湖南省衡阳市2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题

初中二年级期末质量监测数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组线段中，能组成直角三角形的是（ ） A. B. 4，5，6 C. 1 D. 9，12，15 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 若，则 B. 有一个角等于的等腰三角形是等边三角形 C. 等腰三角形一定是锐角三角形 D. 面积相等的两三角形全等 5. 如图，将绕点逆时针旋转得到，使．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 某数学小组想了解本校1800余名学生对数学的喜爱情况，现拟定以下步骤进行调查：①从每班随机抽取10人进行调查；②设计对数学喜爱情况的调查问卷；③利用样本估计总体得出调查结论；④对得到结果进行记录整理．其中排序正确的是（ ） A. ①②③④ B. ②①④③ C. ②①③④ D. ①④②③ 7. 已知长方形的面积为，如果它的一边长为，则它的另一边长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，分别以点和点为圆心、大于长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，分别交于点，连接．若的周长为，且，则的周长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点．有如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，点到的距离为，则的面积为； 上述结论正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 9的平方根是_________． 12. 因式分解：______． 13. 等腰三角形的一个角是，则它的底角为___________． 14. 如图，在数轴上点表示原点，点表示的数是且．以点为圆心、长为半径画弧，交数轴原点右边于点，则点表示的数是___________． 15. 如图，是等边三角形，边长为，是边上的高，，分别为边，上的一动点，则的最小值为___________． 16. 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中，． 19. 随着AI技术在生活、学习、产业等领域的应用愈发广泛，智能工具、自动化系统等已逐渐融入日常．为了解学生对不同AI应用领域的关注偏好，某校对部分学生开展关于问题为“你最关注的应用领域是哪类？”的抽样问卷调查（每人必须选且只能选其中一项），设有四个选项： A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图． 请你根据统计图提供的信息解答以下问题： （1）这次调查抽取的学生人数为___________名，在扇形统计图中C选项所在扇形的圆心角是___________度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有名学生，请估计全校共有多少名学生最关注“智能学习助手”？ 20. 如图，于点，于点，，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）． 22. 如图，是的角平分线，延长至点，连接．已知． （1）求证：． （2）若． ①求证：是等腰三角形； ②求的面积． 23. 阅读材料：若，求的值． 解：， ，即， ，解得， ． 解决问题： （1）若，求的值； （2）已知直角三角形的两边长为，．满足，求的周长； （3）已知正整数，，，满足不等式．求的值． 24. 如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【方法探索】 如图1，小潘通过倍长中线法解决了这个问题：延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）由全等知．在中，根据三角形的三边关系，得______________________，从而得到的取值范围是___________． 【方法应用】 （3）如图2，在中，为边的中点，点在边上，与相交于点，且，求证：． 【能力提升】 （4）如图3，在中，平分，为边的中点，过点作，交于点，交的延长线于点． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②若，，求的长． 初中二年级期末质量监测数学 本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息； 2．选择题部分请按题号用铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4．在草稿纸、试题卷上作答无效； 5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸． 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 【11题答案】 【答案】±3 【12题答案】 【答案】m(m+5) 【13题答案】 【答案】##25度 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】## 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每小题6分，第19题8分，第20、21题每小题9分，第22题10分，第23、24题每小题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】， 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 补全的条形统计图如图所示： （3）名 【20题答案】 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （2）8 【21题答案】 【答案】（1）13 （2） 【22题答案】 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴； （2） ①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰三角形； ②2 【23题答案】 【答案】（1）1 （2）12或 （3）8 【24题答案】 【答案】（1）证明：由作图过程知：， ∵是的边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）；；； （3）证明：如图，延长至，使， ∵点为边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （4）①与的数量关系：． 理由：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴； ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $