河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（五）

河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（五） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数的虚部是（   ） A．20 B． C． D．25 2．设是小于9的正整数，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．方程的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是（　　） A．椭圆、双曲线 B．椭圆、抛物线 C．双曲线、抛物线 D．无法确定 4．函数的一个对称中心是（    ） A．（0，0） B．（，0） C．（，0） D．以上选项都不对 5．函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知，，则（    ） A． B．1 C． D．5 7．已知为椭圆的上焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．定义：对于任意实数，符号表示的“临近整数”，即（为整数）当且仅当.已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在棱长为2的正方体中，是的中点，为底面正方形内及其边界上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．存在唯一的点，使 B．存在唯一的点，使得平面 C．的最小值为3 D．的最小值为4 10．已知直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，点在第一象限，过分别作准线的垂线，垂足依次为.若长的最小值为12，则（    ） A．若，则 B．若的倾斜角为，则 C．若点在抛物线上，且，则 D．上一动点到直线的距离的最小值为 11．已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数的值为 . 13．在等比数列中，已知，，则等于 ． 14．为了解甲、乙两个农场某种水果的品质，某调研小组利用分层随机抽样的方法抽取500个甲、乙两个农场的该种水果，并将这500个水果分为大果和小果两种品级，其中来自甲农场的该种水果数量为200，来自甲、乙农场的大果数量均为80．抽取的该批水果中色泽红润，果实饱满的水果作为精品果售出，剩余水果作为普通果售出．已知精品果中大果的占比为，普通果中大果与小果的数量之比为，精品果利润为10元/个，普通果利润为5元/个．现从这500个水果中随机抽取4个，设这4个水果中精品果的个数为X，这4个水果的总利润为Y元，则． ， ． 四、解答题 15．为了检测AI智能与手工制作同一种产品质量的差异性，现要求用这两种方式分别制作100件产品，产品质量情况统计如下表： 优良品 合格品 合计 AI智能 80 20 100 手工 60 40 100 合计 140 60 200 (1)记AI智能、手工制作的产品中优良品的概率分别为，求的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为AI智能与手工制作的产品质量有差异？ 附：，． 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．已知函数，且. (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程. 17．如图，把边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得点D到达点处，，O，M分别为AC，的中点. (1)求证：平面平面； (2)N为直线MO上的动点，求直线BN与平面所成角正弦值的最大值. 18．已知分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆上异于的两点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为. (1)求椭圆的方程； (2)已知为坐标原点，直线（其中），直线与椭圆相交于两点，且满足. （i）求与的关系式； （ii）求面积的取值范围. 19．已知函数. (1)求证：. (2)若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（五）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A B C C D A AC BCD 题号 11 答案 ABC 1．A 【分析】利用复数虚部的含义可得答案. 【详解】的虚部是20. 故选：A 2．C 【分析】根据给定条件，利用交集、补集的定义直接求解. 【详解】依题意，全集，由，， 得，所以. 故选：C 3．A 【分析】解方程，得到方程的两根，根据圆锥曲线的离心率的取值范围可以得到答案. 【详解】由，得， ∵，， ∴两圆锥曲线是椭圆与双曲线． 故选：A 4．B 【分析】先求出的对称中心为，利用代入法求解即可. 【详解】因为的对称中心为 所以令， 当k=1时，，即（，0）为函数的一个对称中心. 经检验，其他选项不成立. 故选：B 5．C 【分析】根据奇函数的定义，结合特殊点运用排除法进行判断即可. 【详解】因为的定义域为， 且， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以，排除A． 当时，，排除B. 故选：C 6．C 【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，所以，所以， 故选：C. 7．D 【分析】设椭圆的上、下焦点分别为，由椭圆的定义，求得，根据题意，转化为，结合圆的性质，得到，进而求得的最大值，得到答案. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 又由椭圆，设上焦点为，下焦点为，且， 根据椭圆的定义，可得，则， 所以， 要使得最大，则最小. 因为，当且仅当为线段与圆的交点时，等号成立， 所以， 当且仅当为线段与椭圆的交点时，等号成立， 所以，即的最大值为. 故选：D.    8．A 【分析】根据指数函数和对数函数的性质，以及指数运算法则和对数运算法则，构造法求出各参数的值，进而比较大小. 【详解】因为，即，所以， 因为，即， 所以，即，所以， 因为，又因为， 所以，所以， 所以. 故选：A 9．AC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量坐标运算，逐项分析计算得解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， ， 对于A，由，得，A正确； 对于B，，设平面的法向量为， 则，取，得，，若平面， 则，即，该方程表示一条直线，因此点有无数个，B错误； 对于C，取的中点，连接，则， ，的最小值为3，C正确； 对于D，设点关于平面的对称点为点，则，且， 当三点共线时，取最小值，最小值为，D错误. 故选：AC 10．BCD 【分析】根据抛物线的性质，求得抛物线的方程，结合焦点弦的性质，可判定A错误；设直线的方程为，联立方程组，得到，结合抛物线的定义，以及焦半径公式，求得的长，可判定B正确；由，求得，结合抛物线的定义，可判定C正确；设切线方程为，联立方程组，利用，求得切线方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】由抛物线，可得焦点，准线方程为， 因为长的最小值为12，根据抛物线焦点弦的性质，可得，解得， 所以抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 对于A，由焦点弦的性质得，将代入，解得，所以A错误； 对于B，设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得，所以， 则，， 由抛物线的定义，可得， 则， 若的倾斜角为，则，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以B正确； 对于C，设，由，可得点为的重心， 所以. 所以，故C正确. 对于D，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得，所以切线方程为， 所以两平行线间的距离为，故D正确. 故选：BCD. 11．ABC 【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项. 【详解】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 方法三：结合射影定理（方法一改进） 由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是， 则，可同方法一种讨论的角度，推出， 方法四：和差化积（方法一改进） 续法三： ，可知同时为或者异号，即，展开可得， ， 即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知. 由，由，则，即， 则，同理，由上述推导，，则， 不妨设，则，即， 由两角和差的正弦公式可知，C选项正确 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 12．3 【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义列出关于a的方程，即可求得答案. 【详解】由可得， 故曲线在处的切线的斜率为， 由于该切线与直线垂直，故， 故答案为：3 13．4 【分析】根据等比数列性质可得，进而可求. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得（负值舍去）， 所以. 故答案为：4. 14． 28 【分析】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个，求出普通果的数量，根据题意列出方程求解即可求解. 【详解】设抽取的该批水果中精品果的数量为x个， 则普通果的数量为个， 由题意得， 解得，由超几何分布可知，. 故答案为：； 15．(1)0.8；0.6 (2)能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异 【分析】（1）直接根据所给数据计算即可； （2）先计算，再与给出的数据进行比较，即可得出结论． 【详解】（1）由题表可得， ． （2）零假设：AI智能与手工制作的产品质量无差异， ， 因为， 所以依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即能认为AI智能与手工制作的产品质量有差异． 16．(1) (2) 【分析】（1）求导即可代入求解. （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，解得. （2）由（1）得，所以， 由，得， 所以曲线在处的切线方程为，即 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，可得，，可证平面，即可得面面垂直； （2）建系并标点，设，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角的最大值. 【详解】（1）如图，连接，，由题意可知：，    因为，则， 又因为，，平面， 所以平面， 且平面，所以平面平面. （2）由（1）可知：，，， 如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 且是中点，则， 可得，， 设，，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与平面所成角正弦值的最大值为. 18．(1); (2)（i）,（ii） 【分析】（1）利用椭圆和菱形的中心对称性可得参数的方程组，来求解椭圆方程； （2）（i）利用直线与椭圆联立方程组，利用韦达定理和垂直关系，可得与的关系式； （ii）利用弦长公式和点到直线的距离来求面积，再利用换元法来求值域即可. 【详解】（1）如图，作出符合题意的图形， 由四边形为菱形，根据椭圆的中心对称性可得，是椭圆的短轴顶点， 再由椭圆的性质，由四边形的周长为，面积为可得： ，解得， 所以椭圆的方程为； （2）如图，作出符合题意的图形， （i）直线与椭圆，联立方程组消去得： ， 设交点，则， 且， 由，则， 即， 所以有， 得到， 代入， 可得恒成立，故； （ii）由弦长公式得：， 由原点到直线的距离公式得：， 所以 再令，则上式可化为： ， 因为，所以，即， 即当时，即时，面积取到最大值， 当时，即时，面积取到最小值，由于，此情况排除， 故面积. 19．(1)证明见解析； (2)（i）0；（ii）证明见解析. 【分析】（1）构造函数，求出导数得出函数单调性进而得出最大值即可证明. （2）（i）通过求导得出的最大值，分析函数的单调性可得到的极小值； （ii）先证明，据此可证题设中的不等式. 【详解】（1）令，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以，所以. （2）（i），定义域为， ， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，恒成立，在上单调递增， 故的极小值为. （ii）即证， 下证：当时，总有， 证明：设，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故即成立, 当且仅当时等号成立. 由此不等式有， ， ， 而， 故， 所以. 答案第4页，共14页 答案第5页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $