第1章 §5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（北师大版）

该高中数学课件系统梳理正弦函数、余弦函数的图象与性质，从“五点法”作图入手，逐步展开定义域、值域、周期性等核心性质，通过知识辨析与典例解析搭建从基础到应用的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 其特色在于融合数学眼光（几何直观）与数学思维（推理能力），如通过“五点法”作图培养几何直观，典例中利用诱导公式转化角度比较函数值大小体现逻辑推理。采用问题引导与分步解析，助力学生深化理解，也为教师提供系统教学资源，提升教学效率。

§5　正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 正弦函数、余弦函数的图象 必备知识 清单破 知识点 1 函数 正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 图象     在[0,2π]上起关键作用的五个点 (0,0),     , (π,0),     , (2π,0) (0,1),  ,(π,-1), ,(2π,1) 正(余)弦曲线 正弦函数的图象称作正弦曲线 余弦函数的图象称作余弦曲线 曲线的关系 余弦曲线y=cos x可以通过将正弦曲线y=sin x向左平移 个单位长度得到 第一章　三角函数 高中同步 　正弦函数、余弦函数的性质 知识点 2 函数 正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 定义域 R 最值 当x= +2kπ,k∈Z时,取得最大值1; 当x= +2kπ,k∈Z时,取得最小值-1 当x=2kπ(k∈Z)时,取得最大值1; 当x=2kπ+π(k∈Z)时,取得最小值-1 值域 [-1,1] 周期性 是周期函数,最小正周期为2π 奇偶性 奇函数 偶函数 第一章　三角函数 高中同步 单调性 在 (k∈Z)上 单调递增; 在     (k ∈Z)上单调递减 在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上单调递 增; 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调 递减 图象的 对称轴 直线x=kπ+ ,k∈Z 直线x=kπ,k∈Z 图象的 对称中心 点(kπ,0),k∈Z 点 ,k∈Z 第一章　三角函数 高中同步 知识辨析 1.分析正弦函数y=sin x在一个周期[0,2π]内的图象发现,当x的值从0→ →π→ π→2π变化时, 对应的函数值y的变化规律如何? 2.用“五点(画图)法”作函数y=1+cos x,x∈R的图象时,首先应描出的五个点是什么? 3.由sin =sin  ,可得函数y=sin  的一个周期为4π,这种说法对吗? 4.正弦曲线有无数条对称轴,但只有一个对称中心,对吗? 5.若y=sin x和y=cos x在区间(m,n)(其中0<m<n<2π)上都单调递减,则m的最小值和n的最大值分 别是多少? 第一章　三角函数 高中同步 一语破的 1.结合正弦曲线可知,当x的值从0→ →π→ π→2π变化时,对应的y值的变化为0→1→0→-1 →0. 2.(0,2), ,(π,0), ,(2π,2). 3.不对.因为sin  =-sin  ≠sin  ,所以4π不是函数y=sin  的一个周期. 4.不对.正弦曲线有无数条对称轴和无数个对称中心. 5.m的最小值为 ,n的最大值为π. 第一章　三角函数 高中同步 关键能力 定点破 　利用单调性比较三角函数值的大小  利用单调性比较三角函数值的大小的步骤 (1)依据诱导公式把异名三角函数化为同名三角函数; (2)依据诱导公式把角化到同一个单调递增(减)区间内,对于正弦函数来说,一般将两个角转 化到 或 内,对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内; (3)依据三角函数的单调性比较大小. 定点 1 第一章　三角函数 高中同步 典例 利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin 196°与cos 156°; (2)cos 与cos  . 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(90°+66°)=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,且函数y=sin x在 上单调递增, ∴sin 16°<sin 66°,∴-sin 16°>-sin 66°,即sin 196°>cos 156°. (2)cos =cos  =cos =-cos  , cos  =cos =-cos  , ∵函数y=cos x在 上单调递减,且0< < < ,∴cos  >cos  , ∴-cos  <-cos  ,∴cos <cos  . 第一章　三角函数 高中同步 　利用正、余弦函数的图象解不等式  利用正、余弦函数的图象解不等式的步骤 (1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象; (2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集; (3)根据题目要求写出不等式的解集. 定点 2 第一章　三角函数 高中同步 典例 (1)画出正弦函数y=sin x(x∈R)的简图,并根据图象写出y≥ 时x的集合; (2)求函数f(x)=lg sin x+ 的定义域. 解析    (1)在同一平面直角坐标系内作出y=sin x(x∈R)的大致图象及直线y= ,如图所示. 从图中可看出直线y= 在区间[0,2π]内与正弦曲线交于点 , , 所以在区间[0,2π]内,当y≥ 时,x的集合为 x  ≤x≤  , 第一章　三角函数 高中同步 所以当x∈R,y≥ 时,x的集合为 x  +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z . (2)由题意,得 即 作出y=sin x(-4≤x≤4)的图象,如图所示.   结合图象可得,f(x)的定义域为[-4,-π)∪(0,π). 第一章　三角函数 高中同步 　正弦函数、余弦函数与其他基本初等函数的综合应用  　　解正弦函数、余弦函数与其他基本初等函数的综合应用问题时,要注意函数图象与性质 的应用.在研究方程实根个数问题时,常利用数形结合的思想求解. 定点 3 第一章　三角函数 高中同步 典例 方程lg x=sin x的实根的个数为  (　    ) A.1　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.4 C 解析    令f(x)=lg x,g(x)=sin x,在同一平面直角坐标系内作出f(x),g(x)的图象,如图.   由图可知, f(x)与g(x)的图象有3个交点,故方程lg x=sin x有3个实根. 第一章　三角函数 高中同步 与正、余弦函数有关的函数的值域(最值)问题的类型及解法 定点 4 1.形如y=asin x(或y=acos x)的函数的值域(最值)问题,可利用正弦函数、余弦函数的有界性进 行求解,要注意对a 的正负的讨论. 2.形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的函数的值域(最值)问题,可利用换元思想,设t=sin x,转化为二 次函数y=at2+bt+c的值域(最值)问题.注意t的范围需要根据原函数的定义域来确定. 3.形如y= (ac≠0)的函数的值域(最值)问题,可以用分离常数法求解,也可以用反解法 求解(利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式,反解出y的范围). 第一章　三角函数 高中同步 典例 求下列函数的值域. (1)y=|sin x|+sin x; (2)y=cos2x+4cos x+9,x∈ ; (3)y= . 思路点拨    (1)去绝对值,化为分段函数求解;(2)设t=cos x,则原函数可转化为关于t的二次函 数,利用二次函数的性质求值域;(3)利用分离常数法或反解法求解. 第一章　三角函数 高中同步 解析    (1)当sin x≥0时,|sin x|=sin x; 当sin x<0时,|sin x|=-sin x, ∴原函数可化为y=  当sin x≥0时,可知0≤y≤2, ∴函数y=|sin x|+sin x的值域是[0,2]. (2)令t=cos x,则y=t2+4t+9=(t+2)2+5, ∵x∈ ,∴t∈[0,1]. 易知y=(t+2)2+5在[0,1]上单调递增, 故当t=0,即x= 时,y取得最小值,且ymin=9; 当t=1,即x=0时,y取得最大值,且ymax=14. 第一章　三角函数 高中同步 ∴原函数的值域是[9,14]. (3)解法一:y= = =1- . 易知y随sin x的增大而增大,且-1<sin x≤1, ∴当sin x=1时,ymax=- , 当sin x趋近于-1时,y趋近于-∞, ∴该函数的值域为 . 解法二:由y= ,得(sin x+1)y=sin x-2,即(1-y)sin x=y+2, 显然y≠1,∴sin x= . 由题意知-1<sin x≤1, 第一章　三角函数 高中同步 ∴ 解得y≤- , 故函数y= 的值域为 . 第一章　三角函数 高中同步 $