10.导数中构造函数的技巧及应用训练-2026届高三数学一轮复习

寻“导”之旅10.导数中构造函数的技巧及应用（原卷版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 构造函数比较大小 题型2 构造函数利用单调性解不等式 题型3 构造函数证明不等式 题型4 构造函数求最值、范围 题型5 构造函数研究方程的根 解题策略 构造函数是导数板块解决抽象函数不等式、比较大小、不等式恒成立、极值点偏移等难题的核心方法，其本质是逆向运用导数的四则运算法则，通过“导函数结构”反推“原函数模型”。本次细化将从核心逻辑拆解、分类构造技巧（含变式变形）、应用场景全解析（附例题步骤+思路拓展）、易错点规避、学习方法总结六个维度展开，兼顾基础理解与进阶突破，所有数学表达式均采用公式编辑器呈现。 一、核心逻辑深度拆解：为什么能通过构造函数解题？ 导数的核心作用是判断函数的单调性，而题目中给出的“与的混合关系式”，本质是某个新函数的导函数的局部特征（符号、零点等）。构造函数的核心逻辑的是： 1.逆向匹配求导法则：将已知的与的关系式，转化为符合“和差、积、商的导数法则”的形式； 2.定义新函数：让恰好等于已知关系式（或与已知关系式同号），从而通过的符号判断的单调性； 3.转化目标问题：将原问题（解不等式、比较大小等）转化为关于的单调性问题，利用单调性“脱函数符号”求解。 关键前提：构造的新函数必须满足“可导”且“的符号可由已知条件直接判断”，否则构造无效。 二、分类构造技巧（含变式+变形方法） 根据已知关系式的结构特征，可分为“和差型、乘积型、商型、三角函数型”四大类，每类均包含基础模型和进阶变式，以下结合“构造思路+变形方法+适用条件”详细说明： （一）和差型构造：基础模型，直接匹配和差导数法则 适用场景：已知关系式为“”，或“”（可看作为一次函数的变式）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 变式拓展 适用条件 （或） 由和的导数法则：，故，直接匹配已知条件 若，可构造（其中） 无特殊限制，只要、可导 （或） 由差的导数法则：，故，直接匹配已知条件 若，可构造（其中） 无特殊限制，只要、可导 （为常数，） 将常数看作“”的导数（），则已知条件可转化为，故 若（一次函数），则构造，保证 为常数，适用于“与常数比较”的场景 （二）乘积型构造：核心模型，应对“与相加”的场景 适用场景：已知关系式为“”的形式（直接匹配积的导数法则），或可变形为该形式（如“”“”）。 核心原理：积的导数法则 ，构造时需找到“”和“”，使得恰好等于已知关系式（或同号）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 易错点 （或） 选择（）、（），则。因恒正，故与同号 无需变形，直接匹配“”（，） 不要误构造为（后者对应差型，见下文商型构造） （或） 选择（）、（），则。恒正，故与同号 将“”转化为“”（，，故） 注意的导数是“”，符号不可错 （或） 选择（）、（），则，直接匹配已知条件 将“”直接看作“”（，） 需注意的符号（如时，若后续用到单调性，需限定定义域） （为常数，） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 提取公因式，将已知条件转化为“”的形式（，） 的取值需准确（由“的系数1”和“的系数”匹配的导数） （，进阶变式） （即） 已知条件可变形为，对应，故（），则，与已知条件同号 第一步：将的系数化为1（两边同除以2），得到；第二步：匹配，构造 忘记“化系数为1”，直接构造（错误，会导致，与已知条件不符） （三）商型构造：核心模型，应对“与相减”的场景 适用场景：已知关系式为“”的形式（直接匹配商的导数法则），或可变形为该形式（如“”“”）。 核心原理：商的导数法则 ，构造时需找到“”和“”，使得与已知关系式同号（因恒正，故只需保证与已知关系式同号）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 易错点 （或） 选择（）、（），则。因恒正，故与同号 将“”转化为“”（，，），再除以（恒正，不改变符号） 与乘积型混淆：若已知，构造（乘积型）和（商型）是等价的，但需注意后续计算的简洁性 （） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 直接将“”看作“”（，），除以（恒正） 忽略定义域：若题目中可正可负，需分和讨论（时仍恒正，但的定义域需拆分） （为常数，） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 提取公因式，将分子化为，再除以，得到 的符号错误：若已知，应使用乘积型构造，而非商型 （，进阶变式） 选择、（），则。时恒正，故与已知条件同号 直接匹配，构造，无需额外变形（已知条件中的系数已为1） 误将构造函数写为（乘积型，会导致，与已知条件不符） （四）三角函数型构造：特殊模型，利用三角函数的导数循环 适用场景：已知关系式中含与、的乘积/商，且含（如“”“”）。 核心原理：三角函数的导数具有循环性（，），构造时结合乘积或商的导数法则，利用循环性匹配已知关系式。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 匹配乘积法则：（）、（），则，直接匹配已知条件 无需变形，直接识别“”的结构（，） （） 先将化为，已知条件变形为。因，故只需保证分子。构造（商型），则 第一步：将化为，通分后去掉分母（注意的符号，保证不等号方向不变）；第二步：匹配商型法则（，） 匹配乘积法则：（）、（），则，直接匹配已知条件 无需变形，直接识别“”的结构（，） 考点精析 题型1 构造函数比较大小 一、单选题 1.已知，，，则的大小关系为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 2.已知，则，，的大小关系为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 3.设，，，则（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 二、多选题 1.已知函数的定义域为，且，，则下列不等式成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　 C. 　　　　D. 2.已知，且，则下列不等式中一定成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 三、填空题 1.已知，，且，则与的大小关系为。 2.设，则，，的大小关系为。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 若时，，求实数的取值范围。 2.已知函数。 (1) 求的最大值； (2) 证明：当时，，且当时，； (3) 证明：对任意的正整数，都有。 3.已知函数，。 (1) 令，求的单调区间； (2) 若在处取得极大值，求实数的取值范围。 题型2 构造函数利用单调性解不等式 一、单选题 1.已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、多选题 1.已知函数的定义域为，且满足，，若，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 构造函数，则单调递减 2.定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. 在上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 的最小值为 三、填空题 1.已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为。 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为。 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 若在上单调递增，求实数的取值范围； (2) 当时，求证：的充要条件是； (3) 若在上单调降，在微上单调递增行，行解不等式行。 2.已知函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若恒成立，求实数的取值范围； (3) 当时，解不等式。 3.已知函数（）。 (1) 求函数的单调区间； (2) 若在上恒成立，求实数的取值范围； (3) 证明：当时，。 题型3 构造函数证明不等式 一、单选题 1．若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 3．若是函数图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．已知函数，，下列说法错误的有（   ） A．函数的极小值为 B． C．函数有两个零点 D．函数恒成立 6．对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题 7．已知正实数满足，则 ． 8．若实数满足，则 ． 9．设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 四、解答题 10．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 11．已知函数. (1)判断在区间的单调性； (2)证明：当时，； (3)证明：在上有且只有一个零点. 12．已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； (2)求证：当时，. 13．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 题型4 构造函数求最值、范围 一、单选题 2.（2023·全国甲卷理）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 3.（2022·新高考Ⅰ卷）设，，，则（） A. B. C. D. 二、多选题 1.（2022·新高考Ⅱ卷改编）已知函数，，若对任意，恒成立，则下列选项中可能满足条件的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 2.（2024·山东潍坊高三一模）已知函数，，则下列说法正确的是（） A. 的最小值为 B. 当时，恒成立 C. 方程有且仅有一个实数根 D. 存在，使得 三、填空题 1.（2023·浙江卷）已知函数，为的导函数，则的值为。 分析：本题考查导数的运算法则，核心是掌握基本初等函数的导数公式，是导数填空题的基础压轴题型。 2.（2024·江苏高三联考）已知函数有且仅有两个极值点，则实数的取值范围是。 分析：本题考查导数与函数极值点个数的关系，核心是转化为导函数零点个数问题，构造新函数求值域，是导数填空题的压轴题型。 四、解答题 1.（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数，。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若恒成立，求的取值范围。 2.（2024·江苏高三联考压轴题）已知函数，。 (1) 求函数的最小值； (2) 设为正整数，满足，求的最大值。 3.（2022·全国乙卷理）已知函数。 (1) 当时，求在处的切线方程； (2) 若在和各有一个极值点，求的取值范围。 答案： (1) 切线方程为； (2) 的取值范围是 题型5 构造函数研究方程的根 一、单选题 1．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 4．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 5．设函数，其中为实数，则（    ） A．是定义在上的奇函数 B．若在上单调递增，则的取值范围为 C．若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D．当时，在上有且仅有2个零点 三、填空题 6．已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 7．已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是 8．已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 四、解答题 9．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 10．已知函数． (1)若函数过点，求该点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 11．已知函数． (1)若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； (2)设，用表示函数和； (3)求证：． 12．已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 13．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． $ 寻“导”之旅10.导数中构造函数的技巧及应用（解析版） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点目录 题型1 构造函数比较大小 题型2 构造函数利用单调性解不等式 题型3 构造函数证明不等式 题型4 构造函数求最值、范围 题型5 构造函数研究方程的根 解题策略 构造函数是导数板块解决抽象函数不等式、比较大小、不等式恒成立、极值点偏移等难题的核心方法，其本质是逆向运用导数的四则运算法则，通过“导函数结构”反推“原函数模型”。本次细化将从核心逻辑拆解、分类构造技巧（含变式变形）、应用场景全解析（附例题步骤+思路拓展）、易错点规避、学习方法总结六个维度展开，兼顾基础理解与进阶突破，所有数学表达式均采用公式编辑器呈现。 一、核心逻辑深度拆解：为什么能通过构造函数解题？ 导数的核心作用是判断函数的单调性，而题目中给出的“与的混合关系式”，本质是某个新函数的导函数的局部特征（符号、零点等）。构造函数的核心逻辑的是： 1.逆向匹配求导法则：将已知的与的关系式，转化为符合“和差、积、商的导数法则”的形式； 2.定义新函数：让恰好等于已知关系式（或与已知关系式同号），从而通过的符号判断的单调性； 3.转化目标问题：将原问题（解不等式、比较大小等）转化为关于的单调性问题，利用单调性“脱函数符号”求解。 关键前提：构造的新函数必须满足“可导”且“的符号可由已知条件直接判断”，否则构造无效。 二、分类构造技巧（含变式+变形方法） 根据已知关系式的结构特征，可分为“和差型、乘积型、商型、三角函数型”四大类，每类均包含基础模型和进阶变式，以下结合“构造思路+变形方法+适用条件”详细说明： （一）和差型构造：基础模型，直接匹配和差导数法则 适用场景：已知关系式为“”，或“”（可看作为一次函数的变式）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 变式拓展 适用条件 （或） 由和的导数法则：，故，直接匹配已知条件 若，可构造（其中） 无特殊限制，只要、可导 （或） 由差的导数法则：，故，直接匹配已知条件 若，可构造（其中） 无特殊限制，只要、可导 （为常数，） 将常数看作“”的导数（），则已知条件可转化为，故 若（一次函数），则构造，保证 为常数，适用于“与常数比较”的场景 （二）乘积型构造：核心模型，应对“与相加”的场景 适用场景：已知关系式为“”的形式（直接匹配积的导数法则），或可变形为该形式（如“”“”）。 核心原理：积的导数法则 ，构造时需找到“”和“”，使得恰好等于已知关系式（或同号）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 易错点 （或） 选择（）、（），则。因恒正，故与同号 无需变形，直接匹配“”（，） 不要误构造为（后者对应差型，见下文商型构造） （或） 选择（）、（），则。恒正，故与同号 将“”转化为“”（，，故） 注意的导数是“”，符号不可错 （或） 选择（）、（），则，直接匹配已知条件 将“”直接看作“”（，） 需注意的符号（如时，若后续用到单调性，需限定定义域） （为常数，） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 提取公因式，将已知条件转化为“”的形式（，） 的取值需准确（由“的系数1”和“的系数”匹配的导数） （，进阶变式） （即） 已知条件可变形为，对应，故（），则，与已知条件同号 第一步：将的系数化为1（两边同除以2），得到；第二步：匹配，构造 忘记“化系数为1”，直接构造（错误，会导致，与已知条件不符） （三）商型构造：核心模型，应对“与相减”的场景 适用场景：已知关系式为“”的形式（直接匹配商的导数法则），或可变形为该形式（如“”“”）。 核心原理：商的导数法则 ，构造时需找到“”和“”，使得与已知关系式同号（因恒正，故只需保证与已知关系式同号）。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 易错点 （或） 选择（）、（），则。因恒正，故与同号 将“”转化为“”（，，），再除以（恒正，不改变符号） 与乘积型混淆：若已知，构造（乘积型）和（商型）是等价的，但需注意后续计算的简洁性 （） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 直接将“”看作“”（，），除以（恒正） 忽略定义域：若题目中可正可负，需分和讨论（时仍恒正，但的定义域需拆分） （为常数，） 选择（）、（），则。因时恒正，故与同号 提取公因式，将分子化为，再除以，得到 的符号错误：若已知，应使用乘积型构造，而非商型 （，进阶变式） 选择、（），则。时恒正，故与已知条件同号 直接匹配，构造，无需额外变形（已知条件中的系数已为1） 误将构造函数写为（乘积型，会导致，与已知条件不符） （四）三角函数型构造：特殊模型，利用三角函数的导数循环 适用场景：已知关系式中含与、的乘积/商，且含（如“”“”）。 核心原理：三角函数的导数具有循环性（，），构造时结合乘积或商的导数法则，利用循环性匹配已知关系式。 已知条件特征 构造函数 构造思路（逆向推导） 关键变形步骤 匹配乘积法则：（）、（），则，直接匹配已知条件 无需变形，直接识别“”的结构（，） （） 先将化为，已知条件变形为。因，故只需保证分子。构造（商型），则 第一步：将化为，通分后去掉分母（注意的符号，保证不等号方向不变）；第二步：匹配商型法则（，） 匹配乘积法则：（）、（），则，直接匹配已知条件 无需变形，直接识别“”的结构（，） 考点精析 题型1 构造函数比较大小 一、单选题 1.已知，，，则的大小关系为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：C 分析：核心知识点为利用导数研究函数单调性，解题关键是构造差函数，分别比较与、与、与的大小。 解析： 1. 比较与：构造，，。当时，，单调递增，故，即。 2. 比较与：构造，，，单调递增，故，即。 3. 比较与：构造，，。在单调递增，且，故，单调递增，。又，故，即。 综上，。 2.已知，则，，的大小关系为（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数研究三角函数的单调性，解题关键是构造两个差函数，分别比较两两之间的大小。 解析： 1. 比较与：构造，，，单调递增，故，即。 2. 比较与：构造，，，单调递增，故，即。 综上，。 3.设，，，则（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：B 分析：核心知识点为导数与函数单调性的综合应用，解题关键是通过等价变形和变量替换构造函数，将三数大小比较转化为函数值的比较。 解析： 1. 比较与：，函数在单调递增，且，故。 2. 比较与：构造，，令，则，，函数化为。，当时，，单调递增，故，即，取，得。 3. 比较与：构造，，令，，函数化为。，单调递减，故，即，取，得。 综上，。 二、多选题 1.已知函数的定义域为，且，，则下列不等式成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：AD 分析：核心知识点为构造辅助函数解抽象函数不等式，解题关键是根据的结构，构造并判断单调性。 解析： 构造函数，求导得。由，得，故在上单调递增。 1. 由得，，整理得，故A成立，B不成立。 2. 由得，，整理得，故D成立，C不成立。 2.已知，且，则下列不等式中一定成立的是（） A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D. 答案：ABD 分析：核心知识点为基本不等式、指数对数函数单调性、构造函数比较大小，解题关键是对每个选项逐一作差或作商分析。 解析： 1. 选项A：（），变形得，成立。 2. 选项B：作商得。当时，，，商大于1；当时，，，商大于1，故，成立。 3. 选项C：取，，则，，此时，不成立。 4. 选项D：等价于（），由基本不等式知成立。 三、填空题 1.已知，，且，则与的大小关系为。 答案： 分析：核心知识点为利用导数研究函数单调性，解题关键是根据消元，构造关于单变量的函数。 解析： 由得（），则。构造，，在单调递增，故，即。 2.设，则，，的大小关系为。 答案： 分析：核心知识点为导数与函数单调性的应用，解题关键是分别构造函数，两两比较大小。 解析： 1. 比较与：作差得（），故。 2. 比较与：令（），则，比较与，即比较与。构造，，在单调递减，故，即。又，故，即。 综上，。 四、解答题 1.已知函数，。 (1) 讨论的单调性； (2) 若时，，求实数的取值范围。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2) 分析：(1) 核心知识点为利用导数研究含参函数的单调性，解题关键是对参数分类讨论；(2) 核心知识点为不等式恒成立问题，解题关键是分离参数，构造函数求最值。 解析： (1) 的定义域为，。 ① 当时，恒成立，在上单调递增； ② 当时，令，得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。 (2) 当时，即，分离参数得。令（），则。由时恒成立，令得。当时，，单调递减；当时，，单调递增。故，因此，即实数的取值范围为。 2.已知函数。 (1) 求的最大值； (2) 证明：当时，，且当时，； (3) 证明：对任意的正整数，都有。 答案：(1) ；(2) 见解析；(3) 见解析 分析：(1) 核心知识点为利用导数求函数最值；(2) 核心知识点为函数最值的应用；(3) 核心知识点为构造函数证明不等式，解题关键是利用(2)的结论进行变量替换。 解析： (1) 的定义域为，。令得。当时，，单调递增；当时，，单调递减。故。 (2) 由(1)知，即，故。当且仅当时取等号，因此当时，。 (3) ① 证明：令（且），由(2)得不直接适用，构造（），。当时，，单调递减，故，即。取，得。 ② 证明：令（），由得，即，故。 综上，。 3.已知函数，。 (1) 令，求的单调区间； (2) 若在处取得极大值，求实数的取值范围。 答案：(1) 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；(2) 分析：(1) 核心知识点为导数的运算及含参函数的单调性分析，解题关键是对分类讨论；(2) 核心知识点为函数极值的判定，解题关键是根据的单调性分析的符号变化。 解析： (1) 的定义域为，，即，。 ① 当时，恒成立，在上单调递增； ② 当时，令得。当时，，单调递增；当时，，单调递减。 (2) ，即是的零点。 ① 当时，在递增，当时，，，递减；当时，，，递增，故是极小值点，不符合题意； ② 当时， 若即，在递增，在递减，，，在递减，无极值点，不符合题意； 若即，当时，递减，，，递增；当时，，，递减，故是极大值点，符合题意； 若即，当时，递减，，，递减；当时，，，递增，故是极小值点，不符合题意。 综上，实数的取值范围为。 题型2 构造函数利用单调性解不等式 一、单选题 1.已知函数的定义域为，且，当时，，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为函数的奇偶性构造、导数与函数单调性的关系；解题关键是根据条件构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，再将不等式转化为求解。 解析：由，构造函数，则。 计算，进一步变形得，令，则，即是奇函数。 当时，，故在上单调递减；因为是奇函数，所以在上单调递减。 原不等式变形为，即。 由的单调性得，解得，故取值范围为。 2.已知定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 答案：A 分析：核心知识点为利用导数构造函数判断单调性、指数函数的性质；解题关键是构造函数，通过导数判断其单调性，再将不等式转化为求解。 解析：构造函数，则。 由已知，得，故在上单调递减。 由，得。 不等式变形为，即。 因为在上单调递减，且，所以，解得，故解集为。 3.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 答案：B 分析：核心知识点为奇函数的性质、二次函数的单调性；解题关键是判断在上的单调性，再将不等式转化为自变量的大小关系求解。 解析：当时，，在上单调递减，在上单调递增； 因为是奇函数，奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，所以在上单调递增，在上单调递减，且，故在上单调递增。 由，得，即，因式分解得，解得，故取值范围为。 二、多选题 1.已知函数的定义域为，且满足，，若，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. D. 构造函数，则单调递减 答案：AD 分析：核心知识点为函数的对称性、导数与函数单调性的关系、构造函数法；解题关键是构造判断单调性，结合分析自变量的关系。 解析：构造函数，则，由，得，故在上单调递减，D正确。 由，知函数的图象关于直线对称。 因为且，则，又单调递减，所以。 由，得，则，。 即，又，，故，A正确，B错误； 题干未给出的奇偶性或相关正负性条件，无法判断的符号，C错误。 2.定义在上的函数满足，且，则下列说法正确的是（） A. B. 在上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 的最小值为 答案：ABC 分析：核心知识点为构造导数的逆运算（一阶线性微分方程的解法）、函数单调性与最值、解不等式；解题关键是构造辅助函数求的解析式，再分析其性质。 解析：已知，构造函数，则。 积分得（为常数），则。 由，得，故，A正确。 ，当且仅当时取等号，故在上单调递增，B正确。 不等式即，化简为。 令，，，，，结合单调性知解集为，C正确。 在上单调递增，无最小值，D错误。 三、填空题 1.已知函数，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为。 分析：核心知识点为分式函数的恒成立问题、二次函数的单调性与最值；解题关键是将恒成立问题转化为在上恒成立，求右侧函数的最大值。 解析：当时，恒成立，等价于恒成立，即恒成立。 令，则在上单调递减，故。 因此，即实数的取值范围为。 2.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式的解集为。 分析：核心知识点为偶函数的单调性、对数不等式的解法；解题关键是利用偶函数的性质将不等式转化为，再结合单调性求解。 解析：因为是偶函数，且，所以等价于。 又在上单调递增，故，即或。 解得或，故解集为。 四、解答题 1.已知函数（）。 (1) 若在上单调递增，求实数的取值范围； (2) 当时，求证：的充要条件是； (3) 若在上单调降，在微上单调递增行，行解不等式行。 答案：(1) ；(2) 见解析；(3) 分析：核心知识点为导数与函数单调性的关系、充要条件的证明、利用单调性解不等式；解题关键是通过导数判断函数单调性，结合极值点求解参数范围，将不等式转化为简单函数的单调性问题。 解析： (1) ，因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立，故恒成立。 因为，所以，即实数的取值范围为。 (2) 充分性：当时，，。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，所以。 必要性：若恒成立，，令，得。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故。 令，。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 故，所以，因此，即。 综上，的充要条件是。 (3) 由题意知，在处取得极小值，故，即，得，所以。 不等式化简为，即，整理得。 因为（有意义），所以，解得，故不等式的解集为。 2.已知函数（）。 (1) 讨论的单调性； (2) 若恒成立，求实数的取值范围； (3) 当时，解不等式。 答案：(1) 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；(2) ；(3) 分析：核心知识点为导数与函数单调性的讨论、恒成立问题、构造函数解不等式；解题关键是分类讨论的取值判断的单调性，将恒成立问题转化为函数最值，构造辅助函数求解不等式。 解析： (1) 的定义域为，。 当时，，故，在上单调递增； 当时，令，得；令，得。 故在上单调递增，在上单调递减。 (2) 恒成立，即在上恒成立。 令，。 由(1)知，当时，在上单调递增，且，当时，，不满足恒成立； 当时，在上单调递增，在上单调递减，故。 令，。 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 故，所以，要使，需，即，故实数的取值范围为。 (3) 当时，不等式为，整理得。 令，。 分子的判别式，且二次项系数，故恒成立，即恒成立，在上单调递减。 原不等式即，即，，，，结合单调性，故解集为。 3.已知函数（）。 (1) 求函数的单调区间； (2) 若在上恒成立，求实数的取值范围； (3) 证明：当时，。 答案：(1) 单调递增区间为，单调递减区间为；(2) ；(3) 见解析 分析：核心知识点为导数与函数单调区间的求解、恒成立问题、构造函数证明不等式；解题关键是通过导数分解因式判断符号，利用函数最值求解参数范围，构造对称函数证明不等式。 解析： (1) 的定义域为，。 令，，因为，令，得。 当时，，单调递增；当时，，单调递减。 又，当时，，，故，即； 当时，，，故，即。 故的单调递增区间为，单调递减区间为。 (2) 由(1)知，在处取得极大值，也是最大值，。 要使在上恒成立，需，即，又，解得，故实数的取值范围为 (3) 要证明当时，，令，因为，所以，，则不等式转化为，即。 由(2)知，当时，，即（）。 令（），则，即。 要证，只需证，即。 因为，，，故，只需证，即。 令（），，当时，，，故，在上单调递增。 故，即，因此得证。 题型3 构造函数证明不等式 一、单选题 1．若函数定义在上且可导，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先构造函数，再由已知结合导函数运算律构造函数的导函数，再根据导函数得出函数单调性列式求解. 【详解】根据可得， 可知当时，，即， 所以可知函数在上是增函数，即， 从而得， 故选：A． 2．若，则下列结论可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析化简不等式，构造新函数，求导判断单调性，根据单调性逐项判断不等式是否正确即可. 【详解】依题意得，则， 令，则. 因为，求导得， 易得在上递减，在上递增， 当，时，，即，B错误，D正确. 当，时，，即，A和C错误. 故选：D. 3．若是函数图象上两个不同的点，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A项，构造函数，利用导数进行判断，对于C项，由A项得进行判断，对于B,D项可以取特殊值进行判断． 【详解】若是函数图象上两个不同的点， 则， 对于A项，设， 则， 由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而，得， 即， 得，故A项错误； 对于B项，取，得， 则，故B项错误； 对于C项，由A项知， ，则， 得， 得， 得，故C项正确； 对于D项，取，得， 则，故D项错误， 故选：C 4．已知，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得（）.根据指数不等式，举例说明即可判断A；根据对数的运算性质和指数函数的图象与性质即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；根据指数、对数的运算性质可得，结合导数研究函数的性质即可判断D. 【详解】由，得（），所以. A：若，则，得， 当时，，所以不一定成立，故A错误； B：若，则， 得，即，又，所以此不等式不成立，故B错误； C：当时，不等式成立， 当时，不等式成立，故C错误； D：若，则，即. 设，则， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增，且， 所以当时，，成立，故D正确. 故选：D 二、多选题 5．已知函数，，下列说法错误的有（   ） A．函数的极小值为 B． C．函数有两个零点 D．函数恒成立 【答案】AC 【分析】利用导数求得的单调区间，即可求得极值，分析可判断A的正误；根据的单调性，代入数据，化简整理，即可判断B的正误；利用导数求得的单调性和极值，根据零点存在性定理，即可判断C的正误；根据极值点的范围，计算分析，可判断D的正误. 【详解】选项A：，，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为，无极小值，故A错误； 选项B：因为在上单调递减， 所以，即， 则，即， 因为在上单调递增， 所以，故B正确； 选项C：， 则， 设，则， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在使得， 当时，，则，单调递增， 当时，，则，单调递减， 所以， 又当时，，， 所以函数只有1个零点，故C错误； 选项D：由选项C得，即恒成立，故D正确. 故选：AC 6．对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 【答案】BCD 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题 7．已知正实数满足，则 ． 【答案】/ 【分析】变形后，由基本不等式得到，当且仅当时，等号成立，又，从而，根据等号成立条件列方程组，求出答案. 【详解】， 当且仅当时，等号成立，故， 又，理由如下： 设，， 则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 故，所以， 所以，且时，等号成立， 则，则 . 故答案为： 8．若实数满足，则 ． 【答案】 【分析】利用导数可证，当且仅当时等号成立，从而可得. 【详解】即为， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故即，当且仅当时等号成立， 故，故且， 故答案为：. 9．设函数，，若存在，使得，则的最小值为 . 【答案】1 【分析】由题意可得在上单调递增，且，所以，由此，通过放缩即可得出答案. 【详解】因为，所以恒成立， 所以在上单调递增， 又因为， 且存在，使得，所以， 所以，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以,即,当时取等号. 所以（当时取等号，此时满足题意）， 所以的最小值为1. 故答案为：1. 四、解答题 10．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. 【详解】（1）定义域为，，，又， 在处的切线方程为. （2）令， 则，在上单调递减， ，即当时， 11．已知函数. (1)判断在区间的单调性； (2)证明：当时，； (3)证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1)在单调递增，在单调递减 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导数，即可求得函数单调区间； （2）构造函数，求导数，得到函数单调区间，从而求得函数最小值，即证明，再由三角函数有界性得，即可得证； （3）由题意得，求导数，再令，求导数得到函数在区间上单调性，结合端点处函数值，由零点存在性原理得到存在零点，设零点得到函数的单调区间，由零点存在性原理得证. 【详解】（1）由题意可得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以在单调递增，在单调递减. （2）令，， 在上单调递增，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即， 因为，所以， 所以. （3）依题得，， ，令， 则，     当时，且，且两项不同时为0， 所以，在上单调递减， 因为，， 由零点存在定理得，存在，使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，所以， 又因为， 由零点存在定理得，存在，使得， 因为在上单调递减，所以零点唯一， 又因为当时，单调递增，所以，在此区间无零点. 综上，在上有且只有一个零点. 12．已知函数，设. (1)求证：是上的单调递减函数； (2)求证：当时，. 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 【分析】（1）二次求导，得到在上单调递减，结合特殊点函数值，得到在上恒成立，故是上的单调递减函数； （2）令，求导，分和两种情况，结合（1）中所求及三角函数有界性，放缩得到，综上，当时，. 【详解】（1）， ， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减，其中， 故在上恒成立， 故是上的单调递减函数； （2）当时，令， 则， 由（1）可知是上的单调递减函数，故， 故在上恒成立， 故在上单调递减， 故，故， 当时，， 故，， 所以， 所以，， 综上，当时，. 13．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若函数有个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)在上单调递增； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求导得，再次求导即可得到单调性； （2）（i）分离参数得，设，再求导得到最值，最后得到的范围； （ii）利用对均不等式转化为证明，再设，求导后得其最值即可证明. 【详解】（1）当时，定义域为， ，令， 则，令，解得， 当， 所以在上递减，在上递增， 所以即， 所以在上单调递增. （2）（i）函数有3个零点等价于有三个根等价于有三个根， 等价于当与有三个交点，. ， 0 2 0 0 减 0 增 减 ，， 所以的取值范围为. （ii）先证对数均值不等式， 由（i）知，令 则， 等价于， 等价于， 令， ， 在上递减，， 故， 由（i）知，， 满足，由②③可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得，则， 故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即． 而由， 可知成立，故命题得证． 题型4 构造函数求最值、范围 一、单选题 1.（2024·新高考Ⅰ卷改编）已知函数，若在上有两个极值点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查导数与函数极值点个数的综合应用，核心是将极值点问题转化为导函数零点问题，构造新函数求值域确定参数范围，是高考导数压轴选择题典型题型。 解析： 函数定义域为，求导得。有两个极值点等价于在有两个不同实根，即有两个不同正解。构造，求导得。令得，当时，单调递减；当时，单调递增。当时，当时，，结合图像可知当时，与图像有两个交点。 2.（2023·全国甲卷理）已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 答案：A 分析：本题考查导数研究函数单调性与最值，解决区间函数值差的最值问题，核心是转化为区间内，考查转化与分类讨论思想。 解析： 对求导得，仅当时，故在上单调递增。在上的最大值为，最小值为，计算得。由题意，验证区间端点：时，区间内；时，区间内；或时，区间内函数值差均大于，故实数的取值范围是。 3.（2022·新高考Ⅰ卷）设，，，则（） A. B. C. D. 答案：C 分析：本题考查利用导数构造函数比较大小，核心是构造三个函数，通过分析单调性与极值确定函数值的大小关系，是高考导数选择题的高频压轴题型。 解析： 构造函数，，，。求导得，在单调递增；，在单调递增；，在单调递增。令，，，时，单调递减，，故，单调递减，，得，即。令，，单调递减，，故，得。综上。 二、多选题 1.（2022·新高考Ⅱ卷改编）已知函数，，若对任意，恒成立，则下列选项中可能满足条件的是（） A. ， B. ， C. ， D. ， 答案：ABC 分析：本题考查构造函数解决恒成立问题，导数研究函数最值，核心是构造，转化为，是导数压轴多选题常考模型。 解析： 构造，题意等价于对任意恒成立。求导得，令，则，令得，在单调递减，在单调递增，。 选项A中，，，存在使，在递增，递减，递增，验证得最小值大于，满足条件； 选项B中，，，，单调递增，，满足条件； 选项C中，，，，单调递增，，满足条件； 选项D中，，，，时，不满足恒成立。 2.（2024·山东潍坊高三一模）已知函数，，则下列说法正确的是（） A. 的最小值为 B. 当时，恒成立 C. 方程有且仅有一个实数根 D. 存在，使得 答案：ACD 分析：本题考查导数研究函数最值、不等式恒成立及方程根的个数问题，核心是构造差函数分析单调性与极值，是导数综合应用的典型考法。 解析： 定义域为，求导得，令得，在单调递减，在单调递增，，选项A正确。 构造，求导得恒成立，在单调递减，，故时即，选项B错误；方程仅有根，选项C正确。 构造，，求导得，，在单调递减，，，，故存在使，即，选项D正确。 三、填空题 1.（2023·浙江卷）已知函数，为的导函数，则的值为。 分析：本题考查导数的运算法则，核心是掌握基本初等函数的导数公式，是导数填空题的基础压轴题型。 解析： 由导数公式得，将代入得。 2.（2024·江苏高三联考）已知函数有且仅有两个极值点，则实数的取值范围是。 分析：本题考查导数与函数极值点个数的关系，核心是转化为导函数零点个数问题，构造新函数求值域，是导数填空题的压轴题型。 解析： 定义域为，求导得，有两个极值点等价于有两个不同实根，即有两个不同解。构造，，求导得。令得，在单调递减，在单调递减，在单调递增。时，时，时，，故。 四、解答题 1.（2023·新高考Ⅱ卷）已知函数，。 (1) 若，求的单调区间； (2) 若恒成立，求的取值范围。 答案： (1) 单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 的取值范围是 分析：本题考查导数研究函数单调区间及恒成立问题，核心是分类讨论的取值，构造函数分析极值，是高考导数解答题的压轴模型。 解析： (1) 当时，，定义域为，求导得。令得，当时，单调递减；当时，单调递增。 (2) 求导得，令，在单调递增且（），（）。 当时，，，单调递增，当时，满足； 当时，存在使，即，在单调递减，在单调递增，。令，求导得，在单调递增，在单调递减，，故。综上，的取值范围是。 2.（2024·江苏高三联考压轴题）已知函数，。 (1) 求函数的最小值； (2) 设为正整数，满足，求的最大值。 答案： (1) 最小值为； (2) 的最大值为 分析：本题考查导数求函数最值及放缩法证明不等式，核心是利用得到，结合对数运算放缩求解，是导数与数列不等式结合的压轴题型。 解析： (1) 定义域为，求导得，令得，在单调递减，在单调递增，。 (2) 由(1)知，令，则。对取对数得。由题意，验证时，；时，，故的最大值为。 3.（2022·全国乙卷理）已知函数。 (1) 当时，求在处的切线方程； (2) 若在和各有一个极值点，求的取值范围。 答案： (1) 切线方程为； (2) 的取值范围是 分析：本题考查导数的几何意义及极值点分布问题，核心是将极值点分布转化为导函数零点分布，构造函数分析单调性与值域，是高考导数解答题的经典压轴题型。 解析： (1) 当时，，，求导得，，故切线方程为。 (2) 求导得，令，，的极值点等价于的零点。，。 由题意在和各有一个零点，，得不成立，故得。当时，当时，若，；若，，故。 令，，在单调递增，，得。综上，的取值范围是。 题型5 构造函数研究方程的根 一、单选题 1．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 2．设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意先得是函数的一个零点，当时，，所以当时，与的图象必有一个交点，根据函数求导计算可得的函数图象，数形结合即可解决. 【详解】由题知，，函数恰有两个零点， 因为当时，， 所以是函数的一个零点， 又当时，由可得， 所以当时，与的图象必有一个交点， 由于， 当时，，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，，则， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，有最小值为， 所以，函数图象如图： 由图可知，若与，图象必有一个交点，则， 故选：A. 二、多选题 3．已知函数，则（   ） A．是增函数 B．有且仅有1个零点 C．的图象关于原点对称 D．既有极大值又有极小值 【答案】AB 【分析】先求出，再利用判别式判断得到其正负，进而判断A，先求出，再结合的单调性判断B，证明判断C，利用是增函数得到其无极值判断D即可. 【详解】对于A，因为，所以， 而，则，即是增函数，故A正确， 对于B，由题意得，结合已知得是增函数， 则有且仅有1个零点，故B正确， 对于C，因为， 所以，即， 可得的图象不关于原点对称，故C错误， 对于D，因为是增函数，所以无极值，故D错误. 故选：AB 4．已知函数，其中，则下列正确的是（   ） A．若，则的单调减区间为 B．的极小值为，无极大值 C．当时，函数无零点 D．若方程有两个实数解，则 【答案】BCD 【分析】利用导数的正负来分析函数的单调性，从而可以确定是否有极值，然后利用最小值大于0来确定函数没有零点，对于选项D，则利用分离参变量，构造函数求导，研究单调性及取值规律，从而可确定参数范围. 【详解】当时，，则， 由，因为定义域， 所以的单调减区间为和，故A错误； 由，可得， 由于，则可解得， 所以在上单调递增，同上可得：在和上单调递减， 则的极小值为，无极大值，故B正确； 当时，，此时函数无零点， 当时，由上可得， 因为，所以，即， 则此时函数也无零点，故C正确； 由方程可得：， 令，则， 由，可得，由，可得， 则在时单调递减，在时单调递增， 又因为，当时，，当时，， 所以要使得方程有两个实数解，则只需要，故D正确； 故选：BCD. 5．设函数，其中为实数，则（    ） A．是定义在上的奇函数 B．若在上单调递增，则的取值范围为 C．若为在上的极小值点，当时，的最小值为 D．当时，在上有且仅有2个零点 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性定义判断选项A；利用导数讨论函数单调性，判断选项B；利用极值点的定义，结合正弦函数的性质判断选项C；求导，结合零点存在定理判断选项D． 【详解】选项A：， 的定义域为关于原点对称， 是定义在上的奇函数； 选项B：的导数为， 若在上单调递增，则需保证恒成立， ， 当时，的最小值为，故，解得，故； 当时，的最小值为，故，解得，故； 当时，，成立； ，故B错误； 选项C：为在上的极小值点， ，即，解得， ，， ， ，，， ， ，，故，最小值为，故C正确； 选项D：，的零点满足，即， 令， 在上，，，则无交点； 在上，，，可能有交点； 求导得， ，， 在内有两个解，，， 在上，单调递增，在上，单调递减； 在上，，单调递增，故是极小值点，； 当时，，递减，，； 当时，，递增，，； 由零点存在定理可知，在和内各有一个零点，共2个，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 6．已知函数有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题转换为的图象与的图象有两个交点，利用导数分析函数单调性、极值情况即可求解. 【详解】，令， 求导得， 而， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而当时，，当时，， 且有极大值， 所以若函数有两个零点，则的取值范围是. 故答案为：. 7．已知，若函数有两个零点，则正数m的取值范围是 【答案】 【分析】由题意得有两个不等实根，时，令，利用导数求得的单调性和极值；当，令，利用导数求得的单调性和极值，作出、与图象，则与和图象一共有两个交点，结合m的范围，分析即可得答案. 【详解】令函数，可得有两个不等实根， 当时，，整理得， 令，则， 令，解得或0（舍）， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，； 当时，，整理得， 令，则， 令，解得， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 当时，，当时，， 作出、与图象，如下图所示： 因为函数有两个零点，且， 所以与和图象一共有两个交点， 由图象得，则正数m的取值范围是. 故答案为： 8．已知函数，函数恰有3个零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数分别讨论和时函数的单调性，求出最值，画出函数图象，根据函数的零点个数与和图象交点个数的关系，确定的取值范围. 【详解】当时，，则， 令， 所以当时，单调递减；当时，单调递增. 所以当时，，当. 当时，，则， 令， 所以当时，单调递增；当时，单调递减. 当时，，，当， 作出函数的图象如图所示． 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点， 由图知，即实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 9．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）求导，讨论导函数的符号，可得函数的单调性. （2）分析函数的单调性，由函数的极小值小于0可得a的取值范围. 【详解】（1）当时，，所以. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）因为. 若，则在上恒成立，所以在上单调递增； 若，由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 若函数有两个零点，必有. 且极小值. 且当时，；当时，. 所以当时，函数有两个零点. 10．已知函数． (1)若函数过点，求该点处的切线方程； (2)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (3)记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求得切线的斜率k，代入点斜式方程，即可得答案. （2）利用导数求得的单调区间和极小值，根据题意，列出不等式，即可得答案. （3）由题意得的解析式，可得解析式，根据题意及韦达定理，可得，表达式，整理可得，再结合b的范围确定的关系，利用导数求的最小值，从而得到k的最大值 【详解】（1）由题意得，所以切线斜率为， 又，即切点为， 所以切线方程为：，即． （2）令，解得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以的极小值为，且时，， 因为在区间上存在零点，则，解得， 所以的取值范围是． （3）由题意， 则， 若，则恒成立， 所以两根为，， 所以，， 则 由，设，则， 令，， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为， 所以，解得， 所以当时，，所以， 即实数的最大值为 11．已知函数． (1)若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； (2)设，用表示函数和； (3)求证：． 【答案】(1)或或; (2) ，; (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数，结合余弦值相等的角满足的条件，即可求解； （2）利用余弦的和差角公式和二倍角公式化简，即可求解； （3）利用，结合四倍角公式和三倍角公式，建议方程，再结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）因为所以依题意可知：， 即． 所以或，， 又因为所以或或． （2）因为 ，再由，可得；                     同理 ，再由，可得 （3）.                  ． 令，则是方程的根．             又， 是函数的零点．                  ，由，解得． 在上单调递增，在上单调递减． 当时，没有零点． 于是必在区间上．                  又在上单调递增，                  且．                  由零点存在定理可知：．即． 12．已知函数. (1)若，证明：； (2)令，若函数在区间上恰有一个零点，求k的取值范围； (3)若，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后，可得，将定义域分成和两段，利用导数判断函数单调性证明成立，经等价变形即可证得； （2）根据题意，将问题转化为函数与在上恰有一个交点，通过求导判断的单调性，求出极值和端点函数值，利用函数与方程的思想即可求得答案； （3）利用（1）可得时，在上单调递减，推理可得，再利用（1）的结论，当且仅当时取等，即可证得结论. 【详解】（1）当时，，函数定义域为，则， 易得，下证当时. 要证，需证，即证， 设，则， 当时，，则在上单调递增，故，即，故有； 当时，，则在上单调递减，故，即，故有. 综上可得，当时，恒成立； （2），由可得，即，， 设，则问题转化为函数与在上恰有一个交点. 则，由可得，因，则， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，，则函数在上单调递减. 又， 则当时，两函数无交点；当或时，两函数有1个交点；当两函数有2个交点. 故当函数在区间上恰有一个零点时，k的取值范围为或； （3）由（1）知，当时，，即在上单调递减， 因，则，即，也即， 由可得，在（1）中已证，当且仅当时取等， 故有，所以得证. 13．已知函数． (1)若曲线在处的切线与在处的切线的倾斜角互补，求的值； (2)若函数有三个零点，，，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)(ⅰ) ;(ⅱ)见解析 【分析】（1）首先分和两种情况去绝对值，再根据导数的几何意义求解； （2）（ⅰ）首先将方程转化为，转移为与的图象交点个数求的取值范围，去绝对值后利用导数分析的单调性和图象，即可求解； （ⅱ）利用分析法将所证明不等式转化为证明，根据函数零点的方程转化为证明，再根据，转化证明，再通过构造，换元，则，，构造函数，利用导数求函数的最小值，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，，， 由条件可知，. （2），得， 设， ，，所以在区间上单调递减， 当时，，当时，， ，，得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，取得极大值，当时，， 画出函数的图象， 与的图象有3个交点，则； (ⅱ)由（ⅰ）可知，， 要证明，只需证明， 又，，即证，所以上式等价于证明， 由，，得，即， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. $