，过作于，连接， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴，而， ∴， ∴点B到的距离为； ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：①如图，∵过点A的切线与垂直， ∴过圆心， 过作于，过作于，而， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即； ②如图，当为中点时， 过作于，过作于， ∴， ∴，此时最短， 如图，过作于，而， ∵为中点，则， ∴由（2）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：（不符合题意的根舍去）， ∴的最小值为． 【点睛】本题属于圆的综合题，难度很大，考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，切线的性质，熟练的利用数形结合的方法，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 40．（2024·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）已知平面上三个点，，，则的最小值为 ． 问题探究 （2）如图，在中，，，，点为边上一个动点，点分别为线段的中点，求的最小值． 问题解决 （3）如图，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段及弧组成，，弧所在的圆与边相切于点，一束光线从点发出，经弧反射后沿射出，其中，，已知弧所在圆的半径为6，弧的长度为．请问当光线在弧上反射时，线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2；（2）；（3）存在， 【分析】（1）根据三角形三边关系即可解答； （2）根据题意可得：，当时最小，利用三角形面积公式求出的最小值即可； （3）根据弧长公式求出，设圆心为点，连接．先证明是等边三角形，解直角三角形求出，利用勾股定理求出，进而得到的最小值为，解直三角形即可求解． 【详解】解：（1）根据三角形三边关系：，即： 的最小值为2． （2） 分别为中点， ， 又为上的动点 时最小 的最小值为（等面积法求直角三角形斜边上的高）， （3） 问题解决：存在，． 设圆心为点，连接． 弧的长度是，且的半径是6， ， 解得，即． ， 是等边三角形， ，． 是的切线， ， ． ， ． 在中， ，即， 解得． 在中，． 根据三题意可知，即， 的最小值为． 在中，， 即， 解得． 【点睛】本题考查了直角三角形的特征，三角形三边关系，勾股定理，解直角三角形，垂线段最短，切线的性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点即可解答． 题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值 41．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 【拓展提升】 如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值． 【答案】【解决问题】的最小值为2；【深入探究】；【拓展提升】线段的最小值为1 【分析】本题考查了二次函数的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，相似三角形的性质与判定，解直角三角形； [解决问题] 小明：根据勾股定理表示出，根据二次函数的性质求最值，即可求解； 小红：延长至点，使得，则点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而求得的最小值； [深入探究] 设，则，勾股定理表示出，进而根据二次函数的性质求得的最小值，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出的最小值； [拓展提升] 延长至点，使得，由题意得，证明，设，则，，延长至点，使得，得出点在过点且与的夹角为的直线上运动，当于点时，最小，进而即可求解． 【详解】[解决问题]小明：设，则，在中，， ， 当时，有最小值， 的最小值为； 小红：如图1，延长至点，使得， 此时，且为等腰直角三角形， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小， 此时， 的最小值为        [深入探究]； 设，则， ∵， ∴ ∴ ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵是的中点， ∴ ∴的最小值为 [拓展提升]如图2，延长至点，使得，由题意得， ， ，， 又， ， ， 设，则，， 如图3，延长至点，使得， ， ， ， ， 点在过点且与的夹角为的直线上运动， 当于点时，最小，此时， ， 线段的最小值为． 题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值 42．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 【答案】（1）1；（2）；（3） 【分析】（1）连接和，，则当O、A、B三点共线时，则； （2）先证明，推导出，取中点O，连接和，根据勾股定理求得，由，得到当三点共线时，取得最小值，因此； （3）作的外接圆，连接，由圆周角定理得，可得，解直角三角形得到，，中，由勾股定理得：， 由，得，当点三点共线时，取得最大值， 故． 【详解】解：（1）如图，连接和， 则， ∴当O、A、B三点共线时，取得最小值， ∴； （2）∵四边形是正方形， ∴. ∵， ， 即， ∴， ， ， ， 如图，取中点O，连接和， 则， ， ∵， 即， 当三点共线时，取得最小值， ； （3）解：作的外接圆，连接， ∵， ∴，同理， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 同理可求在中，， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， 即， 当点三点共线时，取得最大值， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用三角形三角形三边关系求最值，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值 43．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，设的中点为G，过点D在上方作，使.过点H作于点K，连接，则，根据正方形性质，得，得，和，，根据 ，得点B、E、A、D在上，得，得，根据，得，得，得点F在以点H为圆心，为半径的圆上运动，根据，得，得，得取得最小值，为． 【详解】解：以点B为原点，所以直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图， 设的中点为G，过点D作，使，过点H作于点K，连接，则， ∵正方形边长为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B、E、A、D在上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F是在以点H为圆心，为半径的圆上运动， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点F在上时， 取得最小值， 为． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 题型四十四垂径定理+定点到直线距离 44．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值 45．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值 46．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，中，， ，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则： （1）的最小值为 （2）周长的最小值为 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查勾股定理，旋转的性质，三角形全等的判定和性质； （1）作于H，于J．证出，得到，点N的运动轨迹是直线，该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，作于G，当时，根据求出结果即可； （2）结合（1）作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，在中，利用勾股定理，计算即可． 【详解】解：如图，作于H，于J． ∵ ， ∵于H， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，该线直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点，连接交该直线于，连接，此时的周长最小，作于G． （1）当时，取最小值为； （2）在中， ， ∴的周长的最小值为． 故答案为：，． 题型四十七将军饮马+胡不归组合型 47．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    【答案】 【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， ∴，， 作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到， 作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形， 此时，， ∴有最小值， 作轴于点P，      则，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，则， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，，解得， 即； 过点D作轴于点G，    直线与x轴的交点为，则， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值 48．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，把绕点逆时针方向旋转到，过作轴于，可证明得到，求出，则可求出，根据可得答案． 【详解】解：如图所示，把绕点逆时针方向旋转到，过作轴于， 由旋转的性质可得， ∴， ∴ ∴， 在中，，， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值 49．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 50．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，垂线段最短，相似三角形的判定与性质，连接并延长，交的延长线于点，证明，得，当点在边上运动时，点随之在边上运动．当时，的值最小．在中，运用角所对的直角边等于斜边一半可得．当时，的值最小．证明，根据相似三角形的判定与性质可得． 【详解】解：如图，连接并延长，交的延长线于点． 在中，， ． ， ，即． ， ， ， 当点在边上运动时，点随之在边上运动． 当时，的值最小． 在中，， ． 当时，的值最小． 在中，， ． ， ， ， ，即， 解得． 故答案为：，3． $专题05最值模型：费马点、瓜豆模型 及其它模型50种题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值 题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度 题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值 题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值 题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值 题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值 题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值 题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值 题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值 题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值 题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用 题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算 题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值 题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值 题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值 题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值 题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值 题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值 题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值 题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值 题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性 题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值 题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值 题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值 题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值 题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值 题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值 题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值 题型四十四垂径定理+定点到直线距离 题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值 题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值 题型四十七将军饮马+胡不归组合型 题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值 题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值 题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 题型一菱形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 1．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 题型二矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 2．（2024安徽模拟）如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．20 题型三正方形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 3．（2024·广东广州·模拟预测）如图，正方形的边长为2，为与点不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 题型四正方形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 4．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，为正方形对角线上一动点，，则的最小值为 ． 题型五矩形+加权费马点+点到直线距离+最小值 5．（2025·陕西·模拟预测）如图，点为矩形内一点，过点作，垂足为，连接、，若，，则的最小值为 ． 题型六等腰三角形+特殊角度+费马点+旋转+最小值 6．（2026河北模拟预测）如图，在中，，是内的动点，连接，，，则的最小值是 ． 题型七费马点+最小值+费马点逆用+特殊角度 7．（2025·浙江宁波·模拟预测）【阅读】若为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点如图，在中，如果三角形内部有一点满足，则的值最小理由如下：将绕点A逆时针旋转至，连结． ． ，，． 是等边三角形． ，． ． ，． 点，，，四点在同一条直线上此时，的值最小． 【应用】（1）如图一所示，点是内一点，且点是的费马点，已知，，，求的长． （2）如图二所示，分别以锐角的边，向三角形外部作等边，等边，连结，交于点，求证：点为的费马点． 【拓展】（3）如图三，圆内接矩形内有一点，于点，已知，且的最小值是，求的半径． 题型八费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 8．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点） 当的三个内角均小于时， 如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，      由，可知为 ① 三角形，故，又，故， 由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；    (3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示） 题型九特殊三角形+旋转全等+费马点+最小值 9．（2025·广东深圳·模拟预测）【问题呈现】小华遇到这样一个问题，如图1，中，，，，在内部有一点，连接、、，求的最小值． 【问题解决】小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接、，则的长即为所求． (1)请你写出图2中，的最小值为______； (2)【类比应用】如图3，直角坐标系中有菱形，点与原点重合，坐标为，，若在菱形内部有一动点，试求的最小值，并求出此时点的坐标是多少； (3)【生活实际】如图4，一个矩形菜地的三个顶点处建有三个菜窖，现打算在矩形菜地内部建一个蔬菜运输点，经研究发现，运输点到三个菜窖的总路程至少为千米，若，则此矩形菜地的面积至少为______平方千米． 题型十特殊三角形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 10．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 题型十一等边三角形+旋转+费马点+最小值 11．（2024·广东·模拟预测）如图,是等边三角形,是边上的高,，点E是线段上的一个动点，则的最小值为 ． 题型十二正方形+加权费马点+双动点+最小值 12．（2024东营市模拟预测）如图，是边长为的正方形内一点，为边上一点，连接、、，则的最小值是 ． 题型十三特殊四边形+加权费马点+特殊角度+最小值 13．（2024·江苏无锡·二模）如图，四边形中，，，，，连接，则线段的最小值为 ． 题型十四矩形+加权费马点+双动点+最小值 14．（2024·江苏宿迁·二模）四个村庄坐落在矩形的四个顶点上，公里，公里，在新农村建设中，要设立两个车站E，F，则的最小值为 公里． 题型十五等边三角形+旋转全等+费马点+最小值 15．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在边长为的等边三角形中，点是三角形内的一点，连接、、，且满足，点为内部的一个动点，连接、、，则的最小值是 ． 题型十六形+加权费马点+垂直约束+最小值 16．（2024·湖南·模拟预测）如图，在矩形中，分别是上的点（点分别不与点重合），且，则的最小值为 ． 题型十七平行四边形+加权费马点+圆弧约束+最小值 17．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，连接，，以点为圆心，长为半径画弧，弧分别交、、于点、、，点是上方内一动点，点是上一动点，连接、、，则的最小值为 ． 题型十八等腰三角形+矩形+旋转全等+费马点+加权费马点+最小值 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，P为内一点，求的最小值．为了求的最小值，小明是这样做的：将绕点A顺时针旋转60°得到，则，连接．此时小明发现，且，则为等边三角形，于是．试着根据小明的思路，求出的最小值． （2）如图②，某牧场有一块矩形空地，其中米，米，点E在边上且米，F为边上任意一点，点A关于的对称点为．牧场主欲在四边形的四条边上装上栅栏饲养土鸡，并将B点、C点分别作为牛棚和羊棚的入口，若要在矩形内一点P处打一口井，并修建地下管道，，．请问：是否存在一点P，使的值最小？如果存在，请求出的最小值及此时的长；如果不存在，请说明理由． 题型十九费马点+最小值+加权费马点+特殊三角形+应用场景 19．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 题型二十费马点+旋转+定义证明+加权费马点+实际应用 20．（2024·福建厦门·二模）根据以下思考，探索完成任务 费马点的思考 问题背景 17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶·德·费马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小，后来这点被称之为“费马点”．    素材1 解决这种问题的经典方法，就是利用旋转变换，将三条线段行转化： 如图：把绕点A逆时针旋转60度得到，连接，这样就把确定的最小值的问题转化成确定的最小值的问题了．当，四点共线时，线段的长为所求的最小值，容易证明，此时点P为的“费马点”．      素材2 图中所示的是一个正方形的厂区，其中顶点A，B，C，D分别为办公区、生产区、物流区和生活区，正方形边长为，准备在厂区内修建一研发区E，且从研发区E修建三条直线型道路直通办公区A，生产区B和物流区C修路的成本为200元/米．    任务一 感悟证明定理 请你根据素材1所给解决思路，证明所求线段转化的正确性．证明： 任务二 初步探索位置 在素材2中，请问研发区E建在哪片区域比较合适？（   ） A．内的区域 B．内的区域 任务三 拟定恰当方案 为了节约建设成本，问该研发区E应该修建在厂区的什么地方，才能使得花费最少，最少费用为多少？ 题型二十一等边三角形+正方形+旋转全等+费马点+角度计算 21．（2024黄冈市模拟）问题解决 一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图①，点P是等边内的一点，，，．你能求出的度数和等边的面积吗？小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路： 如图①将绕点B逆时针旋转，得到，连接，可得是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而使问题得到解决． (1)结合小明的思路完成填空： ， ， (2)类比探究 ①如图②，若点P是正方形内一点，，，，求的度数 ②如图③，若点P是正方形外一点，，，，求的度数． 题型二十二抛物线背景+特殊三角形+费马点+最小值 22．（2024·广东深圳·一模）如图1，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， (1)写出A、B、C三点的坐标． (2)若点P为内一点，求的最小值． (3)如图2，点Q为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线DQ分别与y轴、直线AC交于E、F两点，当为等腰三角形时，请直接写出CE的长． 题型二十三正方形背景+定点旋转+主动点从动点+最值 23．（2023年四川省宜宾中考数学真题）如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为 ．    题型二十四坐标系背景+对称变换+定点旋转+轨迹相似+最值 24．（2025年江苏省无锡市梁溪区九年级第二次模拟考试数学试题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点在以为圆心，为半径的圆上，关于的对称点为，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的最小值是（   ） A．14 B．15 C． D． 题型二十五直角梯形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 25．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，E是线段的中点，F是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到（如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型二十六直角三角形背景+动线垂直+轨迹圆+比值最值 26．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在中，，点在边上，过点作，垂足为点，则的最小值是 ． 题型二十七直角三角形背景+平行四边形构造+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 27．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 题型二十八平行四边形背景+定角约束+轨迹圆+中位线联动+最值 28．（2025·海南·中考真题）如图，点是内一动点，且，，． （1）面积的最大值为 ； （2）连接，分别取、的中点、，连接．若，则线段长度的最小值为 ． 题型二十九矩形背景+定角约束+垂直平分线联动+主动点从动点+轨迹圆+最值 29．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图1，在矩形中，，点是边上一个动点，点在射线上，．线段的垂直平分线分别交直线于点、、、． (1)直接写出___________°，___________； (2)当时，求的值； (3)如图2，连接并延长交直线于点． ①求证：； ②如图3，过点作直线的垂线，分别交直线于点，连接，求线段的最小值． 题型三十直角四边形背景+翻折变换+定角约束+轨迹圆+线段最值 30．（2025·山东·中考真题）【图形感知】 如图1，在四边形中，已知，，． （1）求的长； 【探究发现】 老师指导同学们对图1所示的纸片进行了折叠探究． 在线段上取一点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，其中，分别是A，D的对应点． （2）其中甲、乙两位同学的折叠情况如下： ①甲：点恰好落在边上，延长交于点，如图2．判断四边形的形状，并说明理由； ②乙：点恰好落在边上，如图3．求的长； （3）如图4，连接交于点P，连接．当点E在线段上运动时，线段是否存在最小值？若存在，直接写出；若不存在，说明理由． 题型三十一正方形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段和最值 31．（2025·山东淄博·中考真题）【问题情境】 小明在学习了正方形的相关知识之后，在一张边长为4的正方形纸片上进行了关于折叠的研究性学习． 【探究感悟】 如图①，小明在边上取点（不与，重合），连接，将沿翻折，使得点的对应点恰好落到对角线上．则此时线段的长是 ； 【深入探究】 小明继续将沿翻折，发现：，，三点能构成等腰三角形．请求出此时线段的长； 【拓展延伸】 如图②，小明又在边上取点（不与，重合），并将四边形沿翻折，使得点的对应点恰好落在边上．记（为的对应点）与的交点为，连接，小明再次发现：线段与的长度之和存在最小值．请求出此时线段的长． 题型三十二矩形背景+翻折变换+轨迹圆+线段最值+直角三角形存在性 32．（2025·四川南充·中考真题）矩形中，，点E是线段上异于点B的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】（1）如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点M在线段上，．点E在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】（3）如图2，点N在线段上，．点E在移动过程中，点P在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长．              题型三十三直角梯形背景+定长线段+中点联动+轨迹圆+线段和最值 33．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）在中，，，为边上的中线，则的长为_____； （2）如图①，在中，为边上一点，，垂足分别为，连接，求的最小值； 问题解决 （3）如图②，四边形是一个游乐场的平面示意图，出入口在点处．已知，．为了进一步提升游乐场的服务功能，管理部门规划修建由四条直步道连接而成的观景环道及服务中心，其中，点在边上，点在边上，点在边上，点为的中点． 按照设计要求，的长为的长为，在点与点之间距离最短的情况下，使所修建的观景环道最短．请你帮助管理部门计算，当最小时的最小值及此时的长．（步道宽度及出入口，服务中心的大小均忽略不计） 题型三十四菱形背景+定角旋转+主动点从动点+轨迹直线+垂线段最值 34．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 题型三十五矩形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 35．（2024·海南·中考真题）如图，矩形纸片中，，点E、F分别在边上，将纸片沿折叠，使点D的对应点在边上，点C的对应点为，则的最小值为 ，CF的最大值为 ． 题型三十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 36．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 . 题型三十七平行四边形背景+翻折变换+主动点从动点+轨迹圆+面积最值 37．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 题型三十八等边/等腰三角形背景+平行四边形构造+定比联动+轨迹直线+线段最值 38．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 题型三十九圆背景+平移联动+主动点从动点+轨迹圆/直线+距离最值 39．（2024·河北·中考真题）已知的半径为3，弦，中，．在平面上，先将和按图1位置摆放（点B与点N重合，点A在上，点C在内），随后移动，使点B在弦上移动，点A始终在上随之移动，设． (1)当点B与点N重合时，求劣弧的长； (2)当时，如图2，求点B到的距离，并求此时x的值； (3)设点O到的距离为d． ①当点A在劣弧上，且过点A的切线与垂直时，求d的值； ②直接写出d的最小值． 题型四十圆与切线背景+定角约束+主动点从动点+轨迹圆+线段最值 40．（2024·陕西西安·模拟预测）问题提出 （1）已知平面上三个点，，，则的最小值为 ． 问题探究 （2）如图，在中，，，，点为边上一个动点，点分别为线段的中点，求的最小值． 问题解决 （3）如图，某科学小组研制出一种激光设备，设备外围由线段及弧组成，，弧所在的圆与边相切于点，一束光线从点发出，经弧反射后沿射出，其中，，已知弧所在圆的半径为6，弧的长度为．请问当光线在弧上反射时，线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 题型四十一钝角三角形背景+双动点定速比+定比分点联动+轨迹圆+线段最值 41．（2024·江苏盐城·三模）【提出问题】 如图1，在中，，，求的最小值． 【分析问题】 下面是小明、小红两位同学关于本题不同角度下的部分思维过程：小明：从代数角度看，设，表示出或者，利用函数知识 小红：从几何角度看，延长到点，使得，则，连接 【解决问题】 求AC的最小值．(可参考小明与小红的思路) 【深入探究】 如图2，，，点从点出发沿线段向点匀速运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，连接，取的中点，连接，在、运动过程中，线段的最小值是 ． 【拓展提升】 如图3，，，点从点出发沿线段向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动，点的速度是点的两倍，当点到达点时，点停止运动，连接，点是线段上一点，且，连接，在、运动过程中，求线段的最小值． 题型四十二等腰直角三角形背景+双动点滑动+定角旋转+轨迹圆+线段最值 42．（2024·辽宁辽阳·三模）【问题初探】 （1）如图1，动点A在半径为2的上，若，求的最小值． 由于和都是定长，当点A、B，O形成三角形时，霖霖想到了“三角形两边之差小于第三边”，由此可知当点A在上时对应的就是B最小的情形请按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【类比分析】 （2）如图2，点E和F分别是边长为4的正方形边和上的两个动点，且，连接和交于点G，连接，求的最小值． 霖霖尝试着绘制了点E在不同位置的几张图，目测始终都是直角，于是联想到了“圆周角所对的弦是直径”，也就是说“点G是正方形内以为直径的圆弧上的点”，进而本题可以类比图1获解，清按照霖霖的思路完成求最小值的解题过程． 【学以致用】 （3）如图3，是两块等腰直角三角板，．当点D和E同时在边和上滑动时，点F也随之移动，若连接，则的最大值是____________． 题型四十三正方形背景+定角约束+定比联动+轨迹圆+线段最值 43．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形边长为6，以对角线为斜边作、，点在上．连接．若．则的最小值为（    ） A．6 B．6 C．3 D．4 题型四十四垂径定理+定点到直线距离 44．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 题型四十五三角形背景+三动点联动+对称变换+垂足三角形+周长最值 45．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 题型四十六等腰直角三角形背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段与周长最值 46．（2025·安徽蚌埠·二模）如图，中，， ，点M为边上一动点，将线段绕点O按逆时针方向旋转至，连接，则： （1）的最小值为 （2）周长的最小值为 ． 题型四十七将军饮马+胡不归组合型 47．（2023·四川自贡·中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．    题型四十八平面直角坐标系背景+定点旋转+主动点从动点+轨迹射线+线段最值 48．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 题型四十九平行线背景+平移型将军饮马+面积约束+线段和最值与三角函数值 49．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 题型五十直角三角形背景+定角定比旋转+主动点从动点+轨迹直线+线段最值 50．（2025·河南漯河·一模）如图，在中，，，，是边上的一动点，连接，以为直角边按如图所示的方向作，使得，且，是边上的一点，，连接，则的长的最小值为 ，的长的最小值为 ． $