2026年高一上学期数学寒假作业（五）三角函数

高一数学寒假作业（五）三角函数 一、单选题 1．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知点在的终边上，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，均为锐角，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上单调递减，则ω的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 7．函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．如图所示，用若干个正方形拼成一个大矩形，然后在每个正方形中以边长为半径绘制圆弧，这些圆弧连起来得到一段螺旋形的曲线，我们称之为“斐波那契螺旋线”．若图中最大的矩形面积为104，则这段斐波那契螺旋线的长度为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．以下化简正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．关于函数，以下说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．在区间单调递减 C．在上有四个根 D．的最大值为2 三、填空题 12．函数，的最小值是 ，取得最小值时，的取值集合是 . 13．若函数，的最大值为，则的值是 . 14．若函数为定义在R上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式，的解集为 . 四、解答题 15．已知 (1)求； (2)解关于的不等式． 16．已知函数，其中． (1)若函数的周期为，求函数在的值域； (2)若在区间上为增函数，求的最大值． 17．已知函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx﹣sin2x． （1）求函数f（x）的最小正周期 （2）求函数f（x）单调增区间． 18．已知函数的部分图象如图所示．    (1)求函数的解析式； (2)解不等式； (3)若关于x的方程在上有四个不同的实数根，求实数a的取值范围． 19．已知定义域为的函数的解析式为． (1)求函数的最小正周期； (2)已知方程在区间有两个不同的实数解，求实数的取值范围； (3)已知函数，，函数的解析式为，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 试题第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学寒假作业（五）三角函数参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C C C A D AD AD 题号 11 答案 ACD 1．C 【解析】先利用诱导公式结合正弦函数单调性可判断，再由可得. 【详解】，， ，， ， . 故选：C. 2．A 【分析】根据三角函数的定义计算即可. 【详解】由题意可知. 故选：A. 3．D 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：，整理得：， 因为，则， ∴， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为，，， ， ， 所以. 故选：C. 5．C 【分析】根据诱导公式、倍角余弦公式有，将条件代入求值即可. 【详解】. 故选：C 6．C 【分析】根据题意得，即，再根据，的单调递减区间为得，解得，进而得当时，即可得答案. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，所以. 所以 因为的单调递减区间为， 所以，解得， 由于，故. 所以当时，得的最大区间：. 故的最大值是. 故选：C. 7．A 【分析】从图像利用排除法进行求解： 先分析奇偶性，排除B；计算排除C；根据时，；排除D. 即可得到答案. 【详解】对于，定义域为关于原点对称. 因为， 所以是偶函数，排除B. 当时，，排除C； 当时，，，；排除D. 故选：A. 8．D 【分析】设组成矩形的正方形的边长分别为，根据条件列式解方程求得，进而可得这段斐波那契螺旋线的长度. 【详解】如图：设组成矩形的正方形的面积分别为，其边长分别为，且边长即为圆弧的半径， 则，所以，解得， 则这段斐波那契螺旋线的长度为. 故选：D.    9．AD 【分析】根据诱导公式逐项判断即可. 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选:AD. 10．AD 【分析】对两边平方得，结合的范围得到，AD正确；结合同角三角函数平方关系得到正弦和余弦值，进而求出正切值，BC错误. 【详解】，两边平方得：， 解得：，D正确； 故异号， 因为，所以，A正确； 因为，结合，得到， 解得：，故，BC错误. 故选：AD 11．ACD 【分析】由偶函数的定义判断A；根据三角函数及偶函数的性质，作出函数的图象，结合图象判断B；结合图象，判断与在上是否有四个交点，从而判断C；利用三角函数的性质及图象判断D. 【详解】对于A，因为的定义域为R， 且， 所以为偶函数，故A正确； 对于B，当时，； 当时，； 又为偶函数，图象关于轴对称， 则可得图象如图所示： 由图象可知：在上单调递增，故B不正确； 对于C，与在上有四个交点， 即有四个根，故C正确； 对于D，，由图象可知，故D正确. 故选：ACD. 12． 2 【分析】当，即时，函数取得最小值 【详解】当，即时， 函数取得最小值 故答案为：， 【点睛】本题考查的是正弦型函数的最值问题，较简单. 13． 【分析】利用两角差的正弦公式化简函数的解析式为，由的范围可得的范围，根据最大值可得的值. 【详解】∵函数＝2（）＝， ∵，∴∈[，]，又∵的最大值为， 所以的最大值为，即=，解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和最值，属于基础题． 14． 【解析】设，先分析出的奇偶性，然后分类讨论在上的取值情况，最后根据的奇偶性求解出在上的解集. 【详解】设，因为为奇函数，为偶函数， 所以，且定义域为关于原点对称，所以为奇函数， 因为在上单调递增，且， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以当时，若，则， 又因为为奇函数，且，根据对称性可知：若，则， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知的单调性和奇偶性，求解不等式在指定区间上的解集的常用方法： （1）分类讨论法：根据临界值采用分类讨论的方法将区间分成几段，分别考虑每一段上的正负，由此求解出不等式的解集； （2）数形结合法：根据题意作出的草图，根据图象直接写出不等式的解集. 15．(1) (2)且 【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，代入求解即可；（2）根据（1）中的及化简不等式得到，解三角不等式即可. 【详解】（1）依题意，，且，所以， 又因为，，； ，； 所以； 所以； （2）由（1）知，，； 所以； 又，所以，即， 解得，且； 所以原不等式的解集为且. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据函数的周期为可得，然后根据给定的范围，利用整体法求解函数的值域即可； （2）先求出的单调增区间，从而得到不等式关系，求解即可. 【详解】（1）由， 由周期为且，得， 解得，即，由，得，故，所以函数在上的值域为． （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增． 由题知，存在使得成立，则必有 则，解得，故，所以的最大值为． 17．（1）Tπ；（2）[kπ，kπ]，k∈Z． 【解析】（1）利用辅助角二倍角公式化简，即可求函数f（x）的最小正周期 （2）根据三角函数的性质即可求出函数f（x）单调增区间． 【详解】函数f（x）＝cos2x+2sinxcosx﹣sin2x． 化简可得：f（x）＝cos2x﹣sin2x+2sinxcosx ＝cos2xsin2x ＝2sin（2x）， （1）∵ω＝2， ∴f（x）的最小正周期为Tπ； （2）令2kπ2x2kπ（k∈Z）， 解得：kπx≤π，k∈Z， 则f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]，k∈Z． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图象的特殊点，结合周期的性质和公式、代入法进行求解即可； （2）不等式化简为，再根据余弦函数的性质，结合特殊角的余弦值进行求解即可； （3）根据诱导公式以及同角三角函数基本关系化简方程得，， 再令，则，根据与的对应关系可知， 在上有两个不相等的实数根，再参变分离， 转化为，换元后，再利用方程的根与图象交点个数关系求解即可. 【详解】（1）由图可知，周期，故， 此时，代入，可得， 故，解得， 由于，故取，，； （2）由， 则有，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得 ， 该方程在上有四个不同的实数根， 令，则，， 则，， 令，则， 如图，要使在上有四个不同的实数根，    则需要在上有两个不相等的实数根， 故， 由于时，无解，故， 则，令，则且， 故， 由于在上单调递减， 此时至多一个实数根，不符合题意，故， 如图：当时， ， ，当且仅当时，取等号， 故．    19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）先利用两角和的正弦、余弦公式和二倍角公式化简，再根据正弦函数的周期公式求解即可； （2）根据（1）中解析式画出大致图象，根据图象求解即可； （3）由题知，进而得，，记在上的值域为，即可将问题转化为，再根据，利用集合的包含关系列式求解即可. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以. （2）由（1）可知，， 当时，， 因为方程在区间有两个不同的实数解， 所以与，图象有两个不同的交点， ，图象如图： 方程有两个不同的解，由图象可知. 所以实数的取值范围为 （3） 当时，，则， 当，，则， ，记在上的值域为， 因为若对任意的，总存在，使得成立， 所以，显然当时，不满足题意； 当时，，故， 则，解得，所以； 当时，，故， 则，解得，所以； 综上所述，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $