1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

第一章 三角函数 1.5.2 余弦函数的图象与性质再认识 1.会用五点法画余弦函数的图象，理解正弦曲线与余弦曲线的关系. 2.掌握余弦函数的性质，并能应用余弦函数的性质与图象解决相关问题. O y x 结合正弦函数的图象，回顾图象的绘制步骤： 先通过描点作图，画出 y = sin x 在 [0，2π] 的图象， 再利用其周期性进行平移，就可以得到 y = sin x，x∈R 的图象. 探究一：余弦函数的图象 问题1：类比正弦函数图象的画法，画出余弦函数 y = cos x 的图象. （1）填写下表： x 0 π 2π cos x （2）利用表格中数据，该如何画出正弦函数 y = cos x 在区间 [0，2π] 上的图象？ 0 -1 0 1 1 ① 描点连线，如图所示. ② 左、右平移 (每次平移 2π 个单位长度) 问题2：仔细观察余弦函数 y = cos x 在区间 [0，2π] 的图象，说说要确定函数图象的形状应抓住哪些关键点？ 五点 (画图) 法 零点 最大值点 最小值点 最大值点 问题3：观察正弦函数 y = sin x 和余弦函数 y = cos x 的图象，结合诱导公式 ，说说两个函数图象间有什么联系. ① 由诱导公式可知，y = cos x 的图象就是 y = sin (x + ) 的图象； ② y = cos x 的图象可通过将 y = sin x 的图象向左平移 个单位长度得到. “左加” 例1：画出函数 y = cos (x - π) 在一个周期上的图象. x-π 0 π 2π x π 2π 3π y = cos(x-π) 1 0 -1 0 1 解：（1）按五个关键点列表： 得到函数 y = cos (x-π) 在区间[π，3π]上的五个关键点： （2）描点连线，画出图象. “右减” ① 由诱导公式可知，y = -cos x 的图象就是 y = cos (x - π) 的图象； ② y = cos (x - π) 的图象可通过将 y = cos x 的图象向右平移 π 个单位长度得到. 练一练1：画出函数 y = 2 + cos x 在区间 [0，2π] 上的图象. x 0 π 2π y = cos x 1 0 -1 0 1 y = cos x + 2 3 2 1 2 3 解：① 按五个关键点列表： ② 描点连线，画出图象. “上加” ③ 由图可知，y = 2 + cos x 的图象即是将 y = cos x 的图象整体向上平移 2 个单位长度所得. 练一练2：画出函数 y = cos x - 1 在区间 [0，2π] 上的图象. x 0 π 2π y = cos x 1 0 -1 0 1 y = cos x - 1 0 -1 -2 -1 0 解：① 按五个关键点列表： ② 描点连线，画出图象. “下减” ③ 由图可知，y = cos x - 1 的图象即是将 y = cos x 的图象整体向下平移 1 个单位长度所得. 函数图像的平移规律 向上平移 b 个单位 y = f ( x ) f ( x ) – b f ( x ) + b 向下平移 b 个单位 向左平移 a 个单位 向右平移 a 个单位 f ( x + a ) f ( x – a ) “左加右减” “上加下减” 探究二：余弦函数性质的再认识 问题4：类比对正弦函数性质再认识的学习方式，通过观察图象得到余弦函数 y＝cos x 在 x∈R 上的主要性质. 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 最大(小)值 R [－1，1] 周期函数，周期是2π 偶函数 (关于 y 轴对称） 单调递增区间：[(2k－1)π，2kπ](k∈Z) 单调递减区间：[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z) 当x＝2kπ(k∈Z)时，最大值为1 当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时，最小值为－1 例2：观察函数 y = cos x - 1 在区间 [0，2π] 上的图象，并根据图象讨论函数的性质. 定义域 值 域 周期性 奇偶性 单调性 最大(小)值 R [-2，0] 周期函数，周期是2π 偶函数 单调递增区间：[(2k-1)π，2kπ](k∈Z) 单调递减区间：[2kπ，(2k+1)π](k∈Z) 当x = 2kπ (k∈Z)时，最大值为 0 当x = (2k + 1)π (k∈Z)时，最小值为-2 练一练 3：借助余弦函数 y = cos x 的图象，求满足 的 x 的取值范围. 取值范围为[2kπ - ，2kπ + ](k∈Z) 根据今天所学，回顾下列知识点： （1）余弦函数 y = cos x 的图象；（2）余弦函数的性质； $