第01讲 平面直角坐标系与函数（复习讲义，2考点6题型4重难）（天津专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“平面直角坐标系与函数”核心考点，覆盖点的坐标特征、函数概念、图像信息获取等中考必考内容，通过“知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破”构建系统知识网络。教学流程设计包含考点梳理、题型归纳、真题精讲等环节，帮助学生突破动点规律探究、函数图像分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“重难突破”模块的创新设计，如通过“平面直角坐标系中动点的坐标规律探究”培养学生的空间观念和创新意识，结合连续三年中考第23题“函数图像信息获取”真题训练，发展数学眼光和数据分析能力。特设分层练习和即时反馈机制，教师可据此把控复习节奏，学生能在有限时间内提升数形结合能力和应考技巧，实现高效复习。

第三章函数 第01讲平面直角坐标系与函数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 7 命题点一平面直角坐标系 题型01 写出直角坐标系中点的坐标 题型02 点所在的象限 题型03 坐标与图形 命题点二函数 题型01 求自变量的取值范围 题型02 从函数图像获取信息（与一次函数综合） 题型03 实际问题中的函数关系的建立 05·重难突破·思维进阶难 13 突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 06·优题精选·练能提分 17 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 从函数图像中获取信息 T23 T23 T23 能从函数图像中获取关键信息（如交点、最值、增减性），并结合函数性质分析问题；能利用图像解决实际应用中的变化趋势、取值范围等问题。 平面直角坐标系 认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征（象限、坐标轴上点的坐标）；理解点的平移、对称的坐标变化规律。 函数的概念与表示 理解函数的定义，能识别函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、图像、列表）。 命题预测 1.从函数图像中获取信息：连续三年稳定在第23题位置，属于高频考点。题目会结合一次函数、反比例函数或二次函数图像，考查交点坐标、最值、增减性、取值范围等核心信息，侧重图像与实际应用的结合，强调数形结合能力。 2.平面直角坐标系：虽近年未单独成题，但常作为隐含考点融入函数、几何综合题中。考查重点为象限点的坐标特征、平移与对称的坐标变化规律，是坐标系中存在性探究、图形变换等综合题的基础。 3.函数的概念与表示通常以选择题或填空题形式出现，考查函数定义的辨析、三种表示方法（解析式、图像、列表）的识别与转换，注重对函数本质的理解，为后续复杂函数综合题奠定基础。 备考建议 1.从函数图像中获取信息 1）聚焦第23题的考法，重点训练从图像中提取交点、最值、增减区间等信息的能力。 2）结合天津中考真题，练习“图像+实际应用”类题目，强化利用图像分析变化趋势和取值范围的思路。 2.平面直角坐标系 1）夯实基础，熟练掌握象限点、坐标轴上点的坐标特征，以及平移、对称的坐标变化规律。 2）结合坐标系中特殊平行四边形的存在性探究、图形旋转/平移等综合题型进行训练，提升知识迁移能力。 3.函数的概念与表示 1）加强函数定义的辨析练习，通过典型题目识别“一个x对应唯一y”的核心特征。 2）训练三种表示方法的转换，例如从表格或图像中推导解析式，提升对函数本质的理解。 考点一 平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x___0，y___0，即（+，___）； 2）点P(x，y)在第二象限 x___0，y___0，即（___，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x___0，y___0，即（-，___）； 4）点P(x，y)在第四象限 x___0，y___0，即（___，-）. 2.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（______） 在x轴负半轴上 M（______） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（______） 在y轴负半轴上 M（______） 点M在原点 M（______） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝______ 点M在第二、四象限角平分线上 x＝______ 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标______且横坐标______ MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标______且纵坐标______ 3.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 4.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 5.平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为______； 2）点P到轴的距离为______； 3）点P到原点O的距离为P＝____________. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为____________； 若AB∥y轴，则的距离为____________； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为________________________ 1．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·武清区·一模）如果点在第三象限内，那么的取值范围是 ． 3．（2025·天津·二模）已知的三个顶点坐标分别为，，，点D在x轴上方，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025河西区模拟预测）已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 考点二 函数 1.函数的有关概念及表示方法 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 函数 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 表示方法 列表法、解析式法、图像法 2.函数自变量的取值范围【热考】 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 ______ 分式型 分母不______为零 二次根式型 被开方式____________零 负整数(零)指数幂型 底数______为零 分式+根式型 开方式大于零 注意：______不能为0 1．（2024天津四十二中模拟）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．  B．  C．   D．   2．（2025和平区模拟）函数中，自变量x的取值范围是 ． 3．（2025天津模拟预测）甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． (1)，两地相距_____，甲骑行的速度是_____，乙骑行的速度是_______； (2)出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 写出直角坐标系中点的坐标 【典例1】（2025河西区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为 ． 【变式1】（2025天津经济技术开发区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025南开区模拟）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是 ．    【变式3】（2022·天津滨海新·一模）如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． ►题型02 点所在的象限 【典例2】（2024河北区模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（2025红桥区模拟）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（2025南开区模拟）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】（2025和平区模拟）已知点关于原点对称的点为，点关于x轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是 ． ►题型03 坐标与图形 1）点的平移左减右加，上加下减. 2）关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例3】（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【变式1】（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【变式2】（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式3】（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 命题点二 函数 ►题型01 求自变量的取值范围 【典例1】（2025·天津市·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【变式1】（2025·武清区·模拟预测）函数的定义域为 ． 【变式2】（2025·河北区·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． ►题型02 从函数图像获取信息（与一次函数综合） 【典例2】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【变式1】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【变式2】（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） ►题型03 实际问题中的函数关系的建立 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 【典例3】（2025·天津市模拟预测）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【变式1】（2024·和平区·一模）一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 【变式2】（2025·南开区·二模）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 【典例1】（2024·全国·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知 ，依此规律，则点的坐标为 ． 【变式2】（2023·和平区·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 【典例2】（2025·天津市模拟预测）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   【变式1】（2024·滨河新区模拟）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024西青区模拟预测）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 【典例3】（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 【变式1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 【典例4】（2025·天津市模拟预测）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【变式1】（2025·天津市模拟预测）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【变式】2（2024·和平区·一模）如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·天津和平·二模）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025西青区模拟）如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·建华中学·模拟）如图，在中，，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，，矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1．将矩形沿x轴向左平移，当点D落在边上时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 4．（2025天津模拟预测）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 5．（2025·天津模拟预测）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（    ） A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 6．（2024天津一模）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 7．（2025天津模拟预测）函数中，自变量的取值范围是 ． 8．（2024·天津和平·三模）已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 9．（2024·天津滨海新·一模）已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 2．（2025·天津河西·一模）如图，正方形边长为6，点在边上，，且，为的中点，则 （I）的度数为 ； （II）的长为 ． 3．（2025·天津河北·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 4．（2024东丽区模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 1．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 2．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 3．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 5．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C．D． 8．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章函数 第01讲平面直角坐标系与函数 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 2 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一平面直角坐标系 题型01 写出直角坐标系中点的坐标 题型02 点所在的象限 题型03 坐标与图形 命题点二函数 题型01 求自变量的取值范围 题型02 从函数图像获取信息（与一次函数综合） 题型03 实际问题中的函数关系的建立 05·重难突破·思维进阶难 32 突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 06·优题精选·练能提分 43 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 从函数图像中获取信息 T23 T23 T23 能从函数图像中获取关键信息（如交点、最值、增减性），并结合函数性质分析问题；能利用图像解决实际应用中的变化趋势、取值范围等问题。 平面直角坐标系 认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征（象限、坐标轴上点的坐标）；理解点的平移、对称的坐标变化规律。 函数的概念与表示 理解函数的定义，能识别函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、图像、列表）。 命题预测 1.从函数图像中获取信息：连续三年稳定在第23题位置，属于高频考点。题目会结合一次函数、反比例函数或二次函数图像，考查交点坐标、最值、增减性、取值范围等核心信息，侧重图像与实际应用的结合，强调数形结合能力。 2.平面直角坐标系：虽近年未单独成题，但常作为隐含考点融入函数、几何综合题中。考查重点为象限点的坐标特征、平移与对称的坐标变化规律，是坐标系中存在性探究、图形变换等综合题的基础。 3.函数的概念与表示通常以选择题或填空题形式出现，考查函数定义的辨析、三种表示方法（解析式、图像、列表）的识别与转换，注重对函数本质的理解，为后续复杂函数综合题奠定基础。 备考建议 1.从函数图像中获取信息 1）聚焦第23题的考法，重点训练从图像中提取交点、最值、增减区间等信息的能力。 2）结合天津中考真题，练习“图像+实际应用”类题目，强化利用图像分析变化趋势和取值范围的思路。 2.平面直角坐标系 1）夯实基础，熟练掌握象限点、坐标轴上点的坐标特征，以及平移、对称的坐标变化规律。 2）结合坐标系中特殊平行四边形的存在性探究、图形旋转/平移等综合题型进行训练，提升知识迁移能力。 3.函数的概念与表示 1）加强函数定义的辨析练习，通过典型题目识别“一个x对应唯一y”的核心特征。 2）训练三种表示方法的转换，例如从表格或图像中推导解析式，提升对函数本质的理解。 考点一 平面直角坐标系 1.各象限内点的坐标特征 1）点P(x，y)在第一象限 x＞0，y＞0，即（+，+）； 2）点P(x，y)在第二象限 x＜0，y＞0，即（-，+）； 3）点P(x，y)在第三象限 x＜0，y＜0，即（-，-）； 4）点P(x，y)在第四象限 x＞0，y＜0，即（+，-）. 2.特殊位置上点的坐标特征 点M（x，y）所处的位置 坐标特征 坐标轴上的点 点M在x轴上 在x轴正半轴上 M（正，0） 在x轴负半轴上 M（负，0） 点M在y轴上 在y轴正半轴上 M（0，正） 在y轴负半轴上 M（0，负） 点M在原点 M（0，0） 象限角平分线上的点 点M在第一、三象限角平分线上 x＝y 点M在第二、四象限角平分线上 x＝-y 两点连线与坐标轴平行 MN∥x轴（或MN⊥y轴） M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等 MN∥y轴（或MN⊥x轴） M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等 3.点的平移特征（n＞0） 口诀：点的平移左减右加，上加下减. 4.对称点的坐标特征 口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 5.平面直角坐标系中的距离 点到坐标轴及原点的距离 已知点P，则 1）点P到轴的距离为； 2）点P到轴的距离为； 3）点P到原点O的距离为P＝. 平行于坐标轴的直线上两点间的距离 若AB∥x轴，则的距离为； 若AB∥y轴，则的距离为； 拓展 坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：，MN的中点坐标为 1．（2025·天津·一模）如图，的顶点O与坐标原点重合，顶点A，B分别在第二、三象限，且轴，若，，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形与坐标，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．设与x轴交于点C，根据等腰三角形三线合一知，，利用勾股定理求出长，根据点所在象限写出坐标． 【详解】解：设与x轴交于点C， ∵，轴， ∴， ∴， ∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， 故选：A． 2．（2023·武清区·一模）如果点在第三象限内，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据第三象限的点的横纵坐标都为负，列出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵点在第三象限内， ∴ 解不等式①得：， 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据点所在象限求参数，解不等式组，熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 3．（2025·天津·二模）已知的三个顶点坐标分别为，，，点D在x轴上方，则点D的坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质，运用点在平面直角坐标系中平移的方法, 本题即可解答. 【详解】.∵的三个顶点坐标分别为A(0，0) , B(3, -2), C(6，0) , ∴CD//BA, CD= BA , ∵点B向左平移3个单位长度、再向上平移2个单位长度得到点A , ∴点C向左平移3个单位长度、再向上平移2个单位长度得到点D, ∴点D的坐标为(3 ,2) , 故选D. 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和点在平面直角坐标系中平移的知识, 难度不大, 运用题中所给信息画出简图, 数形结合是快速作答本题的方法. 4．（2025河西区模拟预测）已知点，点，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，掌握旋转前后对应边相等，对应边的夹角等于旋转角，全等三角形对应角相等是解题的关键． 设点的对应点为，过点作轴的垂线，垂足为点，由旋转的性质得到，，进而证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，设点的对应点为，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ． 由旋转性质得，，， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为． 考点二 函数 1.函数的有关概念及表示方法 变量与常量 在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量. 函数 一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 函数值 如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 表示方法 列表法、解析式法、图像法 2.函数自变量的取值范围【热考】 类型 取值范围 举例 自变量的取值范围 整式型 全体实数 全体实数 分式型 分母不能为零 二次根式型 被开方式大于或等于零 负整数(零)指数幂型 底数不能为零 x≠0 分式+根式型 开方式大于零 注意：分母不能为0 1．（2024天津四十二中模拟）小丽从甲地开车去乙地，先加速行驶，后匀速行驶，开了一段时间后，发现油所剩不多了，于是开到服务区加油，加满油后开始加速行驶，然后又匀速行驶，下面哪一幅图可以近似的刻画该汽车在这段时间内的速度变化情况（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择． 【详解】解：加速行驶时，速度逐渐增加， 匀速行驶时，速度不变， 开到服务区时，速度逐渐减少， 加油时，速度为0， 加满油后开始加速行驶时，速度增加， 最后匀速行驶时，速度不变， 综上：只有C符合题意； 故选：C． 2．（2025和平区模拟）函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≥-2且x≠1 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 3．（2025天津模拟预测）甲、乙两人分别从，两地同时出发骑车匀速相向而行．图中，分别表示甲、乙两人离地的距离与骑行时间之间的函数关系． (1)，两地相距_____，甲骑行的速度是_____，乙骑行的速度是_______； (2)出发后，何时甲离地的距离大于乙离地的距离？ 【答案】(1)，，； (2)出发后，时间超过甲离地的距离大于乙离地的距离． 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取信息，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据函数图象即可求解； （）分别求出甲离地的距离解析式为，乙离地的距离解析式为，然后根据题意得出，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，两地相距，甲骑行的速度是，乙骑行的速度是； 故答案为：，，； （2）解：设解析式为， 把代入解析式得：，解得：， ∴甲离地的距离解析式为， 设解析式为，把，代入解析式得： ，解得：， ∴乙离地的距离解析式为， ∴， 解得， 答：出发后，时间超过min甲离地的距离大于乙离地的距离． 命题点一 平面直角坐标系 ►题型01 写出直角坐标系中点的坐标 【典例1】（2025河西区模拟）如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心O为原点，顶点A，D在x轴上，若半径是4，则顶点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，然后数形结合即可求解． 【详解】解：过点作，连接，如图所示： 在正六边形中，， 因为， 所以是等边三角形， ，， 在中，，则， 则由勾股定理可得， ， 故答案为：． 【变式1】（2025天津经济技术开发区模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【详解】解：∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 【变式2】（2025南开区模拟）如图，已知点的坐标为，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转得到，则点坐标是 ．    【答案】 【分析】过点B作轴于点E，过点C作轴于点F，证明即可得证． 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵轴于点E，过点C作轴，线段绕点顺时针旋转得到， ∴，，    ∴， ∴， ∴， ∴， 由点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， 故， 故答案为：． 【变式3】（2022·天津滨海新·一模）如图，四边形是菱形，顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，根据A、C的坐标可知AC⊥y轴，在根据菱形的性质可证BD⊥x轴，则B点坐标可求． 【详解】连接AC、BD，AC、BD相交于点N，如图， ∵A(0,2)、C(8,2)， ∴A、C两点在y=2的直线上，且AC=8，OA=2， ∴AC⊥y轴， ∵在菱形ABCD中，有AC⊥BD，且AC、BD互相平分， ∴轴，BN=ND=，AN=NC==4， ∴轴， ∵轴，AC⊥y轴， ∴∠AOD=∠AND=∠NAO=∠ODN=90°， ∴四边形ANDO是矩形， ∴OA=DN=2，OD=AN=4， ∴BD=2DN=4， ∴B点坐标为(4,4)， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、直角坐标系中的坐标与图形等知识， ►题型02 点所在的象限 【典例2】（2024河北区模拟预测）在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴, ∴, ∴在第三象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，判断点所在的象限，掌握关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数是解题的关键． 【变式1】（2025红桥区模拟）一次函数的值随的增大而增大，则点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求出m的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可． 【详解】∵一次函数的值随的增大而增大， ∴ 解得： ∴在第二象限 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键． 【变式2】（2025南开区模拟）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判断点所在的象限等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 利用一元二次方程的根与系数关系求出两根之和与两根之积，得到点的坐标，再判断所在象限． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴两根之和， 两根之积， ∴点为， ∵横坐标为正，纵坐标为负， ∴点在第四象限， 故选：D． 【变式3】（2025和平区模拟）已知点关于原点对称的点为，点关于x轴对称的点为，点在第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特点，关于x轴对称的点的特点，关于原点对称点的特点，先根据对称性得出 ，然后根据第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：∵点关于原点对称的点为， ∴ ， ∵点关于x轴对称的点为， ∴ ， ∵点在第四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． ►题型03 坐标与图形 1）点的平移左减右加，上加下减. 2）关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 【典例3】（2025·天津宝坻·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为原点，四边形是正方形，顶点，点B在y轴正半轴上，点C在第二象限， 的顶点， 点． (1)如图①， 求点B， C的坐标； (2)将正方形沿x轴向右平移，得到正方形 ，点A，O，B，C的对应点分别为． 设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线 分别与y轴，交于点E，F，与交于点H，试用含t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为 则t的值是 (请直接写出结果即可)． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据正方形的性质以及坐标与图形即可解答； （2）①求得是等腰直角三角形，得到，再利用即可求解； ②分当和时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：由，得， 四边形正方形， ． ，； （2）解：①，，， ，． 由平移知，四边形是正方形，得，． 四边形是矩形． ，，． ， ，． ， ． ． 当时，正方形与重合部分为五边形， ． ②当时， 由题意得， 解得或（舍去）； 当时，点与点N重合， 此时， ∴， ∴， 由题意得， 解得或（舍去）； 综上，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，平移的性质，图形的面积，二次函数的性质等知识，根据题意分别画出图形，通过面积的和差关系求出S关于t的函数表达式是解题的关键． 【变式1】（2025·天津河东·二模）将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点．P是边上的一点（点P不与点A，O重合），沿着折叠该纸片，得点O的对应点C． (1)填空：如图①，当点C在边上时，点P的坐标为________，的面积为________； (2)如图②，当轴时，与交于点D，求点D的坐标； (3)设点A到直线的距离为d，在折叠过程中，当时，求的长（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，； (2) (3)或8 【分析】（1）根据折叠的性质，得，，设，则，结合，得到，得到，解答即可． （2）根据折叠的性质，结合轴，证明四边形是正方形，再利用三角形的中位线定理，解答即可． （3）解答时，分轴和不平行x轴两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴点， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：当轴时， ∵点，点， ∴， 根据折叠的性质，得， 设， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形，此时； ∴； 当不平行x轴时，如图所示， 过点A作于点G，根据题意，得， 设的交点为M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 此时， 故或8． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【变式2】（2025·天津红桥·二模）在平面直角坐标系中，点，，．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，．      (1)填空：如图①，当点A落在边上时，点的坐标为________，点的坐标为________； (2)若直线与相交于点P． ①如图②，当点落在y轴的正半轴上时，求线段的长和的大小； ②M为边的中点，连接，求线段的长的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、旋转的性质、等边对等角、勾股定理等知识点，掌握运用辅助圆求线段的取值范围成为解题的关键． （1）先根据勾股定理、特殊角的三角函数得到、，再根据旋转的性质结合题意可得，如图：过作轴，过作轴，然后通过解直角三角形即可完成解答； （2）①如图：由（1）可得，，点落在y轴的正半轴上时，，，再运用勾股定理即可求得，再根据旋转的性质、等边对等角、三角形内角和的定理可得、，最后根据三角形外角的性质即可求得的大小；②如图：当旋转角为时，即，先根据①说明恒为．点P的轨迹为以为弦，圆心角为的圆．然后根据等边三角形以及圆的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴， ∴，， ∴， ∵以点O为中心，逆时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为，，点A落在边上， ∴， ∴， 如图：过作轴，过作轴， ∴，即； ，即． 故答案为：，． （2）解：①如图：由（1）可得，， ∵点落在y轴的正半轴上时， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②如图：当旋转角为时，即， 由（1）可得，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即恒为． ∴如图：点P的轨迹为以为弦，圆心角为的圆． ∴是等边三角形，即圆的半径为2， ∵M为边的中点， ∴， ∴， ∴当点P在时，有最大值；当点P在时，有最小值． ∴线段的长的取值范围为． 【变式3】（2025·天津河西·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，有四边形，顶点． (1)填空：的长是______，的长是______； (2)点M，N分别为四边形边上的动点，动点M从点O开始，以每秒1个单位长度的速度沿路线向终点B匀速运动，动点N从O点开始，以每秒2个单位长度的速度沿路线向终点A匀速运动，点M，N同时从O点出发，当其中一点到达终点后，另一点也随之停止运动．设动点运动的时间为t秒，的面积为S． ①当时，求S的值； ②当点M在线段上，且点N在线段上时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； (3)若，请直接写出此时t的值．（直接写出结果即可） 【答案】(1)10，6 (2)①；② (3)或8或 【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题； （2）①如图中， 作轴于，连接，当时，点与重合，求的面积； ②如图中， 当时，点在线段上，，作于， 于，则，由， 推出 即，可得，由此即可解决问题； （3）分三种情形①当点在边长上，点在上时；②如图中，当、在线段上相遇之前，作于， 则，列出方程即可解决问题；③同法当、在线段上相遇之后，列出方程即可； 【详解】（1）解：在中， ， ， ∴， 故答案为： ， ； （2）①解：如图， 作轴于，连接， ， ， 在中，， 当时，点与重合，， ，即， ②如图中，设点的纵坐标为，当点在线段上，，作于， 于，则， ， ， ∵， ， ， ∵点在线段上， ， ； （3）解：①当点在边上， 点在上时， ， 解得(负根已经舍弃)； ②如图3中，当、在线段上，相遇之前， 作于E， 则， 由题意得， 解得 同法当、在线段上，相遇之后， 由题意得， 解得 ， 综上所述，若，此时的值或或 【点睛】本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题. 命题点二 函数 ►题型01 求自变量的取值范围 【典例1】（2025·天津市·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可． 【详解】解：由题可得， 解得且， 故答案为：且． 【变式1】（2025·武清区·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，由题意得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2】（2025·河北区·模拟预测）在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的意义和分式的意义综合求解，熟知分式和二次根式的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得， 解得， 故答案为：． ►题型02 从函数图像获取信息（与一次函数综合） 【典例2】（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【分析】本题主要考查了函数的图形，数形结合的数学思想，求分段函数的解析式，一次函数和不等式相结合等内容，解题的关键是准确从图形中获取信息． （1）①理解题意，从图形中获取准确信息即可； ②理解题意，从图形中获取准确信息利用速度公式进行计算即可； ③理解题意，从图形中获取准确信息，并利用待定系数法进行分段求函数解析式即可； （2）求出相关解析式，列出等式求解，并结合图形即可求出不等式的解集． 【详解】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 【变式1】（2024·天津·中考真题）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为______； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①；②0.075；③当时，；当时，；当时， (2) 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张华从文化广场返回家的距离除以时间求解即可； ③分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可. （2）先求出张华爸爸的速度，设张华爸爸距家，则，当两人相遇时有，列一元一次方程求解即可进一步得出答案． 【详解】（1）解：①画社离家，张华从家出发，先匀速骑行了到画社， ∴张华的骑行速度为， ∴张华离家时，张华离家， 张华离家时，还在画社，故此时张华离家还是， 张华离家时，在文化广场，故此时张华离家还是． 故答案为：. ②, 故答案为：． ③当时，张华的匀速骑行速度为， ∴； 当时，； 当时，设一次函数解析式为：， 把，代入，可得出： ， 解得：， ∴， 综上：当时，，当时，，当时，． （2）张华爸爸的速度为：， 设张华爸爸距家，则， 当两人从画社到文化广场的途中两人相遇时，有， 解得：， ∴， 故从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是． 【变式2】（2023·天津·中考真题）已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍．下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．    请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 1.2 ②填空：张强从体育场到文具店的速度为________； ③当时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.12，1.2，0.6；②0.06；③； (2) 【分析】（1）①根据图象作答即可；②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可；③当时，直接根据图象写出解析式即可；当时，设y与x的函数解析式为，利用待定系数法求函数解析式即可； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的，可列方程为，求解即可． 【详解】（1）①， 由图填表： 张强离开宿舍的时间/ 1 10 20 60 张强离宿舍的距离/ 0.12 1.2 1.2 0.6 故答案为：0.12，1.2，0.6； ②张强从体育场到文具店的速度为， 故答案为：0.06； 当时， ； 当时，设y与x的函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 综上，张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式为； （2）当张强离开体育场时，即时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍， 当李明在回宿舍的途中遇到张强时，他俩离宿舍的距离是相等的， ∴ 解得， 当时，， 所以，他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． ►题型03 实际问题中的函数关系的建立 探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据. 【典例3】（2025·天津市模拟预测）某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是 ．（不写定义域） 【答案】 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 【变式1】（2024·和平区·一模）一个等腰三角形的周长是，腰长是，底边长是，则关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及函数关系式，正确求得函数关系式是关键．根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式即可． 【详解】解：由题意得： ∴， 故答案为：． 【变式2】（2025·南开区·二模）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中表示时间（单位：小时），表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出关于的函数解析式 ，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）． （小时） 0 1 3 （米） 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据x每增加，y就增加列式求解即可． 【详解】解：由表格可知，x每增加，y就增加， ， 故答案为：． 突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究 【典例1】（2024·全国·模拟预测）观察规律，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ，利用阅读学习的知识迁移计算解答即可． 本题考查了交点问题，距离规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点； ∴令，可得∶纵坐标为， 纵坐标为 ， ，，． ， 当时． 原式 故选D． 【变式1】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知 ，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（2023·和平区·一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列： 请根据上述规律解答下面的问题： (1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）； (2)若有序数对表示第n行，从左到右第m个数，如表示6． ①求表示的数；②求表示2023的有序数对． 【答案】(1)11；； (2)①；② 【分析】（1）观察前5行发现：后一行数字的个数比前一行多2个，以此规律解答即可； （2）①先求第11行最后一个数，然后判断为第11行倒数第二个数即可解答； ②先根据判断2023为第45行的数字，然后根据2023比第45行最后一个数字2025小2，即可判断． 【详解】（1）解：第1行有1个数， 第2行有个数， 第3行有个数， 第4行有个数， 第5行有个数， ∴第6行有个数， …… 第n行有个数； （2）解：①∵第11行有个数，且最末尾的数是， 而表示第11行的第20个数， ∴表示的数是； ②∵，， ∴， ∴2023位于第45行， ∵第45行有个数，而2023与2025相差2个数， ∴2023位于第45行的第87个数， ∴表示2023的有序数对是． 【点睛】本题考查了数字的变化类，找到变化规律是解题的关键． 突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像） 【典例2】（2025·天津市模拟预测）如图是一种轨道示意图，其中和均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且．现有两个机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为和．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大． 【详解】解：由题意可得：机器人（看成点）分别从M，N两点同时出发， 设圆的半径为R， ∴两个机器人最初的距离是， ∵两个人机器人速度相同， ∴分别同时到达点A，C， ∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C； 当两个机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离是直径，保持不变， 当机器人分别沿和移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C， 故选：D． 【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键． 【变式1】（2024·滨河新区模拟）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解． 【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选：D． 【变式2】（2024西青区模拟预测）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像） 【典例3】（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 【变式1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止，在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的图象的性质，先求得菱形的面积为，进而分三种情形讨论，重合部分为三角形，重合部分为五边形，重合部分为菱形，分别求得面积与运动时间的函数关系式，结合选项，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵菱形，， ∴ 又∵， ∴是等边三角形， ∵，， ∴ ∴ ∴ 当时，重合部分为， 如图所示， 依题意，为等边三角形， 运动时间为，则， ∴ 当时，如图所示， 依题意，，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时， 当时，同理可得， 当时，同理可得， 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线； 故选：D． 【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y，下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题） 【典例4】（2025·天津市模拟预测）如图1，动点P从菱形的点A出发，沿边匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，的长为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到中点时，的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】结合图象，得到当时，，当点P运动到点B时，，根据菱形的性质，得，继而得到，当点P运动到中点时，的长为，解得即可． 本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】结合图象，得到当时，， 当点P运动到点B时，， 根据菱形的性质，得， 故， 当点P运动到中点时，的长为， 故选C． 【变式1】（2025·天津市模拟预测）如图①，在中，，点P从点A出发沿A→C→B以1的速度匀速运动至点B，图②是点P运动时，的面积随时间x（s）变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据函数图象获取信息，完全平方公式，勾股定理， 由图象可知，面积最大值为6，此时当点P运动到点C，得到，由图象可知， 根据勾股定理，结合完全平方公式即可求解． 【详解】解：由图象可知，面积最大值为6 由题意可得，当点P运动到点C时，的面积最大， ∴，即， 由图象可知，当时，，此时点P运动到点B， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A 【变式】2（2024·和平区·一模）如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，动点函数的知识．根据图2知，，利用正切函数的定义求得的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2知，， 当时，，， ∵， ∴， ， 故选：C． 1．（2023·天津和平·二模）如图，的顶点，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线交于点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理求得，根据作图过程可得，由四边形是平行四边形，可得，从而得出，进一步得到，由等腰三角形判定可得，最后求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题中作图可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，坐标与图形，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握坐标与图形的性质． 2．（2025西青区模拟）如图，四边形是矩形，，点C在第二象限，则点C的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作轴于M，轴于N，则，，证明，得出，，得出，即可得出答案． 【详解】解：作轴于M，轴于N，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标是； 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 3．（2024·建华中学·模拟）如图，在中，，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，，矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1．将矩形沿x轴向左平移，当点D落在边上时，点E的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，利用相似三角形求出线段是解题的关键．延长交于点，利用矩形的性质证明，利用相似的性质得到，再利用平移的性质即可得到点E的坐标． 【详解】解：延长交于点， ，边在x轴上，A，B两点的坐标分别为，， ，，， 矩形的顶点F与点O重合，顶点D在边上，且纵坐标为1． ，， ， ， 即， ， 矩形沿x轴向左平移，点D落在边上， 点E的坐标为． 故选：． 4．（2025天津模拟预测）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点均为正六边形的顶点．若点的坐标分别为，则点的坐标为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，设正六边形的边长为a，由正六边形的性质及点P的坐标可求得a的值，即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接，如图，设正六边形的边长为a， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵点P的坐标为， ∴， 即； ∴，， ∴点M的坐标为． 故选：A．    【点睛】本题考查了坐标与图形，正六边形的性质，勾股定理，含30度角直角三角形的性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 5．（2025·天津模拟预测）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（    ） A．－3≤y≤3 B．0≤y≤2 C．1≤y≤3 D．0≤y≤3 【答案】D 【详解】试题分析：根据函数图象可得y的最大值为3，最小值为0，则y的取值范围为：0≤y≤3． 考点：函数图象的性质． 6．（2024天津一模）我们知道四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点处，则点C的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件得到，，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：由已知得， ∵AB的中点是坐标原点O， ∴， ∴， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 7．（2025天津模拟预测）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】解：依题意，得， 解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义． 8．（2024·天津和平·三模）已知学生宿舍、超市、体育场依次在同一条直线上，超市离宿舍0.6km，体育场离学生宿舍1.2km．张强从宿舍出发，先用了20min匀速步行去超市，在超市购买一些水和食物后，用了10min匀速跑步到达体育场，锻炼了半小时后匀速骑车返回宿舍，下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离．图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 张强离开宿舍的时间/min 10 20 35 70 张强离宿舍的距离/km 0.6 ②填空：张强从超市到体育场的速度为　　km/min； ③当0≤x≤40时，请直接写出张强离宿舍的距离y关于时间x的函数解析式； (2)同宿舍的李明比张强晚5min从学生宿舍出发直接匀速步行前往体育场，却比张强早15min 到达体育场．李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少?（直接写出结果即可） 【答案】(1)①0.3，0.9，1.2；②0.06；③ (2)0.3km 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据图象作答即可； ②根据图象，由张强从体育场到文具店的距离除以时间求解即可； ③分为，，三种情况，利用路程、速度、时间的关系列函数关系式即可； （2）先求出李明步行的解析式，然后判断追上的时间不超过20分钟，可得方程组，求解即可． 【详解】（1）解：①，由图填表： 由于， ∴张强离宿舍的距离为； 由于， ∴距离为； 当时间为时，距离宿舍； 故答案为：0.3，0.9，1.2； ②张强从超市到体育场的速度为， 故答案为：； ③当时，； 当时，； 当时，； ∴； （2）解：李明的速度为， ∴李明步行中离宿舍距离， 李明步行用时， ∴追上张强的时间在20分钟内， 解方程组得， ∴李明在去体育场的途中遇到张强时离宿舍的距离是． 9．（2024·天津滨海新·一模）已知学校、文具店、图书馆依次在同一条直线上，学校离图书馆，文具店离图书馆．某天小华步行从学校出发去图书馆，当他匀速走了后，想起要去买彩笔，于是按原路匀速返回，走了到达刚经过的文具店，在文具店停留了，买彩笔后，匀速走了到达图书馆．下面图中表示时间，表示离图书馆的距离．图像反映了这个过程中小华离图书馆的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开学校的时间/ 6 10 20 26 小华离图书馆的距离/ 1850 1800 ②填空：学校到文具店的距离为______；小华从文具店出发到图书馆的速度为______． ③当时，请直接写出小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式； (2)有同学小强与小华同时从学校出发去图书馆，小强匀速走了到达图书馆，那么小强去图书馆的途中遇到小华时离图书馆的距离是多少？（直接写出结果即可） 【答案】(1)①1550，1800；②500，100；③ (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，理解题意，从图像中获得所需信息是解题关键． （1）①首先求得小华前12分钟的速度，然后计算10分钟时，小华离图书馆的距离即可；由图像可知，26分钟时小华位于文具店，即可获得答案；②利用学校与图书馆距离减去文具店到图书馆的距离，即可求得学校到文具店的距离；利用文具店到图书馆的距离除以行走时间，即可获得答案；③当时，由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有；当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）首先确定两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间，然后分别求得此阶段两人到图书馆的距离与时间的关系式，即可求得的答案． 【详解】（1）解：①根据题意，小华前12分钟的速度为 ， 则10分钟时，小华离图书馆的距离为； 由图像可知，26分钟时小华位于文具店，离图书馆的距离为1800． 故答案为：1550，1800； ②学校到文具店的距离为 ； 小华从文具店出发到图书馆的速度为 ． 故答案为：500，100； ③当时， 由图像可知，出小华离图书馆的距离为1800，即有； 当时， 设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点、代入， 可得，解得， 所以，此阶段为． 综上所述，小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为； （2）根据题意，小强行走的速度为 ， 由（1）可知，小华前12分钟的速度为 ， 所以，前12分钟，小华行走速度小强行走速度， 到20分钟时，小强离图书馆的距离为 ， 故两人途中相遇应在12分钟至20分钟之间， 设小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，小强离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 当时，设小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 将点，代入，可得 ，解得， 所以，此阶段小华离图书馆的距离关于时间的函数解析式为， 两人途中相遇时，可有，即， 解得 ， 所以，两人途中相遇时离图书馆的距离为． 1．（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是直角三角形，，，，点B在y轴正半轴，等边的顶点，点C在第二象限，将沿x轴向右平移，得到，点O，C，D的对应点分别为，，．设，与重叠部分的面积为S，当点与点A重合时停止运动．则表示S与x的函数图象正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出和的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析沿x轴平移过程中与重叠部分的形状和面积计算方法，进而得到S与x的函数关系，最后根据函数关系判断函数图象． 【详解】解：①当时，与重叠部分为，如图1， 由平移得：， ， ， 图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意； ②当时，与重叠部分为四边形，如图2， 由平移得：，，， ， ， ， 在中，， ； 图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意； ③当时，与重叠部分为，如图3， 则，且， 是等边三角形，作于， ， ， ， 图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意； 故选：B． 2．（2025·天津河西·一模）如图，正方形边长为6，点在边上，，且，为的中点，则 （I）的度数为 ； （II）的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间距离公式等知识点，正确构造全等三角形的是解题的关键． （1）过点F作交延长线于点K，证明，得到为等腰直角三角形，则； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，即可求解． 【详解】（I）解：如图，过点F作交延长线于点K， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （II）建立如图所示平面直角坐标系： ∴， 由上知， ∵， ∵G为中点， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（2025·天津河北·二模）在平面直角坐标系中，O为原点，平行四边形的顶点，平行四边形与平行四边形关于y轴对称． (1)填空：如图①，点B的坐标为_____，点P的坐标为_____； (2)如图②，平行四边形沿水平方向向右平移t个单位长度，得到平行四边形，点O，M，N，P的对应点分别为点，平行四边形与平行四边形重叠部分面积为S． ①若，且平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形时，试用含有t的式子表示，并直接写出t的取值范围； ②当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)； (2)①，且；②． 【分析】（1）根据平行四边形性质得，根据关于y轴对称的点性质得； （2）①根据，两平行四边形重叠部分为四边形时，得，；②根据，得，当时，；当时，；当时，，；当时，，；当时，，；故当时，． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，，且， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形与平行四边形关于y轴对称， ∴点P与点C关于y轴对称， ∴， 故答案为：；； （2）解：①如图，当时， ∵平行四边形与平行四边形重叠部分为四边形， ∴点在边上，点在边上， ∵，， ∴，； ②∵， ∴， ∴， 由轴对称与平移知，， 当时，重叠部分是等边三角形， ∵， ∴， ∴当时，； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴, ∴； 当时，重叠部分是六边形形， ∵，，， ∴， ∴； 当时，重叠部分是梯形， ∵，， ∴， ∴； 综上，． 故． 【点睛】本题考查了平行四边形平移，熟练掌握平行四边形性质，平移性质，轴对称性质，等边三角形和梯形面积公式，等边三角形的判定和性质，两点间的距离公式，分类讨论，是解题的关键． 4．（2024东丽区模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点： （1）由非负数性质即得； （2）根据三角形面积公式即得； （3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：当时， 则，， ∵的面积的面积的2倍， ∵的面积的面积的面积， 解得：， ∵， ∴， 当点P在点C的下方时，，即； 当点P在点C的上方时，，即； 综上所述，点P的坐标为或． 1．（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． 2．（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 3．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 4．（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知：小明家到体育馆的距离为；故选项A错误； 小明在体育馆锻炼的时间为；故选项B错误； 小明家到书店的距离为；故选项C正确； 小明从书店到家步行的时间为；故选项D错误； 故选C． 5．（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．两车出发后相遇 B．A，B两地相距 C．快车比慢车早到达目的地 D．快车的速度为，慢车的速度为 【答案】C 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据时，，时，可判断A、B；根据函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地，据此根据速度等于路程除以时间求出两车的速度，即可判断C、D． 【详解】解：∵时，， ∴A，B两地相距，故B结论正确，不符合题意； ∵时，， ∴两车出发后相遇，故A结论正确，不符合题意； 由函数图象可得快车出发到达目的地，慢车出发到达目的地， ∴快车比慢车早到达目的地，故C结论错误，符合题意； ，， ∴快车的速度为，慢车的速度为，故D结论正确，不符合题意； 故选：C． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形中，，，动点从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点作的垂线，在点运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点运动的路程为．下列图象能反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】分三种情况：点E在上时，点E在上且l与相交时，点E在上且l与相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在上且l与相交时，作，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在上且l与相交时，如图， ，，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 7．（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以米/分钟的速度与小丽一同前往图书馆，则小华到图书馆的距离y（米）与行进时间x（分钟）之间的函数图像可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出，可得现在小华开始的速度为（米/分钟）,设小华分钟后与小丽相遇后，由题意得，得，则相遇时小华到图书馆的距离为（米），再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟，即可求解． 【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为（米）， ∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以米/分钟、米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达， ∴， ∴， ∴现在小华开始的速度为（米/分钟）, 设小华分钟后与小丽相遇， 由题意得， 得， 则相遇时小华到图书馆的距离为（米）， 剩余路程为（米）， 再结合小华开始的速度为米/分钟，大于后面的速度米/分钟， 则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间， 可知只有选项A符合题意， 故选：A． 8．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $