寒假作业07 指数函数与对数函数图象性质（知识回顾+基础作业+中等特训+难题拔高+链接高考）-2026年高一数学上学期寒假“承上启下”冲刺复习作业秘籍（人教A版）

寒假作业07 指数函数与对数函数图象性质 指数函数 知识点1 指数函数的一般形式 一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点2 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 0 时， 1 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点3 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 同底 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点4 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 指数函数的单调性 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 指数函数的图象的变化规律 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 中间值 来判断． 对数函数 知识点1 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 大于0 ;若自变量在底数上，应保证底数 大于0且不等于1 知识点2 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 增函数 是上的 减函数 知识点3 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 以为底数的对数式 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 同底的两个对数值 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 换元法（令） ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 一、@单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用的解析式，直接代入即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．函数的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的性质判断即可. 【详解】由于，所以恒过定点，且一定不经过，故C正确，D错误. 而，均不是定值，故A，B错误. 故选：C. 二、@多选题 3．下列公式比较大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由指数函数的性质确定ABC，乘后结合对数函数单调性确定D. 【详解】对于选项A：由于在上是单调递增函数，故，故A错误； 对于选项B：因为，且在上是单调递增函数， 所以，即，故B正确； 对于选项C：因为，，故，故C正确； 对于选项D：， 所以，即，故D错误； 故选：AD. 4．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据对数函数的定义判断各选项即可. 【详解】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意； 故选：AC. 三、@填空题 5．若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性列不等式即可求解. 【详解】指数函数在上是严格增函数，所以，解得， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 6．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的性质及复合函数求同增异减求单调性的方法可解 【详解】∵函数在R上单调递减，且在区间上单调递减，∴函数在区间上单调递增，∴，即，∴a的取值范围是． 故答案为：． 四、@解答题 7．求函数的值域. 【答案】 【分析】利用已知指数函数的值域来求所求函数的值域. 【详解】 所以，即，得或. 故函数的值域为. 8．已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求的定义域； (3)设，判断的奇偶性，并证明. 【答案】(1) (2) (3)为偶函数，证明见解析 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2）根据对数真数大于0，列式运算得解； （3）根据偶函数定义判断. 【详解】（1）若，则，解得. （2）若，则， 由，得：. 所以定义域为：. （3）由（2）得定义域关于原点对称，且， 则， 所以为偶函数. 五、#单选题 9．已知，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先化简，然后判断其充分性与必要性即可. 【详解】先化简，构造函数， 所以有，显然在单调递增，所以； 又因为，，所以由“”不能得出“”，由“”可得出“”，故“”是“”成立的必要不充分条件. 故选：B 10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数复合函数的性质，得到在上单调递增，且恒成立，列不等式组求参数范围. 【详解】由题意，在上单调递增，且恒成立， 所以，解得，故的取值范围是. 故选：C 六、#多选题 11．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用奇函数的定义，逐项计算判断作答. 【详解】对于A，函数的定义域为R，，即是奇函数，A是； 对于B，函数定义域为R，， 则函数是偶函数，B不是； 对于C，函数中，，解得或， ，，则函数是奇函数，C是； 对于D，函数中，，解得，此时， ，因此函数是奇函数. 故选：ACD 12．关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 【答案】AD 【分析】的定义域为，代入化简可判断奇偶性，从而判断A；令，由对勾函数的性质分析单调性，结合复合函数的单调性，可求出的单调区间，可判断B；结合单调性可求出的最值以及值域，从而判断CD. 【详解】由题知，的定义域为，且， 所以为偶函数，所以函数图象关于轴对称，故正确. 令， 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为增函数，当时，为减函数； 当时，，当且仅当即时取最小值， 所以当时，为减函数，当时，为增函数； 函数为增函数，由复合函数的单调性可知，的递增区间为（不能用联结），故B错误，. 由函数的单调性可知，函数在上有最小值，且最小值为，故C错误. 函数的值域是，故D正确. 故选：AD. 七、#填空题 13．已知函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将已知不等式化为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集． 【详解】由题意，不等式，即， 等价于求在上的解， 令，，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又，由图可得不等式的解集为． 故答案为： 14．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用指数函数的性质作出的大致图象，数形结合得到的取值（范围），从而得解. 【详解】依题意，令，解得；令，解得； 当时，，则， 由指数函数的性质作出的大致图象，如图，    因为的值域为，所以，， 则，所以，即的取值范围为. 故答案为：. 八、#解答题 15．已知为偶函数，为奇函数． (1)求实数k的值； (2)判断并证明的单调性； (3)，最小值为1，求m的值． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用偶函数定义来求参数即可； （2）利用定义法来证明单调性即可； （3）利用换元法，，把原函数在闭区间上的最小值问题转化为二次函数在闭区间上的最小值问题，从而利用二次函数的性质来进行求解. 【详解】（1）由题设恒成立， 所以，经验证满足题设，所以； （2）是在上的单调递增函数，证明如下： 令，则， 又，，故， 所以是在上的单调递增函数， （3）由题设，， 令，因为，由（2）证明的单调性可知： 而， 所以题意转化为：，的最小值为1， 显然开口向上且对称轴为，， 所以时在上递增，最小值为，不符合题意，故， 若，则，不符合题意； 若，则（正值舍）， 综上，． 16．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数得，代入整理得； （2）判断单调性采用定义法，设为区间内的任意两个值，且，计算出，说明函数是增函数； （3）结合函数奇偶性、单调性转化为对任意恒成立恒成立，然后分类讨论求解. 【详解】（1）由题意可得：=， ∵是奇函数， ∴，即 ， 所以， ∴，即， 即. （2）是上的增函数，证明如下： 设为区间内的任意两个值，且， 则，， ∵= =， 即， ∴是上的增函数. （3）由（1）（2）知，是上的增函数，且是奇函数. ∵， ∴， ∴， 即对任意恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，只需，解得， 综上，实数的取值范围 九、*单选题 17．若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，得到为递减函数，化简得到和，转换为，转化为，结合的单调性，即可求解. 【详解】令，因为和在上都是递减函数， 所以在上是递减函数， 又由， 因为 又因为，则，所以， 因为，所以，即 因为在上是递减函数，可得，所以一定成立的是. 故选：A. 18．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性及单调性作出图象，由数形结合得不等式的解. 【详解】，可知，即，解得 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以为偶函数， 当时，， 由单调递增，可知单调递增，且， 根据对称性可得函数大致图象，如图， 所以根据函数图象可得出的解集为， 故选：C 十、*多选题 19．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有．当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数是最小正周期为4的周期函数 B．当时， C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在上单调递减 【答案】BC 【分析】根据抽象函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，所以函数的一个周期是，故A错误； 由关于点中心对称， 又函数的一个周期是，故关于点中心对称，故C正确； 因为时，，时，，故B正确； 同理时，，即此时， 易知，所以， 故，由复合函数的单调性可知此时单调递增，故D错误. 故选：BC 【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性部分结论总结如下， 若，则具有周期性；若，则具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1.对称性： 性质定理1：对于任意函数，如果满足，那么是对称轴；此定理逆定理也成立. 性质定理2：对于任意函数，如果满足，那么是对称中心；此定理逆定理也成立. 性质定理3：对于任意函数，如果满足，那么是对称轴. 性质定理4：对任意函数，如满足，那么是对称中心. 性质定理5：对任意函数，如满足，那么是对称中心. 2.周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么是周期. 3.对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且； 性质3:若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且. 20．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指对数的运算律，分析每个不等式，判断正误. 【详解】因为，所以，A错误； 因为，，所以，B正确； 因为，， 所以，C错误； 因为，所以，D正确. 故选：BD. 十一、*填空题 21．已知实数a，b满足，则 . 【答案】2 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 22．在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据新定义，作出的图象，再求出图象关于原点对称的图象对应的函数解析式，由交点个数并结合图象列式求解. 【详解】解：根据新定义，作出的图象如下： 由的图象上恰有3对点关于原点对称， 得函数图象关于原点对称的图象与，的图象有3个交点， 由，得， 则， 因此函数的图象与的图象恰有3个交点， 当时，函数的图象与的图象只有2个交点，不符合题意； 则，即， 解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 十二、*解答题 23．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，，其中，是“2距”增函数，求的取值范围 【答案】(1)为“1距”增函数，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据定义检验即可； （2）由定义转化为在上恒成立可得答案； （3）由条件结合定义分、讨论可得答案. 【详解】（1）是否为“1距”增函数，理由如下， ，， 所以， 当时，， 所以为“1距”增函数； （2）若，是“距”增函数， 则，即， 可得， 因为为正常数，所以在上恒成立， 所以，解得； （3）若，，其中，是“2距”增函数， 则，即， 可得， 当时，可得， 整理得，所以，解得； 当时，可得， 整理得，所以，解得； 综上，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 24．已知是定义在上的奇函数， (1)求的值，并证明的单调性； (2)函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； 【答案】(1)；证明见解析 (2)； 【分析】（1）由条件得到，求出的值，并验证此时是否为奇函数，然后再根据单调性的定义证明即可； （2）先由条件得到的解析式，再利用待定系数法列出方程组，即可求出的值，令，得到，通过反解，即可求出的值域. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以， 即，解得，所以. 因为，故符合题意. 任取， 因为， 所以 因为函数在上单调递增且，故，所以； 因为，所以，所以， 所以，即，即， 因此在上单调递增； （2）将向右平移个单位，得到， 再向上平移个单位得到. 因为 ， 所以 ， 所以，解得，所以. 令，则. 令，则，可得，解得， 所以的值域为. 十三、单选题 25．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【详解】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 26．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假作业07 指数函数与对数函数图象性质 指数函数 知识点1 指数函数的一般形式 一般地，函数 （）叫做指数函数，其中是自变量，定义域为. 知识点2 指数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过点 ，即 时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点3 解指数不等式 （1）指数不等式的类型为，且． ①当时， ； ②当时， ． （2）含指数式的不等式的一般解法：先将不等式的两边化成 的指数式，再利用指数函数的单调性去掉底数，转化为熟悉的不等式求解． 知识点4 比较大小的方法 （1）对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用 来判断； （2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用 来判断； （3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断． 对数函数 知识点1 对数函数的一般形式及定义域 一般地，函数 叫作对数函数，其中 是自变量，x的范围是 对数函数的定义域 定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数 ;若自变量在底数上，应保证底数 知识点2 对数函数的图象及性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即时， 函数值的变化 当时， 当时， 当时， 当时， 单调性 是上的 是上的 知识点3 解对数不等式 （1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论. （2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解. （3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集. （4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围. 一、@单选题 1．已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．函数的图象恒过定点（   ） A． B． C． D． 二、@多选题 3．下列公式比较大小，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数为对数函数的是（    ） A．（，且） B． C． D． 三、@填空题 5．若指数函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 6．设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 ． 四、@解答题 7．求函数的值域. 8．已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求的定义域； (3)设，判断的奇偶性，并证明. 五、#单选题 9．已知，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 六、#多选题 11．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 12．关于函数，下列命题中正确的是（    ） A．函数图象关于轴对称 B．函数的递增区间为 C．函数在上有最小值，且最小值为2. D．函数的值域是 七、#填空题 13．已知函数，则不等式的解集为 . 14．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 . 八、#解答题 15．已知为偶函数，为奇函数． (1)求实数k的值； (2)判断并证明的单调性； (3)，最小值为1，求m的值． 16．已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 九、*单选题 17．若，且，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 18．已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 十、*多选题 19．已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有．当时，．则下列结论正确的是（    ） A．函数是最小正周期为4的周期函数 B．当时， C．函数的图象关于点中心对称 D．函数在上单调递减 20．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 十一、*填空题 21．已知实数a，b满足，则 . 22．在数学中，高斯函数是一个重要的函数，它表示不超过的最大整数，例如，.已知函数（，且，若的图象上恰有3对点关于原点对称，则实数的取值范围是 . 十二、*解答题 23．定义：若对定义域内任意，都有（为正常数），则称函数为“距”增函数. (1)若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由； (2)若，是“距”增函数，求的取值范围； (3)若，，其中，是“2距”增函数，求的取值范围 24．已知是定义在上的奇函数， (1)求的值，并证明的单调性； (2)函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求的值和函数的值域； 十三、单选题 25．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 26．已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $