精品解析：方城县第一高级中学高三2026年1月份第2周周考数学试题

方城县第一高级中学高三1月份第2周周考数学试题 一、单选题 1. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法求得，则，再判断即可． 【详解】，则， ，在复平面内所对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析出函数在上单调递减，结合偶函数的性质和单调性可得出结论. 【详解】因为函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增， 则该函数在上单调递减，所以， 故选：C. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由结合余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题意得 . 故选：B 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量与的夹角为，且，可得， 则， 所以. 故选：B. 6. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造等差数列，再结合通项公式计算求解. 【详解】因为，左右同乘，所以， 为首项是1，公差为3的等差数列，所以， 所以， 故选:C. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，构造且，求导得到其单调性，得出，A错误；B选项，构造且，求导得到其单调性，得出；C选项，构造且，求导得到其单调性，证明出；D选项，举出反例即可. 【详解】对于A，令且，则， 故在上单调递增，则，即， 所以，即，故A错误； 对于B，令且，则， 故在上单调递增，则，即，所以，故B错误； 对于C，令且，则， 故在上单调递增，则，即， 所以，则，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：C. 【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小. 8. 已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出的图象，令，根据函数图象可得有两个不等实根，且有两个整数根，有三个整数根，数形结合得到，此时两个整数根分别为2和，数形结合得到三个整数根中，必有一个小于2，只有满足要求，故，求出五个整数根分别为，，1，2，4，即可得到答案. 【详解】令，则， 根据的图象可知，要满足题意必须有两个不等实根， 且有两个整数根，有三个整数根， 结合图象，当与相切时满足要求， 在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故， 又，，其在定义域内单调递减，令，解得， 故时，有两个整数根，分别为2和， 由图象可知，的三个整数根中，必有一个小于2，显然只有满足要求， 此时，故，令，解得另一个根为4， 又，解得， 故五个整数根分别为，，1，2，4， 所以最大整数解和最小整数解之积为． 故选：A． 二、多选题 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. 设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意分类讨论可求得，，，进而计算可求得数列的通项公式可判断AB；求得，的最大值可判断CD. 【详解】①若，，， 所以公差， 所以，所以， 所以，与矛盾，舍去. ②若，，，由，， 可得，所以，解得， 所以，解得，矛盾，舍去； ③若，，，由，，可得， 解得，所以，解得，而，矛盾，舍去； ④若，，， 由，，可得，解得， 所以，解得，所以， 所以，满足条件，故A错误，B正确； 所以， 令，得，解得， 所以当时，取得最大值，即，故C正确； 所以，所以， 令，求导得， 令，得或， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 所以当且，单调递增，当且，单调递减， 又，， 所以，故D错误. 故选：BC. 11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件/天） 甲 500 乙 700 丙 800 试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ） A. 若计算机5次生成的数字之和为，则 B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项. 【详解】对于A：因为，， 所以，故A错误； 对于B：由 故B正确； 对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B， 这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件， 则由 ，故C错误； 对于D：由C选项的解析可知，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解. 三、填空题 12. 的展开式中常数项为______． 【答案】60 【解析】 【详解】的展开式的通项为，，1，2，…，6， 令，得，所以的展开式中常数项为． 13. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数在区间上的值域为，由题意可知，由，可得出，由题意知，函数在区间上的值域包含，然后对分、、三种情况分类讨论，求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式（组），解出即可. 【详解】由于函数在上的减函数，则，即， 所以，函数在区间上的值域为. 对于函数，内层函数为，外层函数为. 令，得. 由题意可知，函数在区间上的值域包含. 函数的图象开口向上，对称轴为直线. （i）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即， 此时，函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得，此时，； （ii）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，，即， 此时，函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得或，此时； （iii）当时，函数在区间上单调递减，则，，则函数在区间上的值域为， 由题意可得，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查指数函数与对数函数的综合问题，根据任意性和存在性将问题转化为两个函数值域的包含关系是解题的关键，在处理二次函数的值域问题时，要分析对称轴与区间的位置关系，考查分类讨论思想、化归与转化思想的应用，属于难题. 14. 如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为，，，则______. 【答案】1. 【解析】 【分析】根据，利用等体积法即可求得答案. 【详解】如图，设点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的投影点分别为，连接,则. 而，，所以. 故答案为：1. 四、解答题 15. 某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值并估计记为“优秀”的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 【答案】（1），88分 （2）分布列为 1 2 3 4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质，即可求出，进而可求出“优秀”的最低分数； （2）先求出每一层的分数，再求出的可能取值及对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式或超几何的期望公式，即可求出期望； （3）利用正态分布的性质得，根据题设有，再由二项分布的期望计算公式，即可求解. 【小问1详解】 由图可知， 解得. 因为， 则成绩由高到低的前分数线必在之间， 设分数线为，则，得， 则记为“优秀”的最低分数为88分. 【小问2详解】 样本成绩位于和的比例为， 故所抽取的个人中，来自的人数为，来自的人数为，来自的人数为， 则的所有可能取值为1，2，3，4． ， ， 所以的分布列为 1 2 3 4 方法一：. 方法二：服从参数的超几何分布，故. 【小问3详解】 由题意得，， 由，所以， 所以 ， 所以高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的概率约为0.8186， 故，所以. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和两角差的余弦公式即可求解； （2）根据条件得出，然后利用正弦定理和勾股定理，同角三角比的关系和二倍角公式即可得出答案. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 如图，因为，所以，所以. 因为，所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 在中，由正弦定理得， 因为， 所以，所以， 所以. 因为，所以，即. 在中，. 所以， 所以 . 17. 椭圆的上顶点为P，圆在椭圆E内． （1）求r的取值范围； （2）过点作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求的最大值，并计算出此时圆C的半径r． 【答案】（1） （2）最大值为， 【解析】 【分析】（1）设椭圆上任意一点，可得，求出，进而可得r的取值范围； （2）设，过点的直线的方程为，根据点到直线的距离公式得到，则可得，再联立，求出坐标，设出直线的方程，代入坐标计算，再求解即可》 【小问1详解】 不妨设椭圆上任意一点，且 此时半径， 又，当x0=2时取等号. 所以， 所以r的取值范围为； 【小问2详解】 过点作圆C的两条切线， 当两条切线均存在斜率时， 设 经过点的直线的方程为， 则，整理得， 所以有 又以为直径的圆的方程为 则直线的方程为， 整理得，令得，即， 联立，消去得， 所以， 即， 不妨设直线的方程为， 则，整理得， 所以为方程的两个根， 则，又， 所以，解得， 此时 ， 当且仅当，即时取等号， 当两条切线中一条斜率不存在时，，此时,PA即y轴， 此时，， 综上的最大值为，此时. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是通过计算求出相关点的坐标，进而才能求出长度表达式，对于计算的准确性以及计算速度要求高. 18. 已知函数． （1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； （2）设，用表示函数和； （3）求证：． 【答案】（1）或或; （2） ，; （3）证明： .                             ． 令，则是方程的根．                     又， 是函数的零点．                             ，由，解得． 在上单调递增，在上单调递减． 当时，没有零点． 于是必在区间上．                             又在上单调递增，                             且．                             由零点存在定理可知：．即． 【解析】 【分析】（1）利用导数，结合余弦值相等的角满足的条件，即可求解； （2）利用余弦的和差角公式和二倍角公式化简，即可求解； （3）利用，结合四倍角公式和三倍角公式，建议方程，再结合零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 因为所以依题意可知：， 即． 所以或，， 又因为所以或或． 【小问2详解】 因为 ，再由，可得； 同理 ，再由，可得 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 方城县第一高级中学高三1月份第2周周考数学试题 一、单选题 1. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 设是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量与的夹角为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，其中均为实数．若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解之积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 设等差数列的前项和为，设，在同一个坐标系中，的部分图象如图所示，则下列推断正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示： 生产线 次品率 产量（件/天） 甲 500 乙 700 丙 800 试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ） A. 若计算机5次生成的数字之和为，则 B. 设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则 C. 若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为 D. 若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为 三、填空题 12. 的展开式中常数项为______． 13. 已知函数与，若对任意的，都存在，使得，则实数的取值范围是______. 14. 如图，在三棱锥中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为，，，则______. 四、解答题 15. 某高中学校计划通过体质测试，了解学生体质健康水平．规定按照成绩由高到低，前的学生测试成绩记为“优秀”．为了了解本次体质测试情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）： （1）求的值并估计记为“优秀”的最低分数； （2）如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取8人，再从8人中选4人，记4人中成绩不合格（成绩低于60分）的学生人数为，求的分布列与期望； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得．体质监测中心计划从全市抽取名高中生进行体质测试，记这名高中生的体质测试成绩恰好落在区间内的人数为，求的数学期望． 参考数据：若，则． 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若且，求的值. 17. 椭圆的上顶点为P，圆在椭圆E内． （1）求r的取值范围； （2）过点作圆C的两条切线，切点为AB，切线PA与椭圆E的另一个交点为N，切线PB与椭圆E的另一个交点为M．直线AB与y轴交于点S，直线MN与y轴交于点T．求的最大值，并计算出此时圆C的半径r． 18. 已知函数． （1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； （2）设，用表示函数和； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $