精品解析：湖南省衡阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

初中二年级期末质量监测数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 4，5，6 C. 1 D. 9，12，15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 面积相等的两三角形全等 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，使．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理．其中排序正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②①④③ C. ②①③④ D. ①④②③ 7. 已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点，连接．若的周长为，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．有如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，点到的距离为，则的面积为； 上述结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 9平方根是___________． 12. 因式分解：______． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的底角为___________． 14. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数是且．以点为圆心、长为半径画弧，交数轴原点右边于点，则点表示的数是___________． 15. 如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________． 16. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 随着AI技术在生活、学习、产业等领域的应用愈发广泛，智能工具、自动化系统等已逐渐融入日常．为了解学生对不同AI应用领域的关注偏好，某校对部分学生开展关于问题为“你最关注的应用领域是哪类？”的抽样问卷调查（每人必须选且只能选其中一项），设有四个选项： A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 图①、图②是根据调查结果绘制两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供信息解答以下问题： （1）这次调查抽取的学生人数为___________名，在扇形统计图中C选项所在扇形的圆心角是___________度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请估计全校共有多少名学生最关注“智能学习助手”？ 20. 如图，于点，于点，，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 22. 如图，是的角平分线，延长至点，连接．已知． （1）求证：． （2）若． ①求证：是等腰三角形； ②求的面积． 23. 阅读材料：若，求的值． 解：， ，即， ，解得， ． 解决问题： （1）若，求的值； （2）已知直角三角形的两边长为，．满足，求的周长； （3）已知正整数，，，满足不等式．求的值． 24. 如图1，在中，，，求边上中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中二年级期末质量监测数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的识别，解题的关键是掌握：无限不循环小数叫做无理数．据此逐一判断各选项即可．也考查了有理数． 【详解】解：A．是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B．是无理数，故此选项符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故此选项不符合题意； D．，是整数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 4，5，6 C. 1 D. 9，12，15 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形，然后问题可求解． 【详解】解：对于选项A：∵，∴不能组成直角三角形； 对于选项B：∵，，∴不能组成直角三角形； 对于选项C：∵，，∴不能组成直角三角形； 对于选项D：∵，，∴能组成直角三角形； 故选D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查指数运算规则，包括幂的乘方、同底数幂相乘、积的乘方以及合并同类项，根据运算法则逐项判断即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 面积相等的两三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题，等边三角形的判定定理，等腰三角形的定义及全等三角形的性质，熟练掌握真假命题，等边三角形的判定定理，等腰三角形的定义及全等三角形的性质是解题的关键；选项A、C、D均存在反例，为假命题；选项B正确，是真命题，然后问题可求解． 【详解】解：选项A：∵当时，a与b可能互为相反数，例如，，∴不一定成立，故A为假命题； 选项B：有一个角为的等腰三角形是等边三角形，是等边三角形的判定定理，故B为真命题； 选项C：∵等腰三角形可以是直角三角形或钝角三角形，例如等腰直角三角形，∴不一定是锐角三角形，故C为假命题； 选项D：∵面积相等的三角形不一定全等，例如底和高乘积相等但形状不同的三角形，∴不全等，故D为假命题； 故选B． 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，使．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，根据三角形内角和得，再根据旋转的性质及全等三角形的性质得，然后由平行线的性质得，最后根据角的和差可得答案．解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数是． 故选：C． 6. 某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理．其中排序正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②①④③ C. ②①③④ D. ①④②③ 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了调查收集数据的过程与方法，正确进行数据的调查步骤是解题关键．根据统计调查的一般过程得出答案． 【详解】解：几个步骤进行排序为： ②设计对数学喜爱情况的调查问卷； ①从每班随机抽取10人进行调查； ④对得到结果进行记录整理； ③利用样本估计总体得出调查结论； ∴排序为②①④③， 故选：B． 7. 已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据长方形面积公式，另一边长等于面积除以已知边长，通过多项式除以单项式计算即可. 【详解】解：长方形的面积为，一边长为， 另一边长为． 故选： D． 8. 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解题的关键． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 又∵大正方形可看作由边长为的正方形，个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点，连接．若的周长为，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可知直线为线段的垂直平分线，即，，再根据的周长为，可得，进而可得的周长． 【详解】解：根据题意可知直线为线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是， 故选：D． 10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．有如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，点到距离为，则的面积为； 上述结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据现有条件无法证明，即可判断①；根据角平分线的定义及平行线的性质推出，，即可判断②；根据三角形内角和定理得，继而推出，即可判断③；如图，过点作于点、作于点，作于点，连接，根据角平分线的性质推出，再根据，即可判断④． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， 但根据已知条件无法说明， ∴不一定等于，故结论①不正确； ∵，， ∴，故结论②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故结论③正确； 如图，过点作于点、作于点，作于点，连接， ∵平分，平分， ∴， ∵，点到的距离为，， ∴， ∴， 即的面积为，故结论④正确； ∴结论正确的有个． 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的面积，解题的关键是掌握角平分线的性质，等腰三角形的判定． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 9的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平方根，熟练掌握平方根是解题的关键；根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，然后问题可求解． 【详解】解：由，可知：9的平方根是； 故答案为． 12. 因式分解：______． 【答案】m(m+5) 【解析】 【分析】确定公因式进行提取，进行分解可得结果. 【详解】解：m2+5m=m(m+5). 故答案为m(m+5). 【点睛】本题主要考查了因式分解的方法，关键是熟练掌握提取公式法的步骤． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的底角为___________． 【答案】##25度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出答案．解题的关键是掌握：等腰三角形的两个底角相等． 【详解】解：∵等腰三角形的一个角为，且， ∴角为顶角， 设底角为， ∴， 解得：， ∴它的底角为． 故答案为：． 14. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数是且．以点为圆心、长为半径画弧，交数轴原点右边于点，则点表示的数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的几何表示、勾股定理的计算，掌握“数轴上的点与实数一一对应” 等知识点，利用数形结合的数学思想是解题的关键． 先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接、，根据等边三角形的性质得，，根据等腰三角形三线合一性质推出垂直平分，得，，继而推出当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据等腰三角形三线合一性质及勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，边长为，，分别为边，上一动点， ∴，， ∵是边上的高， ∴是边上的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当且点、、共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴，， 在中，， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短，垂线段最短等知识点，确定的最小值为垂线段的长是解题的关键． 16. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，掌握实数的混合运算法则是解题关键．先计算算术平方根，化简绝对值，立方根，再计算加减即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先去括号，再合并同类项即可化简，最后代入，计算即可得出结果，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ， 当，时，原式． 19. 随着AI技术在生活、学习、产业等领域的应用愈发广泛，智能工具、自动化系统等已逐渐融入日常．为了解学生对不同AI应用领域的关注偏好，某校对部分学生开展关于问题为“你最关注的应用领域是哪类？”的抽样问卷调查（每人必须选且只能选其中一项），设有四个选项： A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）这次调查抽取的学生人数为___________名，在扇形统计图中C选项所在扇形的圆心角是___________度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请估计全校共有多少名学生最关注“智能学习助手”？ 【答案】（1）； （2）作图见解析 （3）名 【解析】 【分析】（1）根据选择B选项人数和所占的百分比，可以求得本次调查的人数，然后即可计算出C选项所在扇形的圆心角的度数； （2）根据（1）中所得的本次调查的人数，可以计算出选择D选项的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （3）根据统计图中的数据，可以计算出该校最关注“智能学习助手”的人数． 小问1详解】 解：∵（名）， ， ∴这次调查抽取的学生人数为名，在扇形统计图中C选项所在扇形的圆心角是度， 故答案为：；； 【小问2详解】 选择D选项的人数为：（名）， 补全的条形统计图如图所示： 【小问3详解】 （名）， ∴估计全校共有名学生最关注“智能学习助手”． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解题的关键是利用数形结合的思想解答． 20. 如图，于点，于点，，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质： （1）利用角角边可证明； （2）根据，可得，，从而得到，再证明，可得，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 22. 如图，是角平分线，延长至点，连接．已知． （1）求证：． （2）若． ①求证：是等腰三角形； ②求的面积． 【答案】（1）见详解 （2）①见详解；②2 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）①由（1）可得，则有，然后可得，进而可得，则问题可求证； ②过点E作于点F，由题意易得，则有是等腰直角三角形，然后可得，进而根据三角形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； ②过点E作于点F，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 23. 阅读材料：若，求的值． 解：， ，即， ，解得， ． 解决问题： （1）若，求的值； （2）已知直角三角形的两边长为，．满足，求的周长； （3）已知正整数，，，满足不等式．求的值． 【答案】（1）1 （2）12或 （3）8 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）先将已知等式通过完全平方公式变形为两个平方项相加得形式，再根据平方的非负性求出、的值，最后代入计算； （2）先将已知等式通过完全平方公式变形为两个平方项相加得形式，再根据平方的非负性求出、的值，再分情况讨论、是直角边还是斜边，进而求出三角形的周长； （3）对不等式进行变形，配方后根据非负数的性质求出、、的值，进而求出的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 当、为直角边时，，此时的周长， 当为斜边，为直角边时，，此时的周长； 综上所述，的周长为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，为正整数， ∴，，， 若，则，与不等式矛盾，故， 代入得， 若，则，故此时必有，且， 解得，或，，均因不是整数而舍去， 故， 代入得，即， 解得， ∴． 24. 如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；；；（3）证明见解析；（4）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）由作图过程及已知得，，，再根据即可得证； （2）根据全等三角形的性质得，再根据三角形三边关系即可得出答案； （3）如图，延长至，使，证明得，，再根据等边对等角得，进一步推出，即可得证； （4）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得，，继而得到，即可得证； ②如图，过点作交的延长线于点，得，，由①知：，，可推出，证明得，，继而得到，即可得解． 【详解】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的取值范围是， 故答案为：；；； （3）证明：如图，延长至，使， ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）解：①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ②如图，过点作交的延长线于点， ∴，， 由①知：，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的定义，三角形三边关系定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，正确理解题意，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $