第二章相交线与平行线 【易错题整理】 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

【易错题整理】第二章相交线与平行线 （七年级下册数学北师大新版） 一．选择题（共21小题） 1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 2．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 3．春天是播种的季节，某村计划在河边开挖一条水渠把河中的河水引到水池O中进行蓄水以便在播种之前灌溉农田，（如图）为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是（　　） A．E点 B．F点 C．G点 D．H点 4．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 5．如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 6．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 7．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm 8．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a∥b，若AB与BC的夹角为105°，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．125° C．130° D．150° 9．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 10．如图，下列说法正确的是（　　） A．∠1和∠B是同位角 B．∠2和∠3是内错角 C．∠3和∠4是对顶角 D．∠B和∠4是同旁内角 11．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 12．如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 13．如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 14．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 15．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直 17．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 18．如图，∠1与∠2构成对顶角的是（　　） A． B． C． D． 19．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．55° C．70° D．75° 20．如图，直线a∥b．将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．108° B．118° C．128° D．152° 21．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180° 二．填空题（共6小题） 22．将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　 　 ． 23．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　 　 ． 24．如图所示，在△ABC中，AB：BC：AC＝3：4：5，且周长为36m，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则经过7秒时，点B到PQ的距离为 　 　 ． 25．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 　 　 ． 26．一个角的余角的度数为30°，则这个角的补角的度数为 　 　 ． 27．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有　 　 条． 三．解答题（共4小题） 28．如图，AB∥CD，点E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠B＝60°，∠E＝50°，求∠CAE的度数． 29．完成下列推理过程： 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B 求证：∠EDG+∠DGC＝180° 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） ∠1+∠DFE＝180°（　 　 ） ∴∠2＝　 　 （　 　 ） ∴EF∥AB（　 　 ） ∴∠3＝　 　 （　 　 ） 又∵∠3＝∠B（已知） ∴∠B＝∠ADE（　 　 ） ∴DE∥BC（　 　 ） ∴∠EDG+∠DGC＝180°（　 　 ） 30．完成下面推理过程： 如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下： ∵∠1＝∠2 （　 　 ） 且∠1＝∠CGD（　 　 ）， ∴∠2＝∠CGD （　 　 ） ∴CE∥BF（　 　 ）． ∴∠　 　 ＝∠C（　 　 ）． 又∵∠B＝∠C （　 　 ） ∴∠　 　 ＝∠B （　 　 ） ∴AB∥CD（　 　 ）． 31．【问题情境】：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC的度数． （1）按小明的思路，求∠APC的度数； （2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）【问题应用】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【易错题整理】第二章相交线与平行线（七年级下册数学北师大新版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B D C B D C B B D 题号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 答案 C C C C C A C B B B 一．选择题（共21小题） 1．如图，点E在AC的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180° 【答案】A 【解答】解：A．根据内错角相等，两直线平行即可证得AB∥CD； B．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； C．根据内错角相等，两直线平行即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD； D．根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BD∥AC，不能证AB∥CD． 故选：A． 2．下列判断错误的是（　　） A．∠2与∠4是同旁内角 B．∠3与∠4是内错角 C．∠5与∠6是同旁内角 D．∠1与∠5是同位角 【答案】C 【解答】解：A、∠2与∠4是同旁内角，原说法正确，故此选项不符合题意； B、∠3与∠4是内错角，原说法正确，故此选项不符合题意； C、∠5与∠6不是同旁内角，原说法错误，故此选项符合题意； D、∠1与∠5是同位角，原说法正确，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．春天是播种的季节，某村计划在河边开挖一条水渠把河中的河水引到水池O中进行蓄水以便在播种之前灌溉农田，（如图）为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是（　　） A．E点 B．F点 C．G点 D．H点 【答案】B 【解答】解：由垂线段最短，得 四条路段OE，OF，OG，OH，如图所示，其中最短的一条路线是OF， 所以为了使水渠最短应该在河边选择的引水口是F点， 故选：B． 4．如图，CD∥BE，则∠2+∠3﹣∠1的度数等于（　　） A．90° B．120° C．150° D．180° 【答案】D 【解答】解：过点A作AF∥BE， ∴∠BAF＝∠3， ∵∠CAF＝∠BAF﹣∠1， ∴∠CAF＝∠3﹣∠1， ∵CD∥BE， ∴AF∥CD， ∴∠CAF+∠2＝180°， ∴∠3﹣∠1+∠2＝180°， 即∠2+∠3﹣∠1＝180°， 故选：D． 5．如图，直线AB∥CD，直线MN分别与直线AB、CD交于点E、F，且∠1＝40°，则∠2等于（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DFN＝40°， ∴∠2＝180°﹣∠DFN＝140°， 故选：C． 6．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB＝90°，若∠1+∠B＝65°，则∠2的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】B 【解答】解：由三角形的外角性质可得，∠3＝∠1+∠B＝65°， ∵a∥b，∠DCB＝90°， ∴∠2＝180°﹣∠3﹣90°＝180°﹣65°﹣90°＝25°． 故选：B． 7．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm 【答案】D 【解答】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3＝4cm，其它情况下大于4cm， 当A、B在直线l的两侧时，AB＞4cm， 故选：D． 8．图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知a∥b，若AB与BC的夹角为105°，∠1＝55°，则∠2的度数为（　　） A．105° B．125° C．130° D．150° 【答案】C 【解答】解：如图：设BC与直线b相交于点E，延长AB交直线b于点D， ∵∠ABC＝105°， ∴∠EBD＝180°﹣∠ABC＝75°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠BDE＝55°， ∵∠2是△BED的一个外角， ∴∠2＝∠BDE+∠EBD＝130°， 故选：C． 9．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；其中正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误； ②同位角不一定相等，故说法错误； ③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确； 故选：B． 10．如图，下列说法正确的是（　　） A．∠1和∠B是同位角 B．∠2和∠3是内错角 C．∠3和∠4是对顶角 D．∠B和∠4是同旁内角 【答案】B 【解答】解：A．∠1和∠B不是同位角，原说法错误，故此选项不符合题意； B．∠2和∠3是内错角，原说法正确，故此选项符合题意； C．∠3和∠4是邻补角，原说法错误，故此选项不符合题意； D．∠B和∠4不是同旁内角，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 11．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（　　） A．α+β＝180° B．α+β＝90° C．β＝3α D．α﹣β＝90° 【答案】D 【解答】解：过C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2， ∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°， 故选：D． 12．如图，直线m∥n，AC⊥BC于点C，∠1＝30°，则∠2的度数为（　　） A．140° B．130° C．120° D．110° 【答案】C 【解答】解：∵AC⊥BC于点C， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠1＝90°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°， ∵m∥n， ∴∠2＝180°﹣∠ABC＝120°． 故选：C． 13．如图，AB∥CD，则图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 14．下列说法中，正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B．平面内互相垂直的两条直线不一定相交 C．直线AB外一点P与直线上各点连接而成的所有线段中最短线段的长是7cm，则点P到直线AB的距离是7cm D．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【答案】C 【解答】解：A．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫这个点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； B．在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故本选项不符合题意； C．根据点到直线的距离的定义可知：此时的7cm就是点P到直线AB的距离，故本选项符合题意； D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项不符合题意； 故选：C． 15．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 16．在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（　　） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行、相交或垂直 【答案】C 【解答】解：在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系，是平行或相交， 所以在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是：平行或相交． 故选：C． 17．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 18．如图，∠1与∠2构成对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：对顶角：∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线，故C符合题意； 故选：C． 19．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE∥AB．若∠ACB＝75°，∠ECD＝50°，则∠A的度数为（　　） A．50° B．55° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝75°，∠ECD＝50°， ∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠ECD＝55°， ∵AB∥CE， ∴∠A＝∠ACE＝55°， 故选：B． 20．如图，直线a∥b．将一直角三角形的直角顶点置于直线b上，若∠1＝28°，则∠2的度数是（　　） A．108° B．118° C．128° D．152° 【答案】B 【解答】解：如图，∵AB∥CD， ∴∠2＝∠ABC＝∠1+∠CBE＝28°+90°＝118°， 故选：B． 21．如图，直线a，b被c，d所截，且a∥b，则下列结论中正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠3＝∠4 C．∠2+∠4＝180° D．∠1+∠4＝180° 【答案】B 【解答】解：∵直线a，b被c，d所截，且a∥b， ∴∠3＝∠4， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 22．将含30°角的三角板如图摆放，AB∥CD，若∠1＝20°，则∠2的度数是 　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：如图： ∵∠1＝20°，∠3＝∠1+30°， ∴∠3＝∠1+30°＝20°+30°＝50°， ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝50°． 故答案为：50°． 23．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠LED护眼灯，其示意图如图所示，EF与桌面MN垂直．当发光的灯管AB恰好与桌面MN平行时，若∠DEF＝126°，∠BCD＝104°，则∠CDE的度数为　112°　 ． 【答案】112° 【解答】解：∵EF⊥MN， ∴∠MFE＝90°， 如图，过点D作DG∥AB，过点E作EH∥AB， ∵AB∥MN， ∴AB∥DG∥EH∥MN， ∴∠ACD+∠CDG＝180°，∠GDE＝∠DEH，∠HEF＝∠MFE＝90°， ∵∠DEF＝126°，∠BCD＝104°， ∴∠GDE＝∠DEH＝∠DEF﹣90°＝36°，∠CDG＝180°﹣104°＝76°， ∴∠CDE＝∠CDG+∠GDE＝112°， 故答案为：112°． 24．如图所示，在△ABC中，AB：BC：AC＝3：4：5，且周长为36m，点P从点A开始沿AB边向B点以每秒1m的速度移动；点Q从点B沿BC边向点C以每秒2m的速度移动（Q运动到点C停止），如果同时出发，则经过7秒时，点B到PQ的距离为 　m ． 【答案】m． 【解答】解：AB36＝9（m），BC36＝12（m），AC36＝15（m）， ∵AB2+BC2＝92+122＝225，AC2＝152＝225， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°． 7×1＝7（m）， ∴经过7秒时，点P在AB上且位于点A右侧7m处； 7×2＝14（m）， ∵14＞12， ∴经过7秒时，点Q停在点C处． 点P、Q的位置如图所示： 连接PQ，过点B作BP＝AB﹣AP＝9﹣7＝2（m），BQ＝BC＝12m， 在Rt△PBQ中利用勾股定理，得PQ2m， ∵SRt△PBQBP•BQPQ•BD， ∴BD（m）． 故答案为：m． 25．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝37°，在OB上有一点E，从E点射出一束光线经OA上一点D反射，此时∠ODE＝∠ADC，且反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是 　74°　 ． 【答案】74° 【解答】解：过点D作DF⊥AO交OB于点F． ∵入射角等于反射角， ∴∠1＝∠3， ∵CD∥OB， ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）； ∴∠2＝∠3（等量代换）； 在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，∠AOB＝37°， ∴∠2＝90°﹣37°＝53°； ∴在△DEF中，∠DEB＝180°﹣2∠2＝74°． 故答案为：74°． 26．一个角的余角的度数为30°，则这个角的补角的度数为 　120°　 ． 【答案】120° 【解答】解：∵一个角的余角的度数是30°， ∴这个角的补角的度数是90°+30°＝120°， 故答案为：120°． 27．如图，AB⊥AC，AD⊥BC，能表示点到直线的距离的线段有　5　 条． 【答案】5 【解答】解：如图所示：线段AB是点B到AC的距离， 线段CA是点C到AB的距离， 线段AD是点A到BC的距离， 线段BD是点B到AD的距离， 线段CD是点C到AD的距离， 故图中能表示点到直线距离的线段共有5条． 故答案为：5． 三．解答题（共4小题） 28．如图，AB∥CD，点E是BC的延长线上的一点，AE交CD于点F，∠1＝∠2，∠3＝∠4． （1）求证：AD∥BE； （2）若∠B＝60°，∠E＝50°，求∠CAE的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）∠CAE的度数为20°． 【解答】（1）证明：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD， ∵AB∥CD， ∴∠4＝∠BAE， ∴∠4＝∠CAD， ∵∠3＝∠4， ∴∠3＝∠CAD， ∴AD∥BE； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠B＝∠DCE＝60°， ∵∠E＝50°， ∴∠4＝180°﹣∠E﹣∠DCE＝70°， ∵∠3＝∠4， ∴∠3＝70°， ∵∠3是△ACE的一个外角， ∴∠CAE＝∠3﹣∠E＝20°， ∴∠CAE的度数为20°． 29．完成下列推理过程： 已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B 求证：∠EDG+∠DGC＝180° 证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） ∠1+∠DFE＝180°（　邻补角定义　 ） ∴∠2＝　∠DFE （　同角的补角相等　 ） ∴EF∥AB（　内错角相等，两直线平行　 ） ∴∠3＝　∠ADE （　两直线平行，内错角相等　 ） 又∵∠3＝∠B（已知） ∴∠B＝∠ADE（　等量代换　 ） ∴DE∥BC（　同位角相等，两直线平行　 ） ∴∠EDG+∠DGC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ） 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：∵∠1+∠2＝180°（已知） ∠1+∠DFE＝180°（邻补角定义） ∴∠2＝∠DFE（同角的补角相等） ∴EF∥AB（内错角相等，两直线平行） ∴∠3＝∠ADE（两直线平行，内错角相等） 又∵∠3＝∠B（已知） ∴∠B＝∠ADE（等量代换） ∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行） ∴∠EDG+∠DGC＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 故答案为：邻补角定义；∠DFE，同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；∠ADE，两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 30．完成下面推理过程： 如图，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，可推得AB∥CD．理由如下： ∵∠1＝∠2 （　已知　 ） 且∠1＝∠CGD（　对顶角相等　 ）， ∴∠2＝∠CGD （　等量代换　 ） ∴CE∥BF（　同位角相等，两直线平行　 ）． ∴∠BFD ＝∠C（　两直线平行，同位角相等　 ）． 又∵∠B＝∠C （　已知　 ） ∴∠BFD ＝∠B （　等量代换　 ） ∴AB∥CD（　内错角相等，两直线平行　 ）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠1＝∠2 （已知），且∠1＝∠CGD（对顶角相等）， ∴∠2＝∠CGD （等量代换）， ∴CE∥BF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠BFD＝∠C（两直线平行，同位角相等）． 又∵∠B＝∠C （已知）， ∴∠BFD＝∠B （等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：已知，对顶角相等，等量代换，同位角相等，两直线平行，BFD，两直线平行，同位角相等，已知，BFD，等量代换，内错角相等，两直线平行． 31．【问题情境】：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数． 小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线的性质来求∠APC的度数． （1）按小明的思路，求∠APC的度数； （2）【问题迁移】如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）【问题应用】在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系． 【答案】（1）110°． （2）∠APC＝α+β． （3）①∠APC＝β﹣α，②∠APC＝α﹣β． 【解答】解：（1）过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PE， ∴∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+∠CPE＝180°， ∴∠BAP+∠APE+∠DCP+∠CPE＝360°， 即∠BAP+∠APC+∠DCP＝360°， ∵∠BAP＝130°，∠DCP＝120°， ∴∠APC＝360°﹣130°﹣120°＝110°； 故答案为：110°． （2）如图，过P点作PE∥CD∥AB， ∴∠CPE＝∠PCD，∠EPA＝∠PAB， ∴∠APC＝∠CPE+∠EPA＝∠PCD+∠PAB， ∵∠PAB＝α，∠PCD＝β ∴∠APC＝α+β 故答案为：∠APC＝α+β． （3）如图所示，①过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴∠PCD＝∠EPC，∠EPA＝∠PAB， ∴∠PCD＝∠EPC＝∠APC+∠EPA＝∠APC+∠PAB， ∵∠PAB＝α，∠PCD＝β， ∴∠APC＝β﹣α． ②如图所示，过点P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠EPA，∠EPC＝∠PCD， ∴∠APC＝∠EPA﹣∠EPC＝∠PAB﹣∠PCD， 又∵∠PAB＝α，∠PCD＝β， ∴∠APC＝α﹣β 故答案为：①∠APC＝β﹣α，②∠APC＝α﹣β． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/26 17:17:23；用户：梁嘉雯；邮箱：18023677090；学号：39632606 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $