1.6.3 探究A对 y＝Asin(ωx＋φ) 的图象的影响课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数 1.6.3 探究A对 y = Asin( x + )的图象的影响 的作用:使正弦函数的左右平移,图像形状、大小完全不变; 的作用:使正弦函数的周期发生变化,图像形状横向拉长或缩短. 说说 , 对函数 y = sin ( x + ) 的影响. 在函数 y = sin ( x + ) ( > 0) 中, 决定了函数的周期, 决定了x = 0 时的函数值, 为初相, x + 为相位, 是函数的最小正周期. 问题1:在坐标系中,画出函数 与 的图象,仔细观察,说说两个函数之间有什么联系. 两个函数:① 周期相同,都是 ; ② 所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍. 参数 A 对 y = Asin( x + ) 图象的影响: y = Asin ( x + ) (A > 0) 的图象是将 y = sin ( x + ) 的图象上的每个点的纵坐标伸长 (当 A > 1 时) 或缩短 (当 0 < A < 1 时) 到原来的 A 倍 (横坐标不变) 得到的. A 决定了函数 y = Asin ( x + ) 的值域以及函数的最大值和最小值,通常称 A 为振幅. A 的作用:值域变化,图像形状纵向拉长或缩短. 问题2:说说函数 y = sin x 的图象如何变换到 y = Asin ( x + ) . y = sin( x + ) y = sin x y = sin(x + ) 纵坐标变为原来的A倍 y = Asin( x + ) 向左 >0 (向右 <0) 平移| |个单位 纵坐标不变 横坐标不变 横坐标变为原来的 倍 ① 先平移后伸缩 ② 先伸缩后平移 y = sin x y = sin x 纵坐标变为原来的A倍 y = Asin( x + ) 向左 >0 (向右 <0) 平移 个单位 纵坐标不变 横坐标不变 横坐标变为原来的 倍 y = sin( x + ) 问题3:讨论函数 的单调区间、最大(小)值和值域. 在区间 ,k∈Z上都单调递增; 在区间 ,k∈Z上都单调递减; 当 ,k∈Z 时,ymax = 2;当 ,k∈Z时,ymin = -2. 值域为[-2,2]. 探究函数 y = Asin ( x + ) 性质的一般方法和步骤: 第1步,确定周期 ; 第2步,在y = sin x五个关键点的基础上确定函数y = Asin ( x + )的五个关键点; 第3步,用光滑曲线顺次连接五个关键点,即可画出函数 y = Asin ( x + ) 在一个周期上的图象,再利用周期性把图象延拓到 R,就可以得到它在 R 上的图象; 第4步,借助图象讨论性质. 函数 y = Asin ( x + ) (A > 0, > 0) 性质 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 最大(小)值 R [-A,A] =k (k∈Z)时,偶函数; (k∈Z)时,奇函数 单调递增区间可由 (k∈Z)得到 单调递减区间可由 (k∈Z)得到 当x=2k + (k∈Z)时,最大值为A 当x=2k + (k∈Z)时,最小值为-A 例1:画出函数 的图象,并讨论其基本性质. 分析:(方法1) 直接运用 y = Asin ( x + ) 的结果. 先变形, ,再用一般方法来研究. (方法2) 使用类似 y = Asin ( x + ) 的研究方法. (1) 周期:由 y = cos x 的周期可知: 所以 是周期函数,T = 4 ; (2) 图象:刻画函数 y = cos x 在区间 [0,2 ] 上的图象基本形状的五个关键点为 得到刻画函数 在区间[0,4 ]上的图象基本形状的五个关键点为 (0,1),( ,0),(2 ,-1),(3 ,0),(4 ,1); 画图,根据周期性把图象向左、右延拓得到在 R 上的图象(如图). (3) 其他性质: 单调性:单调增区间是[4k -2 ,4k ],k∈Z; 单调减区间是[4k ,4k +2 ],k∈Z; 最大、最小值:当x = 4k ,k∈Z 时,函数取得最大值 1; 当x = 4k + 2 ,k∈Z 时,函数取得最小值 -1; 值域:[-1,1]. 练习1:将函数 y = sin 3x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的 倍 (横坐标不变) 可得到函数( )的图象. A. y = sin 3x B. y = sin x C. y = 3sin 3x D. y = sin 3x D 练习2:要得到函数 y = sin (x + 3) 的图象,只需要将函数 y = sin x 的图象( ) A.向左平移 3 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度 C.向上平移 3 个单位长度 D.向下平移 3 个单位长度 A 练习3:函数 y = sin x 图象上各点的纵坐标不变,把横坐标变为原来的 2倍,得到图象的解析式为 y = sin x,则 的值为( ) A.2 B. C.4 D. B 参数 变换情况 对函数 y = Asin ( x + ) 图像的影响 A 纵向伸缩变换 值域变化,图像形状纵向拉长或缩短 相位变换 左右平移,图像形状、大小完全不变 横向伸缩变换 T = ,周期变化,图像形状横向拉长或缩短 根据今天所学,说说三个参数 A、 、 对函数 y = Asin ( x + ) 图象的分别有什么影响? $