精品解析：河南济源市北海中学等校2025-2026学年三校联考九年级上学期期末数学模拟试卷

九年级上学期期末模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，是分式方程，不是一元二次方程；故该选项不符合题意； B． ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C． ，化简后为：，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D． ，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选D． 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 在正方形中，与交于点G，若平分，连接并取中点F，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形的性质得，垂直平分，则，所以，求得，由得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵在正方形中，与交于点G， ∴，垂直平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故选：C． 【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的“三线合一”等知识，求得是解题的关键． 4. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由小路宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形，再利用长方形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设小路宽为， 种植草坪的部分可合成长为，宽为的长方形， 依题意得：． 故选：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用、图形的平移解决实际问题，根据平移得出种植草坪的部分可合成一个长方形是解题的关键． 5. 如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为和，并且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O刚好和刻度水平对齐，上面部分的沙面（所在直线）与刻度水平对齐，则此时沙面的宽（    ） A. 3cm B. C. D. 2cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：由题意得，， ， ， ， ， 答：此时沙面的宽 故选：C 6. 若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性． 先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论． 【详解】解：该抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点A离对称轴更远， ∴， 故选：A． 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”可得，即可得解． 本题主要考查了菱形的性质和“直角三角形中斜边中线等于斜边一半”的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ， ∵E是的中点， ， ∴。 故选：A． 8. 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB的高度（精确到1米）为（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 【答案】B 【解析】 【分析】由CD∥AB及FG∥AB，分别得△EDC∽△EBA及 △HGF∽△HBA，根据相似三角形的性质得关于AB、BD的方程组，解得BD，AB即可． 【详解】∵DC∥AB， ∴△EDC∽△EBA， ∴＝，即＝①， ∵FG∥AB， ∴△HGF∽△HBA， ∴＝，即＝②， ①﹣②得＝，解得BD＝7.5， ∴＝， ∴AB＝5.95≈6（米）． 即路灯杆AB的高度（精确到1米）为6m． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、方程组的解法，关键是相似三角形的性质得到关于AB、BD的方程组． 9. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入函数解析式求解即可得出答案，掌握二次函数中、的实际意义是解题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：或， ∴水面的宽度为：（米）， 故选：B． 10. 如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（）与时间（）之间对应关系的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象，再对题中的每一种结论进行判断． 【详解】解：由于容器的形状是下宽上窄，所以水的深度上升是先慢后快． 表现出的函数图形为先缓，后陡． 故选D． 【点睛】本题考查单式折线统计图，解题关键在于根据容器的上下的大小，判断水上升快慢和对应的图象 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式______________________________________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 【答案】或（答案不唯一）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标是，据此进行计算是正确解答此题的关键．注意本题答案不唯一． 已知当时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3，故抛物线的顶点坐标为，设出顶点式求解即可． 【详解】解：设，， 由题意得， 解得， ，或，， 当时， ，， 当时， ，， 故答案为：或（答案不唯一）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交轴于，作轴于，交于，由题意知，，，证明，则，即，可求，进而可求点B的坐标． 【详解】解：如图，延长交轴于，作轴于，交于， 由题意知，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为． 13. 公司以3元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润． 柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … … … 250 24.75 0.099 300 30.93 0.103 350 35.12 0.100 450 44.54 0.099 500 50.62 0.101 【答案】 ①. 0.9 ②. 【解析】 【分析】利用频率估计概率得到随实验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为x元，然后根据“售价-进价=利润”列方程解答． 【详解】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1-0.1=0.9； 设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x-3×10000=12000， 解得x=． 所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元， 故答案为：0.9，． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键． 14. 如图，的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、网格与勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 取格点，连接，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：如图，取格点，连接， 由网格的性质可知：， ∵，， ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，E是边上一动点，将沿折叠得到，若点F（不与点C重合）落在的角平分线所在直线上，则的长为______． 【答案】或或． 【解析】 【分析】分类讨论：①当点在的角平分线上时，利用折叠的性质以及中线的性质得出，再结合中位线的性质得到是的中点，最后利用含角的直角三角形的性质计算各边的长度即可；②当点在的角平分线上时，连接，利用角平分线以及折叠的性质证明，再得到四边形是菱形，结合中线的性质以及的长计算边的长度即可，③当，重合时，则则与，重合，此时，可得，而，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点在的角平分线上时，连接 ， ， ， 由折叠可知， ， 是中线， ， ， ， ， ∴是的中点， ∵， ， ， ∵是的中点， ∴， 在中，， ， ； 如图2，当点在的角平分线上时，连接 由折叠知，， ， ， ， ， ， ； 如图3，当，重合，则与，重合， ∴此时， ∴，而， ∴， ∴， 综上所述：的长为或或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查折叠的性质以及三角形全等，熟练运用含角的直角三角形的性质求各边的长度是解决本题的关键． 三、解答题（75分） 16. （1）计算： （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算以及整式的运算． （1）先计算绝对值，零次幂和特殊角的三角函数，再计算加减即可． （2）先计算平方差公式，再合并同类项即可． 【详解】解∶（1）原式 ， （2）原式 17. “践行垃圾分类，共筑绿色家园．”某校开展垃圾分类知识竞赛活动，竞赛成绩满分的有4名同学，其中3名女生，1名男生．现从这4名同学中随机抽取2人参加区级竞赛． （1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是________事件； （2）请用画树状图法或列表法，求抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，用列表或树状图求概率，熟解题的关键是理解事件的类型和使用列表法或树状图计算概率． （1）根据确定性事件的概念求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵竞赛成绩满分的有4名同学，只有1名男生． ∴无法抽取2名同学都是男生， ∴ 抽取的2名同学，都是男生是不可能事件； 故答案为：不可能； 【小问2详解】 解：男同学用1表示，女同学用2、3、4表示，列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 有表可知，共有12种等可能结果，其中抽取的2名同学，七号是一男一女的有6种结果， ∴抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 【答案】（1） 如下直线l即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点D，E，作直线，则直线l即为所求． （2）连接，由线段垂直平分线的性质可得出，由等边对等角可得出，由三角形内角和得出，则得出为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接如下图： ∵为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长； （3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点的坐标为 （2）或 （3）， 【解析】 【分析】(1)首先把点A的坐标代入，即可求得点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求得反比例函数的解析式，再利用方程组，即可求得点B的坐标； (2)设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，可求得点D的坐标为，可求得AD、CD的长，再分两种情况分别计算，即可分别求得； (3)方法一：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，根据，求得点的坐标，进而求得的解析式，设点D的坐标为(a，b)，根据定义以及在直线上，建立方程组，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入， 得，解得a=1， 故点A的坐标为(1,4)， 把点A的坐标代入， 得k=4， 故反比例函数的表达式为， ， 得， 解得，， 故点A的坐标为(1,4)，点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线AC的解析式为y=kx+b，点C的坐标为，直线AC与y轴的交点为点D， 把点A、C的坐标分别代入y=kx+b，得 ， 解得， 故点D的坐标为， ， ， 如图：当AD:CD=1:2时，连接BC， 得，得， 得， 解得或(舍去)， 故或(舍去)， 故此时点C的坐标为(-2,-2)， ， 如图：当CD:AD=1:2时，连接BC， 得，得， 得， 解得或(舍去)， 故或(舍去)， 故此时点C的坐标为 ， ， 综上，BC的长为或； 【小问3详解】 解：如图，过点作，交的另一支于点，过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，交于点，作交于点，设交于点，如图 ∵ 设，，则 又 即 解得或（舍去） 则点 设直线的解析式为，将点， 解得 直线的解析式为 设，根据题意，的中点在直线上，则 ∵ 则 解得或（在直线上，舍去） ． 综上所述，． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合，利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，平面直角坐标系中两点间距离公式，相似三角形的判定与性质等知识，采用分类讨论的思想和待定系数法求解析式是解决本题的关键． 20. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】对于（1），在中，根据求出，再根据勾股定理求出，即可求出，然后根据得出答案； 对于（2），过点D作，交于点G，根据“角角边”证明可得，再说明，然后根据相似三角形的对应边成比例得，即可得出答案． 【小问1详解】 在中，， ∴， 解得． 根据勾股定理，得． ∵点E是的中点， ∴． 在中，； 【小问2详解】 如图所示，过点D作，交于点G， ∴. ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了余弦的应用，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售． （1）据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？ （2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？ 【答案】（1）月均下降率为 （2）当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能根据题意列出利润关于售价的函数关系是关键． （1）依据题意，设月均下降率为，可列方程，进而计算可以得解； （2）依据题意，设每件玩偶定价为元时，所获利润为元，进而可得再由二次函数的性质进行判断可以得解． 【小问1详解】 解：设月均下降率为， 根据题意可得， 解得（不合题意，舍去）， 所以，月均下降率为． 【小问2详解】 设每件玩偶定价为元时，所获利润为元， 则． 当，最大， 所以，当每件玩偶定价为27元时，每天获得的利润最大． 22. 设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 【答案】（1）二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个（2）y=3x2﹣2x﹣1（3）a＞0 【解析】 【分析】（1）先判断，根据二次函数与轴交点个数与的关系得到交点的个数为个或2个. （2）由于当时，所以C点不在该二次函数图象上;然后将A，B两点坐标分别代入二次函数解析式，得到方程组，然后求得和的值，即可求出二次函数解析式． （3）将代入该二次函数解析式，得到 用减去消掉，再由，即可求得 【详解】（1）设y=0 ∴0=ax2+bx﹣（a+b） ∵△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0 ∴方程有两个不相等实数根或两个相等实根． ∴二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个 （2）当x=1时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点C 把点A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得 解得 ∴抛物线解析式为y=3x2﹣2x﹣1 （3）当x=2时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0② ①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0 【点睛】考查本题主要考查二次函数的图象与性质，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键. 23. 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长． 【答案】（1）见解析； （2）证明见解析，． 【解析】 【分析】（1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：；根据相似三角形的对应边成比例，即可求得的长，即可得的长， 【小问1详解】 证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质，掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期末模拟试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在正方形中，与交于点G，若平分，连接并取中点F，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上，沙漏底部边缘C，D在水平放置的尺子上的读数分别为和，并且C，D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合，沙漏的中心点O刚好和刻度水平对齐，上面部分的沙面（所在直线）与刻度水平对齐，则此时沙面的宽（    ） A. 3cm B. C. D. 2cm 6. 若点、都在拋物线上，则、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，菱形的对角线，相交于点O，E是的中点，连接．若，则菱形的边长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 8. 如图，花丛中有一路灯杆AB．在灯光下，小明在D点处的影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝5米，这时小明的影长GH＝5米．如果小明的身高为1.7米，则路灯杆AB的高度（精确到1米）为（　　） A. 5米 B. 6米 C. 7米 D. 8米 9. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为3米时，水面的宽度为（ ） A. 4米 B. 6米 C. 8米 D. 10米 10. 如图是九年级某考生做的水滴入一个玻璃容器的示意图（滴水速度保持不变），能正确反映容器中水的高度（）与时间（）之间对应关系的大致图象是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. （2015淄博）对于两个二次函数，，满足．当x=m时，二次函数的函数值为5，且二次函数有最小值3．请写出两个符合题意的二次函数的解析式______________________________________（要求：写出的解析式的对称轴不能相同）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点光源位于点处，木杆轴，点A的坐标为，木杆在x轴上的影长为6，则点B的坐标为_______． 13. 公司以3元/的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，右面是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为_______（精确到0.1）；从而可大约确定每千克柑橘的实际售价为_______元时（精确到0.1），可获得12000元利润． 柑橘总质量 损坏柑橘质量 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … … … 250 24.75 0.099 300 30.93 0.103 350 35.12 0.100 450 44.54 0.099 500 50.62 0.101 14. 如图，的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C均在正方形网格的格点上，则的值为_______． 15. 如图，在中，，，是边上的中线，E是边上一动点，将沿折叠得到，若点F（不与点C重合）落在的角平分线所在直线上，则的长为______． 三、解答题（75分） 16. （1）计算： （2）化简： 17. “践行垃圾分类，共筑绿色家园．”某校开展垃圾分类知识竞赛活动，竞赛成绩满分的有4名同学，其中3名女生，1名男生．现从这4名同学中随机抽取2人参加区级竞赛． （1）事件“抽取的2名同学，都是男生”是________事件； （2）请用画树状图法或列表法，求抽取的2名同学，恰好是一男一女的概率． 18. 如图，在中，，． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线l，分别交，于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）在（1）所作的图中，连接，若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的表达式及点的坐标； （2）过点作直线，交反比例函数图象于另一点，连接，当线段被轴分成长度比为的两部分时，求的长； （3）我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设是第三象限内的反比例函数图象上一点，是平面内一点，当四边形是完美筝形时，求，两点的坐标． 20. 已知：如图，在中，，，垂足为点D，E是的中点，连接并延长，交边于点F． （1）求的正切值； （2）求的值． 21. 2023年7月28日至8月8日，世界大学生夏季运动会在成都举行，吉祥物蓉宝成为本次大运会的“显眼包”，某电商直播间在7月初以20元一件的成本价购进一大批蓉宝玩偶进行销售． （1）据统计，7月份该直播间共销售蓉宝玩偶3750件，8月8日大运会闭幕后，蓉宝玩偶的销量呈下滑趋势，连续两个月销量下降后，9月份共计销售2400件，8月和9月这两个月销售量的月平均下降率是多少？ （2）十一国庆长假期间，该直播间决定利用降价促销的方式提高利润，每件玩偶定价30元，每天可销售80件，若单价每下降0.5元，每天可多售出10件，当每件玩偶定价为多少元时，每天获得的利润最大？ 22. 设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式． （3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 23. 和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点． （1）如图①，当点在线段上，且时，求证：； （2）如图②，当点在线段的延长线上时，求证：；并求当，时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $