2026年高一数学人教A版寒假作业（六）必修一检测题

高一数学寒假作业（六）必修一检测题 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B D B B D A ABD CD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 2．A 【分析】利用交集概念进行求解. 【详解】. 故选：A 3．B 【分析】利用函数的奇偶性和周期性求解. 【详解】因为函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，， 所以 ， 故选：B 4．D 【分析】通过定义域和解析式是否相同来判断是否同一函数. 【详解】A.的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数； B. 的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数； C. 的定义域为，的定义域为，两个函数定义域不同，不是同一函数； D. 的定义域都为，解析式也相同，故两个函数是同一函数. 故选：D. 5．B 【分析】根据给定条件，判断函数的对称性及单调性，再比较大小即可. 【详解】函数定义域为，，则函数的图象关于直线对称， 而函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则， 所以. 故选：B 6．B 【解析】根据均值不等式，可有，则，，，，再利用不等式的基本性质，两边分别相加求解。 【详解】因为 所以 所以 所以 所以两边分别相加得 当且仅当 取等号 故选：B 【点睛】本题主要考查了均值不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 7．D 【分析】根据题意，利用幂函数、指数函数与对数函数的单调性比较大小，即可得到本题的答案． 【详解】解：根据，可得， 由是上的增函数，可得，即． 因为，是上的增函数， 所以，可得， 又因为，可得， 所以，可得． 综上所述，， 故选：D． 8．A 【分析】分别计算出与的最大值，满足即可. 【详解】，，有，解得，即A正确. 故选：A. 9．ABD 【分析】A选项，根据点所在象限得到A正确，BCD选项，根据三角函数定义进行求解. 【详解】A选项，因为点在第四象限，所以是第四象限角，A正确． BCD选项，，，， C错误，B，D均正确． 故选：ABD 10．CD 【分析】对于AB，通过取值可判断，对于CD结合基本不等式即可判断. 【详解】选项A：当时，得或，显然不满足，故A错误； 选项B：当， 时，成立，此时，故B错误 因为， 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以有 得，所以有，当或时等号成立. CD正确； 故选：CD 11．ACD 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 12． 【分析】结合正弦函数与余弦函数在区间上的正负性，得到答案. 【详解】和的定义域都是， 当时，，，满足“区间”的定义， 故和在区间上的一个“区间”可以是． 故答案为： 13． 【分析】根据函数有意义列不等式并求解即可求得的定义域. 【详解】对于函数，有，解得． 因此，函数的定义域为． 故答案为：. 14． 【分析】分类讨论，分在区间有3个零点且在区间有2个零点，在区间有4个零点且在区间有1个零点，和在区间有5个零点且在区间没有零点，三种情况求解即可. 【详解】作出函数的图像，左侧是正弦型函数，右侧是开口向上，可以上下平移对称轴为的二次函数. 当时，，得到， （1）当在区间有3个零点且在区间有2个零点时， 满足 ，得到； （2）当在区间有4个零点且在区间有1个零点时， 满足或 ，得到； （3）当在区间有5个零点且在区间没有零点时， 满足 ，无解； 综上所述，实数的取值范围为：. 故答案为：. 15． 【分析】解一元一次不等式求集合A，再由交集结果有，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由题设，又，即， 当时，，可得，满足题设； 当时，，可得， 综上，的取值范围为. 16．(1) (2)最大值为， 【分析】（1）应用一元二次不等式恒成立分和两种情况列不等式计算可求实数m的取值范围； （2）化简得，再应用基本不等式计算即可. 【详解】（1）因为函数，， 若全称量词命题“”是真命题， 当时，，由，则有，并非对成立，故不合乎题意， 当时，则有，         解得， 因此，实数m的取值范围是； （2）∵ 又∵，∴， ∴ 当且仅当时， 即当时，等号成立， ∴的最大值为，此时． 17．(1)2 (2)函数在上单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用特值法求得，代回的解析式用定义证明是奇函数即可； （2）易判断函数在上单调递增，用定义证明即可； （3）利用函数的单调性分析不等式，可得对任意时不等式恒成立，分离参数，可得实数的取值范围.. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，所以.所以. 当时，函数. 函数的定义域为， ，. 所以函数是定义在上的奇函数. 所以. （2）函数在上单调递增. 证明：设. 因为是定义在上的增函数，所以，所以，所以. 即，所以函数在上单调递增. （3）由（1）知，所以. 由题可得，对任意，不等式恒成立. 因为函数在上单调递增，所以对任意，不等式，即恒成立. 由恒成立，可得， 因时，，故， 令. 当且仅当，即时，等号成立. 所以当且仅当时，函数取得最小值，最小值为. 所以，所以实数的取值范围是. 18．(1)； (2)或； (3). 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再求出其周期. （2）利用正弦函数性质列式求解. （3）利用正弦函数性质及零点个数列式求解. 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期. （2）由（1）得，由函数是偶函数， 得，解得，而， 所以或. （3）当时，，由函数在区间上有且仅有2个零点， 得，解得 所以的取值范围为. 19．(1)是倒函数，不是倒函数 (2) (3) 【分析】（1）判断函数是否为倒函数，先检验定义域对称性，再验证函数乘积恒为； （2）已知是上的倒函数，且已知时的表达式，利用倒函数的性质，将未知区间转化为已知区间求解； （3）已知是单调递增的倒函数，且，利用，结合单调性确定在区间上的取值范围，通过换元将复杂表达式转化为二次函数，利用单调性确定变量范围，进而求值域. 【详解】（1）对于，定义域为，显然定义域中任意实数有成立， 又，故是倒函数， 对于，定义域为，当时， 不符合倒函数的定义，故不是倒函数； （2）令，则，由倒函数的定义，可得， 即，故； （3）由题可得是倒函数，且在上单调递增，， ，， 设，，则 ，， 设， 令，，则， 代入得， 即， 对称轴，在区间上单调递增， 时，，时，， 故，即在上的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学寒假作业（六）必修一检测题 一、单选题 1. 已知都是实数，则下列命题中，真命题是（ ） A. 若，则． B. 若，则． C. 若，则． D. 若，则． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义域为R的奇函数，周期为2，且当时，，则 等于（   ） A． B． C． D． 4．以下四组函数中，表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．设， ，，则（　　） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．若的终边经过点，则（    ） A．是第四象限角 B． C． D． 10．对实数，，满足，则（   ） A． B． C． D． 11．大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（     ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 三、填空题 12．已知函数和的图象均连续不断，若满足：，均有，则称区间为和的“区间”，则和在上的一个“区间”为 ．（写出符合题意的一个区间即可） 13．函数的定义域为 ． 14．函数 若在区间内恰有5个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 15．已知集合，.若时，求实数的取值范围. 16．已知函数． (1)若全称量词命题“”是真命题，求实数m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求的最大值并求出相应的m的值． 17．已知函数是定义在上的奇函数. (1)求实数的值. (2)判断在上的单调性并用定义法证明. (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18．已知函数. (1)求的最小正周期 (2)已知，函数是偶函数，求的值. (3)函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围. 19．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为倒函数. (1)已知，判断和是否为倒函数； (2)若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式. (3)若定义域为的倒函数的图象是一条连续不断的曲线，且在上单调递增，若，函数，求在上的值域. 答案第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $