河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（四）

河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．学校组织了“我骄傲，我是中国人”的演讲比赛．比赛规则：从个裁判打出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，剩余个分数的平均分为该选手的最终得分．已知这个裁判给小夏同学打出的分数分别为、、、、、、，则小夏同学的最终得分为（    ） A．分 B．分 C．分 D．分 2．已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则角A的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（    ） A． B． C．1 D．2 7．已知是等差数列的前项和，且，则（    ） A．36 B．46 C．64 D．160 8．已知为单位向量，且满足，设的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下尺，第二天截取剩下的一半后剩下尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下尺，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的图象关于原点对称 C．若，则 D．，都有成立 11．已知向量，则下列结论正确的有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若与的夹角是，则 D．若与的方向相反，则在上的投影向量坐标是 三、填空题 12．已知向量，则 . 13．若函数在上可导，，则 ． 14．如图，在四面体中，，，两两垂直，，以为球心，为半径作球，则该球的球面与四面体各面交线的长度和为 ． 四、解答题 15．（1）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程； （2）已知椭圆的两焦点为，点在椭圆上，若面积的最大值为12，求此椭圆的方程. 16．如图，在直四棱柱中，底面为菱形． (1)证明：． (2)若，，，二面角为，求． 17．已知函数. (1)当时，求曲线的在点处的切线方程； (2)若函数在定义域上恰有一个零点，求a的取值范围. 18．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下： ①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券； ②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变； ③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行； ④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束． (1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖"的概率； (2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率； (3)顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求的分布列及其期望． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河南省方城县第一高级中学2025-2026学年高三迎一模数学模拟试题（四）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A D A B C C BCD CD 题号 11 答案 ABC 1．B 【分析】根据平均数公式可求得结果. 【详解】从个裁判打出的分数中去掉一个最高分和一个最低分，剩余个分数分别为：、、、、， 所以，小夏同学的最终得分为. 故选：B. 2．C 【分析】利用复数的四则运算计算即可. 【详解】由得 故选：C. 3．A 【分析】根据交集的定义即可得到答案． 【详解】由已知得． 故选：A． 4．D 【分析】解分式不等式即可. 【详解】由得，即且， 解之得或. 故选：D 5．A 【分析】根据可解得，代入余弦定理整理计算． 【详解】由得，或（舍），. 故选：A． 6．B 【分析】根据抛物线方程确定准线，再应用几何法求圆截直线所得弦长即可. 【详解】由可变形为，其准线方程，圆心到的距离为1， 所以直线截所得的弦长为． 故选：B 7．C 【分析】由等差数列前n项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 解得，所以. 故选 ：C 8．C 【分析】根据向量垂直和向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】因为，所以， 化简得，因为为单位向量，夹角为， 所以，解得. 因为向量夹角的范围为，所以. 故选：C. 9．BCD 【分析】由已知可得，逐个验证选项即可. 【详解】根据题意可得是首项为，公比为的等差数列，则， ，故A错误；，故B正确； ，，则，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 10．CD 【分析】利用正弦函数的性质，结合相位的取值范围来研究正弦型函数的单调性，对称性和值域，从而来判断各选项即可. 【详解】对于A，若，则， 所以，或， 即，或，故A错误； 对于B，又， 由于，所以不可能是奇函数， 则的图象不可能关于原点对称，故B错误； 对于C，当时，，满足是正弦函数的增区间的子集， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，所以， 故，所以， 又，即， 所以，都有成立，故D正确． 故选：CD． 11．ABC 【分析】利用向量平行、垂直的坐标表示判断AB，利用向量数量积的运算律判断C，利用投影向量的定义判断D. 【详解】因为向量， 若，则，解得，A说法正确； 若，则，解得，B说法正确； 若与的夹角是，因为，， 所以， 所以，C说法正确； 若与的方向相反，所以， 所以在上的投影向量为，D说法错误； 故选：ABC 12． 【分析】根据向量的坐标运算可求的坐标，接着可求. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 13． 【分析】求出函数的导函数，再把代入计算可得． 【详解】因为，所以， 把代入得，解得． 故答案为：． 14． 【分析】先求出到平面的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可. 【详解】因为，所以是边长为的等边三角形， 所以边长为的等边三角形的高为：，所以， 设到平面的距离为，，所以， 所以，解得，则， 所以以为球心，为半径的球与平面，平面，平面的交线为个半径 为的圆的弧线，与面的交线为一个圆，且圆的半径为， 所以交线总长度为：. 故答案为：. 15．（1）或；（2） 【分析】（1）由椭圆离心率，可以设，椭圆焦点位置不确定，所以分别讨论焦点在轴上和焦点在轴上，利用椭圆中，根据题意分别求出和，代入到椭圆标准方程即可. （2）根据题意知，且，所以，所以若面积的最大，则最大即可，由此可求出，根据题意知，所以由求出和，代入到椭圆标准方程即可. 【详解】（1）因为椭圆离心率，所以设， 因为在椭圆中，所以，所以， 因为短轴长为，所以，所以，即， 所以，所以， 所以，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 所以，椭圆的方程为或. （2）设点坐标为，因为椭圆的两焦点为， 所以，则， 所以当最大时，的面积的最大，且，所以， 因为点在椭圆上，所以点坐标为，所以， 所以，且，即， 因为在椭圆中，所以， 所以椭圆的方程为. 16．(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定性质，结合菱形性质及直棱柱的结构特征推理得证. （2）连接，利用几何法作出二面角的平面角，求出该角的正切，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】（1）在直四棱柱中，连接，由四边形为菱形，得， 由平面，平面，得， 而平面，因此平面， 又平面，所以. （2）由，得菱形是正方形，而，则， 直四棱柱为正四棱柱，矩形是其对角面，连接， 则，在平面内过点作于，则， 过作交于，连接，由，得， 平面，则平面， 又平面，因此，是二面角的平面角，即， 在中，，则斜边， ，而，在中，， 所以. 17．(1)； (2) 【分析】（1）利用导函数求得切线斜率为1，再利用点斜式即可求得切线方程. （2）利用零点的定义，构造函数，将问题转化为求直线与函数的图象只有一个交点求解. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为：，即. （2）函数的定义域为，由，得， 令，依题意直线与函数的图象只有一个交点， ，由，得；由，得， 函数在上递增，函数值集合为，在上递减，函数值集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，    观察图象，当且仅当或时，直线与函数的图象只有一个交点， 所以a的取值范围是. 18．(1) (2) (3)分布列见解析， 【分析】（1）根据古典概型，分别确定每个子事件发生的概率，再利用分步乘法计数原理，将两个子事件的概率相乘，从而得到目标事件的概率. （2）“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”存在多种实现路径，通过细致分析抽奖规则，将其分为“第1张未中奖，第2、3张中奖”和“第1张中奖，第2张未中奖，第3张中奖”这两种互斥情况,计算可求得结果; （3）依据抽奖规则和题目设定，明确随机变量所有可能的取值为1、2、3,概率求解：对每个取值，分析其对应的抽奖过程和结果，利用古典概型及分步乘法计数原理计算相应的概率，进而构建出的分布列和期望. 【详解】（1）设事件“甲使用第张奖券抽奖，中次奖”， 则所求事件为，其概率为． （2）设事件“乙使用第张奖券抽奖，中次奖”， 则所求事件为，其概率为． （3）由题意可知的所有可能取值为1，2，⋯，10． 当时，表示顾客丙使用张奖券将2个红球全部摸出； 当时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球． 设事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为，事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为， 则，，，， ∴，， ∴，∴，， ∴，， ∴； ∴ ， 设， ∴， ∴，∴， 设， ∴， ∴，∴， ∴ . 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $