2026年高一上学期数学寒假作业（四）指数函数与对数函数

《高一数学寒假作业（四）指数函数与对数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B A B B BCD ABD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据对数的运算可求得答案. 【详解】原式 . 故选：C. 2．A 【分析】代入数值，即可求解. 【详解】令，得，则. 故选：A 3．D 【详解】试题分析：在上是减函数，故A不对；在上是减函数，故B不对；在上是减函数，故C不对.；在上是增函数，故D对 考点:函数的单调性. 4．B 【详解】由已知，画出函数的图象如图，根据题意函数有且只有一个零点，就是的图象与的图象有且只有一个交点，如图：显然当时，两个函数有且只有一个交点，故选B． 5．B 【分析】对于A，由抽象函数的定义域的求法判断；对于B，通过平移函数的图象判断函数的图象的对称中心；对于C，根据指数函数的单调性进行判断；对于D，通过幂函数的定义和单调性得到关于的关系式，进而求解的值. 【详解】对于A，函数的定义域为，由得， 则函数的定义域为，A错误； 对于B，函数的图象的对称中心为， 将函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象， 则函数的图象的对称中心为，B正确； 对于C，函数在R上单调递减，且，则， 即当时，函数取得最小值，无最大值，C错误； 对于D，因为函数为幂函数，且在上为减函数， 所以，解得，D错误. 故选：B. 6．A 【分析】根据函数的奇偶性和函数值的符号即可判断. 【详解】依题意，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，所以的图象关于轴对称，所以排除B，D选项； 又当时，，所以排除C选项. 故选：A. 7．B 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要想不等式 在内恒成立， 只需，而，所以， 故选：B 8．B 【分析】根据函数关系式：，令，求得相应的，即可计算出该电池的使用时长. 【详解】因为， 令，则， 所以，所以. ，所以该电池大约使用了年. 故选：B. 9．BCD 【分析】求出集合，根据集合的运算即可判断A，B；结合，可判断C；由，结合判别式，可求得a的范围，即可判断D. 【详解】由题意得， 故，，A错误，B正确； 由于，故，则，C正确； 若，则能取到所有的正数， 即，则或， 即，D正确， 故选：BCD 10．ABD 【分析】根据函数的定义即可判断出选项A、B；将方程问题转化为值域问题，结合选项B的结论，进而判断选项C；依次联立到的不等式，判断是否存在交集，从而确定的最大值，即可判断选项D. 【详解】选项A：根据定义，，不小于的最小整数是，所以，故A正确； 选项B：的函数值表示不小于的最小整数，所以，且， 所以对任意的，有，故B正确； 选项C：方程可化为. 令，根据可得，，即. 当时，， 则，在区间上单调递减，且. 所以对于，无实数解，故C错误； 选项D：若，则； 若，则，； 若，则，； 若，则，； 若，则，； 因为，，所以， 所以，即，也即， 所以与无公共部分，即不存在，使得，成立. 所以当时，存在满足条件的值，当时，不存在满足条件的值， 故正整数，故D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】A根据全称量词命题的否定定义判断；B写出的解析式，计算即可判断；C计算，即可判断；D利用基本不等式即可判断. 【详解】命题“，”的否定为“，”，故A错误； 由题意可知，，则，故B正确； 因为，所以函数的图象恒过定点，故C正确； 因为，且，所以， 等号成立时，则的最小值为，故D错误. 故选：BC 12． 【解析】观察每个因式的底数与真数的关系，可知真数为底数的3倍，故考虑采用分离常数“1”，再结合同底数对数的增减性判断即可 【详解】由题意，，，显然，因此有. 故答案为： 【点睛】本题考查对数大小比较，解决此类题型常通过观察，寻找底数与真数关系，借鉴对数增减性进行大小判断，属于基础题 13．（﹣∞，﹣2] 【分析】根据函数的值域为，，等价于，是值域的子集，利用换元法转化为一元二次函数进行求解即可． 【详解】设， 若函数的值域为，， 则等价于，是值域的子集， ， 设，则， 则， ， 当对称轴，即时，不满足条件． 当，即时，则判别式△， 即，则， 即实数的取值范围是，. 故答案为：， 【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合指数函数的性质利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解决本题的关键． 14． 【分析】作出函数的图象如图，方程的实数解的个数等于直线与函数图象的交点个数，即可得解. 【详解】画出函数图像，如图所示    方程存在2个实数解，即函数与函数图像有两个交点， 由图可得 或，所以的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)； (2)单调递减区间为； (3). 【分析】（1）分和两种情况分析函数单调性即可求解； （2）由（1）单调性结合对数函数定义即可求解； （3）由（1）单调性结合对数函数定义域即可解不等式. 【详解】（1）当时，函数为减函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的减函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，所以符合题意； 当时，函数为增函数，函数为增函数， 所以函数为区间上的增函数， 所以由题意可得在区间上恒成立，不符合； 综上，； （2）由（1）可得函数为减函数， 令， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间； （3）由（1）可得函数为减函数， 则令. 所以解集为. 16．(1)； (2)偶函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）利用对数函数定义列出不等式组求出定义域. （2）利用奇偶函数的定义判断并证明. （3）确定函数在上的单调性，再利用该函数的性质求解不等式即得. 【详解】（1）函数有意义，则，解得， 所以函数定义域为. （2）函数是定义在上的偶函数， 由于， 所以函数是偶函数. （3）依题意，，函数在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减， 不等式，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17．(1) (2)10个小时 【分析】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，利用待定系数法求解析式，并求出，再由指数型函数模型求时的解析式； （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶，根据题意，，两边取对数，利用换底公式和对数运算性质求解. 【详解】（1）依题意，一开始酒精含量呈直线上升时，设， 函数过点，， ， 解得，，即， 当时，解得， 又当其上升到时，会以每小时的速度减少， 当时，， . （2）设至少要经过个小时才能合法驾驶， 根据题意，， 即，即， 可得， ， ， 驾驶员至少要经过10个小时才能合法驾驶. 18．(1)，，， (2) 【分析】（1）由函数奇偶性得到，联立即可求解； （2）令，得到，通过分参求最值即可求解. 【详解】（1）由，① 可得，又是奇函数，是偶函数， 得，②， ①+②得，，则，； （2）， 由（1）得：， 令，又 在单调递增，所以， 则， 得：在恒成立， 分参可得：，当时，， 当时， ， 因为，当且仅当时取等号， 的最小值为， 综上当时，的最小值为， 所以. 19．(1)； (2)奇函数，证明见解析； (3). 【分析】（1）由已知得，利用对数运算求参数值； （2）由奇偶性的定义判断的奇偶性； （3）将问题化为时的值域包含，利用二次函数的性质求函数的值域，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由，则，且， 所以，满足； （2）为奇函数，证明如下： 由题设，即函数的定义域为，且， 由， 所以为奇函数，得证； （3）由题设， 由，则， 所以，则， 其中且，而，则， 所以时的值域包含， 令，且， 所以，只需， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学寒假作业（四）指数函数与对数函数 一、单选题 1．（    ） A． B．3 C． D． 2．已知函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．下列函数中，在区间上是增函数的是 A． B． C． D． 4．已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 A． B． C． C． 5．下列说法正确的是（   ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．图象关于点成中心对称 C．的最大值为 D．幂函数在上为减函数，则的值为2 6．函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．若不等式（，且）在内恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．纯电动汽车现阶段使用的锂离子电池有“日历寿命”，即电池使用随着时间的增长其容量会发生衰减．某品牌某型号的锂离子电池使用时长数x（每单位代表4年）与剩余电池容量占比在某阶段（剩余电池容量占比）近似满足如下函数关系式： ．依此，理论上当剩余电池容量占比为时，该电池大约使用了（    ）（参考数据：，，） A．48年 B．68年 C．76年 D．80年 二、多选题 9．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 10．函数的函数值表示不小于的最小整数，例如，，则（　　） A． B．对任意的，有 C．当时，方程有无数多个实数解 D．若存在，使得，，，，则正整数 11．下列说法正确的是（   ） A．命题“，”的否定为“，” B．函数与的图象关于直线对称，则 C．函数的图象恒过定点 D．若，则的最小值为4 三、填空题 12．设，则a、b、c的大小关系 . 13．若函数的值域为[0，+∞），则实数a的取值范围是 ． 14．已知函数若方程存在2个实数解，则的取值范围是 四、解答题 15．设函数在区间上满足. (1)求实数的取值范围； (2)求函数的单调区间； (3)解不等式. 16．已知函数， (1)求函数定义域； (2)判断并证明函数的奇偶性； (3)若，求的取值范围. 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $