专题02 最值问题：将军饮马综合50种题型全归纳（精选近2年中考真题+模拟）（专项训练）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

专题02 最值问题：将军饮马综合50题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形内心+30°角+将军饮马+两定一动 题型二 圆+将军饮马+两定一动2 题型三 菱形+特殊角60°+对角线+将军饮马+两定一动 题型四 直角三角形+平行四边形+将军饮马+两定一动 题型五 坐标系（网格）+将军饮马+两定一动2 题型六 菱形+坐标系+将军饮马+两定一动 题型七 坐标系+一次函数+反比例函数+将军饮马（线段和差最值）+两定两动 题型八 三角形+特殊角+将军饮马（周长最值）+三动 题型九 菱形+折叠对称+将军饮马（线段差最值）+两定一动 题型十 二次函数+将军饮马（线段和最值）+两动一定 题型十一 等腰直角三角形+相似三角形+将军饮马（线段和最值）+两动一定 题型十二 二次函数+将军饮马（线段和最值）+多定多动 题型十三 矩形+面积定值+将军饮马（周长最值）+单动点 题型十四 四边形+旋转变换+将军饮马（线段和差最值）+单动点 题型十五 正方形+等腰直角三角形+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型十六 矩形+周长最小值+将军饮马+两定两动+瓜豆原理 题型十七 数形结合+将军饮马（线段和最值） 题型十八 等边三角形+中点性质+将军饮马（线段和/周长/面积最值）+单动点 题型十九 轴对称变换+将军饮马（线段和/周长最值）+单动点 题型二十 矩形+瓜豆原理+将军饮马（周长最值）+双动点 题型二十一 直线动点线段+将军饮马（线段和最值）+相对运动思想 题型二十二 正方形/菱形+平移变换+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十三 等腰直角三角形+旋转变换+将军饮马（线段和最值）+中点对称 题型二十四 二次函数平移+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十五 等腰直角三角形+角平分线+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十六 直角四边形+瓜豆原理+将军饮马（线段和最值）+双动点 题型二十七 将军饮马（折线和最值）+双动点 题型二十八 菱形+将军饮马造桥选址+两定两动 题型二十九 等边三角形+中垂线+将军饮马+两定一动 题型三十 正方形+对角线+将军饮马+两定一动 题型三十一 等腰直角三角形+将军饮马+两定一动 题型三十二 正方形+隐形圆+将军饮马+两定一动 题型三十三 矩形+瓜豆原理+将军饮马+两定一动 题型三十四 正方形+对角线+中点+相似+将军饮马+两定一动 题型三十五 矩形+锐角三角函数+特殊角度+将军饮马+两定一动 题型三十六 矩形+双中点+周长最小值+将军饮马+两定一动 题型三十七 正方形+中点+折叠模型+相似+将军饮马+两定一动 题型三十八 等腰直角三角形+逆等线最值+两定两动 题型三十九 矩形+将军饮马造桥选址+两定两动 题型四十 圆+正方形+周长最小值+将军遛马+两动一定 题型四十一 扇形+阴影面积+周长最小值+将军饮马+两定一动 题型四十二 二次函数+将军饮马之造桥选址+两定两动 题型四十三 正方形+相似三角形+将军饮马（中点转化）+两定一动/两定两动 题型四十四 二次函数+一次函数+将军饮马+两定一动 题型四十五 二次函数（旋转）+将军饮马（定长转化）+二倍角模型+两定一动 题型四十六 二次函数+锐角三角函数+将军饮马（定长转化）+动点最值+角度模型+两定一动 题型四十七 二次函数+将军饮马（周长最小）+胡不归模型+两定一动 题型四十八 二次函数+一次函数+将军饮马（四边形周长最小）+动点面积最值+两定一动 题型四十九 二次函数+一次函数+等腰直角三角形周长最值+将军饮马（平移转化）+两定一动 题型五十 直角三角形+面积条件+将军饮马（中点转化）+实际最值 题型一 三角形内心+30°角+将军饮马+两定一动 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    题型二 圆+将军饮马+两定一动2 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型三 菱形+特殊角60°+对角线+将军饮马+两定一动 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 题型四 直角三角形+平行四边形+将军饮马+两定一动 5．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 题型五 坐标系（网格）+将军饮马+两定一动 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 题型六 菱形+坐标系+将军饮马+两定一动 8．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，点是对角线上一动点，点坐标为，则最小值为 ． 题型七 坐标系+一次函数+反比例函数+将军饮马（线段和差最值）+两定两动 9．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 题型八 三角形+特殊角+将军饮马（周长最值）+三动 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 题型九 菱形+折叠对称+将军饮马（线段差最值）+两定一动 11．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 题型十 二次函数+将军饮马（线段和最值）+两动一定 12．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 题型十一 等腰直角三角形+相似三角形+将军饮马（线段和最值）+两动一定 13．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 题型十二 二次函数+将军饮马（线段和最值）+多定多动 14．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 题型十三 矩形+面积定值+将军饮马（周长最值）+单动点 15．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 题型十四 四边形+旋转变换+将军饮马（线段和差最值）+单动点 16．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 题型十五 正方形+等腰直角三角形+将军饮马（线段和最值）+单动点 17．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰 ，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 题型十六 矩形+周长最小值+将军饮马+两定两动+瓜豆原理 18．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 题型十七 数形结合+将军饮马（线段和最值） 19．（2025·吉林长春·模拟预测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 题型十八 等边三角形+中点性质+将军饮马（线段和/周长/面积最值）+单动点 20．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    题型十九 轴对称变换+将军饮马（线段和/周长最值）+单动点 21．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 题型二十 矩形+瓜豆原理+将军饮马（周长最值）+双动点 22．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 题型二十一 直线动点线段+将军饮马（线段和最值）+相对运动思想 23．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 题型二十二 正方形/菱形+平移变换+将军饮马（线段和最值）+单动点 24．（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 题型二十三 等腰直角三角形+旋转变换+将军饮马（线段和最值）+中点对称 25．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 题型二十四 二次函数平移+将军饮马（线段和最值）+单动点 26．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧） (1)请求出该二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； ②将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线与原抛物线交于点.直线与原抛物线交于点，与新抛物线交于点.为线段上的动点，过点作轴，垂足为，连接，，当在①中的取值范围内，取得最大值时，求的最小值. 题型二十五 等腰直角三角形+角平分线+将军饮马（线段和最值）+单动点 27．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 题型二十六 直角四边形+瓜豆原理+将军饮马（线段和最值）+双动点 28．（2025·陕西咸阳·一模）【问题原型】 （1）如图1，在正方形中，．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，四方形是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在和上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）．         题型二十七 将军饮马（折线和最值）+双动点 29．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 题型二十八 菱形+将军饮马造桥选址+两定两动 30．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为 ． 题型二十九 等边三角形+中垂线+将军饮马+两定一动 31．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 题型三十 正方形+对角线+将军饮马+两定一动 32．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 33．（2025·湖北孝感·二模）如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时， ， ． 题型三十一 等腰直角三角形+将军饮马+两定一动 34．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点是的中点，点、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 题型三十二 正方形+隐形圆+将军饮马+两定一动 35．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 题型三十三 矩形+瓜豆原理+将军饮马+两定一动 36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 题型三十四 正方形+对角线+中点+相似+将军饮马+两定一动 37．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则的最小值为 ． 题型三十五 矩形+锐角三角函数+特殊角度+将军饮马+两定一动 38．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 题型三十六 矩形+双中点+周长最小值+将军饮马+两定一动 39．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为 ． 题型三十七 正方形+中点+折叠模型+相似+将军饮马+两定一动…… 40．（2025·四川宜宾·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 题型三十八 等腰直角三角形+逆等线最值+两定两动 41．（2025海珠区二模）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 题型三十九 矩形+将军饮马造桥选址+两定两动 42．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 题型四十 圆+正方形+周长最小值+将军遛马+两动一定 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 题型四十一 扇形+阴影面积+周长最小值+将军饮马+两定一动 44．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为 ．    题型四十二 二次函数+将军饮马之造桥选址+两定两动 45．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 题型四十三 正方形+相似三角形+将军饮马（中点转化）+两定一动/两定两动 46．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 题型四十四 二次函数+一次函数+将军饮马+两定一动 47．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 题型四十五 二次函数（旋转）+将军饮马（定长转化）+二倍角模型+两定一动 48．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型四十六 二次函数+锐角三角函数+将军饮马（定长转化）+动点最值+角度模型+两定一动 49．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 题型四十七 二次函数+将军饮马（周长最小）+胡不归模型+两定一动 50．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 题型四十八 二次函数+一次函数+将军饮马（四边形周长最小）+动点面积最值+两定一动 51．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 题型四十九 二次函数+一次函数+等腰直角三角形周长最值+将军饮马（平移转化）+两定一动 52．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C．(1)若，①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； (2)若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 题型五十 直角三角形+面积条件+将军饮马（中点转化）+实际最值 53．（2025·陕西渭南·一模）【问题提出】（1）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、．若点是轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为________； 【初步探究】（2）如图2，菱形的边长为10，点在上，且，点为对角线上一动点，连接、，若的周长最小为12，求的值； 【实际应用】（3）如图3，是某植物园的一块空地，的中点处有一座凉亭，现要在这块空地中修建一口水井（即点在内部），并沿、修建两条小路，沿、铺设地下水管，在分成的四个区域中分别种植四种不同的植物供游客观赏．已知，，，且区域的面积为，为节约铺设地下水管的成本，要求最小．当最小时，求此时区域的面积． $专题02 最值问题：将军饮马综合50题型全归纳 目录 1/10 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形内心+30°角+将军饮马+两定一动 题型二 圆+将军饮马+两定一动2 题型三 菱形+特殊角60°+对角线+将军饮马+两定一动 题型四 直角三角形+平行四边形+将军饮马+两定一动 题型五 坐标系（网格）+将军饮马+两定一动2 题型六 菱形+坐标系+将军饮马+两定一动 题型七 坐标系+一次函数+反比例函数+将军饮马（线段和差最值）+两定两动 题型八 三角形+特殊角+将军饮马（周长最值）+三动 题型九 菱形+折叠对称+将军饮马（线段差最值）+两定一动 题型十 二次函数+将军饮马（线段和最值）+两动一定 题型十一 等腰直角三角形+相似三角形+将军饮马（线段和最值）+两动一定 题型十二 二次函数+将军饮马（线段和最值）+多定多动 题型十三 矩形+面积定值+将军饮马（周长最值）+单动点 题型十四 四边形+旋转变换+将军饮马（线段和差最值）+单动点 题型十五 正方形+等腰直角三角形+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型十六 矩形+周长最小值+将军饮马+两定两动+瓜豆原理 题型十七 数形结合+将军饮马（线段和最值） 题型十八 等边三角形+中点性质+将军饮马（线段和/周长/面积最值）+单动点 题型十九 轴对称变换+将军饮马（线段和/周长最值）+单动点 题型二十 矩形+瓜豆原理+将军饮马（周长最值）+双动点 题型二十一 直线动点线段+将军饮马（线段和最值）+相对运动思想 题型二十二 正方形/菱形+平移变换+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十三 等腰直角三角形+旋转变换+将军饮马（线段和最值）+中点对称 题型二十四 二次函数平移+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十五 等腰直角三角形+角平分线+将军饮马（线段和最值）+单动点 题型二十六 直角四边形+瓜豆原理+将军饮马（线段和最值）+双动点 题型二十七 将军饮马（折线和最值）+双动点 题型二十八 菱形+将军饮马造桥选址+两定两动 题型二十九 等边三角形+中垂线+将军饮马+两定一动 题型三十 正方形+对角线+将军饮马+两定一动 题型三十一 等腰直角三角形+将军饮马+两定一动 题型三十二 正方形+隐形圆+将军饮马+两定一动 题型三十三 矩形+瓜豆原理+将军饮马+两定一动 题型三十四 正方形+对角线+中点+相似+将军饮马+两定一动 题型三十五 矩形+锐角三角函数+特殊角度+将军饮马+两定一动 题型三十六 矩形+双中点+周长最小值+将军饮马+两定一动 题型三十七 正方形+中点+折叠模型+相似+将军饮马+两定一动 题型三十八 等腰直角三角形+逆等线最值+两定两动 题型三十九 矩形+将军饮马造桥选址+两定两动 题型四十 圆+正方形+周长最小值+将军遛马+两动一定 题型四十一 扇形+阴影面积+周长最小值+将军饮马+两定一动 题型四十二 二次函数+将军饮马之造桥选址+两定两动 题型四十三 正方形+相似三角形+将军饮马（中点转化）+两定一动/两定两动 题型四十四 二次函数+一次函数+将军饮马+两定一动 题型四十五 二次函数（旋转）+将军饮马（定长转化）+二倍角模型+两定一动 题型四十六 二次函数+锐角三角函数+将军饮马（定长转化）+动点最值+角度模型+两定一动 题型四十七 二次函数+将军饮马（周长最小）+胡不归模型+两定一动 题型四十八 二次函数+一次函数+将军饮马（四边形周长最小）+动点面积最值+两定一动 题型四十九 二次函数+一次函数+等腰直角三角形周长最值+将军饮马（平移转化）+两定一动 题型五十 直角三角形+面积条件+将军饮马（中点转化）+实际最值 题型一 三角形内心+30°角+将军饮马+两定一动 1．（2024·四川内江·中考真题）如图，在中，，，是边上一点，且，点是的内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】在取点F，使，连接，，过点F作于H，利用三角形内心的定义可得出，利用证明，得出，则，当C、P、F三点共线时，最小，最小值为，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，即可． 【详解】解：在取点F，使，连接，，过点F作于H，    ∵I是的内心， ∴平分， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 当C、P、F三点共线时，最小，最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内心，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形和含的直角三角形是解题的关键． 题型二 圆+将军饮马+两定一动2 2．（2025·四川南充·中考真题）如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 3．（2025·广东广州·中考真题）如图，的直径，C为中点，点D在弧上，，点P是上的一个动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作点关于的对称点，连接，交于点，因为的直径，C为中点，得，再结合，得，再证明是等边三角形，运用勾股定理列式计算得，则周长，即可作答． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，记交于点，如图所示： ∴ ∵的直径，C为中点， ∴点在上，，， ∴， ∵， ∴， ∵， 则是等边三角形， ∴， ∵是直径， ∴ ∴， 则周长， ∴周长的最小值是． 故选：B． 题型三 菱形+特殊角60°+对角线+将军饮马+两定一动 4．（2025·西藏·中考真题）如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转-最短路线问题，三角形全等的判定，菱形的性质以及等边三角形的性质．通过将绕点A顺时针方向旋转的点，此时证明和全等后找到对应的线段，的最小值即为点B，，P，D四点共线时，线段的长度即为所求． 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 题型四 直角三角形+平行四边形+将军饮马+两定一动 5．（2025·山东·中考真题）如图，在中，，，．点为边上异于的一点，以，为邻边作，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短等知识点，掌握平行四边形对角线相互平分是解题的关键． 由勾股定理可得，设与交于点O，过O作于点，由四边形作是平行四边形得、，根据垂线段最短可得当时，即P与重合时，最小；再运用三角函数求得，进而求得即可解答． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 如图，设与交于点O，过O作于点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴、 ∴当线段长最小，则线段的长最小， 由垂线段最短可得：时，即P与重合时，最小； ∵， ∴，解得：． ∴线段长最小为． 故答案为：． 题型五 坐标系（网格）+将军饮马+两定一动 6．（2025·山东滨州·中考真题）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C均在格点上． （1）只用无刻度的直尺在上找一点D，使得最短（保留作图痕迹） ． （2）在（1）的基础上，在边上找一点M，使得最小，最小值为 ． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了勾股定理与网格，矩形的性质，等腰三角形的性质，轴对称求最短距离等，掌握相关知识点是解题关键． （1）由勾股定理可得，根据矩形的对角线互相平分找出的中点，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，由垂线段最短可知此时最短； （2）作点关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得当、、三点共线时，最小，最小值为的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图，点即为所求作， 故答案为： （2）如图，作点关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可知，， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长， 过点作，由方格和为的中点知，，， ， 故答案为：． 7．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 题型六 菱形+坐标系+将军饮马+两定一动 8．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中有菱形，点坐标为，点是对角线上一动点，点坐标为，则最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，轴对称最短问题、菱形的性质、勾股定理，学会利用轴对称解决最短问题是解题的关键． 如图，连接，．利用勾股定理求出，证明，可得，由此即可解答． 【详解】解：如图，连接，． ，， ， 四边形是菱形， 点、点关于对称， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 题型七 坐标系+一次函数+反比例函数+将军饮马（线段和差最值）+两定两动 9．（2024·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题 【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴联立方程组， 解得 ， ∴ 对于，当时，， ∴， ∵点，点， ∴，轴， 要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∴ 当三点共线时，最小，即最小， 在中，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 题型八 三角形+特殊角+将军饮马（周长最值）+三动 10．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，垂线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键，作点关于的对称点，连接，得出是等腰直角三角形，当时，取得最小值，即周长最小，进而求得，即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为， 当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点， ∴， 又∵ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴当时，取得最小值，即周长最小 又∵，， ∴ ∴周长最小为 故答案为：． 题型九 菱形+折叠对称+将军饮马（线段差最值）+两定一动 11．（2025·浙江·中考真题）在菱形中，． (1)如图1，求的值． (2)如图2，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接． ①当时，求的长． ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，再根据勾股定理可得，然后根据正弦的定义求解即可得； （2）①连接，设交于点，同理求出，则；证明，得到，由轴对称的性质可得，则，据此可得，即可得到； ②由勾股定理得，根据，可求出，根据，可推出当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，即当有最小值时，有最小值；过点B作于H，于T，由等面积法可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：如图1，设交于点， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图所示，连接，设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴； ②在中，由勾股定理得 ∵， ∴ ， ∵， ∴要使的值最小，则要最大， ∴要有最小值， 又∵的值随着的值增大而增大， ∴的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值， ∴当有最小值时，有最小值； 如图所示，过点B作于H，于T， ∵， ∴， ∴由轴对称的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴当有最小值时，有最小值， 由垂线段最短可知， ∴当点P与点T重合时，有最小值，最小值为， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，求角的正弦值，勾股定理，轴对称图形的性质，等角对等边等等，解（2）的关键在于把求出的最小值转换成求出的最小值，进而转换成求出的最小值． 题型十 二次函数+将军饮马（线段和最值）+两动一定 12．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 题型十一 等腰直角三角形+相似三角形+将军饮马（线段和最值）+两动一定 13．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 题型十二 二次函数+将军饮马（线段和最值）+多定多动 14．（2025·山东威海·中考真题）已知抛物线交x轴于点，点B，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点D在抛物线上．点E为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线． ①在射线上取一点F，使，连接．当的值最小时，求点M的坐标； ②点N是射线上一动点，且满足．作射线，在射线上取一点G，使．连接，．求的最小值； (3)点P在抛物线的对称轴上，若，则点P的坐标为___________． 【答案】(1)， (2)①；② (3)或 【分析】（1）令，则，得到，根据平移得到，进而根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式为．将解析式化为顶点式，即可得到顶点E的坐标； （2）①当点O，M，F三点共线时，为最小值．对于抛物线，令，求出，进而可得直线的解析式为．由点F在射线CD上，，得到，从而可得直线的解析式为．解方程组即可解答； ②由，，得到是等腰直角三角形，从而．连接，，由两点间距离公式可得，，从而，即可得到是等腰直角三角形，因此，从而证得，得到，进而有．证明，根据勾股定理求出，即可解答． （3）分两种情况：①当点P在x轴上方时，取点，连接，得到是等腰直角三角形，，即可推出．过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，则，从而，得到．根据的面积求得，进而在中，，把相关数据代入，即可求得，从而．②当点P在x轴下方时，由对称性可得．即可解答． 【详解】（1）解：对于抛物线，令，则， ∴， ∵点C向右平移2个单位长度，得到点D， ∴， ∵抛物线过点，， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线的顶点E的坐标为． （2）解：①如图，当点O，M，F三点共线时，为最小值． 对于抛物线，令，则， 解得，， ∴， 设过点，的直线解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵点F在射线上，，， ∴， ∴由点，可得直线的解析式为， 解方程组得， ∴当的值最小时，点M的坐标为； ②∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 连接，， ∵，，， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴轴，即， ∴， ∴． ∵，， ∴在中，， ∴， 即的最小值为． （3）解：①当点P在x轴上方时， 取点，连接， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴． 过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴在中，， ∵对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ②当点P在x轴下方时，由对称性可得． 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，两点间的距离公式，两点之间线段最短等，综合运用相关知识是解题的关键． 题型十三 矩形+面积定值+将军饮马（周长最值）+单动点 15．（2025·陕西·中考真题）问题探究 （1）如图①，在中，请画出一个，使得点，，分别在边，，上； （2）如图②，在矩形中，，，为矩形内一点，且满足，周长的最小值； 问题解决 （3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，区域为草地，线段为花海边沿，点为游客服务中心，线段为步道，点和点为步道口，点为观景台．按照设计要求，点，分别在边，上，且满足，为的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使最大．已知，，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口与游客服务中心之间的距离．（步道的宽及步道口、观景台、游客服务中心的大小均忽略不计） 【答案】（1）见详解（2）（3） 【分析】（1）先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接，则，故四边形是平行四边形，即可作答． （2）过点作于点，解得，故在线段上运动的，整理，经过分析当有最小值时，则的周长有最小值，即作点关于的对称点，当三点共线时，有最小值，即的长，结合矩形的性质以及勾股定理列式计算，得，即可作答． （3）取的中点，取的中点，连接，得是的中位线，再过点作，证明，整理，故，再证明四边形是平行四边形，因为是的中点，得，11 、证明，，理解题意，得为定值，则点在的中位线上运动，作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大，先得出，，运用三角函数得，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）依题意， 先作，交于点，得出，再以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于一点，连接， 则， ∵ ∴四边形是平行四边形， 即如图所示： （2）如图，过点作于点， ∵， ∴， 解得， 过点作且分别与，交于， 即在线段上运动的， 则， 当有最小值时，则的周长有最小值， 作点关于的对称点 ∴，， ∴， 当三点共线时，有最小值，即的长， 即的周长有最小值， ∵ 四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 此时的周长； （3）如图，取的中点，取的中点，连接， ∴是的中位线， 过点作， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 连接 ∵是的中点，且四边形是平行四边形， ∴， ∴是的中点 过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，过点作于点， ∴为定值， ∴为定值， 则点在的中位线上运动， 作的外接圆，当且仅当与相切时，的值最大， ， 故， 如图，连接，作于点，于点，连接 ∵与相切于点 ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴， 故三点共线， ∴， 则， ∴， ∵，是的中点， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵点是的中点，是的中点 ∴是三角形的中位线， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关运算，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 题型十四 四边形+旋转变换+将军饮马（线段和差最值）+单动点 16．（2025·安徽·中考真题）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】A 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵， ，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值 故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 题型十五 正方形+等腰直角三角形+将军饮马（线段和最值）+单动点 17．（2024·青海西宁·中考真题）如图，正方形的边长为，以边为底向外作等腰 ，点是对角线上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】连接交于点，连接，由轴对称的性质得，判断出当P与重合时，的值最小，最小值为的长．然后求出，，，，得到，然后利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：连接交于点，连接， ∵四边形是正方形， ∴点B与点D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当P与重合时，的值最小，最小值为的长． ∵正方形的边长为4， ∴，． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形，正方形，解题的关键是掌握轴对称-最短路线问题，利用轴对称-最短路线问题． 题型十六 矩形+周长最小值+将军饮马+两定两动+瓜豆原理 18．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在矩形中，，，点M是边的中点，点N是边上任意一点，将线段绕点M顺时针旋转，点N旋转到点，则周长的最小值为（    ） A．15 B． C． D．18 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．由旋转的性质结合证明，推出，得到点在平行于，且与的距离为5的直线上运动，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，由勾股定理可求解． 【详解】解：过点作，交于，过点作垂足为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形和都是矩形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， ∴， ∴点在平行于，且与的距离为5的直线上运动， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时周长取得最小值，最小值为， ∵，， ∴， 故选：B． 题型十七 数形结合+将军饮马（线段和最值） 19．（2025·吉林长春·模拟预测）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． 【问题原型】已知为正实数，求的最小值． 【问题探究】通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图1，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连结，，设，则． ①用含的代数式表示______，则可用图中线段______表示； ②据此写出的最小值是______； ③请结合上述探究过程，在图1已知条件的基础上，用圆规和无刻度的直尺，在图2中作出线段，使得，并结合作图求出的最小值．（保留作图过程） 【问题解决】已知为正实数，则的最小值为______． 【答案】问题探究：①；；②5；③；问题解决： 【分析】本题主要考查勾股定理，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 问题探究：①根据勾股定理解答即可； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； ③作，作的平分线，过点作于点，则是等腰直角三角形，设，则，，延长交于点，过点作于点N，则可得是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，，可得，由，当、、在同一条直线时，的值最小，为，即的最小值为； 问题解决：解题思路同③． 【详解】解：问题探究：①在中，； ∵， ∴， 又， 在中，； 故答案为：；； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图， ∵， 则四边形为长方形， ∴， ， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； ③作，作的平分线，过点作于点，则是等腰直角三角形，如图， 设，则，， 延长交于点，过点作于点N， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, 又，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为； 问题解决：作，，，在上取一点，使，则， 作，过点作于点，则：， 在中，， 延长交于点，过点作于点D， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴, 又， 当、、在同一条直线时，的值最小，为， 即的最小值为． 故答案为：． 题型十八 等边三角形+中点性质+将军饮马（线段和/周长/面积最值）+单动点 20．（2024·江苏连云港·模拟预测）如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点分别是的中点．若，则下列结论正确的有 ．（填序号） ①的最小值为；②的最小值为；③周长的最小值为6；④四边形面积的最小值为．    【答案】②③④ 【分析】①延长交于M，过P作直线，由和是等边三角形，可得四边形是平行四边形，而P为中点，知P为中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小，再根据勾股定理求出，即可判断①是否正确；②由，即可得：当共线时，最小，最小值为的长度，求出即可判断②是否正确；③过D作于K，过C作于T，由和是等边三角形，得，有，得到周长，即可判断③是否正确；④设，用m表示，再配方，即可知四边形面积的最小值，从而可判断④是否正确． 【详解】解：①如图，延长交于M，过P作直线，   和是等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， 为中点， 为中点， 在线段上运动， 在直线l上运动， 由知等边三角形的高为， 到直线l的距离，P到直线的距离都为， 作A关于直线l的对称点，连接，当P运动到与直线l的交点，即共线时，最小， 此时最小值，故①错误； ②， ， 当共线时，最小，最小值为的长度， 为的中点， ， 为等边三角形的高， 的最小值为，故②正确； 过D作于K，过C作于T，如图，   和是等边三角形， ， ， ，即， ， 周长的最小值为6，故③正确； ④设，则， ，，，， ， 当时，四边形面积的最小值为，故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查轴对称-最短路径问题，涉及轴对称的性质，平行四边形的判定和性质，两点之间线段最短，等边三角形的性质，三角形面积计算等知识，解题的关键是判断出点P的运动轨迹是直线l 题型十九 轴对称变换+将军饮马（线段和/周长最值）+单动点 21．（2025·河南周口·二模）利用轴对称求最值的核心思路是通过轴对称变换，将复杂的几何问题转化为简单的对称问题．具体步骤如下：首先需要确定问题的对称轴，这通常是根据题目的几何条件来确定的．然后构造对称点，将动点关于对称轴构造出对称点，这样可以将原问题转化为两个对称点之间的问题．请据此解答下面的问题． 问题提出 （1）如图，已知，是内一点，，点，分别是，边上的动点（不与点重合），求周长的最小值．我们可以分别作点关于，的对称点，，然后连接，，与，有两个交点，当、分别与这两个交点重合时，如图，周长最小． 的度数是 ； 周长的最小值是 ． 问题探究 （2）如图，在等腰中，，，点是的中点．在上取点，连接，，试求的最小值． 问题解决 （3）如图，四边形为一个矩形绿地，点为矩形的中心，通过测量得，米，在绿地边上存在一点P，使得的值最小．请直接写出这个最小值． 【答案】（1），； （2）； （3）米 【分析】根据对称的性质可知：，，所以可知，，从而可得：； 根据对称性质可知，，所以可知是等边三角形，从而可知，线段的长度就是周长的最小值； 过点作于点，延长到点，使，连接，则点与点关于直线对称，连接交于点，则，线段的长度就是的最小值，利用勾股定理求出线段的长度即可； 过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求，根据直角三角形的性质可知米，利用可证，根据全等三角形的性质可知，米，利用勾股定理求出米，可得：的最小值是米． 【详解】 解：点与点关于对称， ， 点与点关于对称， ， ， ， ， ， 故答案是：； 解：点与点关于对称， ，， 点与点关于对称， ，， ， 由可知， 是等边三角形， ， 的周长是， 周长的最小值是， 故答案是：； 解：如下图所示，过点作于点，延长到点，使，连接， 则点与点关于直线对称， 连接交于点，则， 线段的长度就是的最小值， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点是的中点， ， ， 的最小值是； 如下图所示，过点作的垂线交的延长线于点，于的交点即为所求， 四边形为一个矩形， ， ，米， 米， 米， ， 点是矩形的中心， ， ， ， ， 在中， ，， ， 在和中，， ， ，米， 米， 米， 的最小值是米， 米， 的最小值是米． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质构造全等三角形和直角三角形，利用勾股定理求出边的长度． 题型二十 矩形+瓜豆原理+将军饮马（周长最值）+双动点 22．（2025·陕西宝鸡·一模）问题探究 （1）如图，在平面直角坐标系中，点，，点是轴上的动点．当取得最小值时，的值是 ； （2）如图，在中，，，，点为边的中点，过点作于点，求的长； 问题解决 （3）如图，四边形的四边是某市产业新区的外环路，已知，，，，是其中的一条贯穿路，点、分别是线段、上的动点，且满足，分别过点、作，，垂足分别为、，连接、，现计划将区域修建成一个科技园．为节省外墙材料费用，需要的周长尽可能的小，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）的周长存在最小值，其最小值为． 【分析】（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点，此时取最小值，设直线的解析式为，将点、点坐标代入求出解析式后，即可求得直线与轴的交点的坐标，可得值； （2）由勾股定理求出，证明后，由相似三角形的性质即可求出； （3）先证四边形是矩形，结合勾股定理求出，设，由平行线性质和正切值得出、、，证明后，由相似三角形的性质求出后即可得，即为定值，故只需求出的最小值即可，过作，作点关于的对称点，连接，则，即为的最小值，过作于点，由等面积法求出后即可得，再由勾股定理可得，周长的最小值即为． 【详解】解：（1）取点关于轴的对称点点，连接交轴于点， 由对称性质可得，，， 则取得最小值即取最小值， 且当点是与轴的交点时，取得最小值， 设直线的解析式为， 将，代入解得， 当时，， 即， ． 故答案为：． （2）在中，，，点为边的中点， ，， ， ， 是公共角， ， ， 即， 解得． （3），， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即， ， ， 即为定值，故只需求出的最小值即可， 如图，过作，作点关于的对称点，连接，则， ， 故为的最小值， 过作于点， 由等面积法知， ，， ， ， ， 周长的最小值为． 故的周长存在最小值，其最小值为． 【点睛】本题考查的知识点是根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数的实际应用、勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、利用正切值求线段，解题关键是熟练运用将军饮马模型解题． 题型二十一 直线动点线段+将军饮马（线段和最值）+相对运动思想 23．（2025·湖南岳阳·一模）如图，已知点是直线外一定点，是直线上的动线段，，连接、，．求当取最小值时的值．小聪在解题过程中发现：“借助物理学科的相对运动思维，若将看作静线段，则点在平行于直线的直线上运动”．请你参考小聪的思路求当取最小值时 ． 【答案】 【分析】过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接，当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值．，先求出和的值，再通过勾股定理求出，通过角度的代换，证得，通过即可求解． 【详解】解：如图，过点作，作点关于直线的对称点，交直线于点，连接交直线于点，连接，过点作于点，连接， 点是点关于直线的对称点， 直线垂直平分， ，，， ， 当、、三点共线时，即点运动到点处时，取最小值． ，， ． ，且，， ， 四边形是矩形， ，， ，，， ， ， ， ，， 在中，， ， ． 当取最小值时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了动点最值的将军饮马模型，线段垂直平分线的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握动点最值类模型的解题思路是解题关键． 题型二十二 正方形/菱形+平移变换+将军饮马（线段和最值）+单动点 24．（2025·江苏南京·一模）实践与探究： (1)如图甲，正方形纸片的边长为，沿对角线剪开，然后固定纸片把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、． ①在平移过程中，试判断四边形的形状，并说明理由；与不重合 ②在平移过程中，求的最小值； (2)如图乙，菱形纸片的边长为，，沿对角线剪开，然后固定纸片，把纸片沿剪痕方向平移得到，连接、、，在平移过程中，求的最小值． 【答案】(1)①四边形是平行四边形，理由见解析；② (2)的最小值为 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点是解题的关键． 根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； 作点关于的对称点，连接，，当，，共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且，，共线，在直角中，利用勾股定理即可求解； 同理可得是等边三角形，且，，共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）四边形是平行四边形，理由如下： 四边形是正方形， ，， 如图，把纸片沿剪痕的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形； 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， 将沿射线的方向平移得到， ，， 四边形是平行四边形， ， 关于的对称点， ，， 是等腰直角三角形，且，，共线， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值； （2）如图，菱形的边长为， ， ， 作点关于的对称点，连接，， 当，，共线时，有最小值， 此时的最小值为， ，， 四边形是平行四边形， 为菱形，， ， ，，， 关于的对称点， ，，， 是等边三角形， ， ，，共线， 是等边三角形， ，， ， ， ， 在直角中，由勾股定理得：， 的最小值为． 题型二十三 等腰直角三角形+旋转变换+将军饮马（线段和最值）+中点对称 25．（2025·重庆九龙坡·二模）如图，，，将线段绕着点A顺时针旋转α，，得到，连接、，点E为线段中点，过点D作交于点H．连接交于点F． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，过点C作于点Q，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． (3)如图3，若，点M是直线上一动点，作点M关于点E的对称点N，连接、，对于α的每一个确定值，都有一个对应的最小值，当最小值等于时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求解，，再结合平行四边形的性质与三角形的外角的性质可得答案； （2）仿照（1）求解，，可得，，结合点E为线段中点，，证明，可得为等腰直角三角形，，过作于，而，证明为等腰直角三角形，可得，即，进一步可得结论； （3）如图，由（2）同理可得：，，延长至，使，证明，可得，可得当三点共线时，最小，即的长，此时三点重合，如图，记的交点为，可得，过作于，过作于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图， ∵，，将线段绕着点A顺时针旋转α得到， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段中点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 过作于，而， ∴， ∴四边形为矩形，， ∴，， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 即． （3）解：如图，由（2）同理可得：，， ∵点M关于点E的对称点N， ∴， ∴， 延长至，使， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，即的长， 此时三点重合，如图，记的交点为， ∵此时，， ∴， 过作于，过作于， ∵， 结合（2）可得： ，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理与外角的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，旋转的性质，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型二十四 二次函数平移+将军饮马（线段和最值）+单动点 26．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧） (1)请求出该二次函数的对称轴和顶点坐标： (2)①当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的取值范围； ②将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线与原抛物线交于点.直线与原抛物线交于点，与新抛物线交于点.为线段上的动点，过点作轴，垂足为，连接，，当在①中的取值范围内，取得最大值时，求的最小值. 【答案】(1)对称轴，顶点 (2)①；② 【分析】（1）根据二次函数的性质先求出对称轴，再求出顶点坐标即可； （2）①先根据抛物线的顶点坐标式得出当时，有最小值，为，再结合题意求出最大值为；代入求出时，抛物线上点的横坐标，即可求解； ②根据抛物线的顶点坐标式和平移规律求出新抛物线为，联立方程求出点的坐标，再解方程求出抛物线与轴的交点，得出点的坐标，设，则，得出，得出当时，取得最大值，推得点和点的坐标；结合平行四边形的判断与性质与两点之间，线段最短确定取最小值时，点与点的位置，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， 二次函数的对称轴为直线， 当时，． 即顶点坐标为． （2）解：①∵， 即函数开口向上，对称轴为直线， 即当时，有最小值，为； 当时，； ∵最大值与最小值的差是，最小值是， ∴最大值为； 当时，， 解得：，， ∴． ②∵， 故将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位得到新抛物线为； 当时， 解得， ∴． 当时， 解得，， ∴， 设，则， ∴， 由①得，当时，取得最大值， 此时，点的坐标为，点的坐标为； 将点向左平移个单位长度得，连接，与轴交于点，作交于点，连接； 过点作轴，交于点，如图： ∵，， ∴是平行四边形， ∴， 故，此时有最小值； ∵，，轴， ∴， 故，， ∴， 故， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，平行四边形的判断与性质，最短路径问题，勾股定理等，熟练掌握最短路径问题是解题的关键． 题型二十五 等腰直角三角形+角平分线+将军饮马（线段和最值）+单动点 27．（2025·重庆·三模）在等腰中，，，在线段上取一点D，连接．过点B作交于点G． (1)如图1，当点D是的中点，时，求的长度； (2)如图2，当为的角平分线时，过点C作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，过点B作，求证： (3)在内部有一点P，连接、、，设Q为线段上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，再用等面积法即可求得； （2）连接，证明，得，继而可证明，得，证明， 由，从而证明； （3）作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点，可得， ，得，当四点共线时，PA取得最小值，设，则，从而可得， ，，求得，作于，证明，求得 ，进而可求，，，作于，求得 ，在下方作，作于，当最小时，的值最小，求得相关线段的长即可求解． 【详解】（1）解：点D是的中点， ， 在中，， ， ， ； （2）证明：连接， 中，，， ， 为的角平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， 即； （3）解：作，使，作，使，连接，，作，交的延长线于点， ， 即， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 当四点共线时，取得最小值，如图所示： 中，，， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 同理可求， ， 在中，， 作于， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， 作于， ， 即， ， ， 在下方作，作于， ， ， 当最小时，的值最小，当共线且时最小， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，解直角三角形的相关知识，勾股定理，翻折的性质，动点线段和最小问题等，掌握相关的判定方法及性质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键． 题型二十六 直角四边形+瓜豆原理+将军饮马（线段和最值）+双动点 28．（2025·陕西咸阳·一模）【问题原型】 （1）如图1，在正方形中，．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，四方形是某植物园规划的一个花圃，其中．现要在和上分别设立一个游客服务中心E，F，且，再沿和铺设两条石子小路．为节约成本，要求两条石子小路的长度之和最小．已知，请你帮助植物园规划人员求出两条石子小路长度之和的最小值（即的最小值）．         【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）证明即可． （2）过点D作于点G，连接，延长到点K，使，连接，．证明四边形是正方形，得到．由（1），可得，，利用两点之间线段最短，结合勾股定理解答即可． 【详解】解：（1）证明：四边形是正方形， ，． 在和中， ， ， ． （2）如图，过点D作于点G，连接， 延长到点K，使，连接，． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形， ． ， ． 由（1），可得， ， ． ，， 垂直平分， ， ． 在中，． ， ， 的最小值是． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键． 题型二十七 将军饮马（折线和最值）+双动点 29．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 题型二十八 菱形+将军饮马造桥选址+两定两动 30．（2025·四川雅安·一模）如图：菱形的边长为4，，点E，点F是对角线上的两动点，，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接交于点O，作，使得，连接交于点F，可得四边形是平行四边形，因此，根据两点之间线段最短可知，此时最短，再结合已知可得是等边三角形，进而得，在中，根据勾股定理即可求出的值，因此即可求出答案． 【详解】解：连接交于点O，作，使得，连接交于点F， ， 四边形是平行四边形， ， ， 根据两点之间线段最短可知，此时最短， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 在中，， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型二十九 等边三角形+中垂线+将军饮马+两定一动 31．（2025·湖北武汉·三模）如图，在等边中，，，D，E分别是边上的点，．若，当取最小值时，线段长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、最短路径问题，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键． 过A作，且，连接，，设与交点为， 先证明得到，则，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合，再证明得到 即可求解． 【详解】解：∵在等边中，，， ∴，， 过A作，且，连接，，设与交点为， ∴， ∴，又，， ∴， ∴， ∴，当B、E、P共线时取等号，此时点E与重合， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当取最小值时，线段长为2． 故答案为：2． 题型三十 正方形+对角线+将军饮马+两定一动 32．（2025·贵州毕节·二模）在边长为的正方形中，点分别是上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，延长至，使得，连接，由正方形性质可得，，证明，则有，又，所以当三点共线时，最小，即有最小为长，最后通过勾股定理求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小，即有最小值为长， 如图， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 33．（2025·湖北孝感·二模）如图，E，F是正方形的边的三等分点，P是对角线上的动点，当取最小值时， ， ． 【答案】 【分析】作点F关于的对称点，连接交于点，此时取得最小值，根据正切的定义，求出，过点作的垂线段，交于点K，根据题意可知点落在上，设正方形的边长为，求得的边长，证明，可得，即可解答． 【详解】解：作点F关于的对称点，连接交于点，过点作的垂线段，交于点K，连接，则    由题意得：此时落在上，且根据对称的性质，当P点与重合时取得最小值，， 设正方形的边长为a，则，， 四边形是正方形， ，，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，   ， 当取得最小值时，的值是为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了线段和的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，解直角三角形，正确画出辅助线是解题的关键． 题型三十一 等腰直角三角形+将军饮马+两定一动 34．（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，为等腰直角三角形，，，点是的中点，点、分别是、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题、等腰直角三角形的性质，矩形性质，以及勾股定理解三角形，正确添加辅助线是解题的关键． 作点P关于直线的对称点，过点作，连接、，根据垂线段最短则线段的长即为的最小值，根据等腰直角三角形的性质和矩形性，即可得解． 【详解】解：取点与点关于对称，过点作，连接、，如答图所示， 则最小，即最小， 因此当点、、共线且垂直于时最小． ∵， ∴． ∴四边形是矩形． ∴． 即的最小值为． 故答案为：． 题型三十二 正方形+隐形圆+将军饮马+两定一动 35．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 题型三十三 矩形+瓜豆原理+将军饮马+两定一动 36．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在矩形中，，点、分别是、上的动点，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】17 【分析】在的延长线上取一点，是，连接，，证明 和 全等得，则，由此得当为最小时，为最小，根据“两点之间线段最短”得，进而得当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长，在 中，根据，，由勾股定理得，据此即可得出答案． 【详解】解：在的延长线上取一点，是，连接，，如图所示： 四边形是矩形，且，， ，，， ， 在 和 中， ， ， ， ， 当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， 的最小值为线段的长， 当点，，共线时，的值为最小，最小值为线段的长， 在 中，，， 由勾股定理得：， 的最小值是17． 故答案为：17． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，理解矩形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 题型三十四 正方形+对角线+中点+相似+将军饮马+两定一动 37．（2022·江苏南通·二模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为AD的中点，P为CE上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，作点B关于CE的对称点F，BF交CE于点H，连接AF交CE于点P，过点F作FG⊥x轴于点G，证明和，根据相似三角形对应边成比例可得出点F的坐标，再根据两点间距离公式可得出结论． 【详解】建立平面直角坐标系如图所示， 作点B关于CE的对称点F，BF交CE于点H，连接AF交CE于点P，过点F作FG⊥x轴于点G， ∴BP=FP 根据“两点之间，线段最短”可知，的最小值为AF的长， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA=5， ∴ A（0，5） ∵点E为AB的贵点， ∴, 由勾股定理得， 又， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵, ∴， ∴, ∴ ∴F（8，4） 又A（0，5） ∴, ∴的最小值为， 故答案为 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平面直角坐标系，相似三角形的判定与性质以及两点间距离公式的应用，正确作出平面直角坐标系是解答本题的关键． 题型三十五 矩形+锐角三角函数+特殊角度+将军饮马+两定一动 38．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度；然后求出和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点，交AC于点F，连接交AC于点P，则的最小值为的长度； ∵AC是矩形的对角线， ∴AB=CD=4，∠ABC=90°， 在直角△ABC中，，， ∴， ∴， 由对称的性质，得，， ∴， ∴ ∵，， ∴△BEF是等边三角形， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴的最小值为6； 故答案为：6． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得有最小值． 题型三十六 矩形+双中点+周长最小值+将军饮马+两定一动 39．（2022·广西贺州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，，E，F分别是AD，AB的中点，的平分线交AB于点G，点P是线段DG上的一个动点，则的周长最小值为 ． 【答案】/ 【分析】在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K，可得DG垂直平分EH，从而得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF，再分别求出EF和FH，即可求解． 【详解】解：如图，在CD上取点H，使DH=DE，连接EH，PH，过点F作FK⊥CD于点K， 在矩形ABCD中，∠A=∠ADC=90°，AD=BC=6，CD=AB=8， ∴△DEH为等腰直角三角形， ∵DG平分∠ADC， ∴DG垂直平分EH， ∴PE=PH， ∴的周长等于PE+PF+EF=PH+PF+EF≥FH+EF， ∴当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF， ∵E，F分别是AD，AB的中点， ∴AE=DE=DH=3，AF=4， ∴EF=5， ∵FK⊥CD， ∴∠DKF=∠A=∠ADC=90°， ∴四边形ADKF为矩形， ∴DK=AF=4，FK=AD=6， ∴HK=1， ∴， ∴FH+EF=，即的周长最小为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了最短距离问题，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，明确题意，准确得到当点F、P、H三点共线时，的周长最小，最小值为FH+EF是解题的关键． 题型三十七 正方形+中点+折叠模型+相似+将军饮马+两定一动…… 40．（2025·四川宜宾·一模）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称在的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点．如图：过点M作于F，推出的最小值为的长，证明四边形为菱形，然后利用相似三角形的判定和性质求得的长即可． 【详解】解：作点P关于的对称点， 由折叠的性质知是的平分线， ∴点在上， 过点M作于F，交于点G， ∵， ∴的最小值为的长， 连接， 由折叠的性质知为线段的垂直平分线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 题型三十八 等腰直角三角形+逆等线最值+两定两动 41．（2025海珠区二模）如图，在等腰直角三角形中，，点，分别为，上的动点，且，．当的值最小时，的长为 ． 【答案】/ 【分析】过点作，且，证明，可得，当三点共线时，取得最小值，证明，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，且，连接，如图1所示， ， 又， ， ， ， 当三点共线时，取得最小值， 此时如图2所示， 在等腰直角三角形中，， 由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ，， ， ， 即取得最小值时，的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，转化线段是解题的关键． 题型三十九 矩形+将军饮马造桥选址+两定两动 42．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 题型四十 圆+正方形+周长最小值+将军遛马+两动一定 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则（1）的直径长为 ；（2）周长的最小值是 ． 【答案】 4 【分析】（1）利用圆的面积公式计算出半径即可求出直径； （2）连接，，以、为边作，连接，证明出，，当、、共线时，最小，即为的最小值，利用勾股定理求出即可解答此问． 【详解】解：（1）的面积为， ， 的直径长为， 故答案为：； （2）如图，连接，，以、为边作，连接， 四边形为正方形， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 当、、共线时，最小，即为的最小值， 在中，，， ， ， ， 周长的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了正方形与圆，平行四边形的性质，最短路径问题，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 题型四十一 扇形+阴影面积+周长最小值+将军饮马+两定一动 44．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称求最短路径的方法是解题的关键． 根据题意可求出，作点关于的对称点，可得最小，则扇形周长最小，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， 设扇形的半径， ∴的长为：， 阴影部分的周长最小为， 如图所示，作点关于的对称点，连接与交于点，此时，的值最小，即阴影部分的周长最小，    ∴， ∴， 即， 解得，， 故答案为：． 题型四十二 二次函数+将军饮马之造桥选址+两定两动 45．（2025·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 题型四十三 正方形+相似三角形+将军饮马（中点转化）+两定一动/两定两动 46．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，点依次在直线上，点固定不动，且，分别以为边在直线同侧作正方形、正方形，，直角边恒过点，直角边恒过点． (1)如图，若，，求点与点之间的距离； (2)如图，若，当点在点之间运动时，求的最大值； (3)如图，若，当点在点之间运动时，点随之运动，连接，点是的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为，解方程即可； （）设，则，证明，然后根据相似三角形的性质得出，则，转化为然后由二次函数的性质求解即可； （）连接，由四边形是正方形，得，即点对角线所在直线上运动，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∴， ∴，即，则， 解得：或， ∴或； （2）设，则， ∵四边形、是正方形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 当时，有最大，最大值为； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴， 即点在对角线所在直线上运动， 如图，作关于的对称点，连接，过作于点， ∴，四边形为矩形， 则点三点共线，， ∴， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值， ∴在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解一元二次方程，二次函数的最值，两点之间线段最短等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型四十四 二次函数+一次函数+将军饮马+两定一动 47．（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型四十五 二次函数（旋转）+将军饮马（定长转化）+二倍角模型+两定一动 48．（2024·山东烟台·中考真题）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出点A、B、C坐标，再用待定系数法求出抛物线的表达式，求出其顶点坐标，由旋转可知抛物线的二次项系数为原来的相反数，顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于原点对称，即可求解； （2）将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接，则四边形为平行四边形，则，，因此，即可求解； （3）当点P在直线右侧抛物线上时，可得，作H关于直线的对称点，则点在直线上，可求直线的表达式为，联立， 解得：或（舍），故；当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，可得，可证明出，由，得，设，则，，在和中，由勾股定理得，解得：或（舍），所以，可求直线表达式为：，联立，解得：或（舍），故． 【详解】（1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题是一道二次函数与角度有关的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形三边关系求最值，平行四边形的判定与性质，中心对称图形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 题型四十六 二次函数+锐角三角函数+将军饮马（定长转化）+动点最值+角度模型+两定一动 49．（2024·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 题型四十七 二次函数+将军饮马（周长最小）+胡不归模型+两定一动 50．（2025·四川凉山·一模）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长； (3)如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值． 【答案】(1)， (2)， (3)8 【分析】（1）根据，得到，利用待定系数法依次解答即可； (2) 设点，根据对称性质，得到，确定点，根据题意，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且为 ，利用勾股定理，计算， 设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标． (3) 过点E作轴于点G，根据，得， 于是，故 ，利用，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，解答即可． 【详解】（1）解：根据， ∴， ∵在上， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． （2）解：设点， ∵， ∴的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点， ∴， ∴， ∵A，B是对称点， ∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且， ， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，， 故， ∴的周长最小时，，的周长为． （3）解：过点E作轴于点G， 根据， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为， 故， 故的最小值为8． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式计算，抛物线的性质，勾股定理，三角函数的应用，垂线段最短，熟练掌握三角函数的应用，抛物线的性质计算是解题的关键． 题型四十八 二次函数+一次函数+将军饮马（四边形周长最小）+动点面积最值+两定一动 51．（2025·内蒙古包头·三模）已知，如图二次函数的图象与y轴交于点与x轴交于点A、B，点，抛物线的对称轴为直线．直线交抛物线于点． (1)求二次函数的解析式并写出D点坐标； (2)点Q是线段上的一动点，过点Q作交于E，连接，当的面积最大时，求点Q的坐标； (3)抛物线与y轴交于点C，直线与y轴交于点F，点M为抛物线对称轴上的动点，点N在x轴上，当四边形周长取最小值时，求出满足条件的点M的坐标和周长的最小值． 【答案】(1)，D点坐标为； (2)点Q的坐标为； (3)，四边形的最短周长为． 【分析】（1）根据点，点，抛物线的对称轴为可得关于，，的方程组，解方程求得，，的值，从而得到二次函数的解析式，再将点代入二次函数的解析式，得到关于的方程，求得的值，从而求解； （2）先求得，点的坐标，过点作，根据相似三角形的判定和性质可得，由于，配方后即可得到有最大值时，点的坐标； （3）根据待定系数法得到直线的解析式为：，过点作关于轴的对称点，即，再连接交对称轴于，轴于，由条件可知，点、是关于对称轴对称，则，得到四边形的最短周长为时直线的解析式为：，进而得到满足条件的点和点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：，，， 即二次函数的解析式为：． ∵点在抛物线上，即， ∴点的坐标为； （2）解：令，即，解得：，， ∴点，的坐标分别是，． 如图，过点作，垂足为点，设点坐标为，即， ∵， ∴与相似， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，有最大值，即点的坐标为； （3）解：如图，由，两点可求得直线的解析式为：， 令，则， ∴点的坐标为， 过点作关于轴的对称点，即，连接交对称轴于点，交轴于点，再连接， 由条件可知，点、关于对称轴对称，即 即四边形的周长， 故四边形的最短周长为：． ∵点，在直线上上， ∴直线的解析式为：， ∴存在满足条件的点、，点的坐标为，点的坐标为． 【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质等知识．综合性很强，难度较大，解题的关键是利用数形结合思想，方程思想与分类讨论思想，注意辅助线的作法． 题型四十九 二次函数+一次函数+等腰直角三角形周长最值+将军饮马（平移转化）+两定一动 52．（2025·天津红桥·一模）已知抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，与y轴相交于点C． (1)若， ①求该抛物线的解析式和点C的坐标； ②P为直线上方抛物线上一点（点P不与点A，C重合），过点P分别作x轴、y轴的垂线，与直线相交于点D，E，当的周长最大时，求点P的坐标； (2)若，F，G分别是线段，上的动点，且，当取得最小值时，求点G的坐标． 【答案】(1)①，点的坐标为；②点的坐标为 (2)点的坐标为 【分析】（1）①将以及，代入抛物线，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，再令，即可求得点的坐标； ②由题意可知为等腰直角三角形，利用待定系数法求得直线的解析式为，设点，，因轴交直线于，则，轴，得，，为等腰直角三角形，则，，可知，当的周长最大时，有最大值，再根据二次函数的性质即可求解； （2）由题意可知，，则，如图，过点作，且，可知，可证，得，由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，此时可证得，得，则，，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：①将以及，代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即：点的坐标为； ②∵，，， ∴，则为等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为，将，，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，，因轴交直线于，则，轴， ∴，， 同理可知，， ∴为等腰直角三角形，则，， ∴的周长为， 当的周长最大时，有最大值， 而， 即：当时，取得最大值，此时的周长最大，点的坐标为； （2）∵，， ∴，，则， 如图，过点作，且， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系可知，，当在上时取得最小值，如下图， 又∵，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，画出图形利用数形结合的思想是解决问题的关键． 题型五十 直角三角形+面积条件+将军饮马（中点转化）+实际最值 53．（2025·陕西渭南·一模）【问题提出】 （1）如图1，在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为、．若点是轴上的一个动点，则当最小时，点的坐标为________； 【初步探究】 （2）如图2，菱形的边长为10，点在上，且，点为对角线上一动点，连接、，若的周长最小为12，求的值； 【实际应用】 （3）如图3，是某植物园的一块空地，的中点处有一座凉亭，现要在这块空地中修建一口水井（即点在内部），并沿、修建两条小路，沿、铺设地下水管，在分成的四个区域中分别种植四种不同的植物供游客观赏．已知，，，且区域的面积为，为节约铺设地下水管的成本，要求最小．当最小时，求此时区域的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）作点A关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点C，则点C即为所求，进而根据图象可进行求解； （2）连接，交于一点O，由菱形的性质可知，，点A、C关于成轴对称，然后可得，进而问题可求解； （3）过点D作于点M，作点E关于直线的对称点Q，连接，与交于一点P，连接，由题意易得点D在直线上运动，然后根据轴对称的性质可知当点A、P、Q三点共线时，的最小值为线段的长，此时点D与点P重合，进而根据相似三角形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：（1）作点A关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点C，则点C即为所求，如图所示： 此时，， 由图象可知：点； 故答案为：； （2）连接，交于一点O，如图所示： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∵， ∴， 由的周长为可知：要使的周长最小，则需满足的长为最小，由点A、C关于成轴对称，所以的最小值为的长， ∵的周长最小为12， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵区域的面积为，设点D到的距离为h， ∴， ∴， 过点D作于点M，作点E关于直线的对称点Q，连接，与交于一点P，连接，如图所示， ∴点D在直线上运动， 要使的值最小，则根据轴对称的性质可知：，所以当点A、P、Q三点共线时，的最小值为线段的长，此时点D与点P重合， 作于点H，交于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点E是的中点，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、轴对称图形的性质、三角函数、勾股定理及图形与坐标，熟练掌握相似三角形的性质与判定、轴对称图形的性质、三角函数、勾股定理及图形与坐标是解题的关键． $